4ºB ESO Capítulo 13: Estadística

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1 Matemátcas orentadas a las enseñanzas académcas 4ºB ESO Capítulo 13: Estadístca Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

2 366 Estadístca. 4ºB de ESO 1. FASES Y TAREAS DE U ESTUDIO ESTADÍSTICO. POBLACIÓ Y MUESTRA. VARIABLES ESTADÍSTICAS.1. POBLACIÓ.. MUESTRA.3. IDIVIDUO.4. VARIABLE ESTADÍSTICA 3. TABLAS DE FRECUECIAS 3.1. FRECUECIA ABSOLUTA 3.. FRECUECIA RELATIVA 3.3. FRECUECIA ABSOLUTA ACUMULADA 3.4. FRECUECIA RELATIVA ACUMULADA 4. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 4.1. DIAGRAMA DE BARRAS 4.. HISTOGRAMA 4.3. DIAGRAMA DE SECTORES 4.4. AÁLISIS CRÍTICO DE TABLAS Y GRÁFICAS ESTADÍSTICAS E LOS MEDIOS DE COMUICACIÓ. DETECCIÓ DE FALACIAS. 5. MEDIDAS DE TEDECIA CETRAL 5.1. MEDIDAS DE TAMAÑO 5.. MEDIDAS DE FRECUECIA 5.3. MEDIDAS DE POSICIÓ 6. MEDIDAS DE DISPERSIÓ 6.1. MEDIDAS DE DESVIACIÓ 6.. LOS RAGOS 7. DISTRIBUCIOES BIDIMESIOALES 7.1. TABLAS DE FRECUECIA DE UA VARIABLE BIDIMESIOAL 7.. REPRESETACIÓ GRÁFICA DE UA VARIABLE BIDIMESIOAL 7.3. MEDIDAS E UA VARIABLE BIDIMESIOAL. COEFICIETE DE CORRELACIÓ La Estadístca se utlza en la Cenca. Tambén para hacer sondeos de opnón, como la aceptacón por el públco de un programa de televsón, o las encuestas sobre la ntencón de voto a un partdo polítco. Se usan técncas estadístcas en los procesos de fabrcacón, es el control de caldad. Para hacer prevsones y programas el tráfco, o las necesdades de energía de un país. Cuando se analza un fenómeno observable aparecen una sere de resultados que han de ser tratados convenentemente, de manera que se puedan comprender mejor tanto los resultados como la característca objeto de estudo correspondente a dcho fenómeno. Para este fn se utlza la Estadístca. En este capítulo aprenderemos a reconocer y clasfcar dstntos tpos de varables estadístcas, construr tablas de frecuencas y gráfcos estadístcos para dstntos tpos de varables estadístcas y determnar e nterpretar meddas de centralzacón, poscón y dspersón. Tambén nos centraremos en el estudo de dos varables de nterés correspondentes a dos característcas (o varables) dstntas. En este sentdo, puede ser nteresante consderar smultáneamente los dos caracteres a fn de estudar las posbles relacones entre ellos. Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

3 367 Estadístca. 4ºB de ESO 1. FASES Y TAREAS DE U ESTUDIO ESTADÍSTICO os enfrentamos a daro a la necesdad de recoger, organzar e nterpretar datos y esta necesdad aumentará en el futuro, debdo al desarrollo de los sstemas de comuncacón y las bases de datos. Es notable el aumento del uso de las redes socales tales como Youtube o Facebook, donde las personas tenen oportundad de presentar nformacón sobre ellos msmos, y de págnas web donde se pueden encontrar y descargar gran varedad de datos estadístcos sobre dversos temas de actualdad: resultados deportvos de sus equpos favortos, temperatura máxma y mínma a lo largo de un mes, ventas de turrón la pasada navdad, etc. En otras ocasones los datos son recogdos por el nvestgador medante la realzacón de una encuesta o a través de un expermento. La encuesta requerrá la elaboracón de un cuestonaro, fjando los objetvos del msmo, elgendo las varables explcatvas y redactando las preguntas que permtan obtener la nformacón deseada de una forma clara y concsa. En este sentdo, la estadístca ha jugado un papel prmordal en este desarrollo tecnológco que nos está tocando vvr, al proporconar herramentas metodológcas generales para analzar la varabldad, determnar relacones entre varables, dseñar de forma óptma expermentos, mejorar las predccones y la toma de decsones en stuacones de ncertdumbre. El tratamento estadístco de un problema comenza sempre con la presentacón de la magntud que se quere analzar de una determnada poblacón y la seleccón de la muestra pertnente para pasar a la recogda de datos. Una vez obtendos los datos se ordenan y presentan en tablas o gráfcas, de forma que sea posble observar las partculardades que señalan. De aquí se puede consderar que un estudo estadístco consta de una sere de fases y tareas ben dferencadas: 1. Defncón de la poblacón y característca a estudar. Tareas: Identfcacón de las característcas cuanttatvas y cualtatvas; fjacón de la poblacón; especfcacón de la forma de recogda de datos (entrevstas, teléfono, correo electrónco, etc.).. Seleccón de la muestra. Tareas: Identfcacón del tamaño de la muestra y presupuesto necesaro. 3. Recogda de datos. Tareas: Dseño del cuestonaro; dseño muestral. Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

4 368 Estadístca. 4ºB de ESO 4. Organzacón y representacón gráfca. Tareas: Tablas y gráfcas que ayuden a una más fácl nterpretacón de los datos; esto consste en un estudo de cada varable, la tabulacón y representacón (es) gráfca (s) más apropada (s). 5. Análss de datos. Tareas: Tratamento de los datos. Esto consstrá en un análss descrptvo de los datos y/o un análss multvarante de los datos, dependendo del tpo de estudo a realzar y costes del msmo. 6. Obtencón de conclusones. Tareas: recomendacones y toma de decsones a partr de las conclusones. Ejemplo: Una lsta de puntos a tener en cuenta al plantear las preguntas de nvestgacón es la sguente: Qué queres probar? Qué tenes que medr /observar /preguntar? Qué datos necestas? Cómo encontrarás tus datos? Qué harás con ellos? Crees que puedes hacerlo? Encontrarás problemas? Cuáles? Para qué te servrán los resultados? De esta manera se preparará una lsta de las característcas que queremos nclur en el estudo, analzando las dferentes formas con las que podrían obtenerse los datos. Por smple observacón: como el sexo, color de pelo y ojos, s el alumno usa o no gafas; S se requere una medcón: como el peso, talla, perímetro de cntura; s habría que preguntar, es decr, s se debe realzar una encuesta: cuánto deporte practca, número del calzado, cuantas horas duerme, cuantas horas estuda al día o a la semana, etc. Por tanto, es mportante consderar la naturaleza de las escalas de medda y tpo de varable estadístca, puesto que de ellas depende el método de análss de datos que se puede aplcar. La eleccón del conjunto de datos es crítca, pues dependendo del tpo de datos la gama de técncas estadístcas será más o menos ampla, ya que no todas las técncas son aplcables a cualquer tpo de dato. Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

5 369 Estadístca. 4ºB de ESO. POBLACIÓ Y MUESTRA. VARIABLES ESTADÍSTICAS.1. Poblacón Poblacón estadístca, colectvo o unverso es el conjunto de todos los ndvduos (personas, objetos, anmales, etc.) que contengan nformacón sobre el fenómeno que se estuda. Ejemplos: S estudamos el preco de la vvenda en una cudad, la poblacón será el total de las vvendas de dcha cudad. Se va a realzar un estudo estadístco sobre el porcentaje de personas casadas en la península. Para ello no es factble estudar a todos y cada uno de los habtantes por razones de coste y de rapdez en la obtencón de la nformacón. Por lo tanto, es necesaro acudr a examnar sólo una parte de esta poblacón. Esa parte es la muestra elegda. 1.. Muestra Muestra es un subconjunto representatvo que se seleccona de la poblacón y sobre el que se va a realzar el análss estadístco. El tamaño de la muestra es el número de sus elementos. Cuando la muestra comprende a todos los elementos de la poblacón, se denomna censo. Ejemplo: S se estuda el preco de la vvenda de una cudad, lo normal será no recoger nformacón sobre todas las vvendas de la cudad (ya que sería una labor muy compleja y costosa), sno que se suele selecconar un subgrupo (muestra) que se entenda que es sufcentemente representatvo. Actvdades propuestas 1. Señalar en qué caso es más convenente estudar la poblacón o una muestra: a) El dámetro de los tornllos que fabrca una máquna daramente. b) La altura de un grupo de ses amgos.. Se puede leer el sguente ttular en el peródco que publca tu nsttuto: La nota meda de los alumnos de 4º ESO de la Comundad de Madrd es de 7 9. Cómo se ha llegado a esta conclusón? Se ha estudado a toda la poblacón? S huberan selecconado para su cálculo solo a las mujeres, sería representatvo su valor?.3. Indvduo o undad estadístca Indvduo o undad estadístca es cualquer elemento que contenga nformacón sobre el fenómeno que se estuda. Ejemplo: S estudamos las notas de los alumnos de una clase, cada alumno es un ndvduo; s estudamos el preco de la vvenda, cada vvenda es una undad estadístca. Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

6 370 Estadístca. 4ºB de ESO.4. Varable estadístca En general, supondremos que se está analzando una determnada poblacón, de la que nos nteresa certa característca, representada por una varable observable o estadístca X. Las varables que están bajo estudo se pueden clasfcar en dos categorías: Varables cualtatvas o atrbutos (datos no métrcos), que no se pueden medr numércamente. Las escalas de medda no métrcas se clasfcan en nomnales (o categórcas) y ordnales. Varables cuanttatvas, que tenen un valor numérco. Este tpo de varables son las que aparecen con más frecuenca y permten un análss más detallado que las cualtatvas. Dentro de las varables cuanttatvas, se pueden dstngur las varables dscretas y las varables contnuas. Las varables dscretas toman valores aslados, mentras que las varables contnuas pueden tomar cualquer valor dentro de un ntervalo. Ejemplo: Ejemplos de varables cualtatvas son la naconaldad o la raza de un conjunto de personas. Ejemplos de varables cuanttatvas son las notas obtendas en una asgnatura, el peso o altura de un conjunto de personas. Ejemplos de varables dscretas son el número de alumnos que aprueban una asgnatura, o el número de componentes defectuosos que se producen al día en una fábrca. Ejemplos de varables contnuas son el tempo que tardamos en llegar al nsttuto desde nuestra casa o la velocdad de un vehículo. Actvdades resueltas Se va a realzar un estudo estadístco sobre el porcentaje de personas con hjos en una localdad madrleña de habtantes. Para ello se elgen.346 habtantes y se extenden las conclusones a toda la poblacón. Identfcar: varable estadístca, poblacón, muestra, tamaño muestral e ndvduo. Varable estadístca: s una persona tene hjos o no. Poblacón: Los habtantes de la localdad. Muestra: Los.346 habtantes elegdos. Tamaño muestral:.346 personas. Indvduo: Cada persona a la que se le pregunte. Actvdades propuestas 3. Indcar el tpo de varable estadístca que estudamos y razona, en cada caso, s sería mejor analzar una muestra o la poblacón: a) El sexo de los habtantes de un país. b) El dnero gastado a la semana por tu hermano. c) El color de pelo de tus compañeros de clase. d) La temperatura de tu provnca. e) La talla de pe de los alumnos del nsttuto. 4. Para realzar un estudo hacemos una encuesta entre los jóvenes de un barro y les preguntamos por el número de veces que van al cne al mes. Indca qué característcas debería tener la muestra elegda y s deberían ser todos los jóvenes de la muestra de la msma edad. Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

7 371 Estadístca. 4ºB de ESO 3. TABLAS DE FRECUECIAS 3.1. Frecuenca absoluta Cuando se analza una varable dscreta, la nformacón resultante de la muestra se encuentra resumda habtualmente en una tabla o dstrbucón de frecuencas. Supongamos que se ha tomado una muestra de tamaño en la que se han dentfcado k valores (o modaldades) dstntos x 1, x,, x k. Cada uno de ellos se produce con una frecuenca absoluta n, es decr, el número de veces que aparece en la muestra. La nformacón obtenda se puede resumr en una tabla de frecuencas. Las tablas de frecuenca tambén se utlzan para representar nformacón de una varable contnua procedente de una muestra en la que se agrupan las observacones en ntervalos, que se denomnan ntervalos de clase L o celdas. Aunque este procedmento supone, de hecho, una pérdda de nformacón, esta pérdda no es de magntud mportante y se ve compensada con la agrupacón de la nformacón y la facldad de nterpretacón que proporcona una tabla de frecuencas. En este caso, los valores x se corresponden con el punto medo del ntervalo y se denomnan marcas de clase. Ejemplo: Cuando realzamos un estudo sobre el oco y encuestamos a 40 jóvenes de una localdad sobre el número de veces que van al cne los resultados de dcha encuesta los podemos recoger en una tabla para resumr dcha nformacón. Actvdades resueltas Se está realzando un control del peso de un grupo de nños. Para ello, se contablzan el número de veces que comen al día una chocolatna 13 nños durante un mes, obtenendo los sguentes números:, 5, 3,, 0, 4, 1, 7, 4,, 1, 0,. La nformacón obtenda se puede resumr en una tabla de frecuencas absolutas: Valores Frecuenca absoluta Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

8 37 Estadístca. 4ºB de ESO En una fábrca se realza un estudo sobre el espesor, en mm, de un certo tpo de latas de refresco. Con este fn, seleccona una muestra de tamaño = 5, obtenendo los sguentes valores: 7 8, 8, 7 6, 10 5, 7 4, 8 3, 9, 11 3, 7 1, 8 5, 10, 9 3, 9 9, 8 7, 8 6, 7, 9 9, 8 6, 10 9, 7 9, 11 1, 8 8, 9, 8 1, Esta nformacón se puede resumr en la sguente tabla de frecuencas, con 5 ntervalos: (7, 8], (8, 9], (9, 10], (10, 11], (11, 1], sendo las marcas de clase los puntos medos de cada ntervalo: 7 5; 8 5; 9 5; 10 5; Comprueba que las frecuencas absolutas son las ndcadas en la tabla: Intervalos de clase (7, 8] (8, 9] (9, 10] (10, 11] (11, 1] Marcas de clase Frecuenca absoluta Actvdades propuestas 5. Obtener la tabla de frecuencas absolutas de las notas en nglés de 4 alumnos: Frecuenca relatva Se denomna frecuenca relatva (f ) de un valor de la varable al cocente entre la frecuenca absoluta y el número total de observacones. Se escrbe: Ejemplo: f n 1 De la msma manera podemos recoger la nformacón obtenda a partr de una encuesta a 40 jóvenes de una localdad sobre el número de veces que van al cne medante porcentaje del número de veces que se repte un valor de la varable sobre el total. Actvdades resueltas Se está realzando un control del peso de un grupo de nños. Para ello, se contablzan el número de veces que comen al día una chocolatna 13 nños durante un mes, obtenendo los sguentes números:, 5, 3,, 0, 4, 1, 7, 4,, 1, 0,. La nformacón obtenda se puede resumr en una tabla de frecuencas relatvas: Valores Frecuenca relatva Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

9 373 Estadístca. 4ºB de ESO Actvdades propuestas 6. Construr una tabla de frecuencas relatvas con el color de pelo de 4 personas elegdas al azar: M=moreno; R=rubo; P=pelrrojo M R P R R R R P P M M M M R R R R R M M M M M P 3.3. Frecuenca absoluta acumulada Se denomna frecuenca absoluta acumulada de un valor de la varable a la suma de todas las frecuencas absolutas de los valores menores o guales que él. Se calcula como: nj j1 Se verfca la sguente relacón entre los valores de : 1 k Ejemplo: De la msma manera podemos recoger la nformacón obtenda a partr de una encuesta a 40 jóvenes de una localdad sobre el número de veces que van al cne medante el número acumulado de veces que se repte un valor de la varable sobre el total. Actvdades resueltas Se está realzando un control del peso de un grupo de nños. Para ello, se contablzan el número de veces que comen al día una chocolatna 13 nños durante un mes, obtenendo los sguentes números:, 5, 3,, 0, 4, 1, 7, 4,, 1, 0,. La nformacón obtenda se puede resumr en una tabla de frecuencas absolutas: Valores Frecuenca absoluta Frecuenca absoluta acumulada Actvdades propuestas 7. El número de horas daras de estudo de 14 alumnos es el sguente: a) Efectúa un recuento y organza los resultados obtendos en una tabla de frecuencas absolutas acumuladas. b) Qué sgnfcan las frecuencas acumuladas que has calculado? Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

10 374 Estadístca. 4ºB de ESO 3.4. Frecuenca relatva acumulada Se denomna frecuenca relatva acumulada (F ) de un valor de la varable a la suma de todas las frecuencas relatvas de los valores menores o guales que él. Se calcula como: F f j j1 Se verfca la sguente relacón entre los valores de F : F F F k 1 1 Ejemplo: De la msma manera podemos recoger la nformacón obtenda a partr de una encuesta a 40 jóvenes de una localdad sobre el número de veces que van al cne medante el porcentaje acumulado del número de veces que se repte un valor de la varable sobre el total. Actvdades resueltas Se está realzando un control del peso de un grupo de nños. Para ello, se contablzan el número de veces que comen al día una chocolatna 13 nños durante un mes, obtenendo los sguentes números:, 5, 3,, 0, 4, 1, 7, 4,, 1, 0,. La nformacón obtenda se puede resumr en una tabla de frecuencas relatvas: Valores Frecuenca relatva Frecuenca relatva acumulada En una fábrca se realza un estudo sobre el espesor, en mm, de un certo tpo de latas de refresco. Con este fn, seleccona una muestra de tamaño = 5, obtenendo los sguentes valores: 7 8, 8, 7 6, 10 5, 7 4, 8 3, 9, 11 3, 7 1, 8 5, 10, 9 3, 9 9, 8 7, 8 6, 7, 9 9, 8 6, 10 9, 7 9, 11 1, 8 8, 9, 8 1, Esta nformacón se puede resumr en la sguente tabla de frecuencas, con 5 ntervalos: Intervalos de clase (7, 8] (8, 9] (9, 10] (10, 11] (11, 1] Marcas de clase Frecuenca absoluta Frecuenca relatva Frecuenca relatva acumulada Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

11 375 Estadístca. 4ºB de ESO Se organza en una tabla la nformacón recogda de las estaturas, en cm, de un grupo de 0 nñas: La estatura es una varable estadístca cuanttatva contnua. Por tanto, podemos agrupar los valores de la varable en ntervalos que llamamos clases o celdas. La ampltud de cada ntervalo vene dada por la fórmula: En nuestro caso concreto tenemos que: Máx Mín Aproxmando, la ampltud de cada ntervalo es de 5 cm. Estatura en ntervalos [15 130) [ ) [ ) [ ) Frecuenca absoluta Frecuenca relatva Frecuenca absoluta acumulada Frecuenca relatva acumulada Actvdades propuestas 8. En una evaluacón, de los 30 alumnos de una clase, el 30 % aprobó todo, el 10 % suspendó una asgnatura, el 40 % suspendó dos asgnaturas y el resto más de dos asgnaturas. a) Realza la tabla de frecuencas completa correspondente (frecuencas absolutas, frecuencas relatvas, frecuencas absolutas acumuladas y frecuencas relatvas acumuladas). b) Hay algún tpo de frecuenca que corresponda a la pregunta de cuantos alumnos suspenderon menos de dos asgnaturas? Razona la respuesta. Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

12 376 Estadístca. 4ºB de ESO 4. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 4.1. Dagrama de barras Exsten numerosas maneras de representar gráfcamente la nformacón que se ha obtendo de una muestra, dependendo del tpo de varable que se esté analzando y del fn que se persga con la representacón. Cuando se quere representar gráfcamente una varable cualtatva (atrbuto) o una varable cuanttatva dscreta se puede utlzar los dagramas de barras o rectángulos. Se colocan los valores de la varable (las modaldades del atrbuto o valores de la varable dscreta) en el eje de abscsas y, en el eje de ordenadas las frecuencas (absolutas o relatvas). Sobre cada valor se levanta una barra o rectángulo cuya altura es gual a la frecuenca. Por comoddad, a veces tambén se suelen ntercambar los ejes. Ejemplo: Se ha representado gráfcamente la potenca eólca (fuente de energía eléctrca renovable) nstalada en España por Comundad Autónoma en Enero de 014 (en Megavatos) Baleares Murca Canaras País Vasco Asturas Cataluña Valenca La Roja Andalucía avarra Aragón Castlla y León Castlla La Galca Ejemplo: Se ha representado gráfcamente el número de fallos mensuales de una máquna de helados úmero de fallos mensuales Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

13 377 Estadístca. 4ºB de ESO Actvdades resueltas Dada la sguente nformacón correspondente a las preferencas de 50 adolescentes amercanos respecto a la marca de refresco que consumen, construye la tabla asocada a estos datos y represéntalos gráfcamente en un dagrama de barras de frecuencas absolutas y otro de frecuencas relatvas. COCA COLA=CC; COCA COLA LIGHT=CCL; DR.PEPPER=A; PEPSI COLA=PC, SPRITE=S CCL CC S A CC CC A CC P CC S CCL P CCL CC CC CCL P P A S S CC CC CC A P CC CCL CC CCL CC P P P CCL P S P CC CC P CCL CC CC P CC P CC A n Coca cola Coca Cola Dr. Pepper Peps Cola Sprte Marca f 0,4 0,3 0, 0,1 0 Coca cola Coca Cola Dr. Pepper Peps Cola Sprte Marca Actvdades propuestas 9. S queremos representar conjuntamente valores de la varable correspondentes a dferentes períodos de tempo, o a dstntas cualdades, para comparar stuacones podemos construr un dagrama de barras apladas. Podrías nterpretar este gráfco correspondente al número de temas que los alumnos de una asgnatura de 4º ESO llevan estudados? Se toma nformacón en dos clases de un nsttuto (azul y rosa) Y=1 Y= º de temas (X) Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

14 378 Estadístca. 4ºB de ESO 10. El sexo de 18 bebés nacdos en un hosptal de Madrd ha sdo: H M H H M H H M M H M H M M H H M H Construye la tabla asocada a estos datos y represéntalos. 11. Representa los valores de la varable de la tabla adjunta con el gráfco adecuado correspondentes a una encuesta realzada sobre el sector al que pertenecen un grupo de trabajadores madrleños. SECTOR IDUSTRIAL AGRARIO SERVICIOS OTROS % TRABAJADORES Hstogramas La representacón más utlzada en varables cuanttatvas contnuas es el hstograma. En el eje de abscsas se colocan los dferentes ntervalos en los que se agrupan las observacones de la varable. Sobre estos ntervalos, se levantan rectángulos cuya área es proporconal a la frecuenca observada en cada uno de ellos. En el caso que todos los ntervalos tengan la msma ampltud basta con que la altura de los rectángulos sea proporconal a la frecuenca. Dependendo de las frecuencas que se utlcen, se tratará de un hstograma de frecuencas relatvas, o ben de un hstograma de frecuencas absolutas. En ocasones, se unen los puntos medos de los segmentos superores de los rectángulos, obtenéndose de este modo el polígono de frecuencas, ya sean absolutas o relatvas. Estos polígonos se construyen utlzando un ntervalo anteror al prmero (de la msma longtud que éste) y otro posteror al últmo (de su msma longtud). De esta manera, los polígonos delmtan un área cerrada. En ambos casos, tambén se pueden utlzar las frecuencas acumuladas para construr los respectvos hstogramas. Estos hstogramas tambén llevan asocados los correspondentes polígonos de frecuencas, que en este caso se construyen unendo los vértces superores derechos de cada uno de los ntervalos. Ejemplo: Se ha representado gráfcamente la nformacón 15 obtenda a partr de las emsones específcas de 10 CO de una central de carbón (kg/megavato 5 hora) a partr de un hstograma y un polígono de frecuencas absolutas Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

15 Recuento 379 Estadístca. 4ºB de ESO Ejemplo: Se ha representado gráfcamente la nformacón obtenda a partr de las emsones específcas de CO de una central de carbón (kg/megavatohora) a partr de un hstograma y un polígono de frecuencas acumuladas absolutas Actvdades propuestas 1. Completa la tabla de frecuencas para poder representar la nformacón medante el hstograma de frecuencas acumuladas: EDAD [15, 5) [5, 35) [35, 45) [45, 55) ÚMERO DE PERSOAS A qué representacón gráfcas corresponden el sguente gráfco correspondente a la nformacón recogda sobre la edad de 100 personas? Por qué crees que se ha utlzado este y no otro? Edad del encuestado 4.3. Dagrama de sectores Energía Industra Transporte Agraro Edfcacón Resduos 6.7%.8% 14.9% 8.% En el dagrama de sectores se colocan las modaldades del atrbuto (varable cualtatva) o valores de una varable cuanttatva dscreta en un círculo, asgnando a cada uno un sector del círculo de ángulo proporconal a su frecuenca. o resuelta muy operatvo cuando la varable tene demasadas categorías..6% 4.8% Ejemplo: De la msma manera podemos recoger la nformacón obtenda de emsones de gases de efecto nvernadero en España en el perodo (%) Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

16 380 Estadístca. 4ºB de ESO Actvdades resueltas Dada la nformacón correspondente a las preferencas de 50 adolescentes amercanos respecto a la marca de refresco que consumen de la actvdad resuelta del apartado 3.1. realzar el gráfco de sectores. Actvdades propuestas 14. De los 100 asstentes a una boda, el 34 % comó ternera de segundo plato, 5 % pato, 4 % cordero y el resto pescado. a) Organza la nformacón anteror en una tabla de frecuencas y representa los datos en un gráfco de sectores. b) Realza un dagrama de barras y explca cómo lo haces. Cuál de los dos gráfcos preferes? Por qué? 15. Se ha recogdo nformacón sobre el contendo de sales mnerales de 4 botellas de agua de un grupo de escolares en una excursón tal que: a) Clasfca la varable estadístca estudada b) Sería convenente tomar o no ntervalos al hacer una tabla de frecuencas? c) Realza el gráfco que consderes más oportuno Análss crítco de tablas y gráfcas estadístcas en los medos de comuncacón. Deteccón de falacas Los medos de comuncacón recurren con frecuenca a tablas y gráfcas que ayuden a una más fácl nterpretacón de los datos por parte del públco en general. Un caso puede ser el sguente grafco que presenta el Insttuto aconal de Estadístca (IE), que representa el índce de los precos al consumo. o obstante, no es raro observar cómo se utlzan unos msmos datos estadístcos para obtener conclusones dstntas. Una subda de precos o del índce de paro puede parecer más o menos acentuada según quén presente la nformacón Un índce de audenca o el colesterol de un determnado almento pueden parecer más o menos altos según con qué se lo compare Las llamadas telefóncas parecen ser más baratas en una compañía que en otra. Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

17 381 Estadístca. 4ºB de ESO La lsta de ejemplos es ntermnable. De este modo, la Estadístca, además del papel nstrumental que hemos presentado hasta ahora, tene un mportante papel en el desarrollo del pensamento crítco que nos mantendrá atentos a estos excesos. Los errores más frecuentes, aunque a veces no se trata de errores, sno de manpulacones tendencosas, son los sguentes: Errores en la obtencón de datos Lmtacones humanas o de los nstrumentos: es mposble, por ejemplo, medr el peso o la estatura de una persona con nfnta precsón. Pero ncluso en estudos exhaustvos, como los censos, se estman los errores de muestreo. Cuestonaros mal planteados: s no se recogen todas las posbles respuestas, s la pregunta nfluye en la respuesta, s las preguntas contenen jucos de valor o s las dferentes opcones de respuesta no son equlbradas (por ejemplo: sí, a veces, no). El conjunto de respuestas posbles puede hacer que haya duplcacones u omsones. Incurrr en este error, delberadamente o no, deja a ndvduos de la poblacón sn representacón entre las respuestas y, por lo tanto, los resultados que salgan del estudo estarán sesgados. Las modaldades de la varable deben ser ncompatbles y exhaustvas (por ejemplo: s preguntamos por el color favorto y ofrecemos como posbles respuestas "Rojo", "Azul" o "Amarllo", dejamos sn poder responder a quenes queren escoger otro color; s no estamos nteresados en otros colores, podemos nclur un apartado llamado "Otro"). Delmtacón mprecsa de la poblacón: Por ejemplo, s se desea estudar s los nños madrleños ven demasado la televsón, habrá que dejar claro qué edades en concreto se consderarán, s entendemos por madrleño a cualquer resdente o sólo a los nacdos en Madrd, etc. Seleccón de la muestra napropada o no representatva: la muestra no representa a la poblacón. La eleccón de los ndvduos concretos que forman parte de la muestra debe hacerse de forma aleatora. Por ejemplo: s estudamos los gustos televsvos de los adolescentes de un nsttuto y pensamos que estos gustos pueden varar en funcón de la edad, en la seleccón de la muestra deben escogerse edades varadas, a poder ser, en la msma proporcón en la que se presentan en el nsttuto. Errores en las tablas: los datos no están ordenados, evtar ambgüedades en los extremos de los ntervalos para varables contnuas, etc. Errores en las gráfcas: en los dagramas de barras falta el orgen, están truncados o en la escala en los ejes, etc. Hay que dejar claras las varables que se mden. Errores en los parámetros de medda: por ejemplo la meda no es representatva (poblacones heterogéneas) o se ve afectada por valores muy grandes; confusón entre meda y medana. Errores en los pctogramas con superfces donde se nscrben proporconales al cuadrado de las frecuencas. Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

18 38 Estadístca. 4ºB de ESO 5. MEDIDAS DE TEDECIA CETRAL 5.1. Meddas de tamaño Las meddas de tendenca central o de centralzacón son las que, ntutvamente, aparecen en prmer lugar al ntentar descrbr una poblacón o muestra. Se pueden dvdr en tres clases: meddas de tamaño, de frecuenca y de poscón. En lo que sgue, supondremos que estamos analzando una poblacón de la que se toma una muestra de tamaño, es decr, que está compuesta por ndvduos (u observacones), de los cuales se desea estudar la varable X, lo que da lugar a la obtencón de valores que se representan por x 1, x,, x. Estos valores no se suponen ordenados, sno que el subíndce ndca el orden en el que han sdo selecconados. Las meddas de tamaño se defnen a partr de los valores de la muestra, así como de su frecuenca. Defnmos así la meda artmétca o promedo o, smplemente, meda como: x 1 Se puede nterpretar como el centro de masas de las observacones de la muestra. Dentro de sus ventajas se pueden destacar que utlza todas las observacones, que son fáclmente calculables, tenen una nterpretacón senclla y buenas propedades matemátcas. Su nconvenente es que se puede ver afectada por los valores anormalmente pequeños o grandes que exstan en la poblacón o muestra (denomnados outlers). En el caso que tengamos una varable cuanttatva agrupada en ntervalos el valor de la varable X que representa al ntervalo para poder calcular la meda artmétca es la marca de clase y se calcula como la semsuma de los valores extremos del ntervalo. Ejemplo: Ejemplo: Se recoge la nformacón referda al número de horas de vuelo daras de 0 azafatas. S la meda es gual a 4 1, esto ndca que, por térmno medo, el número de horas de vuelo es 4 1. x De la msma manera s recogemos la nformacón sobre la edad meda de tu clase obtendremos un valor entre 15 y 16 años. La edad meda será por ejemplo 15 4, valor teórco, que puede no concdr con nnguno de los valores reales. Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

19 383 Estadístca. 4ºB de ESO Actvdades resueltas Un fabrcante de helados está realzando un control de caldad sobre certas máqunas respecto a su capacdad de regular la temperatura de refrgeracón. Para ello, seleccona una muestra de = 16 máqunas de la fábrca y mde con precsón el valor de su capacdad (en la undad de medda F), obtenendo los sguentes resultados: 0 5, 19 8, 19 6, 19, 3 5, 8 9, 19 9, 19, 0 1, 18 8, 19 5, 0, 18 6, 19 7, 1, Utlzando estos valores de capacdad, obtener la meda artmétca. x x μf Actvdades propuestas 16. Una persona ngresa euros en un fondo de nversón el 1 de enero de 009. Las rentabldades anuales del fondo durante los años sguentes fueron las sguentes: Año Rentabldades (%) S no ha retrado el captal, cuál ha sdo la rentabldad meda de dcho fondo durante estos años? 17. Interpreta los valores de la varable de esta tabla que representa el peso de bombonas de butano de una fábrca, en klogramos. Qué grafco utlzarías? Calcula la meda e nterprétala. Peso [) f % n Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

20 384 Estadístca. 4ºB de ESO 5.. Meddas de frecuenca Se defnen tenendo en cuenta úncamente la frecuenca de los valores de la varable de la muestra. La moda (Mo) se defne como el valor de la varable que se ha obtendo con mayor frecuenca. Puede haber más de una moda. Ejemplo: Se realza un estudo entre 00 espectadores a un muscal en Madrd para determnar el grado de satsfaccón, obtenéndose los sguentes resultados: Opnón Muy bueno Bueno Regular Malo Muy malo % La modaldad que más se repte es muy bueno, por lo que la moda es Mo = Muy bueno. Ejemplo: En el caso que la dstrbucón esté agrupada en ntervalos habrá que dentfcar la clase modal, es decr, el ntervalo donde hay mayor número de valores de la varable. Actvdades resueltas A partr de la tabla de frecuencas del espesor de latas de refresco, podemos dbujar sus hstogramas de frecuencas relatvas y determnar dónde está su moda. Es decr en el ntervalo [8 9). La moda señala que lo más frecuente es tener un espesor entre 8 y 9 mm. Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

21 385 Estadístca. 4ºB de ESO Actvdades propuestas 18. Obtener la meda y la moda de los sguentes valores de la varable referdos al resultado de lanzar un dado 50 veces Realzar la actvdad anteror pero agrupando en ntervalos de ampltud, empezando en 0. Obtenes los msmos resultados? Por qué? 5.3. Meddas de poscón Se defnen a partr de la poscón de los valores de la muestra. En general, se conocen con el nombre de centles o percentles. S reordenamos en orden crecente los valores tomados de la muestra y los denotamos por x {1}, x {},, x {} se pueden defnr las sguentes meddas de poscón: La medana Me es un valor tal que el 50 % de las observacones son nferores a él. o tene por qué ser únco y puede ser un valor no observado. Altura medana Los cuartles (o cuartlas) Q 1, Q y Q 3 son los valores tales que el 5 %, 50 % y 75 % (respectvamente) de los valores de la varable son nferores a él. Los decles D 1, D,, D 9 son los valores tales que el 10 %, 0 %,, 90 % (respectvamente) de los valores de la varable son nferores a él. En general, se defne el percentl o centl del k % (sendo 0 k 100) como el valor tal que el k % de las observacones son nferores a él. La medana y el resto de meddas de poscón tenen como prncpal ventaja su fácl nterpretacón y su robustez (no se ven afectadas por observacones extremas). Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

22 386 Estadístca. 4ºB de ESO Ejemplo: Calcula los cuartles y el percentl 65 de los sguentes valores de la varable referdos al número de hjos de las famlas de un bloque de edfcos de la localdad de Madrd: úmero de hjos f F Total 60 Para hallar el prmer cuartl calculamos el 5 % del total muestral = 60, es decr, = 15. Así, el prmer cuartl tene 15 valores de la varable menores y el resto mayores. En la columna de frecuencas acumuladas, el prmer número mayor o gual que 15 es 38, que corresponde al valor de la varable. Por tanto el prmer cuartl es (o con mejor aproxmacón un valor entre 1 y ). De la msma forma el 50 % de 60 es 30, es decr el cuartl (Medana) sería tambén (o de nuevo, un valor entre 1 y ). El 75% de 60 sería 45 y de esta forma el cuartl 3 sería Resumen: 4 (o un valor entre 3 y 4) puesto que el valor mayor a 45 es 60, que corresponde al valor 4 de la varable 5 % de 60 = > 15 > 11 Q 1 = objeto de estudo. Por últmo, el percentl % de 60 = > 30 > 11 Me = Q = corresponde al valor 3 ya que 65 % de 60 es gual a 39 y el valor mayor que 39 es % de 60 = > 45 > 4 Q 3 = 4 Las meddas de poscón nos permten realzar otro 65 % de 60 = 39 4 > 39 > 38 P 65 =3 tpo de gráfco estadístco que se llama el gráfco de caja. Para realzar este gráfco, se construye una caja (ya sea horzontal o vertcal), cuyos lados concden con el prmer y tercer cuartl Q 1 y Q 3. Por lo tanto, la caja abarca el 50 % de las observacones realzadas. Dentro de dcha caja, se ncluye un segmento (o ben un punto) que corresponde a la medana. De cada lado de la caja parte un segmento que se extende hasta los valores correspondentes a las observacones mínma y máxma x {1} y x {}. Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

23 387 Estadístca. 4ºB de ESO Actvdades resueltas Se está realzando un control de caldad sobre los fallos de unas determnadas máqunas. Para ello, se contablzan los fallos de = 13 máqunas durante un mes, obtenendo los sguentes números de fallos:, 5, 3,, 0, 4, 1, 7, 4,, 1, 0,. Utlzando estos valores obtener las meddas de tendenca central y resumr en una tabla de frecuencas la nformacón obtenda del número de fallos mensuales de las máqunas, obtenendo la meda artmétca de otra manera. x x fallos/mes Mo Q x 1 fallo/mes 1 4 Q x 4 fallos/mes 3 10 fallos/mes Valores Frecuenca absoluta Frecuenca relatva Frecuenca relatva acumulada x k 1 f x fallos/mes Se recoge nformacón sobre el peso de 90 chcos en una clase de Matemátcas. Determnar los centles que nos permten realzar el gráfco de caja Prmer cuartl = percentl 5 = 60 Kg. Tercer cuartl= percentl 75= 80 kg Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

24 388 Estadístca. 4ºB de ESO Actvdades propuestas 0. Dbujar un dagrama de caja conocendo los sguentes datos. Mínmo valor = ; cuartl 1 = 3; medana = 6; cuartl 3 = 7; máxmo valor = Un corredor de maratón entrena, de lunes a vernes recorrendo las sguentes dstancas:, 3, 3, 6 y 4, respectvamente. S el sábado tambén entrena: a) Cuántos klómetros debe recorrer para que la meda sea la msma? b) Y para que la medana no varíe? c) Y para que la moda no varíe?. EL salaro mensual en euros de los 6 trabajadores de una empresa textl es el que se presenta. Cuál de los tres tpos de meddas de tendenca central descrbe mejor los sueldos de la empresa? Qué valor o valores podríamos añadr a este conjunto de valores de la varable para que la medana sga sendo la msma? Salen 5 plazas para un puesto de auxlar de enfermería y se presentan 00 personas con las sguentes notas. notas n a) Con qué nota se obtene una de las plazas medante el examen? b) Qué percentl es la nota 5? Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

25 389 Estadístca. 4ºB de ESO 6. MEDIDAS DE DISPERSIÓ 6.1. Meddas de desvacones Las meddas de tendenca central resultan nsufcentes a la hora de descrbr una muestra. Además de las tendencas, es necesaro dsponer de meddas sobre la varabldad de los datos. Dentro de estas meddas, vamos a estudar las meddas de desvacones y los rangos. Las meddas de desvacones recogen las desvacones de los valores de la varable respecto de una medda de tendenca central. La varanza se defne como: s 1 x x x = 1 Sus prncpales ventajas son su manejabldad matemátca y que utlza todas las observacones. Sus prncpales nconvenentes son el ser muy sensble a observacones extremas y que su undad es el cuadrado de la undad orgnal de la muestra. La desvacón típca es la raíz cuadrada de la varanza y tene la prncpal ventaja de que utlza las msmas undades que los valores de la varable orgnales. Observa que la desvacón típca es una dstanca, la dstanca de los valores de la varable a la meda. Recuerda que la raíz cuadrada es sempre un número postvo. Asocado a la meda y la desvacón típca, se defne el coefcente de varacón, defndo en muestras con meda dstnta de cero como: g Este coefcente es admensonal (no tene undades y se suele expresar en porcentaje), lo que resulta una gran ventaja, ya que permte comparar la varabldad de dstntas muestras, ndependentemente de sus undades de medda. Algunos autores defnen este coefcente utlzando la meda en el denomnador, en lugar de su valor absoluto. Valores del coefcente de varacón mayores del 100 % ndcan que la meda no se puede consderar representatva del conjunto de valores de la varable. Ejemplo: s x La nota meda de 6 alumnos de una msma clase de 4º ESO en Matemátcas es de 5. S la varanza es 0 4, la desvacón típca será de 0 63, por tanto la meda es bastante homogénea en la dstrbucón. Las notas que se han obtendo están stuadas alrededor de la nota meda 5. Actvdades resueltas El propetaro de una nstalacón mxta solar eólca está realzando un estudo del volumen de energía que es capaz de producr la nstalacón. Para ello, mde dcha energía a lo largo de un total de = 16 días que consdera sufcentemente representatvos. La energía (en klovato, KWh) producda en dchos días por dos nstalacones se encuentra recogda en la sguente tabla: x Generacón solar Generacón eólca Generacón solar Generacón eólca Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

26 390 Estadístca. 4ºB de ESO Utlzando estos valores de la varable calcula las meddas de dspersón estudadas, comparando los resultados en las dos nstalacones x x y y s s 131' 10'5 41' 14'8 19'5 11'9 18 8'6 5'7 15'9 11' 6'8 14' 8' '6 9' x 1 x 1 y g g x y 8'5 14'3 4'7 4 '3 6'4 3'6 9' 13'5 1'4 7'6 1'8 10'3 16'5 1'4 10' y x s x s y y x y 10'95 10' ' 10'5 41' 14'8 19'5 11'9 18 8'6 5'7 15'9 11' 6'8 14' 8' '6 9'7 141'5 10'9 ' '5 14'3 4'7 4 '3 6'4 3'6 9' 13'5 1'4 7'6 1'8 10'3 16'5 1'4 10'9 150'48 10'5 41' ' 16 10'9 41'01 10'5 4'7 10'9 6'4 10'5 0'43 0'61 La meda de la prmera nstalacón es más representatva que la meda de la segunda puesto que el coefcente de varacón es menor en la prmera. Los datos están menos agrupados en la segunda de las nstalacones. Su desvacón típca es mucho mayor. Se está realzando un control de caldad sobre los fallos de unas determnadas máqunas. Para ello, se contablzan los fallos de = 13 máqunas durante un mes, obtenendo los sguentes números de fallos. Utlzando estos valores presentados en la tabla de frecuencas obtener las meddas de dspersón estudadas. Valores Frecuenca absoluta Frecuenca relatva Frecuenca relatva acumulada s k x x fallos/mes f x x fallos/mes Otra forma de realzar estos msmos cálculos es: Suma Valores Frecuenca absoluta x x Fr. Abs x Aplcamos la fórmula: s 1 = x y obtenemos que s = 133/13 54 = = 3 80, por lo que s = Kwh Kwh Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

27 391 Estadístca. 4ºB de ESO Actvdades propuestas 5. Un grupo de perros pastor alemán tene una meda de 70 kg y desvacón típca kg. Un conjunto de perros canche tene una meda de 15 kg y desvacón típca kg. Compara ambos grupos. 6. El tempo, en mnutos, que un conjunto de estudantes de 4º ESO dedca a preparar un examen de Matemátcas es: Las calfcacones de ese conjunto de estudantes son las sguentes: a) Qué tendremos que hacer para comparar su varabldad? b) En qué conjunto los valores de la varable están más dspersos? c) Es la meda sempre mayor que la desvacón típca? 6.. Los rangos Estas meddas proporconan nformacón acerca del ntervalo total de valores que toma la muestra analzada. El rango total o recorrdo es la dferenca entre los valores máxmos y mínmos que toma la varable en la muestra: Rx x 1 El recorrdo ntercuartílco es la dferenca entre el tercer y el prmer cuartl: R Q Q I 3 1 Ejemplo: Se está realzando un control de caldad sobre los fallos de una determnada máquna. Para ello, se contablzan los fallos de = 13 máqunas durante un mes, obtenendo los sguentes números de fallos:, 5, 3,, 0, 4, 1, 7, 4,, 1, 0,. Utlzando estos valores obtenemos el rango total gual a 7 y el recorrdo ntercuartílco gual a 3. Actvdades resueltas Salen 5 plazas para un puesto de cajero en un supermercado y se presentan 00 personas. La sguente nformacón recoge las notas de un test de conocmentos báscos. notas n Calcula el rango total de la varable objeto de estudo. Actvdades propuestas 7. Se ha recogdo una muestra de 0 recpentes cuyos dámetros son: a) Calcula todas las meddas de dspersón que conozcas. b) A partr de qué valor de dámetro de los recpentes se consderan el 0 % con mayor dámetro? Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

28 39 Estadístca. 4ºB de ESO 7. DISTRIBUCIOES BIDIMESIOALES Este apartado se centra en el análss de datos bdmensonal, en el que son dos las varables de nterés. De este modo, cuando se está analzando una poblacón y se seleccona una muestra, para cada ndvduo se toman dos valores, correspondentes a dos característcas (o varables) dstntas. En este sentdo, puede ser nteresante consderar smultáneamente los dos caracteres a fn de estudar las posbles relacones entre ellos Tablas de frecuenca de una varable bdmensonal Cuando se queren resumr los resultados de una muestra bdmensonal utlzando una tabla de frecuencas (ya sea por tratarse de una varable dscreta, o porque se deseen agrupar las observacones de una varable contnua), es precso utlzar lo que se denomna tabla de doble entrada (o bdmensonal). Sean x 1, x,, x k las modaldades de la prmera varable e y 1, y,, y p las de la segunda. Estas modaldades pueden corresponder tanto a los valores que se dan en la muestra (s la varable es dscreta), como a las marcas de clase de los ntervalos utlzados (s la varable es contnua). Para construr la tabla de frecuencas, se utlzan las frecuencas absolutas n j correspondentes a las observacones que toman smultáneamente valores correspondentes a las clases x e y j. Obvamente, se ha de verfcar que: k p nj 1 j1 Con esto, la tabla de frecuencas absolutas se presenta como: y 1 y y p n x 1 n 11 n 1 n 1p n 1 x n 1 n n p n x k n k1 n k n kp n k n j n 1 n n p Los valores n recogen las frecuencas absolutas de la clase x, mentras que n j es la suma de frecuencas absolutas de la clase y j., con lo que se verfca: n k n n 1 p k n n j j n j j1 1 p j j1 De la msma manera, se puede realzar una tabla de frecuencas relatvas f j, utlzando los cocentes entre las frecuencas absolutas y el número de observacones: f j nj 1 Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

29 393 Estadístca. 4ºB de ESO Actvdades resueltas El propetaro de una nstalacón mxta solar eólca está realzando un estudo del volumen de energía que es capaz de producr la nstalacón. Para ello, mde dcha energía a lo largo de un total de = 16 días que consdera sufcentemente representatvos. La energía (en kwh) producda en dchos días por las nstalacones solar y eólca se pueden resumr en las sguentes tablas de doble entrada de frecuencas absolutas y de frecuencas relatvas: Energía eólca Energía solar [0, 6 5] (6 5, 13] (13, 19 5] (19 5, 6] n [0, 5] (5, 10] (10, 15] (15, 0] n j Energía eólca Energía solar [0, 6 5] (6 5, 13] (13, 19 5] (19 5, 6] f [0,5] (5, 10] (10, 15] (15, 0] f j Representacón gráfca de una varable bdmensonal Al gual que en el caso de una muestra undmensonal, en numerosas ocasones resulta nteresante realzar una representacón gráfca de una muestra bdmensonal. Un modo sencllo de representar una muestra bdmensonal es medante el denomnado dagrama de dspersón o nube de puntos. Esta técnca consste en representar en el plano (x, y) los valores obtendos en la muestra. 5 Generacón Eólca (kwh) Generacón Solar (kwh) Dagrama de dspersón de la generacón solar y eólca (en kwh) de la actvdad resuelta La fgura anteror muestra el dagrama de dspersón. Se puede observar la exstenca de una dependenca nversa. Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

30 394 Estadístca. 4ºB de ESO 7.3. Meddas en una varable bdmensonal. Coefcente de correlacón Cuando se está analzando una muestra bdmensonal, se pueden calcular las meddas que caracterzan a cada una de las varables de la muestra por separado, tal y como se ha descrto anterormente. Pero en este caso se puede dar un paso más y calcular algunas meddas conjuntas, que tenen en cuenta smultáneamente los valores que toman ambas varables en cada ndvduo. Al gual que cuando se analza una únca característca, supondremos que se toma una muestra de tamaño de la poblacón, es decr, que está compuesta por ndvduos (u observacones), de los cuales se desea analzar las característcas (o varables) X e Y. Esto da lugar a la obtencón de valores para cada una de las dos varables: (x 1, y 1 ), (x, y ),, (x, y ). De nuevo, estos valores no se suponen ordenados, sno que el subíndce ndca el orden en el que han sdo selecconados. Sguendo esta notacón se pueden formular los cálculos de los momentos respecto al orgen y respecto a la meda para una varable bdmensonal. Defnmos, por tanto: Momentos respecto al orgen de orden (r, s) como: a rs, 1 x Observa que los momentos respecto al orgen de orden (1, 0) y (0, 1) concden con las medas de ambas varables: a1,0 r y x a0,1 Tambén resulta de nterés al momento de orden (1, 1): a 1,1 Análogamente, se pueden defnr los momentos respecto a la meda de orden (r, s): m rs, 1 1 x y s y r x x y y Los momentos respecto a la meda de orden (, 0) y (0, ) concden con las varanzas de ambas varables: m s,0 X m s s 0, Y El momento respecto a la meda de orden (1, 1), que se denomna covaranza o momento mxto, es de gran mportanca: m 1,1 1 x xy y Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

31 395 Estadístca. 4ºB de ESO Alternatvamente a la fórmula anteror, la covaranza se puede calcular a partr de los momentos respecto al orgen, según la fórmula: m 1,1 a 1,1 a 1,0 a 0,1 ( x y ) 1 x y La covaranza, al gual que la varanza, tene el nconvenente de que depende de las undades de la muestra. Por este motvo, se utlza el coefcente de correlacón lneal de Pearson (que se denota, ndstntamente, como o r): r s m x 1,1 s y ( x y ) x y s s 1 x y Este coefcente tendrá el sgno de la covaranza y nos ndcará s la dependenca entre las dos varables objeto de estudo son dependentes postva o negatvamente. El coefcente de correlacón (o smplemente correlacón) toma un valor comprenddo entre 1 y 1. S la correlacón es postva se dce que exste dependenca drecta entre X e Y (a un aumento de una de las dos varables le corresponde una tendenca al aumento en la otra). En cambo, s la correlacón es negatva, se dce que exste una dependenca nversa (a un aumento de una de las dos varables le corresponde una tendenca al decremento en la otra). Actvdades resueltas El propetaro de una nstalacón mxta solar eólca está realzando un estudo del volumen de energía que es capaz de producr la nstalacón. Para ello, mde dcha energía a lo largo de un total de = 16 días que consdera sufcentemente representatvos. La energía (en kwh) producda en dchos días por las nstalacones solar y eólca se encuentra recogda en la sguente tabla: Generacón solar (x ) Generacón eólca (y ) Utlzando estas produccones, vamos a calcular la covaranza y el coefcente de correlacón, denotando a la generacón solar como varable X y la generacón eólca como varable Y. Añadmos nuevas flas a nuestra tabla: Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

32 396 Estadístca. 4ºB de ESO Generacón solar (x ) Generacón eólca (y ) x y x * y Prevamente calculamos la meda y la desvacón típca de cada varable (que ya conocemos de una actvdad resuelta anteror). Sumando la prmera fla y dvdendo por = 16, obtenemos la meda de la Generacón Solar en Kwh. Recuerda x x x x ; por tanto 1 131' 10'5 41' 14'8 19'5 11'9 18 8'6 5'7 15'9 11' 6'8 14' 8' '6 9' '95 Sumando la segunda fla y dvdendo por = 16 obtenemos la meda de la Generacón Eólca en Kwh: y 1 8'5 14'3 4'7 4 '3 6'4 3'6 9' 13'5 1'4 7'6 1'8 10'3 16'5 1'4 10'9 y 10'463 Kwh 16 En la tercera fla hemos calculado los cuadrados de los valores de la prmera varable y los utlzamos x para calcular la varanza: Recuerda 1 sx x ; por tanto x 1 x s x 131' 10'5 41' 14'8 19'5 11'9 18 8'6 5'7 15'9 11' 6'8 14' 8' '6 9'7 141'5 10'9 ' En la cuarta fla los cuadrados de los valores de la segunda varable y calculamos su varanza tal que s y 1 y y 8'5 14'3 4'7 4 '3 6'4 3'6 9' 13'5 1'4 7'6 1'8 10'3 16'5 1'4 10'9 150'48 10'5 41' La desvacón típca es la raíz cuadrada de la varanza, por tanto: s ' 16 4'71 y s 41'01 6' 4 x Para calcular el coefcente de correlacón calculamos en la qunta fla los productos de la varable x por ( x y ) 1 la varable y. Así, 13 1*8 5 = Queremos calcula el térmno:. Al sumar obtenemos 1401, que dvdmos entre 16, le restamos el producto de las medas y dvdmos por el producto de las desvacones típcas: y Kwh ( x y ) 1 x y s s x y 1401' (10'9 10'5) 4'71 6'4 6'78 4'716'4 0'887 Este coefcente de correlacón negatvo y cercano a 1 nos ndca que la relacón entre las dos varables es negatva y bastante mportante. Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

33 397 Estadístca. 4ºB de ESO Utlza el ordenador eves ha tendo en Matemátcas las sguentes notas: 8, 4, 6, 10 y 10. Calcula su meda, su moda y su medana. Para calcular la meda, la medana y la moda con la hoja de cálculo, copamos en la caslla B, B3 los datos: 8, 4, 6, 10 y 10. Escrbmos en la caslla A7, Meda, y para calcular la meda escrbmos un sgno gual en B7. Buscamos, desplegando las posbles funcones, la funcón PROMEDIO, y escrbmos =PROMEDIO(B:B6), que sgnfca que calcule la meda de los valores que hay en las casllas desde B hasta B6. Del msmo modo calculamos la medana buscando en las funcones o escrbendo =MEDIAA(B:B6) y la moda buscando en las funcones o escrbendo =MODA(B,B6). Igual que hemos calculado la meda, la medana y la moda, la hoja de cálculo se puede utlzar para obtener: Utlza el ordenador El recorrdo calculando MAX MI 6. La varanza utlzando VARP La desvacón típca usando DESVESTP 33 Los cuartles, (CUARTIL), sendo el cuartl 0 el mínmo; el cuartl 1, Q1; el cuartl, la medana; el cuartl 3, Q3; y el cuartl 4, el máxmo. Q1 = 6. Q3 = 10. Intervalo ntercuartílco = 10 6 = 4. Preguntamos a 10 alumnos de 4º ESO por sus calfcacones en Matemátcas, por el número de mnutos daros que ven la televsón, por el número de horas semanales que dedcan al estudo, y por su estatura en centímetros. Los datos se recogen en la tabla adjunta. Queremos dbujar las nubes de puntos que los relaconan con las calfcacones de Matemátcas, el coefcente de correlacón y la recta de regresón. Calfcacones de Matemátcas Mnutos daros que ve la TV Horas semanales de estudo Estatura (en cm) Para hacerlo, entramos en Excel, y copamos los datos. Selecconamos la prmera y la segunda fla, luego la prmera y la tercera y por últmo la prmera fla y la cuarta. Con la prmera y segunda flas selecconadas, vamos a Insertar, Dspersón y elegmos la nube de puntos. Podemos consegur que el eje de abscsas vaya de 0 a 10 en Dar formato al eje. Pnchamos sobre un Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

34 398 Estadístca. 4ºB de ESO punto de la nube, y elegmos Agregar línea de tendenca. Para que dbuje el ordenador la recta de regresón la línea de tendenca debe ser Lneal. En la pantalla que aparece marcamos la caslla que dce: Presentar ecuacón en el gráfco y la caslla que dce Presentar el valor de R cuadrado en el gráfco Mnutos daros que ve la TV y = 13,485x + 131,59 R² = 0, Observa, la recta de regresón, en color rojo, es decrecente y su ecuacón es aproxmadamente: y = 13 5 x El cuadrado del coefcente de correlacón es = La correlacón es negatva y alta: 0'95 0,975 Hacemos lo msmo con la prmera y tercera fla y con la prmera y cuarta fla. Obtenemos los gráfcos: Horas semanales de estudo Estatura (en cm) y = 1,9343x + 155,77 y = 1,8535x 3,5455 R² = 0,477 R² = 0, Observa que en ambos casos la pendente de la recta de regresón es postva pero en el prmero el coefcente de correlacón, postvo, es próxmo a 1, 0'96 0,98. La correlacón es alta y postva. En el segundo 0'5 0,5. Actvdades propuestas 8. Se han meddo los pesos y alturas de 6 personas, como muestra de las personas que están en una fla o cola de espera, obtenéndose los sguentes resultados: Pesos (kg) Alturas (cm) Se pde: a) Calcular las medas y las varanzas de esos dos conjuntos de datos undmensonales. b) Qué meddas están más dspersas, los pesos o las alturas? c) Representar gráfcamente ese conjunto de datos bdmensonal. Calcular la covaranza e nterpretar su valor. d) Dar una medda de la correlacón entre ambas varables. Interpretar su valor. Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF

35 399 Estadístca. 4ºB de ESO CURIOSIDADES. REVISTA UTILIZAMOS LA ESTADÍSTICA POR ECIMA DE UESTRAS POSIBILIDADES? En las últmas décadas el uso de datos estadístcos es una de las prncpales maneras con las que se presenta nformacón de cualquer tpo, provenga su fuente de los medos de comuncacón, a través de mensajes publctaros o relaconada con trabajos de nvestgacón. Actualmente consumr nformacón se converte, en muchas ocasones, entrar en un mundo de números, porcentajes, gráfcos, probabldades, mapas y otros conceptos báscos de esta dscplna que cuesta entender. TEGO MIS RESULTADOS HACE TIEMPO, PERO O SÉ CÓMO LLEGAR A ELLOS Esta expresva frase de Gauss descubrdor de la campana que lleva su nombre, y que alude a la dstrbucón normal cuando la cantdad de datos es bastante grande, es aplcable a muchas de las nformacones erróneas que vemos a daro. Tenen los datos pero no saben cómo llegar al núcleo de su nterpretacón. Muchas veces cuando un medo de comuncacón quere mpresonar medante un ttular sobre la gravedad de una stuacón que afecta a toda la poblacón, hace uso de números absolutos en lugar de porcentajes. Por ejemplo: Cuando leemos el ttular qué duda cabe que todos pensamos que 40 muertos son muchos muertos sean por accdente de tráfco o por otra causa. La arguca está ben pensada para llamar la atencón del lector, pero nformatvamente hablando esta presentacón de los hechos utlzando números sn compararlos con otros números se merece un suspenso. Los datos estadístcos no hablan por sí msmos. Un dato sempre hay que relaconarlo con otros datos para comprender la varabldad que ha expermentado el caso que estamos analzando. S la notca se hubera acompañado con las estadístcas de muertes por accdente de tráfco de los últmos años en perodos vacaconales de cuatro días, rápdamente el lector se daría cuenta de que no es para alarmarse más que otras veces ya que el número de muertos n ha subdo n ha bajado, es más o menos el msmo que en cualquer otro puente smlar en días. O sea, este mpactante ttular apoyado en datos numércos, en realdad n squera es notca Revsoras: María Molero y eves Zuast Ilustracones: Banco de Imágenes de ITEF