METODO DE ELEMENTOS FINITOS. CI71D Modelación Numérica en Ingeniería Hidráulica y Ambiental Profs. C. Espinoza y Y. Niño Semestre Primavera 2001

Transcripción

1 METODO DE EEMETOS FTOS C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal Profs. C. Esoza y Y. ño Smstr Prmavra. TRODUCCO El Método d Elmtos Ftos (MEF) s u método uméro ara rsolvr uaos dfrals or mdo d "aromaos dsrtas". A dfra dl método d dfras ftas (MDF), l ual la zoa d soluó s u outo d utos dsrtos, l método d lmtos ftos suo qu la zoa d soluó stá omusta d muhas subzoas trotadas, las qu s doma "lmtos ftos". Estos lmtos, los qu ud tomar formas smls (or mlo, lías, trágulos, rtágulos, arallídos) s sambla d dfrts maras ara rrstar la soluó sobr ua rgó ualqura. os otos básos qu s orora st aut so smls y la da ral s omrdr la oratora dtrás d la téa uméra d los lmtos ftos.. COCEPTOS BASCOS E AASS DE EEMETOS FTOS El aálss d lmtos ftos ara u roblma físo ud sr dsrto d la sgut forma: () El sstma físo s dvd srs d lmtos qu stá otados or u úmro dsrto d utos odals; st roso s doma "dsrtzaó". Dsrtzaos tías d u sstma d tubrías y d u sstma otuo bdmsoal s mustra la Fgura. E stos asos s dtfa los lmtos or mdo d úmros. El roblma d tubrías ot 8 lmtos y 6 udos, mtras qu l roblma otuo os lmtos y 5 udos. Fgura Emlos d Dsrtzaos d Elmtos Ftos () Ua rsó matral s dsarrolla ara rlaoar las varabls odals d ada lmto. a matrz rsultat s oo omúmt omo "matrz lmtal". Para u roblma dsrto, la matrz lmtal ud sr grada a artr d u aálss físo C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal

2 sml. Para roblmas otuos, la matrz lmtal s obt mdat u roso matmáto qu utlza téas varaoals o métodos d rsduos odrados. as matrs lmtals s omba o "sambla" ara formar u outo d uaos algbraas qu dsrb l sstma global. a matrz d ofts dl roblma global s oo omo la matrz global. El rodmto d sambl s ralza ara umlr odos d omatbldad la uó d lmtos. (4) Codos d bord so ororadas dtro d la matrz global. (5) El outo d uaos algbraas s rsulv mdat algú método matral aduado.. SOUCO A U PROBEMA DSCRETO Cosdrmos l fluo d agua a través d u mdo oroso, stado staoaro. Est mdo oroso stá omusto d trs zoas d dfrt odutvdad hdráula, tal omo s mustra la Fgura. El agua s yta a ua tasa utara a través d uo d los trmos dl mdo oroso, mtras qu la arga hdráula s mat ostat, o ua valor gual a 5, l otro trmo. Utlmos l MEF ara dtrmar la dstrbuó d la arga hdráula dtro dl mdo oroso. Fgura Mdo Poroso Saturado y Htrogéo. Paso. Dsrtzar Mdo Poroso. Tal omo s mustra la Fgura, l sstma s dvd trs lmtos, los qu s dtfa la Tabla. C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal

3 Tabla dtfaó Elmtos Ftos úmro d Coos odals Elmto odo odo 4. Paso. Dtrmar Caratrístas d los Elmtos Cosdrmos u lmto aslado omo l qu s da la Fgura (lmto ). os valors dl fluo d agua subtrráa, Q, y la arga hdráula, h, so dfdas ada udo. Por ova vamos a asgar u sgo ostvo al fluo qu tra al lmto. El térmo dsoodo st roblma s la arga hdráula. la rlaó tr la arga hdráula y l fluo d agua subtrráa stá dada or la y d Dary. a uaó d Dary ara ada udo s ud srbr omo: Q Q K A ( h ) h K A ( h ) h () () Fgura Elmto dvdual dod K, A y orrsod a la odutvdad hdráula, ára trasvrsal y logtud dl lmto, rstvamt. as uaos () y () ud sr srtas forma matral omo: K A K A K A K A h h Q Q o C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal

4 [ C ] {} h { Q} (4) dod l suríd s utlza ara dar qu la uaó matral s srb ara l lmto. as omots d la matrz C so las sguts: K A, K A,, K A Es osbl otar qu la matrz lmtal C s smétra ro sgular,.. su dtrmat s ro.. Paso. Esamblar Euaos Elmtals. Dsués d samblar todas las uaos ara ada lmto, s obt u outo d uaos globals, l qu s ud srbr omo: h h h h 4 Q Q Q Q 4 (5) o forma quvalt, [ C ] {} h { Q} (6) dod C s la "matrz global". El roso d sambl s dsarrolla d la sgut forma. Prmro s rsrb la uaó matral térmos d la umraó global. D sta mara, ara l lmto () s t: () () () () h h h h 4 Q Q () () (7) Para l lmto () s t: () () () () h h h h 4 Q Q () () (8) Para l lmto s t: C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal 4

5 h h h Q h4 Q (9) a matrz global s obt agrgado las otrbuos dsd todos los lmtos. a ombaó d las uaos (7), (8), y (9) da: () () () () () () () () () h Q () h Q Q () h Q Q h 4 Q () () S ororamos la otudad d fluos los odos tros, y, s t l odo : Q () () Q () y l odo : Q () Q () Co lo qu la uaó () s trasforma a: () () () () () () () () h Q h h h 4 Q ().4 Paso 4. ororar Codos d Bord. E st aso s t dos odos d bord: l odo, Q, y l odo 4, h 4 5. a rmra odó d bord s luy forma sml l vtor dl lado drho: () () () () () () () () h h h h 4 Q (4) a sguda odó d bord s srta ambado la uarta uaó dl sstma matral (4) or la uaó: h 4 5 (5) C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal 5

6 la qu s ud srbr omo: h h h h [ ] {} 5 4 (6) D sta mara s t: () () () () () () () () h h h h 5 4 (7) Para rsrvar la smtría s ud rsrbr la uaó atror omo: () () () () () () () () h h h h 4 h (8).5 Paso 5. Rsolvr Sstma d Euaos Algbraas. a uaó (8) ud sr rsulta forma drta mdat u método d soluó tradoal o forma drta mdat u método tratvo. 4. SOUCÓ DE PROBEMAS COTUOS E ESTADO ESTACOARO O PERMAETE 4. Astos Grals El rodmto d lmtos ftos dsrto l uto atror ud sr tddo forma sml ara trabaar o roblmas otuos. la tsó volura la dfó d ua mara más gral d formular las uaos matrals d lmtos. Esto ud sr dfdo a través d dos métodos dsttos: varaoals o rsduos odrados. Dsd l uto d vsta oraoal la formaó d las matrs lmtals bas al método d rsduos odrados s más útl or lo qu srá aalzada st aut. 4. Método d Rsduos Podrados Cosdrmos u roblma otuo gobrado or ua uaó dfral dl to: () u f (9) ua rgó R rodada or u bord o frotra B. ara obtr ua soluó aromada ara C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal 6

7 st roblma s db sgur trs taas o fass. E la rmra fas la fuó dsooda o varabl d stado u s aroma or ua fuó d ruba d la forma: u~ C () dod so fuos d bas lalmt ddts, las qu s df sobr l domo d soluó, y C so arámtros dsoodos qu srá dtrmados ostrormt. Dbdo a qu la uaó () s sólo ua aromaó, al substturla la uaó (9) s obtdrá u valor rsdual, s dr: ( u~ ) ε f () El método d los rsduals odrados busa dtrmar los térmos dsoodos, C, d tal forma qu l rror o valor rsdual d la uaó () sa mímo. Esto últmo s osgu hado qu la tgral odrada dl rror ε sobr toda la rgó d aálss sa ula. E la sguda fas s dtfa las fuos d odraó lalmt ddts, W, qu db umlr lo sgut: ( ( u ) f ) ε dr W &&& dr ara todo R W,, K, R () Ua vz qu s sfa ua forma fuoal ara las fuos d odraó, s mla la uaó () ara rrstar u y s omba sta formaó o la uaó () ara obtr u outo d uaos smultáas, o valors ógtas, C,,,...,. Falmt, la trra taa osst rsolvr las uaos atrors ara C y obtr ua rrstaó aromada ara u utlzado la uaó (). Dddo d la sló d la fuó d odraó s roo trs métodos dsttos: 4.. Método d Coloaó Putual E st método s sfa u outo d utos l domo d soluó, Putos d Coloaó, y s sloa las fuos d odraó guals a la fuó d Dra: W ( ),,, K δ, D st modo s t: ( ) ε dr ε( ) ε dr δ R W R (4) 4.. Método d Coloaó Subdomo E st aso l domo d soluó s dvd subdomos, y las fuos d odraó s lg omo: C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal 7

8 R W,,, K, R (5) dod R s rfr al subdomo sfado. 4.. Método d Galr E st aso las fuos d odraó s lg guals a las fuos d trolaó, s dr: W. Co lo atror s t: ε dr R (6a) o, ( ( u ) f ) &&& dr ara todo,, K, R (6b) D los trs métodos atrors, l d Galr s l más aduado forma atural ara trabaar o lmtos ftos. Por sta razó ha sdo atado forma gral omo la mtodología bas ara l MEF. Para la alaó dl MEF basado Galr s rod d la sgut forma: Paso El domo s subdvddo ua sr d lmtos y las fuos dsoodas so rrstadas sobr ua subrgó tía or la sgut fuó d ruba o aromada: u~ u (7) dod so las fuos d trolaó dfdas ara l lmto, odals dsoodos, y s l úmro d odos l lmto. Paso u so los valors a tgral rstada la uaó (6) s ud sarar ua sr d subtgrals, ada ua d llas sobr l ára d u lmto dvdual, sto s: R ε dr R ε dr (8) o atror rmt srbr la sgut uaó, la qu dsrb l omortamto u lmto dvdual: C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal 8

9 ( ( u ) f ) &&& dr Q ara todo,, K, R (9) E st uto, la tgral obtda mdat l método d Galr ot lmtos d lvado ord, los uals ud sr rdudos utlzado l Torma d Gr (tgraó or arts). D sta mara s dsmuy l ord d las uaos, lo qu rmt utlzar fuos d trolaó más smls. Paso ugo d habr aalzado las uaos dvduals (or lmtos) stas s ud ombar o samblar ara rar la uaó matral global y lugo ororar las odos d bord. 4. Drvaó d Fuos d Bas os rodmtos ara formular las uaos d lmtos ftos or métodos varaoals o métodos d rsduals s basa l suusto qu la tgral sobr la rgó tra s ud rmlazar or la suma d tgrals sobr subrgos. Para asgurar qu st suusto s váldo y qu ustra soluó aromada ovrg a la soluó orrta al rfar la malla d lmtos ftos, las fuos d trolaó db umlr rtas odos: () E la trfas tr lmtos, la fuó dsooda u y ualqura d sus drvadas hasta u ord fror a la más alta drvada la tgral rsdual odrada db sr otua. Esto s doma odó d otudad. () a fuó d ruba u y sus drvadas db sr aas d rrstar ualqur valor ostat d u uado l tamaño d los lmtos s aroma a ro. Esto s doma l rqurmto d omlttud. 4.. Fuos als Cosdr u lmto tío omo l mostrado la Fgura 4. Suogamos qu la fuó d ruba s ud srbr omo: uˆ a a dod a y a so ostats. Estas ostats ud sr valuadas dfdo qu u ˆ( ) u y u ˆ( ) u, dod y df los odos dl lmto. Alado stas dos rstros s ud srbr l sgut sstma d uaos: u u a a Rsolvdo ara los térmos dsoodos a y a obtmos: C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal 9

10 C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal Fgura 4 Fuos d Bas als u u a a dod. a fuó () û s ud srbr omo: () ( ) ( ) u u u u u ˆ () la qu ud sr rordada ara obtr: () ( ) ( ) ˆ u u u (4)

11 a omaraó tr las uaos (4) y (7) mustra qu las fuos d bas stá dadas or: () ( ) () ( ) (5a) (5b) ara. dod l suríd s trodu ara rordar qu stas fuos rt al lmto. a forma d stas fuos d bas s rsta la Fgura 4b. Al osdrar fuos d bas tr lmtos osutvos s obsrva la tía forma d u "sombrro tragular", qu s l ombr qu rb st to d fuó d bas. E la Fgura 4d s obsrva qu al ombar stas fuos d bas s osgu ua aromaó lal or arts d la fuó orgal. 4.. Elmtos d agrag Cosdrmos u lmto fto omusto or m utos odals, tal omo s mustra la Fgura 5a. a ubaó d ada uto quda dfda or su oordada. o qu dsamos s aromar ua fuó dsooda u mdat los valors odals d sta la forma: u~ m () () u (6) dod () so las fuos bas o d aromaó, las qu t la sgut rodad:, (7) Estas fuos s oo omo los olomos d agrag d grado m. D sta forma s ud srbr: m () (8) Como u mlo odmos osdrar l lmto d trs udos qu s mustra la Fgura 5b. E st aso m, d tal forma qu,, y stá dados or: C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal

12 Fgura 5 Elmtos d agrag () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (9a) (9b) (9) 4.4 Emlo Cosdrmos u roblma sml d fluo ua dmsó u mdo oroso uform d udads d logtud. a uaó qu rrsta st roblma s la sgut: d K, (4) dod l oft K s gual a. Suogamos admás qu las fuos d bord so d to Drhlt, dados or: C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal

13 (4) Para st aálss subdvdamos la rgó m lmtos, y rodamos o los sguts asos. Paso Costrur la fuó d bas o d aromaó y usar l rtro d Galr ara formar la tgral odrada rsdual. a fuó d aromaó ~ s ud srbr térmos d las fuos d aromaó globals y d los valors odals d omo sgu: ~ (4) dod orrsod a la fuó d trolaó l odo, s l úmro d odos d la malla d lmtos ftos. Al susttur st últmo térmo la uaó dfral (4) s obt u rsdual ε, l ual s ud rsar omo: K d ~ Paso ε (4) Alado l rtro d Galr y ostruydo la tgral rsdual d la forma: ε,, K, (44) o d ~ K,, K, (45) Al alar l Torma d Gr (tgraó or arts) a la uaó atror s obt: K d ~ d ~ K,, K, (46) Dbdo al to d odó d bord, Drhlt, qu mo valors d los trmos d la malla ( y ) la sguda rsó ud sr lmada d la uaó (46). D sta forma, ara l rsto d los odos s obt la sgut rsó: C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal

14 K d ~,, K, (47) Al substtur la aromaó (4) la uaó (47) s t: K,, K, (48) Dbdo a qu las fuos d aromaó satsfa odos d otudad dtro d la malla s osbl srbr: m K K,, K, (49) dod y so las oordadas d los udos trmos dl lmto. D la uaó (49) odmos trar la uaó ara l lmto, la qu orrsod a: K,, K, (5) o al rordarla s obt: K,, K, (5) Cambado d oordadas globals a oordadas loals s obt: K, (5) a uaó atror rrsta ua fla () d ua uaó matral la qu s ua d las ógtas: C dod: (5) C K (54) E ua otaó matral, la uaó (5) s ud srbr omo: C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal 4

15 [ C] {} (55) dod: [ C] K (56) S utlzamos fuos d aromaó lals dl to: () ( ) () ( ) (57a) (57b) tmos qu: () (58a) () (58b) o atror rmt srbr: K [ C] (59) a uaó (59) dsrb las aratrístas d u lmto fto artular. A otuaó s db ralzar l sambl d la matrz global y falmt la ororaó d las odos d bord. 5. SOUCÓ DE PROBEMAS TRASETES 5. Formulaó d las Euaos d Elmtos Ftos a soluó d stado staoaro qu s rstó l mlo atror s d to líto. Cuado s osdra u roblma d fluo trast las uaos d stado s trasforma arabólas, y s saro ralzar dsrtzaos saals y tmorals. la aromaó l tmo ud sr ralzada a través d u squma d dfras ftas o d lmtos ftos. Cosdrmos l sgut roblma ua dmsó: C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal 5

16 κ α, t (6) o las sguts odos als y d bord: (, ) (, t) (, t) (6a) (6b) (6) Dbdo a qu s ua fuó qu dd dl sao y l tmo, la rrstarmos or mdo d ua fuó d aromaó dl to: ~ (, t) ( ) ( t) (6) S dsarrollamos los msmos asos qu ara l roblma staoaro o d régm rmat la uaó global s dl to: κ o α d dt (6a) d C M,, K, (6b) dt dod C κ (64a) y M α (64b) a uaó (6) rrsta u sstma d uaos dfrals d rmr ord, l qu ud sr rsulto uméramt a través d u squma d dfras ftas d la forma sgut: C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal 6

17 C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal 7,,, dt d M C K θ θ (65) dod θ s u fator d odraó, uyo valor s utra tr y. S rmlazamos la drvada tmoral or ua dfra dl to: t dt d θ (66) os valors odals d l tmo θ s ud srbr omo: ( ) θ θ θ (67) Susttuydo las uaos (66) y (67) (65) s obt la sgut rsó: ( ) [ ],,, t M C K θ θ (68) a uaó (68) orrsod a u sstma d uaos algbraas o matrals. dddo dl valor d θ s osbl drvar dfrts aromaós. Esquma Elíto Est squma s obt s s fa θ :,,, C t M t M K (69) Esquma mlíto Est squma s obt s s fa θ :,,, t M t M C K (7) Esquma d Cra-olso Est squma s obt s s fa θ /:,,, C t M t M C K (7)

18 Cualqura qu sa l squma d trolaó tmoral qu s utl, la soluó dl roblma s obt utlzado las odos als y d bord. 5. Aálss d Establdad Al rsolvr u roblma trast utlzado u squma uméro s saro asgurars d qu l roblma sa omutaoalmt stabl. Al gual qu ara los foqus d dfras ftas s osbl studar los ambos l Fator d Amlfaó. Para sto rsmos los squmas atrors forma matral omo: [ ] {} A [ B] {} (7) a uaó atror ud sr srta forma rduda omo: {} [ A] [ B] {} [ G] {} (7) dod [ G ] s oo omúmt omo la matrz d amlfaó. Dfamos l vtor d rror l tmo, omo: {} E {} P {} (74) dod {} P orrsod a la soluó ata dl roblma l tmo. Dado qu la uaó (7) també s satsfha or la soluó ata, s osbl mostrar qu: {} E [ G] {} E (75) Utlzado ormas omatbls ara la matrz y los vtors, así omo la dsgualdad d Shwartz, s obt: E G E (76) a uaó atror rmt dtfar u rtro d stabldad, d tal mara qu los rrors uméros o rrá d ua traó a la sgut s s uml qu: G (77) D sta mara, la stabldad d la soluó uméra ud sr asgurada s la orma d la matrz d amlfaó s mor qu la udad. Para ua matrz smétra, la orma más aroada s la d to stral o to : G ma λ (78) dod λ dota los valors roos d la matrz G. D sta mara, l rtro d ovrga s l sgut: C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal 8

19 ma λ (79) Esquma Elíto Para st squma odmos srbr la sgut rsó matral: [ ] {} M ([ M ] t [ C] ) { } (8) o atror ud sr rordado ara obtr qu: {} [ M ] ( [ M ] t [ C] ) { } [ G] {} (8) D tal mara qu: [ G] [ M ] ( [ M ] t [ C] ) { } [] t [ M ] [ C] dod [ ] s la matrz dtdad. a uaó atror ud sr srta omo: [] [ G] t [ M ] [ C] (8) (8) Utlzado la orma d ua matrz ambos ostados d la uaó (8) s t: G t M C (84) o G t M C (85) Para stabldad s db tr: G (86) El aálss d sta dsgualdad mustra qu s válda sólo ara alguos valors d ha qu l squma sa sólo odoalmt stabl. t, lo qu Al ralzar l msmo aálss ara los squmas mlíto y Cra-olso s ud dmostrar qu ambos so odoalmt stabls. 5. Emlo Para roóstos lustratvos osdrmos l roblma udmsoal o la gomtría dfda la Fgura. Cosdrmos qu la logtud d ada lmto s. as matrs lmtals ara st roblma so las sguts: C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal 9

20 [ ] κ C κ (87) y [ ] α M α 6 (88) Esamblado los trs lmtos ororado odos d bord Drhlt los udos y 4 ( y 4 ), la matrz global rsultat ud sr rduda a: d κ α d dt dt (89) dsd dod: κ [ C] (9) y 4 [ ] M α 6 4 Para obtr l rtro d stabldad dl squma líto, alulmos la matrz [ G ] dsd: (9) [ G] [ ] t [ M ] [ C] (9) D sta mara, g g [ G] g g (9) dod g g 8κ t 5 α ( ) y g g κ t 5 α ( ) C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal

21 A artr d los rsultados atrors s ud obtr los valors roos d la matrz G omo: λ 6 κ t α ( ) (94) y 6 κ t λ 5α ( ) (95) Estos últmos rsultados os rmt srbr: ma λ λ (96) lo qu os llva a la sgut odó d stabldad: 6 κ t α ( ) (97) o ( ) α t κ (98) C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal

22 REFERECAS Adrso, Tahl ad Plthr (984). "Comutatoal Flud Mhas ad Hat Trasfr". Hmshr Publshg Cororato. Huyaor, P. Ad G. Pdr (98). Comutatoal Mthods Subsurfa Flow. Aadm Prss. adus, G. ad G. Pdr (98). umral Soluto of Partal Dffrtal Equatos S ad Egrg. Wly trs. Rmso,., G. Horbrgr, ad F. Molz (97). umral Mthods Subsurfa Hydrology. Wly trs. Valoh, A. (994). Modlg of Groudwatr Flow ad Solut Trasort". tur ots. Uvrsty of llos at Urbaa-Chamag. C7D Modlaó uméra gría Hdráula y Ambtal