Cálculo Vectorial. 1dx = b a es la longitud del intervalo I = [a, b] R;

Transcripción

1 álculo Vectoril L primer prte del curso trt sobre conceptos mtemáticos (longitud, áre, volumen, cmpos de vectores, circulción, flujo, grdiente, divergenci, rotcionl, Lplcino) y físicos (ms, centro de mss, momento de inerci, trbjo, cmpos de fuerz de tipo grvittorio, mgnético o eléctrico, cmpos de velociddes de fluidos, flujos de clor) que se definen medinte (o precen en) integrles. En l signtur álculo 2 se fundmentó l integrción en dominios de R n. Es impertivo dominr ls dos herrmients básics llí desrrollds: el teorem de Fubini y los cmbios de vrible coordends polres, polres dptds un elipse, cilíndrics, cilíndrics dptds, esférics y esférics dptds un elipsoide. Aquí llevremos un pso más llá el estudio de integrles. Alguns de ls pregunts que queremos responder, si el tiempo lo permite, son ls siguientes: ómo podemos clculr l longitud de un curv o el áre de un superficie? Tenemos dos cuerpos sólidos homogéneos del mismo tmño, ms y densidd, pero distint form. uál posee menos resistenci girr sobre un eje que los trvies por su centro? Podemos clculr el áre de un lgo sin mojrnos? ómo funcion un plnímetro? Qué relción hy entre el flujo eléctrico trvés de un superficie cerrd y l crg eléctric que encierr? (L respuest es l ley de Guss, un de l cutro ecuciones de Mxwell.) Es verdd que el cmpo grvittorio credo por un plnet en su exterior es igul l credo por un ms puntul situd en su centro que concentr tod su ms? (L respuest es sí. Un de ls myores contribuciones de Newton, sin dud.) Pr evitr complicciones innecesris, tods ls funciones que precen en este curso son, l menos, continus trozos y todos los dominios sern compctos y conexos con fronters 1 trozos. Aplicciones Est sección persigue dos objetivos. on l teorí, presentr lguns plicciones físics de ls integrles. on los ejercicios propuestos, evlur los conocimientos de integrción sobre dominios de R n. Todo quel que no sep hcerlos debe repsr sus puntes de álculo 2. No es brom. Longitud, áre y volumen. Estos tres conceptos son l bse sobre l que se construyen muchos otros. e obtienen integrndo l función constnte igul uno sobre el dominio correspondiente: Long(I) := b 1dx = b es l longitud del intervlo I = [, b] R; Are() := 1dxdy es el áre del dominio 2 (plno) R2 ; y Vol(W ) := W 1dxdy dz es el volumen del dominio 3 (espcil) W R3. Ejercicio. lculr el áre de un elipse de semiejes y b. e puede hcer de dos forms: usndo polres dptds l elipse o deformndo un círculo por un trnsformción linel. olución: πb. Ejercicio. lculr el volumen del sólido de teinmetz de rdio R (l intersección de dos cilindros de rdio R cuyos ejes se cortn perpendiculrmente). onviene plicr el principio de vlieri los cudrdos que se obtienen l seccionr l región por plnos prlelos mbos ejes. olución: 16R 3 /3. Promedio de un función. El promedio de N cntiddes f 1,..., f N R es igul l cociente f := f f N N = 1 N N f i. En el cso continuo, bst substituir l sum por l integrl y N por l longitud, áre o volumen: f := 1 b b f(x)dx es el promedio de l función f : I = [, b] R R; 1 f := Are() f(x, y)dxdy es el promedio de l función f : R2 R; y f := 1 Vol(W ) W f(x, y, z)dxdy dz es el promedio de l función f : W R3 R. 1 i=1

2 2 epositdo en ed/vectoril.pdf El promedio de culquier función está comprendido entre sus vlores mínimo y máximo: mín f f máx f. En prticulr, se cumple el Teorem del vlor medio pr integrles: L integrl de un función continu sobre un dominio (1, 2 o 3) es igul l medid (longitud, áre o volumen) del dominio multiplicd por el vlor de l función en lgún punto del dominio. Ejercicio. lculr el promedio de l función distnci l centro definid sobre un bol de rdio R y comprobr que no es igul R/2. Explicr el porqué de form intuitiv. olución: 3R/4. Ms y centro de mss de un cuerpo. L ms totl de N mss m 1,..., m N es m = N i=1 m i. i en lugr de tener mss puntules, tenemos un distribución continu de ms, bst substituir l sum por un integrl y ls mss puntules por l densidd de ms ρ. Por tnto: m(i) := b ρ(x)dx es l ms de un intervlo I = [, b] R con densidd linel ρ(x). m() := ρ(x, y)dxdy es l ms de un dominio R2 con densidd superficil ρ(x, y). m(w ) := W ρ(x, y, z)dxdy dz es l ms de un dominio W R3 con densidd ρ(x, y, z). El centro de mss de N mss m 1,..., m N situds en ls posiciones x 1,..., x N R es el cociente x := x 1m x N m N m m N = N i=1 x im i N i=1 m. i Al igul que ntes, si tenemos un distribución continu de ms, bst substituir ls sums por integrles y ls mss puntules por l densidd de ms ρ. Por tnto: M(I) := x = 1 m(i) b M() := ( x, ȳ) = 1 m() M(W ) := ( x, ȳ, z) = 1 m(w ) xρ(x)dx es el centro de mss del intervlo I = [, b] R; (x, y)ρ(x, y)dxdy es el centro de mss del dominio R2 ; y W (x, y, z)ρ(x, y, z)dxdy dz es el centro de mss de W R3. Ejercicio. lculr el centro de mss de un cono sólido homogéneo (es decir, de densidd constnte) de rdio R y ltur h. Por qué no se necesit l densidd pr clculr el centro de mss? olución: ( x, ȳ, z) = (,, 3h/4), suponiendo que el origen es el vértice y el eje z es el eje de revolución. Momento de inerci de un cuerpo. El momento de inerci respecto un eje e de N mss puntules m 1,..., m N situds distncis r 1,..., r n del eje es I e := N i=1 r2 i m i. i tenemos un distribución continu de ms, bst substituir l sum por un integrl, ls mss puntules por l densidd de ms ρ y ls distncis puntules por un distnci continu r. Por tnto, I e := r 2 (x, y, z)ρ(x, y, z)dxdy dz, W es el momento de inerci respecto un eje e de un cuerpo W R 3, donde r(p) = dist(p, e). En prticulr, los momentos de inerci respecto los tres ejes de coordends son I x := W (y2 + z 2 )ρ(x, y, z)dxdy dz; I y := W (x2 + z 2 )ρ(x, y, z)dxdy dz; y I z := W (x2 + y 2 )ρ(x, y, z)dxdy dz. Ests tres expresiones se pueden dptr l cso de cuerpos 2. Los momentos de inerci respecto los tres ejes de coordends de un dominio plno R 2 R 3 {z = } son I x := y2 ρ(x, y)dxdy; I y := x2 ρ(x, y)dxdy; y I z := (x2 + y 2 )ρ(x, y)dxdy = I x + I y. En of moments of inerti hy un list de momentos de inerci. Ejercicio. lculr el momento de inerci respecto su eje de revolución e del cilindro sólido homogéneo de rdio R, ltur h y densidd constnte ρ ρ. Expresr el resultdo en función del rdio R y l ms totl del cilindro m = áre bse ltur densidd = πr 2 hρ. olución: I e = mr 2 /2.

3 epositdo en ed/vectoril.pdf 3 Un poco de físic. A grosso modo, l ms de un cuerpo cuntific su resistenci cmbir su velocidd (linel) bjo l cción de un fuerz. egún l segund ley de Newton, si un cuerpo de ms m es sometido un fuerz F, su celerción es F/m. e l mism mner, el momento de inerci respecto un eje de un cuerpo cuntific su resistenci cmbir su velocidd ngulr respecto l eje. oncretmente, si un cuerpo con momento de inerci I e es sometido un torsión τ respecto l eje e, su celerción ngulr es τ/i e. i disminuye l distnci l eje, disminuye l resistenci girr. Por eso los ptindores encogen brzos y pierns pr girr más rápido. Finlmente, el cálculo del centro de mss sirve, por ejemplo, pr encontrr los estdos de equilibrio de un objeto 3 situdo sobre un plno horizontl. Los equilibrios se obtienen cundo l line que une l centro de mss con el punto de contcto es verticl y son estbles cundo, loclmente, el centro de mss no puede estr más bjo. Los lmpists usn un curioso método pr encontrr el centro de mss de un plnch (es decir, un dominio 2), bsdo en que l colgr l plnch de un punto rbitrrio, su centro de mss siempre está situdo 1 en l rect verticl que ps por el punto de fijción. Algo de geometrí. L visión geométric es summente importnte de cr simplificr cálculos y entender mejor el significdo de los conceptos nteriores. Proporciones. undo un cuerpo es homogéneo, su ms es el producto de densidd y longitud (si es 1), densidd y áre (si es 2) o densidd y volumen (si es 3). omo el áre es proporcionl l cudrdo de l longitud y el volumen es proporcionl l cubo de l longitud, deducimos que l ms de cuerpos homogéneos 1, 2 y 3 es proporcionl l longitud, l cudrdo de l longitud y l cubo de l longitud, respectivmente. Eso (entre otrs coss) imposibilit l existenci de hormigs gigntes. Además, el momento de inerci de un cuerpo homogéneo 3 respecto un eje que ps por su centro de mss es proporcionl l quint potenci de l longitud. L fuerz requerid pr girr un sndí respecto su eje de revolución es miles de veces myor que l requerid pr un nrnj. Ests propieddes pueden servir pr detectr errores en los cálculos. Y tmbién pr deducir l fórmul generl correspondiente un ciert geometrí prtir de un cso prticulr. Ejercicio. biendo que el volumen de un tetredro regulr de ldos unitrios es igul 2/12, cuál es el volumen del tetredro regulr cuyos ldos miden l? Ejercicio. e I el momento de inerci de un elipsoide solido homogéneo de densidd ρ y semiejes, b y c respecto l eje. uáles de ls siguientes fórmuls no pueden ser corrects? I = 4πρbc(b 2 + c 2 )/15, I = 4πρbc(b + c)/15, I = 4πρ 2 b 2 c 2 (b 2 + c 2 )/15. imetrís. Un cuerpo (2 o 3) puede tener diferentes tipos de simetrís. estcmos ls siguientes: entrl respecto un punto (coron circulr, elipsoide, hiperboloide, rombo, esvástic); Axil respecto un rect (pirámide rect, triángulo isosceles, crdiode); e revolución respecto un eje (toro, cono, cilindro, prboloide e hiperboloide de revolución); Especulr respecto un plno (semiesfer, toro, cubo, octedro, elipsoide, prboloide). No se deben confundir ls xiles con ls de revolución. Algunos cuerpos tienen vris simetrís simultánemente, y se del mismo o de diferentes tipos. L esfer es l form más simétric posible. El centro geométrico de un dominio es igul l centro de mss del cuerpo homogéneo que tiene l form del dominio. Ls iniciles G denotn centros geométricos, reservmos ls iniciles M pr centros de mss. El centro geométrico sólo depende de l form, mientrs que el centro de mss depende de l form y l densidd. El centro geométrico de un cuerpo simétrico está situdo sobre su punto, rect, eje o plno de simetrí. Pr poder decir lo mismo del centro de mss se necesit que l densidd pose l mism simetrí que el cuerpo. Ejercicio. ecir, sin clculr nd, dónde están situdos los centros geométricos de ls siguientes figurs:, Σ, Π,,, Θ, =,,,,. (No siempre se puede dr el punto excto.) Ejercicio. ónde podemos firmr, sin relizr cálculo lguno, que está situdo el centro geométrico de un octnte de esfer sólid? Y, unque se del tem siguiente, qué ps si l esfer es huec? 1 Los lmpists suponen que el cmpo grvittorio es uniforme, pero no se lo tendremos en cuent.

4 4 epositdo en ed/vectoril.pdf onstntes de inerci. En muchos csos el momento de inerci de un cuerpo homogéneo es de l form I = cmt 2, donde m es l ms del cuerpo, t es un cntidd que mide el tmño del cuerpo (por ejemplo, si el cuerpo es un esfer, t es su rdio) y c [, 1] es un constnte dimensionl, llmd constnte de inerci, que sólo depende de l form del cuerpo, pero no de su tmño. i l ms se cumul cerc del eje, result que c. Por contr, si l ms se cumul lejos del eje, result que c 1. Ejercicio. lculr l constnte de inerci de un esfer sólid respecto un eje que ps por su centro. Por qué no se necesit ni el rdio ni l densidd de l esfer? olución: c = 2/5. Integrles de funciones y cmpos sobre curvs Vmos introducir el concepto de curv, clculr longitudes de curvs y definir los símbolos f dl = Integrl de un función f : R sobre un curv Rn ; y F, dl = circulción de un cmpo F : U Rn R n lo lrgo de un curv U. urvs. Un prtícul en movimiento, si descrtmos l teleportción, describe un curv continu que puede tener singulriddes; es decir, puntos en los que l prtícul cmbi bruscmente de dirección o incluso vuelve sobre sus psos. El estudio de curvs con singulriddes present uns dificultdes que intentremos obvir medinte l siguiente exposición informl. Un curv es suve cundo no tienen pinchos ni esquins (el símbolo tiene un pincho y tiene tres esquins); simple cundo no se utointersec (los símbolos y son curvs simples, mientrs que y no lo son); y cerrd cundo empiez y cb en el mismo punto (l letr o y el símbolo son curvs cerrds). Todos los ejemplos nteriores de curvs no suves y/o no simples, se pueden descomponer en vrios trozos suves y simples. Un prtícul puede recorrer un curv diferentes velociddes, cd posibilidd d lugr un tryectori diferente unque l curv no cmbi. in embrgo, un curv simple no cerrd de extremos A y B sólo tiene dos orientciones posibles: ir de A B o ir de B A. Análogmente, ls curvs cerrds simples tmbién tienen dos orientciones. Por ejemplo, un curv cerrd simple pln se puede recorrer en sentido horrio o en sentido ntihorrio. Trtr ls curvs como subconjuntos de R n no es práctico, es mejor prmetrizrls de form biyectiv, lo cul equivle recorrer l curv siguiendo un de sus dos posibles orientciones, sin dr medi vuelt. Ls integrles de funciones sobre curvs no dependen en bsoluto de l prmetrizción, mientrs que ls circulciones de cmpos lo lrgo de curvs sólo dependen de l orientción escogid: l cmbir l orientción, cmbi el signo de l circulción. Intuitivmente, un curv regulr es un curv suve y simple que se recorre siguiendo un de sus dos orientciones, sin que l velocidd de l prtícul pued nulrse en punto lguno. Formlmente, un curv regulr de R n es el rngo (o se, l imgen) = σ(i) = { σ(t) : t I } R n de un plicción σ : I R n, que recibe el nombre de prmetrizción regulr, definid sobre un intervlo compcto I = [, b] R tl que σ es inyectiv 2, σ 1 (I; R n ) y σ (t), t I = [, b]. Un curv es regulr trozos cundo está compuest por un número finito de curvs regulres. Tods ls curvs que estudiremos son regulres trozos, unque csi siempre olvidemos decirlo. d un curv regulr = σ(i) R n, introducimos ls siguientes notciones: σ (t) es un vector tngente l curv en el punto σ(t); σ (t) es l velocidd de l tryectori σ(t) en el instnte t; T (t) = σ (t)/ σ (t) es el 3 vector tngente unitrio l curv en el punto σ(t); dl = σ (t) dt es el elemento de longitud de l prmetrizción σ en el punto σ(t); y 2 on l siguiente slvedd: si l curv es cerrd, entonces σ() = σ(b) por definición. 3 En relidd, en cd punto de l curv hy dos vectores tngentes unitrios de sentidos opuestos.

5 epositdo en ed/vectoril.pdf 5 dl = σ (t)dt = T (t)dl es el vector diferencil de longitud de l prmetrizción σ en σ(t). Usmos l negrit en, T y dl pr reclcr que ess cntiddes son vectores: tienen dirección y mgnitud. En l pizrr usremos los símbolos, T y d l. Ni el elemento de longitud ni el vectores diferenciles de longitud pueden nulrse, pues l curv es regulr. Longitud de un curv. L distnci recorrid por un prtícul que se desplz velociddes v 1,..., v N durnte unos rngos de tiempo t 1,..., t N es N i=1 v i t i. i l velocidd no se mntiene constnte, bst substituir l sum por un integrl, ls velociddes v i por l velocidd instntáne σ (t) y los incrementos t i por el diferencil dt. Así, l longitud de l curv regulr = σ(i) es Long() := b σ (t) dt. Usndo que l prmetrizción σ(t) es de clse 1 y el intervlo I = [, b] es compcto, deducimos que l función t σ (t) es cotd, luego tod curv regulr tiene longitud finit. Ejemplo 1. L longitud de un curv no depende ni de l velocidd ni de l orientción con que se recorre. Es decir, l longitud no depende de l prmetrizción escogid. Vmos ejemplificr este hecho intuitivmente obvio. e l circunferenci de rdio R. onsidermos l prmetrizción que se obtiene l recorrer velocidd ngulr constnte no nul ω; el signo de ω determin l orientción. Es decir, = σ([, 2π/ ω ]) R 2, con σ(t) = (R cos ωt, R sin ωt). L velocidd linel es constnte: σ (t) R ω. Por tnto, Long() = 2π/ ω R ω dt = 2πR. En cmbio, l tryectori σ : [, 2πk] R 2, σ(t) = (R cos t, R sin t), k N, recorre k veces l circunferenci, luego 2πk σ (t) dt = 2πkR = k Long(). Por ese motivo hemos impuesto en l definición de curv regulr que su prmetrizción se un plicción inyectiv. Ejemplo 2. L longitud de un curv regulr trozos se clcul sumndo ls longitudes de todos sus trozos. e = σ([, π]) R 3 l curv prmetrizd por { (R cos t, R sin t, ), si t π/2, σ(t) = (, R, h(t π/2)), si π/2 t π. Entonces, Long() = π/2 σ (t) dt + π π/2 σ (t) dt = π/2 Rdt + π hdt = π(r + h)/2. π/2 Ejemplo 3. i l prmetrizción σ : I R n no es regulr, l curv = σ(i) puede tener longitud infinit unque el intervlo I se compcto. e = σ([, 1]) R 2 l espirl prmetrizd por {( ) t cos(2π/t), t sin(2π/t) si < t 1 σ(t) = (, ) si t =. L prmetrizción es continu en el extremo t = pues lím t + σ(t) = (, ) = σ(). in embrgo, σ (t) = ( cos(2π/t) + 2πt 1 sen(2π/t), sin(2π/t) 2πt 1 cos(2π/t) ), luego l prmetrizción no es de clse 1 en el extremo t =, pues no existe lím t + σ (t). En cd intervlo de tiempo I k = [1/(k + 1), 1/k], k N, l prtícul d un vuelt complet lrededor del origen. e k = σ(i k ) es espir. Entonces Long( k ) = 1 k 1 k+1 σ (t) dt = 1 k 1 k π2 t 2 dt = k+1 k 1 + 4π2 s 2 ds s 2 k+1 2π ds k s 2π k + 1. Por tnto, Long() = k=1 Long( k) 2π 1 k=1 k+1 =. Hemos comprobdo que l prtícul recorre un distnci infinit en un tiempo finito, luego l velocidd debe tender infinito en lgún instnte. oncretmente, lím t + σ (t) =.

6 6 epositdo en ed/vectoril.pdf Ejemplo 4. i l velocidd se nul en lgunos instntes, pero l prmetrizción es de clse 1 en todo I y l prtícul recorre l curv mnteniendo l mism orientción, tmbién podemos clculr l longitud. Prmetrizmos el stroide = { (x, y) R 2 : x 2/3 + y 2/3 = 2/3} como = σ(i), donde σ(t) = ( cos 3 t, sin 3 t ), I = [, 2π]. L velocidd σ (t) = 3 cos t sin t se nul en los instntes t =, π/2, π, 3π/2, 2π, pero l prtícul vnz siempre en sentido ntihorrio. Pr librrnos del vlor bsoluto que prece en l velocidd, clculmos l longitud de l prte del stroide contenid en el primer cudrnte: 1 = σ(i 1 ), con I 1 = [, π/2]. Medinte un dibujo vemos, sin relizr cálculo lguno, que 2 < Long( 1 ) < 2, lo cul qued confirmdo por el cálculo Long( 1 ) = π/2 σ (t) dt = 3 Finlmente, Long() = 4 Long( 1 ) = 6. π/2 cos t sin tdt = 3 2 [ sin 2 t ] t=π/2 t= = 3/2. Ejercicio. onsultr el pplet de JAVA que proxim numéricmente l longitud de curvs rbitrris prmetrizds del enlce onviene provechr l máximo l libertd referente l elección de l prmetrizción y escogerl de form que simplifique los cálculos. A continución estudimos lguns elecciones típics. Gráfic pln. i R 2 es l gráfic y = f(x) de un función f : [, b] R, entonces: L prmetrizción más decud es σ : [, b] R 2, con σ(x) = (x, f(x)); El elemento de longitud es dl = σ (x) dx = 1 + f (x) 2 dx; luego Long() = b 1 + f (x) 2 dx. Ejemplo 5. e y = f(x) = mx + n l ecución de un rect que form un ángulo α [, π/2) con el eje de bciss. Es decir, m = tn α. i es l gráfic de es rect sobre un intervlo I = [, b], entonces su elemento de longitud viene ddo por dl = 1 + m 2 dx = 1 dx. Por tnto, Long() = b dx cos α = Long(I) cos α. i α =, l rect es horizontl y Long() = Long(I). Además, lím α π/2 Long()/ Long(I) =. Gráfic 3. i = {(x, y, z) R 3 : y = f(x), z = g(x), x [, b]}, entonces: L prmetrizción más decud es σ : [, b] R 3, con σ(x) = (x, f(x), g(x)); El elemento de longitud es dl = σ (x) dx = 1 + f (x) 2 + g (x) 2 dx; luego Long() = b 1 + f (x) 2 + g (x) 2 dx. Ejemplo 6. L curv = { (x, y, z) R 3 : x = R cos(2πz/h), y = R sin(2πz/h), z [, h] } es un espir de un hélice circulr de rdio R y ltur h. u longitud es h 1 + (2πR/h) 2( sin 2 (2πz/h) + cos 2 (2πz/h) ) dz = h 1 + (2πR/h) 2 dz = (2πR) 2 + h 2. Observmos que lím h Long() = 2πR y lím R Long() = h, corde l intuición geométric. urv pln expresd en polres. i está definid por l ecución r = g(θ) en coordends polres pr lgun función g : [, b] R +, entonces: L prmetrizción más decud es σ : [, b] R 2, con σ(θ) = (g(θ) cos θ, g(θ) sin θ); El elemento de longitud es dl = σ (θ) dθ = g(θ) 2 + g (θ) 2 dθ; luego Long() = b g(θ)2 + g (θ) 2 dθ. Ejemplo 7. L longitud de l crdiode definid en polres por r = g(θ) = R(1 + cos θ), θ [, 2π], es 2π 2π π R (1 + cos θ) 2 + sin 2 θ dθ = R cos θ dθ = 4R cos(θ/2)dθ = 8R. cos α

7 epositdo en ed/vectoril.pdf 7 Ejercicio. onsultr el pplet de JAVA que proxim l longitud de curvs plns expresds en polres publicdo en el enlce Ejemplo 8. e ω. L longitud de l espirl logrítmic r = g(θ) = Re ωθ, θ [, 2π], es 2π R2 e 2ωθ + R 2 ω 2 e 2ωθ dθ = R 2π 1 + ω 2 e ωθ dθ = R 1 + ω 2( 1 e 2πω) /ω. Tmbién podemos clculr l longitud de l espirl logrítmic infinit r = Re ωθ, θ [, ), unque el intervlo I = [, ) no se compcto. i ω >, l espirl se cerc l origen mientrs gir y su longitud sigue siendo finit, pues dl = R 1 + ω 2 e ωθ dθ = R 1 + ω 2 /ω. Por contr, si ω <, l espirl tiene longitud infinit, pues cd vuelt tiene un longitud myor que l nterior. Ejercicio. Escribir ls fórmuls pr curvs 3 definids por ls ecuciones r = g(θ) y z = h(θ) en coordends cilíndrics pr lguns funciones g : [, b] R + y h : [, b] R. Integrles de funciones sobre curvs. e f : R un función continu definid sobre un curv regulr = σ(i) R n. L integrl de f sobre es igul b f dl := f(σ(t)) σ (t) dt. Notmos que l definición del elemento de longitud nos permite escribir l iguldd Long() = dl. L integrl de un función sobre un curv regulr trozos se clcul sumndo ls integrles sobre todos sus trozos. L interpretción más simple del concepto de integrl de un función sobre un curv pln es l siguiente. i tenemos un vll cuy bse es l curv = σ(i) R 2 R 3 {z = } y cuy ltur viene dd por un función f : R +, entonces f dl es igul l áre de l vll. Ests integrles cumplen muchs de ls propieddes típics de ls integrles sobre dominios de R n ; sber, linelidd, ditividd, teorem de vlor medio, etc. estcmos ls desigulddes Long() mín f f dl Long() máx f. Ls integrles de funciones sobre curvs sirven pr clculr, entre otrs coss, el promedio de un función definid sobre un curv. Y tmbién pr clculr vris propieddes físics de un lmbre R 3 prtir de su densidd linel ρ : R +. oncretmente: m() = ρdl es l ms de ; M() = ( x, ȳ, z) = 1 m() (x, y, z)ρdl es el centro de mss de ; y I e = r2 ρdl es el momento de inerci respecto un eje e de, donde r(p) = dist(p, e). El cso de lmbres plnos R 2 es nálogo. Vemos un pr de ejemplos. Ejemplo 9. Ms del stroide del ejemplo 4 cundo su densidd linel es ρ(x, y) = xy. i recupermos l prmetrizción y ls notciones del susodicho ejemplo, vemos que π/2 π/2 π/2 m( 1 ) = ρdl = ρ(σ(t)) σ (t) dt = 3 3 cos 4 t sin 4 tdt = 33 sin 4 (2t)dt = 9π En los últimos psos hemos usdo ls identiddes sin 2t = 2 cos t sin t y sin 4 θ = cos(2θ)+ 1 8 cos(4θ). Finlmente, m() = 4 m( 1 ) = 9 64 π3, pues l densidd es simétric respecto mbos ejes. Ejercicio. onsultr el pplet de JAVA que proxim l integrl de un función sobre un curv pln prmetrizd en el enlce Y en of trigonometric identities podeis encontrr un list summente complet de identiddes trigonométrics. Ejemplo 1. Promedio de l tempertur del lmbre helicoidl = σ([, 2π]), σ(t) = (cos t, sin t, t), cundo su tempertur es igul l cudrdo de l distnci l origen: T (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. omo

8 8 epositdo en ed/vectoril.pdf este lmbre tiene l form de un espir de un hélice de rdio R = 1 y ltur h = 2π, sbemos que dl = σ (t) dt = 2dt y Long() = 2 2π, ver ejemplo 6. Así, el promedio de l tempertur es 1 T = T dl = 1 2π Long() 2 T (σ(t)) σ (t) dt = 1 2π 2π 2 (1 + t 2 ) 2dt = 1 + 4π2 2π 3. irculciones de cmpos lo lrgo de curvs. El trbjo relizdo por un fuerz constnte F sobre un objeto que se desplz en line rect desde un punto A hst un punto B es W = F, d, siendo d = AB. Queremos generlizr este concepto fuerzs no necesrimente constntes y tryectoris no necesrimente rects. espués veremos si el trbjo depende de l tryectori de l prtícul o, por el contrrio, tn sólo depende de l curv descrit o incluso sólo de los extremos de l curv. mpos vectoriles. Un cmpo vectoril 2 es un plicción F : U R 2 R 2, Análogmente, un cmpo vectoril 3 es un plicción F : U R 3 R 3, F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)). F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Pr simplificr l exposición, supondremos que todos los cmpos son, l menos, continuos. Un cmpo consiste en situr un vector en cd punto del bierto U R n. Los cmpos precen de mner nturl en físic. Los dos ejemplos más importntes son los cmpos de fuerz cuyos vectores definen fuerzs (grvittoris, eléctrics, mgnétics, de mre) que ctun sobre prtículs y los cmpos de velociddes cuyos vectores definen l velocidd en cd punto de un gs o fluido. En est primer prte del curso, supondremos que los cmpos no dependen del tiempo. irculción. En lenguje mtemático el trbjo recibe el nombre de circulción y se define como l integrl del cmpo F : U R n R n sobre l tryectori σ : [, b] U de l siguiente mner: b F, dl := F (σ(t)), σ (t) dt. σ Un notción lterntiv pr l circulción del cmpo F = (P, Q) lo lrgo de l tryectori σ es P dx + Qdy. σ Análogmente, σ P dx+qdy+rdz pr cmpos 3. Ambos símbolos son sinónimos de F, dl. σ L circulción es igul cero cundo l fuerz es perpendiculr l tryectori seguid. Est observción es un cso prticulr de l siguiente interpretción geométric. Recordmos que dl = T dl, siendo T = σ / σ el vector tngente unitrio l tryectori con l orientción decud. Entonces F T := F, T es l componente tngencil del cmpo l tryectori. Juntándolo todo vemos que F, dl = F, T dl = F T dl. σ σ Es decir, l circulción es l integrl de l función componente tngencil del cmpo sobre l curv. Ejemplo 11. L circulción de un cmpo lo lrgo de un tryectori no depende de l velocidd, pero sí de l orientción con que se recorre. Pr convencer l lector, retommos el ejemplo 1. Tenímos un circunferenci de rdio R recorrid velocidd ngulr constnte no nul ω; el signo de ω determin l orientción. oncretmente, = σ([, 2π/ ω ]) R 2, con σ(t) = (R cos ωt, R sin ωt). Pr fijr ides, considermos un cmpo concreto. Por ejemplo, F (x, y) = ( y, x). Entonces, F, dl = F (σ(t)), σ (t) dt = ( R sin ωt, R cos ωt), ( Rω sin ωt, Rω cos ωt) dt = R 2 ω dt. Por tnto, l circulción del cmpo F lo lrgo de l tryectori σ es { 2π/ ω F, dl = R 2 ω dt = 2πR 2 ω ω = +2πR 2, si el sentido es ntihorrio: ω >, 2πR 2, si el sentido es horrio: ω <. σ σ

9 epositdo en ed/vectoril.pdf 9 Esto motiv que, prtir de hor, utilicemos los símbolos F, dl, F, dl + pr denotr los dos posibles vlores de l circulción de un cmpo F lo lrgo de un curv, siendo F, dl = F, dl. Los signos + y significn que l orientción con que recorremos + l curv es positiv o negtiv. i no se pone signo, se sobreentiende que l orientción es positiv. Y utilizremos los símbolos F, dl = F, dl, + F, dl. cundo l curv se cerrd, como l circunferenci del ejemplo nterior. Observción. En cd enuncido se dirá cuál es l orientción escogid como positiv. Por ejemplo, diciendo curv orientd en sentido ntihorrio, dndo un prmetrizción concret o clrificndo los puntos inicil y finl de l curv. i no, se debe escoger un orientción como positiv y decirlo. Ejemplo 12. L circulción de un cmpo no depende de l velocidd, pero, en generl, sí depende del cmino seguido pr conectr el punto inicil A con el punto finl B. lculmos l circulción del cmpo F (x, y) = (y 2, x 2 ) lo lrgo de tres curvs que vn desde A = (, ) hst B = (1, 1). 1. El segmento 1 = {(x, y) R 2 : y = x 1}. i lo prmetrizmos por σ 1 : [, 1] R 2, σ 1 (t) = (t, t), entonces 1 F, dl = 1 F (σ 1(t)), σ 1(t) dt = 1 2t2 dt = 2/3. 2. Prmetrizmos el rco de prábol 2 = {(x, y) R 2 : y = x 2 1} por σ 2 : [, 1] R 2, σ(t) = (t, t 2 ). Entonces 2 F, dl = 1 F (σ 2(t)), σ 2(t) dt = 1 (t4 + 2t 3 )dt = 7/1. 3. L unión de segmentos 3 = A B, con = (1, ). Usmos l prmetrizción trozos { σ 3 : [, 2] R 2 (t, ), si t 1,, σ 3 (t) = (1, t 1) si 1 t 2. Entonces, 3 F, dl = 2 F (σ 3(t)), σ 3(t) dt = 1 dt dt = 1. mpos conservtivos (primer prte). Un cmpo se denomin conservtivo cundo su circulción sólo depende de los extremos de l curv, pero no de l curv en sí, o, equivlentemente, cundo tiene circulción nul sobre culquier curv cerrd. e momento, nos limitmos ver un pr de ejemplos. Ejemplo 13. El cmpo F (x, y, z) = (x, y, z) es conservtivo. L clve es observr( que es el grdiente ) de l función f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 )/2. Es decir, F = grd f = (f x, f y, f z ) = f x, f y, f z. e σ : [, b] R 3, σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), un tryectori rbitrri tl que σ() = A y σ(b) = B. e g : [, b] R l función g(t) = f(σ(t)) = ( (x(t)) 2 + (y(t)) 2 + (z(t)) 2) /2. Entonces g (t) = d { (x(t)) 2 + (y(t)) 2 + (z(t)) 2 } = x(t)x (t) + y(t)y (t) + z(t)z (t) = F (σ(t)), σ (t). dt 2 Por tnto, si clculmos l circulción del cmpo F lo lrgo de l tryectori σ obtenemos que b F, dl = g (t)dt = g(b) g() = f(b) f(a), σ quedndo probdo que l circulción sólo depende de A y B. e hecho, l circulción es l diferenci del vlor de l función f en los extremos A y B. Vmos comprobrlo en un cso concreto. e = σ([, 2π]) R 3, σ(t) = Re t (cos t, sin t, 1). e sobreentiende que está orientd desde A = σ() = (R,, R) hst B = σ(2π) = (Re 2π,, Re 2π ). Por tnto, l circulción debe ser igul F, dl = f(b) f(a) = ( R 2 e 4π + + R 2 e 4π) /2 ( R R 2) /2 = R 2 (e 4π 1).

10 1 epositdo en ed/vectoril.pdf i plicmos l definición, clculmos dl = σ (t)dt = Re t (cos t sin t, sin t + cos t, 1)dt, luego F, dl = 2π R 2 e 2t( cos t(cos t sin t)+sin t(sin t+cos t)+1 ) dt = 2π 2R 2 e 2t dt = R 2 (e 4π 1). Es un buen práctic relizr determindos cálculos de dos (o más) forms diferentes, como en el ejemplo nterior, de cr detectr posibles errores de cálculo. Ejemplo 14. lculr y dx xdy, siendo el rco superior de l elipse x2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 que v desde A = (, ) hst B = (, ). Es conservtivo el cmpo F = (y, x)? Usmos l prmetrizción = σ([, π]), σ(t) = (x(t), y(t) = ( cos t, b sin t). Entonces, π ( y dx xdy = y(t)x (t) x(t)y (t) ) π dt = ( b)dt = πb. El cmpo no es conservtivo, pues es perpendiculr l segmento de extremos A y B en todos los puntos del segmento, luego su circulción lo lrgo del segmento es nul. Integrles de funciones y cmpos sobre superficies Vmos introducir el concepto de superficie, clculr áres de superficies y definir los símbolos f d = Integrl de un función f : R sobre un superficie ; y F, d = Flujo del cmpo vectoril F : U R3 trvés de un superficie U R 3. uperficies. Intuitivmente, un superficie es un subconjunto bidimensionl suve de R 3. Es decir, sin pinchos ni rists, lo cul excluye conos, poliedros, etc. in embrgo, es ide restringe demsido el cmpo de cción, pues queremos trbjr sobre superficies con lguns singulriddes. Formlizr rigurosmente un mrco de trbjo decudo no es fácil, pero evitmos profundizr en detlles técnicos. efinimos un superficie regulr como el rngo (o imgen) = ϕ() = { ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : (u, v) } R 3 de un plicción ϕ : R 2 R 3, que recibe el nombre de prmetrizción regulr, tl que: es un dominio compcto, conexo y con fronter 1 trozos de R 2 ; ϕ es un plicción de clse 1 e inyectiv excepto, quizá, en l fronter del dominio ; y L superficie es suve excepto, quizá, en un número finito de puntos. ecimos que l superficie es suve en un punto p = ϕ(u, v) cundo ϕ u (u, v) ϕ v (u, v) = ϕ ϕ (u, v) (u, v). u v i = ϕ() R 3 es un superficie regulr, introducimos ls siguientes notciones: ϕ u (u, v) y ϕ v (u, v) son dos vectores tngentes (li) l superficie en el punto p = ϕ(u, v); T p = p + [ϕ u (u, v), ϕ v (u, v)] es el plno tngente l superficie en el punto p = ϕ(u, v); ϕ u (u, v) ϕ v (u, v) es un vector norml (no nulo) l superficie en el punto p = ϕ(u, v); d = ϕ u ϕ v dudv es el elemento de superficie de l prmetrizción ϕ; y d = (ϕ u ϕ v )dudv = N d es el vector diferencil de superficie de l prmetrizción ϕ, donde N = ϕ u(u, v) ϕ v (u, v) ϕ u (u, v) ϕ v (u, v) es el 4 vector norml unitrio l superficie en el punto p = ϕ(u, v). A continución presentmos lgunos ejemplos típicos de superficies regulres. ilindro. El cilindro circulr recto de rdio R y ltur h se suele prmetrizr medinte l longitud y l ltur de ls coordends cilíndrics 5. Recto signific que l ltur es perpendiculr l bse y circulr 4 En relidd, en cd punto de l superficie hy dos vectores normles unitrios de sentidos opuestos. i l superficie encierr un región, estos vectores se denominn exterior e interior según si puntn l exterior o interior de l región. 5 En estos puntes considermos ls coordends cilíndrics definids por x = r cos θ, y = r sin θ y z = z, donde r = x 2 + y 2 > es l distnci l eje z, θ [, 2π] es l longitud y z R es l ltur.

11 epositdo en ed/vectoril.pdf 11 signific que l bse es un círculo. oncretmente, si = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = R 2, z h}, entonces = ϕ(), donde ϕ(θ, z) = (R cos θ, R sin θ, z), = [, 2π] [, h]. Notmos que l inyectividd fll en lgunos puntos de l fronter de, pues ϕ(, z) = ϕ(2π, z). ono. El cono circulr recto = { (x, y, z) R 3 : k 2 z 2 = x 2 + y 2, z h } tiene ltur h, rdio R = kh y semiángulo α (, π/2), donde k = tn α. Los términos recto y circulr se hn explicdo ntes. Todo cono es intrínsecmente singulr en su vértice. e suele prmetrizr de dos forms. 1. Medinte l longitud y l ltur de ls coordends cilíndrics: = ϕ(), donde ϕ(θ, z) = (kz cos θ, kz sin θ, z), = [, 2π] [, h]. Est prmetrizción es singulr cundo z = (vértice) y no es inyectiv en l fronter de. 2. En form de gráfic: = ϕ(), donde ( ϕ(x, y) = x, y, ) x 2 + y 2 /k, = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 R 2}. Est prmetrizción es singulr cundo (x, y) = (, ). Esfer. L esfer = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 } se suele prmetrizr de dos forms. 1. Medinte l longitud θ y l ltitud φ de ls coordends esférics 6 : = ϕ(), donde ϕ(θ, φ) = (R cos φ cos θ, R cos φ sin θ, R sin φ), = [, 2π] [ π/2, π/2]. Est prmetrizción es singulr cundo φ = ±π/2 y no es inyectiv en l fronter de. 2. Expresndo sus dos hemisferios en form de gráfic: = +, ± = ϕ ± (), donde ϕ ± (x, y) = (x, y, ± ) R 2 x 2 y 2, = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 R 2}. Ambs prmetrizciones son singulres cundo x 2 + y 2 = R 2. Vriciones: cilindros y conos elípticos, elipsoides. Ls coordends cilíndrics pueden dptrse. Esto permite prmetrizr cilindros y conos elípticos. Por ejemplo, l prmetrizción usul del cilíndro = {(x, y, z) R 3 : x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1, z h} es = ϕ(), donde ϕ(θ, z) = ( cos θ, b sin θ, z), = [, 2π] [, h]. Y ls coordends esférics pueden dptrse elipsoides. Es ide sirve pr prmetrizr el elipsoide {(x, y, z) R 3 : x 2 / 2 +y 2 /b 2 +z 2 /c 2 = 1} usndo l longitud y l ltitud de ls coordends esférics modificds. oncretmente, = ϕ(), donde ϕ(θ, φ) = ( cos φ cos θ, b cos φ sin θ, c sin φ), = [, 2π] [ π/2, π/2]. Áre de un superficie. e = ϕ(r), ϕ : R = [, b] [c, d] R 3, un superficie regulr. i descomponemos el rectángulo R en N 2 subrectángulos R ij de ldos u = (b )/N y v = (d c)/n poydos en el vértice (u i, v j ), entonces tmbién podemos descomponer l superficie en N 2 pequeños trozos rectángulres ij = ϕ(r ij ), i, j =,..., N 1. En ests condiciones, se puede probr que Are(R ij ) = u v; Are( ij ) ϕ u (u i, v j ) ϕ v (u i, v j ) Are(R ij ); Are() = N i,j=1 Are( ij) N i,j=1 ϕ u(u i, v j ) ϕ v (u i, v j ) u v. 6 En estos puntes considermos ls coordends esférics definids por x = r cos θ cos φ, y = r sin θ cos φ y z = r sin φ, donde r = x 2 + y 2 + z 2 > es l distnci l origen, θ [, 2π] es l longitud y φ [ π/2, π/2] es l ltitud.

12 12 epositdo en ed/vectoril.pdf L últim proximción se convierte en un iguldd cundo psmos l límite N +, lo cul motiv l siguiente definición. El áre de l superficie regulr = ϕ() R 3 es igul Are() := ϕ u ϕ v dudv. Usndo que l prmetrizción ϕ(u, v) es de clse 1 y el dominio R 2 es compcto, deducimos que l función (u, v) ϕ u ϕ v es cotd, luego tod superficie regulr tiene áre finit. Observción. El áre de un superficie regulr trozos se clcul sumndo ls áres de sus trozos. Al igul que ntes, el áre de un superficie regulr no depende de l prmetrizción escogid, luego en cd cso conviene escoger l prmetrizción más decud. A continución estudimos cutro situciones típics pr ver como quedn ls fórmuls. Gráfics. i es l gráfic z = f(x, y) de un función f : R 2 R, entonces: L prmetrizción más decud es ϕ : R 3, con ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y)); El elemento de superficie es d = ϕ x ϕ y dxdy = 1 + (f x ) 2 + (f y ) 2 dxdy; luego Are() = 1 + (fx ) 2 + (f y ) 2 dxdy. Ejemplo 15. onsidermos l superficie = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 + y 2, x 2 + y 2 R 2 }. L iguldd define l función f(x, y), mientrs que l desiguldd define el dominio. Así pues, est superficie es l gráfic de z = f(x, y) = x 2 + y 2 sobre el disco = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 R 2 }. El elemento de superficie es d = 1 + 4x 2 + 4y 2 dxdy, luego el áre de es igul R 1 + 4x2 + 4y 2 dxdy = 1 + 4r2 r dr dθ = 2π 1 + 4r2 r dr = π ( (1 + 4R 2 ) 3/2 1 ). 6 En l primer iguldd hemos relizdo un cmbio coordends polres pr trnsformr el disco en el rectángulo = [, R] [, 2π] y en l segund hemos usdo el teorem de Fubini. Ecuciones implícits. i es un superficie regulr que cumple l ecución implícit F (x, y, z) = pero se puede expresr como l gráfic z = f(x, y) de un función f : R 2 R, entonces: L prmetrizción más decud sigue siendo ϕ : R 3, con ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y)); El elemento de superficie es d = 1 + (F x /F z ) 2 + (F y /F z ) 2 dxdy; Are() = 1 + (Fx /F z ) 2 + (F y /F z ) 2 dxdy. Ejemplo 16. e Π x + by + cz = d un plno cuyo vector norml form un ángulo α [, π/2) con el eje z. Es decir, si k = (,, 1) es el vector unitrio verticl y N = (, b, c)/ 2 + b 2 + c 2 es el norml unitrio, entonces N, k cos α = N k = c 2 + b 2 + c. 2 En prticulr, c pues estmos suponiendo que α π/2. Esto signific que el plno Π se puede expresr como l gráfic de l función z = f(x, y) = (d x by)/c sobre todo R 2 R 3 {z = }. e l superficie contenid en el plno Π sobre un dominio rbitrrio R 2. Así pues, su elemento de superficie es d = 1 + (/c) 2 + (b/c) 2 dxdy = 1 dxdy, luego Are() = cos α dxdy cos α = Are() cos α. i α =, el plno es horizontl y Are() = Are(). Además, lím α π/2 Are()/ Are() =. uperfies de revolución. upongmos que se obtiene l girr un curv = {(r(t), z(t)) : t [, b]} respecto l eje z. Pr que l superficie se regulr necesitmos que: 1. L curv se regulr: (r (t), z (t)) pr todo t [, b]; y 2. L curv no toque l eje z: r(t) > pr todo t [, b]. Bjo ests dos condiciones se cumple que: L mejor prmetrizción es ϕ : = [, b] [, 2π] R 3, ϕ(t, θ) = ( r(t) cos θ, r(t) sin θ, z(t));

13 epositdo en ed/vectoril.pdf 13 El elemento de superficie es d = ϕ t ϕ θ dtdθ = (r (t)) 2 + (z (t)) 2 r(t)dtdθ; luego Are() = 2π b (r (t)) 2 + (z (t)) 2 r(t)dt. En l últim fórmul hemos usdo el teorem de Fubini. El elemento de superficie está bien definido (y no se nul en ningún punto) grcis ls dos condiciones nteriores sobre l curv. Ejemplo 17. L esfer de rdio R se obtiene l girr l curv = { (r(t), z(t)) = (R cos t, R sin t) : π/2 t π/2 } respecto l eje z. Aplicndo l fórmul nterior, su áre es 2π π/2 π/2 R2 cos tdt = 4πR 2. L fórmul generl pr clculr el áre de un superficie de revolución dmite dos simplificciones: = {(x, z = g(x)) : x [, b]} = Are() = 2π b 1 + (g (x)) 2 x dx; y = {(x = h(z), z) : z [c, d]} = Are() = 2π d c 1 + (h (z)) 2 h(z) dz. Ejemplo 18. L cr lterl del cono de revolución de rdio R y ltur h se obtiene l girr l curv = {(x, z = hx/r) : x [, R]} respecto l eje z. Aplicndo l primer fórmul vemos que su áre es 2π R 1 + h2 /R 2 xdx = πr R 2 + h 2 = πrs, siendo s = R 2 + h 2 = Long(). Más delnte interpretremos est fórmul l luz del primer teorem de Guldin. El áre totl del cono es πr(r + s), pues fltb ñdir el áre de l bse. uperficie expresd en esférics. i está definid por l ecución r = g(θ, φ) en coordends esférics pr lgun función g : [, 2π] [ π/2, π/2] R +, entonces: L prmetrizción decud es ϕ : R 3, con ϕ(θ, φ) = g(θ, φ) ( cos φ cos θ, cos φ sin θ, sin φ); El elemento de superficie es d = ϕ θ ϕ φ dθ dφ = g gθ 2 + (g2 + gφ 2) cos2 φdθ dφ; luego Are() = g(θ, φ) g 2 θ (θ, φ) + (g2 (θ, φ) + g 2 φ (θ, φ)) cos2 φdθ dφ. Ejemplo 19. L esfer de rdio R está definid en coordends esférics por l ecución r = g(θ, φ) = R pr todo (θ, φ) = [, 2π] [ π/2, π/2]. Aplicndo l fórmul nterior obtenemos que su áre es ( 2π ) ( ) π/2 R 2 cos φdθ dφ = R 2 dθ cos φdφ = 4πR 2. π/2 Ejercicio. Escribir ls fórmuls pr superficies definids por l ecución r = g(θ, z) en coordends cilíndrics pr lgun función g : [, 2π] R R +. Ídem pr ls superficies definids por l ecución z = h(r, θ) en coordends cilíndrics pr lgun función h : R + [, 2π] R. Integrles de funciones sobre superficies. e f : R un función continu definid sobre un superficie regulr = ϕ() R 3. L integrl de f sobre es igul f d := f(ϕ(u, v)) ϕ u ϕ v dudv. Notmos que l definición del elemento de superficie nos permite escribir l iguldd Are() = d. Ests integrles stisfcen muchs de ls propieddes típics de ls integrles sobre dominios de R n ; sber, linelidd, ditividd, teorem de vlor medio, etc. estcmos ls desigulddes Are() mín f f d Are() máx f. Ejemplo 2. L ditividd implic que l integrl de un función sobre un superficie regulr trozos se clcul sumndo ls integrles sobre todos sus trozos. e = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} el círculo de rdio uno centrdo en el origen. e = 1 2 l superficie formd por los trozos 1 = { (x, y, z) R 3 : z = 1 x 2 y 2, (x, y) }, 2 = { (x, y, z) R 3 : z =, (x, y) }.

14 14 epositdo en ed/vectoril.pdf e f(x, y, z) = 1 + xz. Queremos clculr f d. Los trozos 1 y 2 son ls gráfics de ls funciones z = g 1 (x, y) = 1 x 2 y 2 y z = g 2 (x, y) = sobre el círculo, respectivmente. Por tnto, 1 f d = = = f(x, y, 1 x 2 y 2 ) 1 + 4x 2 + 4y 2 dxdy (1 + r(1 r 2 ) cos θ) 1 + 4r 2 r dr dθ ) ( 1 dθ r ) 1 + 4r 2 dr + ( 2π ( 2π [ ] r=1 = 2π (1 + 4r 2 ) 3/2 /12 + (no import) = π ( 5 3/2 1 ) /6, r= f d = f(x, y, ) dxdy = dxdy = Are() = π. 2 Finlmente, f d = 1 f d + 2 f d = 5π ( ) /6. [ ] mbio polres: = [, 1] [, 2π] [ ] Aplicmos Fubini y usmos l linelidd ) ( 1 cos θ dθ r 2 (1 r 2 ) ) 1 + 4r 2 dr El concepto de integrl de un función sobre un superficie sirve pr clculr, entre otrs coss, el promedio de un función definid sobre un superficie. Y tmbién pr clculr vris propieddes físics de un plnch R 3 prtir de su densidd superficil ρ : R +. oncretmente: m() = ρd es l ms de ; M() = ( x, ȳ, z) = 1 m() (x, y, z)ρd es el centro de mss de ; y I e = r2 ρd es el momento de inerci respecto un eje e de, donde r(p) = dist(p, e). Vemos un pr de ejemplos. Ejemplo 21. onstnte de inerci, respecto su eje de revolución, de l cr lterl de un cono de rdio R y ltur h. iempre que no se dig nd sobre l densidd, supondremos que el cuerpo es homogéneo: ρ ρ densidd constnte. Escogemos l prmetrizción = ϕ() dd por ϕ(θ, z) = (kz cos θ, kz sin θ, z), = [, 2π] [, h], donde k = R/h, ver págin 11. El elemento de superficie es d = 1 + k 2 k z dθ dz, luego m() = ρd = ρ 1 + k2 k z dθ dz = 1 + k 2 kρ ( 2π A continución, clculmos el momento de inerci respecto l eje z: I z = (x 2 + y 2 )ρd = ) ( ) h dθ z dz = π 1 + k 2 Rhρ. k 2 z 2 ρ 1 + k2 kz dθ dz = 1 + k 2 k 3 ρ (2π)(h 4 /4) = π 1 + k 2 R 3 hρ /2, luego I z = 1 2( π 1 + k2 Rhρ ) R 2 = 1 2 m()r2 y l constnte de inerci es c = 1 2. Ejemplo 22. Ms de l superficie del prboloide hiperbólico P = {2z = x 2 y 2 } cortd por el cilindro = {x 2 + y 2 = 2 } si l densidd superficil es proporcionl l distnci l plno {z = }, siendo k > l constnte de proporcionlidd. uponer que >. Escribimos l superficie como l gráfic de l función z = f(x, y) = (x 2 y 2 )/2 sobre el círculo de rdio centrdo en el origen: = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 2 }. El elemento de superficie es d = 1 + (f x ) 2 + (f y ) 2 dxdy = 1 + (x 2 + y 2 )/ 2 dxdy = x 2 + y 2 dxdy.

15 epositdo en ed/vectoril.pdf 15 Integrmos l densidd ρ(x, y, z) = k z sobre l superficie: m() = ρd = k 2 2 x 2 y x 2 + y 2 dxdy = 2k ( x 2 2 y 2) 2 + x 2 + y 2 dxdy 1 = 2k 2 r 2( cos 2 θ sin 2 θ ) 2 + r 2 r dr dθ = 2k 2 1 ( π/4 cos(2θ) dθ π/4 = 2k (s 2 ) sds = k ) [ ] Reducción 1 = { y x} [ ] mbio polres: 1 = [, ] [ π/4, π/4] [ ] Fubini & fórmuls ángulo doble ( [ r 2 ] 2 + r 2 r dr) mbio s = 2 + r 2, ds = 2r dr [ 2 5 s5/2 2 ] s= s 3/2 Acbmos est sección con dos resultdos de tipo geométrico. s= 2 = 4 15 ( ) k 3. Teorem (Primer y segundo teorems de Guldin). e Π + R 3 un semiplno y e = Π +. en Π + un curv pln no necesrimente cerrd y Π + un dominio plno sin contcto con e. 1. El áre de l superficie de revolución que se obtiene l girr respecto l eje e es Are() = 2π dist(g(), e) Long(). 2. El volumen del cuerpo sólido de revolución W que se obtiene l girr respecto l eje e es Vol(W ) = 2π dist(g(), e) Are(). emostrción. Podemos suponer que el eje de revolución es el eje z, luego Π + es un semiplno verticl rbitrrio donde usmos ls coordends (r, z) tles que r > es l distnci l eje y z es l ltur. 1. e = {(r(t), z(t)) : t [, b]} l curv bse y se G() = ( r, z). Entonces, dist(g(), e) = r = 1 Long() r dl = 1 Long() b (r (t)) 2 + (z (t)) 2 r(t)dt = Are() 2π Long(). En l últim iguldd hemos usdo l fórmul pr clculr el áre de un superficie de revolución. 2. e {(r, z) R 2 1 : r > } el dominio bse y se G() = ( r, z) = Are() (r, z)dr dz. El cuerpo de revolución en coordends cilíndrics es W = {(r, θ, z) : θ 2π, (r, z) }, luego ( 2π ) ( ) Vol(W ) = dxdy dz = r dr dθ dz = dθ r dr dz = 2π r Are(). W W Finlmente, bst observr que r = dist(g(), e). Observción. Un círculo y l circunferenci que lo encierr comprten el mismo centro geométrico, pero, en generl, un dominio plno y su fronter no lo comprten: = G() = G(). Ejemplo 23. en r, R R tles que < r < R. El toro sólido W de rdio interior r y rdio exterior R se obtiene l girr respecto un eje e = Π + un círculo Π + de rdio r cuyo centro está distnci R del eje e, mientrs que su superficie = W se obtiene l girr l circunferenci =. En este cso, dist(g(), e) = dist(g(), e) = R. Aplicndo los dos teorems de Guldin, vemos que Are() = 2πR Long() = 4π 2 rr, Vol(W ) = 2πR Are() = 2π 2 r 2 R. Observción. d un curv pln no necesrimente cerrd y ddo un dominio plno, sen y W los cilindros rectos de bses y, mbos con ltur h. Es interesnte comprr ls nteriores fórmuls de Guldin con ls y conocids fórmuls Are( ) = h Long() y Vol( W ) = h Are().

16 16 epositdo en ed/vectoril.pdf Flujos de cmpos 3 trvés de superficies. e Π R 3 un plno con vector norml unitrio N. upongmos que un fluido trvies ese plno trvés de un gujero Π y que l velocidd del fluido es constnte e igul F es todos los puntos de. Entonces el flujo (cntidd de fluido por unidd de tiempo) que trvies el plno es igul l volumen (con signo) del cilindro sólido de bse y genertriz F ; es decir, es igul F, N Are(). El signo del flujo está relciondo con el sentido del fluido: es positivo cundo el fluido trvies el plno en el sentido del vector norml N y negtivo de lo contrrio. Este concepto se puede generlizr velociddes no necesrimente constntes y superficies no necesrimente plns. Flujo. El flujo de un cmpo F : U R 3 R 3 trvés de un superficie = ϕ() R 3 es l integrl P ϕ Q ϕ R ϕ F, d := F ϕ, ϕ u ϕ v dudv = x u y u z u x u y u z u dudv, donde ϕ = (x, y, z) y F = (P, Q, R). L últim fórmul yud entender l notción lterntiv P dy dz + Qdz dx + Rdxdy pr denotr l flujo del cmpo F = (P, Q, R) trvés de l superficie, pues dy dz dy dz = dudv dudv = y u z u y u z u dudv, dz dx = z u x u z u x u dudv, dxdy = x u y u x u y u dudv. No hy flujo cundo l velocidd es tngente l superficie. Est observción es un cso prticulr de l siguiente interpretción geométric. Recordmos que d = N d, siendo N = (ϕ u ϕ v )/ ϕ u ϕ v el vector norml unitrio l superficie con l orientción decud. Entonces F N := F, N es l componente norml del cmpo l superficie. Juntándolo todo vemos que F, d = F, N d = F N d. Es decir, el flujo es l integrl de l función componente norml del cmpo sobre l superficie. Est fórmul simplific el cálculo del flujo cundo l componente norml F N tiene un expresión sencill. Por ejemplo, si es constnte: F N α, entonces F, d = α Are(). Lo usremos en el ejemplo 26. Orientción. En el símbolo que hemos usdo pr el flujo de un cmpo trvés de un superficie no prece l prmetrizción ϕ, lo cul sugiere que el flujo no depende de l prmetrizción. in embrgo eso no es completmente cierto, pues sí depende de l orientción de l prmetrizción. Volviendo l ejemplo inicil del flujo trvés de un gujero en un plno, como un plno tiene dos ldos podemos medir el flujo en el sentido ddo por el vector norml unitrio N (que corresponde uno de los dos ldos del plno) o por su vector opuesto N (que corresponde l otro ldo). Esto motiv que, si clculmos el flujo trvés de un superficie con dos ldos 7, un vez fijdo un vector norml unitrio N (o se, un vez fijdo un ldo de ), utilicemos los símbolos F, d, F, d + pr denotr los dos posibles vlores del flujo del cmpo F trvés de l superficie. Obvimente, F, d = F, d. oncretmente, escibiremos el signo + cundo l prmetrizción se + positiv: (ϕ u ϕ v )/ ϕ u ϕ v = +N y el signo cundo se negtiv: (ϕ u ϕ v )/ ϕ u ϕ v = N. En usenci del signo, se sobreentiende que l prmetrizción es positiv. Por tnto, l clculr un flujo según un vector norml fijdo, es imprescindible comprobr que l prmetrizción es positiv. Ejemplo 24. e el primer octnte del elipsoide E = {(x, y, z) R 3 : x 2 / 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1}. lculr el flujo de F (x, y, z) = (x, y, z) trvés de y E, orientds según l norml exterior. i N es el vector norml unitrio exterior, entonces F N = F, N > sobre todo el elipsoide. En consecuenci, mbos flujos deben ser positivos. Est observción servirá pr comprobr posteriori 7 Ojo! Alguns superficies, como l cint de Möbius, sólo tienen un ldo.

17 epositdo en ed/vectoril.pdf 17 que l prmetrizción escogid está correctmente orientd. Prmetrizmos el primer octnte del elipsoide usndo l longitud y l ltitud de ls coordends esférics modificds: = ϕ(), donde ϕ(θ, φ) = ( cos φ cos θ, b cos φ sin θ, c sin φ), = [, π/2] [, π/2]. Entonces, ϕ θ = ( cos φ sin θ, b cos φ cos θ, ) y ϕ φ = ( sin φ cos θ, b sin φ sin θ, c cos φ), luego ϕ θ ϕ φ = (bc cos 2 φ cos θ, c cos 2 φ sin θ, b cos φ sin φ) es efectivmente un vector norml exterior y l prmetrizción ϕ es positiv. Bst comprobr que ϕ θ ϕ φ punt hci el exterior del elipsoide 8, pues sus tres componentes son positivs. Por tnto, F, d = F ϕ, ϕ θ ϕ φ dθ dφ + = bc cos φ ( (cos 2 θ + sin 2 θ) cos 2 φ + sin 2 φ ) dθ dφ ( ) ( π/2 ) π/2 = bc dθ cos φdφ = πbc/2 >. El flujo trvés de todo el elipsoide es ( 2π F, d = bc dθ E + pues en ese cso l longitud es θ [, 2π] y l ltitud es φ [ π, 2, π/2]. ) ( ) π/2 π/2 cos φdφ = 4πbc >, Gráfics. i es l gráfic z = f(x, y) de un función f : R 2 R y está orientd según un vector norml de componente verticl positiv, entonces: L prmetrizción positiv más decud es ϕ : R 3, con ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y)); El vector diferencil de superficie es d = (ϕ x ϕ y )dxdy = ( f x, f y, 1)dxdy; luego F, d = ( ) R(x, y, f) P (x, y, f)fx Q(x, y, f)f y dxdy. Ejemplo 25. e = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 + y 2, x 2 + y 2 R 2 } orientd en el punto (,, ) por el vector norml unitrio N = k. lculr el flujo de F (x, y, z) = (x 2,, 1 + xz) trvés de. Est superficie es l gráfic de z = f(x, y) = x 2 +y 2 sobre el disco = {(x, y) R 2 : x 2 +y 2 R 2 }. Por tnto, el flujo F, d es igul (1+xf x 2 f x f y )dxdy = (1+x 3 +xy 2 2x 3 )dxdy = dxdy + x(y 2 x 2 )dxdy = πr 2. Hemos usdo que el disco es simétrico respecto l rect {x = }, luego x(y2 x 2 )dxdy =. mpos solenoidles (primer prte). undo l superficie encierre un región W R 3, como en el ejemplo nterior referente l elipsoide E, utilizremos los símbolos F, d = F, d, F, d. + En estos csos podemos orientr l superficie según su vector norml exterior o su vector norml interior. En prticulr, si orientmos según el norml exterior, el signo de F, d nos dice si el + fluido, en promedio, sle de (signo positivo) o entr en (signo negtivo) l región W. Un cmpo se denomin solenoidl cundo tiene flujo nulo trvés de l fronter de culquier región W R 3. Es decir, cundo el fluido que entr por un ldo de l fronter, siempre sle por otro, como sucede en todos los fluidos incompresibles. El cmpo del ejemplo 24 no es solenoidl. Los cmpos constntes F F son solenoidles. ( Por qué?) Ejemplo 26. Flujo de F (x, y, z) = (x, y, 2z) trvés de l fronter del cubo W = [, ] 3 R 3 orientd según l norml exterior. L fronter del cubo es regulr trozos. lculmos el flujo por cd un de sus crs y summos los seis flujos. 8 En relidd, bstrí comprobrlo en un sólo punto de l superficie.

18 18 epositdo en ed/vectoril.pdf En ls dos crs {x = ±}, el vector norml unitrio exterior es N = ±i = (±1,, ) y l componente norml del cmpo es F N = F, ±i = (±, y, 2z), (±1,, ). Por tnto, F, d = F N d = Are({x = ±}) = 4 3. {x=±} {x=±} Análogmente, {y=±} F, d = {y=±} F N d = Are({y = ±}) = 4 3. En ls dos crs {z = ±}, el vector norml unitrio exterior es N = ±k = (,, ±1) y l componente norml del cmpo es F N = F, ±k = (x, y, 2), (,, ±1) 2. Por tnto, F, d = F N d = 2 Are({z = ±}) = 8 3. {z=±} {z=±} Finlmente, el flujo totl es nulo: W F, d = =, pues todo el fluido que entr por ls cutro crs verticles del cubo, sle por sus dos crs horizontles. Probremos más delnte que este cmpo es solenoidl, luego el resultdo obtenido er predecible. Ejercicio. ontinundo con el ejemplo nterior, se W = [, ] 3. Qué condición deben cumplir los prámetros α, β, γ R pr que αxdy dz + βy dz dx + γz dxdy =? W Los teorems integrles fundmentles: Newton-Leibniz, Green, tokes y Guss Los cutro teorems que vmos presentr en est sección tienen tres rsgos comunes: 1. En cd uno de ellos se estblece un iguldd entre dos integrles; 2. Un de ls integrles se reliz sobre l fronter del objeto que prece en l otr integrl; y 3. Ls orientciones de mbs integrles deben ser consistentes (o comptibles ). oncretmente, en el teorem de Newton-Leibniz se ps de curvs sus extremos, en el teorem de Green de dominios 2 ls curvs plns que los delimitn, en el teorem de tokes de superficies en R 3 ls curvs 3 que formn sus bordes, mientrs que el teorem de Guss se ps de dominios 3 ls superficies que los encierrn. El Teorem Fundmentl del álculo es l piedr ngulr pr demostrr cd uno de esos resultdos. efiniciones. e F = (P, Q, R) : U R 3 R 3 un cmpo 3 y f : U R 3 R un función. ( ) El grdiente de l función f es el cmpo grd f := (f x, f y, f z ) = f x, f y, f z. L divergenci del cmpo F es l función div F := P x + Q y + R z = P x + Q y + R z. El rotcionl del cmpo F es el cmpo rot F := i j k x y z P Q R = ( R y Q z, P z R x, Q x P ) = (R y Q z, P z R x, Q x P y ). y El Lplcino de l función f es l función f := div grd f = f xx +f yy +f zz = 2 f x f y f z 2. Ests definiciones se dptn l cso 2 de form obvi, excepto l del rotcionl. El rotcionl del cmpo plno F = (P, Q) : U R 2 R 2 es el cmpo verticl rot F : U R 2 R 3 ddo por rot F := (Q x P y )k = (,, Q x P y ). mpos y funciones especiles. ecimos que un cmpo vectoril F : 1. Proviene de un potencil esclr f cundo F = grd f; 2. Proviene de un potencil vector G cundo F = rot G; 3. Es 9 solenoidl, incompresible o preserv volumen cundo tiene divergenci nul: div F = ; 4. Es irrotcionl cundo tiene rotcionl nulo: rot F = ; 5. Es conservtivo cundo tiene circulción nul lo lrgo de culquier curv cerrd contenid en su dominio de definición; y 9 Estos tres sinónimos se usn en electromgnetismo, teorí de fluidos y sistems dinámicos, respectivmente.

19 epositdo en ed/vectoril.pdf Es centrl 1 cundo su dirección en culquier punto punt hci el origen o se lej de él, mientrs que su mgnitud sólo depende de l distnci l origen. Es decir, son cmpos de l form F = h(r)r, siendo h : (, + ) R un función rbitrri, r = r, mientrs que el cmpo r viene ddo por r(x, y, z) = (x, y, z) en el cso 3 y r(x, y) = (x, y) en el cso 2. Veremos que ls propieddes uno, cutro y cinco son csi equivlentes. Ídem pr ls propieddes dos y tres. Ls funciones de Lplcino nulo se denominn rmónics. Veremos ejemplos de funciones rmónics en l tercer prte del curso. Ejercicio. Pr qué vlores de, b, c, d R es solenoidl el cmpo linel F (x, y) = (x + by, cx + dy)? Y pr cuáles es irrotcionl? Pr qué mtrices A M 3 (R) es solenoidl el cmpo 3 linel F (p) = Ap? Y pr cuáles es irrotcionl? El teorem del grdiente (Newton-Leibniz). L circulción de un cmpo que proviene de un potencil esclr lo lrgo de un curv rbitrri contenid en el bierto donde está definido el cmpo es igul l diferenci del potencil esclr en los extremos de l curv. En símbolos, si f : U R n R y U es un curv, quizá no simple, orientd desde su extremo A hst su extremo B, entonces + grd f, dl = f(b) f(a). emostrción. e σ : [, b] R n un prmetrizción de l curv tl que σ() = A y σ(b) = B. e g : [, b] R l función g(t) = f(σ(t)). Aplicndo l regl de l cden, vemos que g (t) = d dt{ f(σ(t)) } = grd f(σ(t)), σ (t). Por tnto, grd f, dl = b g (t)dt = g(b) g() = f(b) f(a). orolrio. Todo cmpo proveniente de un potencil esclr tiene circulción nul lo lrgo de tods ls curvs cerrds contenids en el bierto donde está definido el cmpo; es decir, es conservtivo. Ejemplo 27. irculción (1x4 2xy 3 )dx 3x 2 y 2 dy siendo l curv orientd desde A = (, ) hst B = (2, 1) que cumple l ecución x 4 6xy 3 = 4y 2. Indicción: Newton-Leibniz. Pr plicr el teorem de Newton-Leibniz, necesitmos dos coss. En primer lugr, que el cmpo F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) = (1x 4 2xy 3, 3x 2 y 2 ) proveng de un potencil esclr f. Y en segundo lugr, necesitmos hllr f. Al imponer que (P, Q) = F = grd f = (f x, f y ), result que f x = P = 1x 4 2xy 3, f y = Q = 3x 2 y 2. Integrndo l segund identidd respecto l vrible y, vemos que f(x, y) = x 2 y 3 + g(x), siendo g un función determinr. i hor recupermos l primer identidd, se obtiene que g (x) 2xy 3 = f x = 1x 4 2xy 3 g(x) = 1x 4 dx = 2x 5 + c f(x, y) = 2x 5 x 2 y 3 + c, donde l constnte de integrción c R qued libre. Pr simplificr, tommos c =. Finlmente, F, dl = f(b) f(a) = f(2, 1) f(, ) = (64 4) = 6. Observción. No hemos necesitdo prmetrizr l curv. e hecho, ni siquier sbemos que specto tiene. Pero eso no import. El teorem de Newton-Leibniz implic que l circulción sólo depende de sus extremos. Otro punto interesnte es el cálculo del potencil esclr. Obvimente, si intentmos plicr el método seguido un cmpo que no proviene de un potencil esclr, llegremos lgun contrdicción. Por tnto, se nos plnten dos retos. Existe lgún método simple pr sber cundo un cmpo proviene de un potencil esclr? Y pr clculr su potencil? No responderemos ests pregunts por flt de tiempo. 1 Los cmpos grvittorios y eléctricos credos por un sól prtícul son centrles (leyes de Newton y oulomb).

20 2 epositdo en ed/vectoril.pdf Orientciones consistentes (o comptibles). e cr los teorems que vienen, necesitmos definir tres tipos de orientciones usulmente llmds consistentes o comptibles. do un dominio plno R 2 R 3 {z = }, se = su fronter. ecimos que est orientd según el vector verticl k cundo el vector k l recorre de form que el dominio qued su izquierd. Por ejemplo, supongmos que es el dominio comprendido entre dos circunferencis concéntrics r y R de rdios < r < R, de form que = = r R tiene dos componentes. Entonces orientmos r en sentido horrio y R en sentido ntihorrio. d un superficie regulr R 3, se = su fronter y N un de sus dos orientciones (es decir, un vector norml unitrio de ). ecimos que está orientd según el vector N cundo el vector N l recorre de form que l superficie qued su izquierd. Por ejemplo, supongmos que es l cr lterl de un cilindro verticl orientdo según el vector norml exterior, de form que = = + tiene dos componentes: l circunferenci superior + y l inferior. Entonces, orientmos + en sentido horrio y en sentido ntihorrio (respecto l plno horizontl donde están contenids). d un región espcil W R 3, se = W su fronter. ecimos que est orientd según el vector norml exterior l región cundo en cd punto de l fronter escogemos el vector norml unitrio que punt hci fuer de l región. Por ejemplo, supongmos que W es l región comprendid entre dos esfers concéntrics r y R de rdios < r < R, de form que = W = r R tiene dos componentes. Entonces orientmos r según su vector norml interior y R según su vector norml exterior. Ejercicio. Relizr lgunos dibujos pr clrificr estos tres conceptos. El segundo es el más díficil. El teorem del rotcionl 2 (Green). El flujo del rotcionl de un cmpo 2 trvés de un dominio plno es igul l circulción del cmpo lo lrgo de l fronter del dominio, si escogemos l orientción decud sobre l fronter. En símbolos, si R 2 es un dominio plno, su fronter + = está orientd según el vector k y el cmpo F = (P, Q) : U R 2 R 2 es de clse 1 en un bierto que contiene, entonces rot F, k dxdy = (Q x P y )dxdy = P dx + Qdy = F, dl. + + L primer iguldd es consecuenci de l definición de rotcionl 2. L tercer muestr dos forms equivlentes de notr l circulción. El teorem propimente dicho consiste en l segund. orolrio. Todo cmpo irrotcionl 2 tiene circulción nul lo lrgo de culquier curv que encierre un dominio plno contenido en el bierto donde está definido el cmpo. Ejemplo 28. irculción (y sin x)dx + cos xdy siendo l fronter del triángulo de vértices (, ), (π/2, ) y (π/2, 1) recorrid en sentido ntihorrio. Al finl veremos que el cmpo F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) = (y sin x, cos x) no proviene de un potencil esclr, con lo cul Newton-Leibniz no sirve. Por contr, plicndo Green: [ ] (y sin x)dx + cos xdy = (Q x P y )dxdy = (1 + sin x)dxdy Fubini ( π/2 ) 2x/π = (1 + sin x) dy dx = 2 π/2 (x + x sin x)dx π = 2 π [ x 2 /2 + sin x x cos x ] x=π/2 x= = 2 π π 4. El cálculo directo requiere clculr ls circulciones lo lrgo de los tres ldos del triángulo. L circulción lo lrgo de l curv cerrd = no d cero, luego deducimos que el cmpo F no proviene de un potencil esclr, tl y como hbímos firmdo.