Tensores, sus componentes y sus contracciones

Transcripción

1 Tnsors, sus componnts y sus contraccions 1. Componnts d un tnsor Dnominarmos componnts d un tnsor, aqullos númros qu surgn d incorporar bass d formas difrncials y vctors. Así, si { u i (1), v j (), t (3) } y {x m (1), y n () } son ( bass ) para los vctors y las formas, rspctivamnt. Las componnts d un tnsor srán 3 S mn ij = S v j () t (3) x m (1),, ;, u i (1) y n () claramnt, sta dfinición d componnt contin a las componnts c ij d aqullos spacios tnsorials gnrados por l producto tnsorial. Ya si considramos un tnsor como rsultado d un producto tnsorial y considramos qu las bas { u i (1), x m (1) } su componnts s pudn xprsar {ϕ m (1)χ i (1)}, val dcir, ( ) 1 ϕ(1) (1) = x m (1) ϕ(1) (1) u 1 i (1) {ϕ m (1)δ i (1)}. Combinacions linals d Tnsors Es claro qu podrmos sumar (componnts) d tnsors como lo hmos hcho con la suma d (componnts) d vctors. Para los vctors ya sabmos qu a + b = (a x + b x ) i + (a y + b y ) j + (a z + b z ) = ( a 1 + b 1) i 1 + ( a + b ) i + ( a 3 + b 3) i 3 = ( a i + b i) i i Para tnsors d mayor ordn: C ij = A ij + B ij = B ij + A ij R ij l = αqij ij l + βpl Héctor Hrnándz / Luis Núñz 1 Univrsidad d Los Ands, Mérida

2 3. Producto Tnsorial d Tnsors Podmos xtndr( aún ) más ( la ida ) dl producto dircto y ahora ralizarla ntr tnsors. Así dos tnsors tipo y si s cumpl qu 0 1 ϕ(1)χ() = ϕ(1) χ() = T ζ(1), µ(1)κ()θ(1) = µ(1) κ() Θ (1) = P ξ() u i (1) ε(1) ;, φ() = ϕ(1)χ() µ(1)κ()θ(1) = ϕ(1) χ() µ(1) κ() Θ (1) = T ζ(1), ξ() P u i (1) ε(1) ;, φ() = R ε(1) φ() ζ(3) ;,,, u i (1) ξ(4) 4. Contracción d un Tnsor Dnominarmos una contracción cuando sumamos las componnts covariants y contravariants, sto s ϕ i (1)χ i (1) lo cual gnra un scalar indpndint d la bas. Esta situación srá más vidnt cuando dfinamos métricas y contracción d tnsors. Por analogía y( considrando un caso más gnral, dada una componnt Sij mn corrspondint a un tnsor ) ( ) 3 1 podrmos construir un nuvo tnsor a partir d una contracción. Las componnts d st nuvo tnsor srán Sij in S j n. Dl mismo modo, dadas las componnts d dos tnsors, P lm y Q ij z gnrarán componnts d nuvos tnsors Rlij = P lm Q ij m ( ). Así ) = P 0 lm ( ) = Q ij z = ( 3 1 = R lij = P lm Q ij m Héctor Hrnándz / Luis Núñz Univrsidad d Los Ands, Mérida

3 Es claro qu si dos tnsors drivan d productos tnsorials y si { u i (1) }, {u m (1) } y { v i () } son bass ortonormals para E 1 E1 y E, ntoncs sus productos podrán sr xprsados como γ(1)δ() = ( γ i (1)δ j () ) u i (1) v j () }{{} P ij α(1)β(1) = ( α l (1)β m () ) = u l (1) u m (1) }{{} Q l m [( α l (1)β m () ) u l (1) u m (1) ] [( γ i (1)δ j () ) u i (1) v j () ] = α l (1)β m () ( γ i (1)δ j () ) {u m (1) u i (1) } v }{{} j () u l (1) = δi m α l (1)β () ( γ (1)δ j () ) v j () u l (1) = P ij Q l i v j ()u l (1) = R jl v j ()u l (1) Pro más aún si u i (1)v j () = u i (1) v j () E s bas d E ntoncs s pud dmostrar lo antrior sin circunscribirnos a tnsors cuyas componnts provngan d multiplicación d las componnts n cada spacio vctorial. 5. Simtrización d Tnsors Un tnsor (las componnts) srá simétrico rspcto a dos d sus índics si su prmutación no cambia su valor: S ij = S ji ; S ij = S ji ; S ij l mn = S ij l mn S ij l mn = S ij l mn y srá antisimétrico si A ij = A ji ; A ij = A ji A ij l mn = A ij l mn A ij l mn = A ij l mn Un tnsor d rango, vin rprsntado por una matriz. La matriz qu rprsnta un tnsor d rango, tndrá como máximo 6 componnts distintas srá S 1 Sj i = S j i = 1 S 1 S3 1 S S1 S S3 1 1 S 1 S3 1 = S 1 S1 3 S 3 S3 3 S S3 S3 1 S3 S3 3 Héctor Hrnándz / Luis Núñz 3 Univrsidad d Los Ands, Mérida

4 mintras qu un tnsor antisimétrico d sgundo ordn tndrá, cuando máximo, trs componnts con valor absoluto distintos d cro 0 A 1 A i j = A j i = A 1 3 A 1 0 A 3 A 3 1 A 3 0 Simpr s posibl construir tnsors simétricos y antisimétricos a partir d un tnsor gnérico. Esto s: S ij = 1 (T ij + T ji ) T (ij) S ij l mn = 1 (T ij l mn + T ij l mn ) = T ij (l) mn A ij = 1 (T ij T ji ) T [ij] A ij l mn = 1 (T ij l mn T ij l mn ) = T ij [l] mn Más aún, s vidnt qu las componnts d un tnsor gnérico T ij, pudn xprsars como una combinación d su part simétrica y antisimétrica T ij = S ij + A ij Obviamnt qu algo quivalnt s pud ralizar para componnts contravariants d tnsors. 6. Tnsor Métrico, Indics y Componnts Para una bas gnérica, { j }, no ncsariamnt ortogonal, d un spacio ( ) vctorial con 0 producto intrno, podmos dfinir la xprsión d un tnsor simétrico qu dnominarmos tnsor métrico como i g, j, = g ij g ji = g ij g ji = g [ i, j ] g i, j = g ij g ij = g ij g ij = (g ij ) 1 Héctor Hrnándz / Luis Núñz 4 Univrsidad d Los Ands, Mérida

5 Nóts qu las g ij i g ji son las componnts dl tnsor g, j, una vz qu la bas { j } ha actuado. La dnominación d tnsor métrico, no s gratuita, g, i j, cumpl con todas las propidads d la métrica dfinida para un spacio vctorial uclidiano. Val dcir 1. g [ i, j ] = g ij g ji 0 j y si g [ i, j ] = 0 i = j. g [ i, j ] = g [ j, i ] g ij g ji 3. g [ i, j ] g [ i, ] + g [, j ] La dsigualdad Triangular Si la bas gnérica, { j }, s ortonormal ntoncs stas propidads mrgn d manra natural y s claro qu g ij i j gji j i y g ij i j g ji j i con lo cual sus componnts srán matrics simétricas g ij = g ji igualmnt g ij = g ji. En gnral impondrmos qu ( gij i j ) ( g m m ) = g ij g m i j m = g ij g m δ i δ j m = g ij g ji = δ i i = n ya qu i, j = 1,, 3,, n. Con lo cual g ij s la matriz invrsa d g ij. Es dcir, claramnt, hmos dfinido las componnts contravariants dl tnsor d modo qu cumplan con g i g j = δ j i Adicionalmnt, s también claro qu ( gij i j ) a = a ( g ij i j ) = a g ij j i = a g ij δ j i = a g i i a i i con lo cual a i = a g i. D sta manra, l tnsor métrico nos prmit asociar componnts covariants a componnts contravariants. Dicho rápido y mal pro muy frcunt, l tnsor métrico nos prmit subir y bajar índics. D la misma forma a ( g ij i j ) = a ( g ij i j ) = g ij a i j = a g ij i j = a g j j a j j otra vz a j = a g j, y subimos l índic corrspondint. Héctor Hrnándz / Luis Núñz 5 Univrsidad d Los Ands, Mérida

6 Otra forma d vrlo s combinando las propidads dl producto dircto d tnsors y contracción d índics g ij i j P lmn l m n g ij P lmn j P lmn l m n i = g ij P lmn j l m n i = P jlmn j l m n }{{} δi g ij P lmn i P jlmn Adicionalmnt, l tnsor métrico prmit la contracción d índics. Así, dado un producto tnsorial d dos vctors qu s pudn xprsar n una bas ortonormal a b = a b m m ( gij i j ) ( a b m m ) = a b m g ij δ i δ j m = a b m g m = a b = b a = a b Con lo cual,l producto intrno d dos vctors involucra, d manra natural, la métrica dl spacio. Esto s b a = a b = a b = a b = a b m g m = a b m g m Obviamnt la norma d un vctor, también incluirá al tnsor métrico: a = a a = a i a j i j = a i a i = a i a j g ij = a i a j g ij El caso más mblmático lo constituy la norma d un dsplazaminto infinitsimal. Para una bas gnérica, { j } no ncsariamnt ortogonal d un spacio vctorial con producto intrno, l dsplazaminto infinitsimal pud xprsars como (ds) dr dr = ( d x ) (d x m m ) = m d x d x m = d x m d x m = g m d x d x m Si la bas { j } s ortogonal (cosa más o mnos común pro no ncsariamnt cirta simpr) las matrics g ij y g ij son diagonals y cumpln con g ii = 1 g ii = (ds) = ( h 1 dx 1) + ( h dx ) + ( h3 dx 3) dond h i = g ii con i, j = 1,, 3. Héctor Hrnándz / Luis Núñz 6 Univrsidad d Los Ands, Mérida

7 Figura 1: Tnsor d Esfurzos (strss) n dimnsions 7. Un par d tnsors 7.1. El tnsor d sfurzos (strss). El caso D Supongamos un curpo qu s ncuntra n quilibrio y stá somtido a un conjunto d furzas xtrnas. Para facilitar las cosas considrmos l fcto d sas furzas sobr un plano qu contin a un dtrminado punto P (vr figura 1 cuadrant Ia) Es dcir, vamos a considrar los fctos d las componnts d todas las furzas sobr s plano y obviarmos l fcto dl rsto d las componnts. Como obsrvamos n la figura 1 Ib y Ic, si cortamos la suprfici n dos línas (AB y A B ), obsrvarmos qu l fcto dl conjunto d furzas xtrnas s distinto sobr P n la dircción prpndicular a cada una d sas línas. D hcho al cortar la suprfici las furzas qu aparcn sobr las línas AB (y A B ) ants ran furzas intrnas y ahora los son xtrnas al nuvo curpo cortado. Así, stas furzas por unidad d longitud 1 sobr l punto P xistn un conjunto d furzas qu gnran sfurzos (strss). Por lo tanto s claro qu los sfurzos sobr un punto dpndn dl punto, d las furzas xtrnas y d la dircción dl fcto. Para irnos aclarando considrmos un lmnto d ára infinitsimal ds sobr la cual actúan un conjunto d furzas xtrnas, las cuals las podmos dscomponr como normals y tangncials a la lína sobr la cual stán aplicadas (vr figura 1 cuadrant II). Es costumbr 1 En l caso tridimnsional, las furzas qu gnran los sfurzos srán dfinidas como furzas por unidad d ára. Es caso lo vrmos n la próxima scción. Héctor Hrnándz / Luis Núñz 7 Univrsidad d Los Ands, Mérida

8 dnotar los sfurzos normals y tangncials Y = σ dx X = τ dx dx Y da = dxdy 3 = τ 3 dy dy ds dy X 3 = σ 3 dy dx Y 4 = σ 4 dx X 4 = τ 4 dx Y 1 = τ 1 dy X 1 = σ 1 dy La sgunda ly d Nwton nos llva a τ 1 dy + σ dx + τ 3 dy + σ 4 dx = 0 = (σ + σ 4 ) dx + (τ 1 + τ 3 ) dy F xt i = dm a = 0 σ 1 dy + τ dx + σ 3 dy + τ 4 dx = 0 = (τ + τ 4 ) dx + (σ 1 + σ 3 ) dy con lo cual σ = σ 4, τ 1 = τ 3, τ = τ 4, σ 1 = σ 3 pro más aún, como stá n quilibrio, también la sumatoria d torqus s tndrá qu anular. Esto s (τ 1 dy) dx (τ dx) dy = 0 (τ 3 dy) dx (τ 4dx) dy = 0 τ 1 = τ = τ 3 = τ 4 con lo cual, nos damos cunta qu xistn sólo trs cantidads indpndints: dos sfurzos normals σ 1 y σ ; y un sfurzo tangncial τ 1. Adicionalmnt notamos qu los sfurzos tinn qu vr, con la dircción d la furza y la suprfici sobr la cual va aplicada. Con llo podmos disñar la siguint notación para los sfurzos: σ ij. El primr índic indica la dircción d la furza y l sgundo dircción d la normal d la suprfici dond stá aplicada. Así, tal y como mustra la figura (vr figura 1 cuadrant II) σ 1 σ xx, σ 4 σ yy, τ σ xy σ yx El cambio d signo s db a lo incómodo d la notación σ 4 σ y y ya qu la normal d lado 4 apunta n la dircción y. Es important también sñalar qu los sfurzos n cualquir punto contnido n l difrncial d ára da = dxdy dbn sr considrado constants. O, lo qu s lo mismo, qu podmos hacr tndr a cro l ára dl difrncial y con llo asociar los sfurzos σ ij a un punto P contnido n da sobr la cual hmos calculado los sfurzos. En sta misma lína d razonaminto, nos podmos prguntar cual s la xprsión d los sfurzos cuando s midn rspcto a una suprfici gnérica, dfinida por un vctor normal n (vr figura 1 cuadrant III). Es dcir, qurmos conocr los sfurzos mdidos n l punto P n la dircción n, s dcir σ nn. Tndrmos qu n x σ xx dy+σ xy dx = σ nn ds cos φ+σ sn ds sn φ; y σ yy dx+σ yx dy = σ nn ds sn φ σ sn ds cos φ Héctor Hrnándz / Luis Núñz 8 Univrsidad d Los Ands, Mérida

9 Ahora bin, dado qu dy = ds cos φ y dx = ds sn φ, ntoncs podmos xprsar σ nn = σ xx cos φ + σ xy sin φ cos φ + σ yx sin φ cos φ + σ yy sin φ σ sn = σ xx sin φ cos φ + σ xy sin φ σ yx cos φ σ yy sin φ cos φ y si ahora nos damos cunta qu si construimos una matriz ( ) ( A A i x j = n A x s cos φ sin φ A y n A y = s sin φ cos φ ) ntoncs podmos xprsar σ nn = A x na x nσ xx + A x na y nσ xy + A y na x nσ yx + A y na y nσ yy σ nn = A i na j nσ ij con i, j = n, s σ sn = A x sa x nσ xx + A x sa y nσ xy + A y sa x nσ yx + A y sa y nσ yy σ sn = A i na j nσ ij con i, j = n, s s dcir σ l = A i Aj l σ ij con i, j,, l = n, s. Como vrmos más adlant, cualquir objto qu transform como lo llamarmos tnsor d sgundo ordn. σ l = A i A j l σ ij 7.. El tnsor d sfurzos (strss). El caso 3D Analicmos ahora l caso tridimnsional. En st caso también procdmos como n l antrior stablcindo las condicions d quilibrio F xt i = 0 y τ xt i = 0 con llo construimos un volumn (cúbico) difrncial y construimos los sfurzos normals y tangncials, los cuals srán σ xx dydz; σ yy dxdz; σ zz dxdy; σ xz dxdy; σ yz dxdy; σ xy dxdz; Siguindo l mismo procso qu involucra imponr l quilibrio s fácil dmostrar qu al igual qu l caso antrior, l tnsor d sfurzos σ ij cumpl con: σ xz = σ zx ; σ yz = σ zy ; σ xy = σ yx y por lo tanto tndrmos 6 componnts (trs normals y trs tangncials) indpndints. Es dcir, si bin l tnsor d sfurzos σ ij vin rprsntado por una matriz 3 3 y por lo Héctor Hrnándz / Luis Núñz 9 Univrsidad d Los Ands, Mérida

10 Figura : Tnsor d Esfurzos n 3 dimnsions tanto tin 9 lmntos, sólo 6 son indpndints. Construyamos ahora l caso gnral para un tnsor d sfurzos n un mdio lástico. Para llo construimos un ttradro rgular tal y como mustra la figura, y sobr su cara gnérica asociada a un vctor normal n una furza F x = σ xn ds n F = F û n = F i i i = F x i+f y j+f z F y = σ yn ds n F i = σjn i j ds F = σ ds F z = σ zn ds n s spcifica como la furza qu actúa sobr un dtrminado lmnto d suprfici. Es claro qu la condición d quilibrio s traduc n Fxi = 0 σ xn ds n 1 σ xxdy dz 1 σ xydx dz 1 σ xzdx dy = 0 Fyi = 0 σ yn ds n 1 σ yxdy dz 1 σ yydx dz 1 σ yzdx dy = 0 Fzi = 0 σ zn ds n 1 σ zxdy dz 1 σ zydx dz 1 σ zzdx dy = 0 Héctor Hrnándz / Luis Núñz 10 Univrsidad d Los Ands, Mérida

11 Si considramos qu la proycción d ds n sobr cada uno d los planos dl sistma cartsiano tndrmos qu ds n cos (i; n) = 1dy dz = dsn A x n y quivalntmnt ds n cos (j; n) = 1 dx dz = dsn A y n ds n cos (; n) = 1 dx dy = dsn A z n σ xn = σ xx A x n + σ xy A y n + σ xz A z n σ yn = σ yx A x n + σ yy A y n + σ yz A z n; y σ zn = σ zx A x n + σ zy A y n + σ zz A z n las cuals s conocn como las rlacions d Cauchy y rprsntan los sfurzos sobr la suprfici con normal n. Ahora bin, dado qu F = σ ds s una rlación vctorial podmos proyctar n la dircción û m û m F = û m σ ds F m = σn m ds n = ( σi m An) i ds n = ( ) σi m A i n ds n σ mn ds n = ( ) σ mi A i n ds n σ mn ds n = ( ) σ i A ma i n ds n con i, j = x, y, z Una vz más vmos qu transforma como un tnsor El Tnsor d Inrcia Considrmos l caso d un sistma d n partículas. La cantidad d moviminto angular para st sistma vndrá dada por L = n ( ) m (i) r(i) v (i) dond hmos indicado qu la i ésima partícula qu stá n la posición r (i) tin una vlocidad v (i). Si las distancias ntr las partículas y l orign d coordnadas s constant podrmos xprsar la vlocidad d cada una d llas como v (i) = ω r (i), por qué? Dond ω s la vlocidad angular instantána dl sistma. Entoncs tndrmos qu L = n [ m (i) r(i) ( )] ω r (i) = n [ ( ) ( )] m (i) ω r(i) r (i) r(i) ω r(i), Héctor Hrnándz / Luis Núñz 11 Univrsidad d Los Ands, Mérida

12 las componnts d la cantidad d moviminto angular srán L = n [ m ( ) ( )] (i) ω x m (i)x (i)m x (i) ω m x (i)m Si vmos qu ω = δ l ωl ntoncs L = n [ m (i) δ l ω ( ) ] l x m (i)x (i)m x (i) ω l x (i)l = ω l n [ ] m (i) δ l x m (i)x (i)m x (i)x (i)l } {{ } Il s dcir L = ω l I l dond I l = n [ ] m (i) δ l x m (i)x (i)m x (i)x (i)l l objto I l s conoc como l tnsor d inrcia y corrspond a 9 cantidads (a psar qu sólo 6 son indpndints porqu s un tnsor simétrico) [ ] 1 3 m(i) y I 1 I 1 I (i) 1 + z (i) m (i) x (i) y (i) m (i) x (i) z (i) I l = 1 3 I I I = ] m (i) x (i) y (i) m(i) [x (i) + z (i) m (i) y (i) z (i) 1 3 I 3 I 3 I 3 m (i) x (i) z (i) ] m (i) y (i) z (i) m(i) [z(i) + y (i) La ilustración más sncilla d qu la masa n rotación s comporta como un tnsor y no como un scalar lo vmos n la rotación d dos masas, m 1, m iguals (con lo cual m 1 = m = m) unidas por una varilla sin masa d longitud l. Si l sistma (masas + varillas) s ncuntra girando alrddor su cntro d masa y ambas masas s ncuntran sobr l plano x, y, val dcir qu la barra sin masa forma un ángulo d α = π con l j z. Entocs tndrmos qu con lo cual r = l cos θ i + l dr sin θ j v = dt = l dθ dt sin θ i + l dθ dt cos θ j L = m 1 (r 1 v 1 )+m (r v ) = m (r 1 v 1 )+m (( r 1 ) ( v 1 )) = m (r 1 v 1 ) = ya qu m 1 = m = m; r = r 1 y v = v 1. ( ) l dθ dt Héctor Hrnándz / Luis Núñz 1 Univrsidad d Los Ands, Mérida

13 Podmos vr si st objto s fctivamnt un tnsor, s dcir qu transforma como I i j = α i m α j ni m n Tnmos ntoncs qu I i j = n m (l) [ δ j i x m (l)x (l)m x j (l) x (l)i ] = = = = = n n n n n = α i m α j n [ ] [αm ] [ ] [αi ] m (l) δ j i [α ] m rx r (l) s x (l)s α j nx n (l) m x (l)m m (l) [ δ j i α m s α m rx r (l)x (l)s α j nα i m x n (l)x (l)m ] m (l) [ δ j i δ s rx r (l)x (l)s α j nα i m x n (l)x (l)m ] m (l) [ α j mα i m x s (l)x (l)s α j nα i s x n (l)x (l)s ] m (l) [ α j nδ n mα i m x s (l)x (l)s α j nα i m x n (l)x (l)m ] n [ ] m (l) δ n m x s (l)x (l)s x n (l)x (l)m = α i m α j ni m n. Héctor Hrnándz / Luis Núñz 13 Univrsidad d Los Ands, Mérida