3 CONTINUIDAD. ( x) Introducción

Transcripción

1 CONTINUIDAD Introducción Inormalmente hablando, una unción deinida sobre un intervalo I es continua la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, (x)), con x pertenecientes a I, está constituida de un solo trazo, en el sentido de que se la puede dibujar n levantar el lápiz, como en la igura guiente: La unción con D = [-5;9] e I = [-5;4] es un ejemplo de unción continua a lo largo de su dominio. Continuidad en un punto En el caso de aplicaciones de en, y de una manera más rigurosa se dice que una unción es continua en un punto a existe (a), existe el ite de (x) cuando x tiende hacia a y además coincide con (a). Así pues, una unción continua en el punto a implica lo guiente: 1. ( a) inito. ( a) = Matemática - Cuarto Año - 1

2 Ejemplo 1 : Analizar la unción módulo es continua en el origen. x x 0 = x = hacemos el punto a x x < 0 igual a 0 Resultando, como podemos apreciar en el gráico, una unción continua en el origen. 1.. ( 0) + = 0 lim x = 0 y ( 0) = = 0 lim x lim ( x) = 0 luego lim = 0 Luego, la unción valor absoluto es continua en el origen. Discontinuidades Una unción que no es continua en un punto, se dice que es discontinua en dicho punto. En la gráica de una unción que es discontinua en el punto a se puede observar un "hueco" discontinuidad evitable - o un "salto" discontinuidad esencial - precisamente donde x = a. Ejemplo : Conderemos la unción: ( ) ( + ) ( ) x + x 6 x x F x= = = x x+ x+ Matemática - Cuarto Año -

3 con DF =R { }. F(-) no existe, con lo cual la unción en x=- es discontinua. Ahora vamos a claicar su discontinuidad en el punto -. La gráica de la unción la obtenemos como aprendimos en la Unidad Funciones. Analicemos la deinición de unción continua en el punto -: ( ) no existe ( x+ ) ( x ) 1. F :. = 5 x x+.o podemos comparar En este caso diremos que la unción F presenta una discontinuidad evitable en el punto -. Como indica su nombre esta discontinuidad se puede evitar deiniendo una nueva unción de la guiente manera: x + x 6 x F 1 = x + (Con la cual rellenamos el punto hueco) 5 x = La discontinuidad es evitable cuando ( a) no existe pero cuando ( a) redeine ( a) de tal manera que ( a) existe, o. En estos dos casos la discontinuidad desaparece cuando se =. Las discontinuidades evitables se denominan también discontinuidad de "hueco" : porque en la gráica de las unciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, (a)). Matemática - Cuarto Año -

4 Ejemplo : Realice el gráico y complete: Condere la unción: G Analice en x = 1.. ( ) G =... x =... x G ( )... x x Luego la unción G x = 1 presenta una discontinuidad en x= x x = La discontinuidad es esencial discontinuidad y, sucede bácamente cuando cuando no es poble deshacerse de dicha no existe. Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto" : se presenta cuando los ites laterales existen pero son dierentes; y, la discontinuidad ininita sucede cuando el ite de cuando x tiende a a es ininito. Ejemplo 4: Conderemos la unción: h = x x + 1 x x < 0 0 deinición: Y analicemos qué sucede en h(x) en x = 0 que es donde cambia su órmula de Matemática - Cuarto Año - 4

5 ( ) 1. h 0 = = 1 = 1 x+ 1= 1 + luego no existe h x = x 0. No se veriica ( ) Esta unción presenta una discontinuidad esencial con salto inito en el punto 0. El salto de la unción se puede calcular haciendo la dierencia entre el ite por derecha y el ite por izquierda: + S = l l. En el ejemplo: S = 1-0 = 1 unidad hacia arriba. Si el salto es potivo, se produce en sentido del semieje y potivo y, es negativo en el sentido del semieje y negativo. Ejemplo 5: Conderemos la unción: T 1 = x + 0 x x = Analicemos en x = - ( ) 1. T = 0. + x x 1 = + x+ 1 = 1 x x+ = x+ No se veriica La unción T presenta una discontinuidad esencial con salto ininito en el punto - Matemática - Cuarto Año - 5

6 Ejercicios propuestos: Claique los puntos de discontinuidad en las unciones: ( ) x x 4 1 = = 4 x 16 x + 4 { } con D =R ; g = 1 0 x x < 0 x = 0 x > 0 Matemática - Cuarto Año - 6

7 Ejercicio resuelto: Explique son Verdaderas o Falsas las guientes airmaciones: a) Una unción es continua en un punto existe el ite de la unción en ese punto. b) Si una unción es constante, el ite de la unción en cualquier punto es empre el mismo. c) Dos unciones con el mismo ite cuando x iguales. d) El ite de una unción en un punto puede tomar dos valores distintos. a) Falsa. Además debe estar deinida en el punto y coincidir este valor con el ite de la unción en ese punto. b) Verdadera. c) Falsa. Por ejemplo: (x) = x y g(x) = x 1 tienen el mismo en más ininito y no son iguales. d) Falsa. El ite de una unción en un punto, existe, es único. Matemática - Cuarto Año - 7