PRUEBA CHI-CUADRADO EN LA ESTADISTICA NO PARAMÉTRICA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN VICERRECTORADO ACADÉMICO (FACULTAD DE CIENCIAS) INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN TITULADO PRUEBA CHI-CUADRADO EN LA ESTADISTICA NO PARAMÉTRICA RESOLUCIÓN DE FACULTAD Nº FACI- UN/JBG INFORME FINAL, PRESENTADO POR: Dr. LUIS ANDRÉS AMAYA CEDRÓN (Docnt ordinario) 1 d Abril dl 017 TACNA PERÚ 1

2 INDICE GENERAL I. RESUMEN Y ABSTRACT 1.1 RESUMEN ABSTRACT 1 II. INTRODUCCIÓN III. FUNDAMENTOS 3 IV. MATERIALES Y METODOS 4 V. RESULTADOS CONCEPTOS BÁSICOS Población Mustra Mustra Alatoria Parámtro Dfinición Estadístico o Estimador Estadísticos asociados a los arámtros más comuns Pruba d Hiótsis Errors tio I y tio II Análisis no aramétrico PRUEVA CHI-CUADRADO PARA UNA VARIABLE 5..1 Pruba d Bondad d Ajust PRUEVA CHI-CUADRADO PARA DOS VARIABLES: PRUEBA DE INDEPENDENCIA Y PRUEBA DE HOMOGENEIDAD Tabla d Contingncia Pruba d Homognidad Pruba d Indndncia 51 VI. ANALISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS 65 VII. CONCLUSIONES 65 VIII. RECOMENDACIONES 65 IX. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 66 X. ANEXOS 67

3 10.1 Concto d Invstigación cintífica Elmntos d la invstigación cintífica Tabla d la distribución Normal Matriz d Consistncia 70 3

4 I. RESUMEN Y ABSTRACT 1.1 RESUMEN En st trabajo d invstigación, l art d la stadística qu s alica a la invstigación s la fórmula o modlo stadístico Chi-Cuadrado, la cual s alicará a divrsos casos n la stadística no aramétrica. S studiará rimro l uso d la ruba Chi-Cuadrado, ara la ruba d Bondad d Ajust n una variabl. Lugo studiarmos l uso d la ruba Chi- Cuadrado, ara la ruba d Homognidad ntr dos variabls y finalmnt s studiará la ruba Chi-Cuadrado, ara la ruba d Dndncia ntr dos variabls. Concluimos qu s imortant la alicación d st modlo Chi-cuadrado, y los rsultados obtnidos a artir dl análisis y conclusión odrán sr d gran utilidad ara tomar dcisions. Usarmos l softwar MINITAB v16 Palabras clavs: Chi-cuadrado, Estadística no Paramétrica. 1. ABSTRACT In this rsarch work, art of th statistics alid to th rsarch is th Chi-Squar statistical formula or modl, which will b alid to various cass in non-aramtric statistics. W will first study th us of th Chi- Squar tst, for th tst of Goodnss of Fit in a variabl. Thn w will study th us of th Chi-Squar tst for th homognity tst btwn two variabls, and finally th Chi-Squar tst will b studid for th Dndncy tst btwn two variabls. W conclud that th alication of this Chi-squar modl is imortant, and th rsults obtaind from th analysis and conclusion can b vry usful for making dcisions. W us th softwar MINITAB v16 Kywords: Chi-squar, Non-Paramtric Statistics. 4

5 II. INTRODUCCIÓN El trmino stadística rovin dl latín statisticum collgium ( consjo d Estado ) y d su drivado italiano statista ( hombr d Estado o olítico ). En 1749, l almán Gottfrid Achnwall comnzó a utilizar la alabra almana statistik ara dsignar l análisis d datos statals. Por lo tanto, los orígns d la stadística stán rlacionados con l gobirno y sus curos administrativos. En ESTADÍSTICA PARAMÉTRICA s asum qu la oblación d la cual la mustra s xtraída s NORMAL o aroximadamnt normal. Esta roidad s ncsaria ara qu la ruba d hiótsis sa válida. Sin mbargo, n un gran númro d casos no s ud dtrminar la distribución original ni la distribución d los stadísticos or lo qu n ralidad no tnmos arámtros a stimar. Tnmos solo distribucions qu comarar. Esto s llama ESTADÍSTICA NO NO-PARAMÉTRICA. Admás, hay rubas n la qu xistn suustos sobr las distribucions oblacionals d la mdia mustral y dl valor d la mdia oblacional. En l caso d qu uno d sus suustos no s cumla, las técnicas aramétricas (si no son robustas) gnrarán rsultados rrónos y or nd las conclusions d sus hiótsis srán inválidas. Las técnicas stadísticas no aramétricas ofrcn mnor rigidz con rscto a sus condicions qu las técnicas aramétricas, aunqu sacrificando ara llo su otncia d xlicación. Son rocdimintos stadísticos qu osn cirtas roidads bajo suustos gnrals y sin imortar la oblación d la cual los datos han sido obtnidos. La mayoría d las vcs stos suustos s rfirn, or jmlo, a la simtría o continuidad d la distribución oblacional. La infrncia no aramétrica constituy un camo muy amlio qu va dsd las quivalncias no aramétricas d las rubas aramétricas xistnts hasta llgar a las stimacions d unto intrvalo d constants oblacionals qu no udn sr llvadas a modlos aramétricos or su comljidad (rcntils, dcils, tc.) El 5

6 ráido dsarrollo d las técnicas no aramétricas ha sido n art or las siguints razons: Las técnicas no aramétricas hacn suustos muy gnrals rscto a la distribución d robabilidad qu sigun los datos. En articular, djan d lado l suusto d normalidad n una oblación. Son alicabls cuando la toría d normalidad no ud sr utilizada, or jmlo, cuando no s trabaja con magnituds d obsrvacions sino III. FUNDAMENTOS Est trabajo d Invstigación s fundamnta, n los conocimintos cintíficos, los cuals udn roducn cambios n la ralidad. Conocimintos Cintíficos Los conocimintos qu más y mjor roducn cambios n la ralidad, dntro dl contxto sñalado, son los conocimintos cintíficos, qu son aqullos qu ha surgido d las invstigacions cintíficas, llamándolas así a las invstigacions qu sigun l método cintífico como j rincial d dsarrollo y ralización. El método cintífico rsntado n una forma muy siml tin la siguint structura: Idntificar una art d la ralidad n la qu s rsnta un roblma. Formular una hiótsis rfrida a s roblma y a su osibl structura rlacional. Emlo d técnicas y métodos d análisis y studio dl roblma Contrastación d las hiótsis Gnralización d los rsultados La stadística aramétrica s una rama d la stadística infrncial qu comrnd los rocdimintos stadísticos y d dcisión qu stán basados n las distribucions d los datos rals. Estas son dtrminadas usando un númro finito d arámtros. Esto s, or jmlo, si 6

7 conocmos qu la altura d las rsonas sigu una distribución normal, ro dsconocmos cuál s la mdia y la dsviación d dicha normal. La mdia y la dsviación tíica d la distribución normal son los dos arámtros qu qurmos stimar. Cuando dsconocmos totalmnt qué distribución sigun nustros datos ntoncs dbrmos alicar rimro un tst no aramétrico, qu nos ayud a conocr rimro la distribución. Estadística no aramétrica. La stadística no aramétrica, qu s una rama d la stadística qu studia las rubas y modlos stadísticos cuya distribución subyacnt no s ajusta a los llamados critrios aramétricos. Su distribución no ud sr dfinida a riori, us son los datos obsrvados los qu la dtrminan. La utilización d stos métodos s hac rcomndabl cuando no s ud asumir qu los datos s ajustn a una distribución conocida. Sindo los antcdnts HISTÓRICOS DE LA DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO: El matmático Karl Parson ( ) IV. MATERIALES Y METODOS A. Matrials En l rsnt trabajo s utilizaron matrials bibliográficos acrca d Estadística, Estadística Infrncial y No aramétrica, tc. también s hará uso d matrial bibliográfico sobr l softwar stadístico Minitad y usarmos l softwar Minitad 16. Métodos S ralizará l studio bibliográfico acrca d Estadística, Estadística dscritiva, Infrncial y No aramétrica. y sus alicacions a la invstigación. Las alicacions (Ejmlos) srán rocsados con l softwar Minitad 16; dond s dtallaran sus rutas n l softwar ara qu s uda alicar a otras alicacions qu l lctor o usuario d st matrial ralic, y s scribirán sus conclusions. 7

8 V. RESULTADOS 5.1 CONCEPTOS BÁSICOS: La stadística infrncial tin como objtivo gnralizar los rsultados d un subconjunto d datos a todo l conjunto. Sguidamnt s dfin los conctos básicos d sta rama d la matmática: Dfinición 1. Población: conjunto d datos qu s dsa studiar. Estos datos dbn vrs como valors d una misma variabl, la cual s utiliza ara dsignar la oblación Dfinición. Mustra: subconjunto d datos qu s slccionan d la oblación. Así, la stadística infrncial busca gnralizar los rsultados obtnidos n una mustra a toda la oblación. Si la mustra s igual a la oblación, la gnralización o studio s l llama cnso y s xacta. En caso contrario, s db buscar qu la mustra sa lo más rrsntativa d la oblación, ara qu la gnralización sa confiabl y s disminuya l ssgo. Ejmlo 5.1 S quir ralizar un studio ara dtrminar l orcntaj d ciudadanos d un aís C qu stán a favor d un Tratado d Libr Comrcio (TLC) con un aís E. La oblación sría l conjunto d oinions (a favor o n contra) d todos los ciudadanos dl aís C sobr l TLC. Si s dfin X como la oinión d un ciudadano sobr l TLC, s dic qu la oblación stá dada or X. Como mustra s tomó l conjunto d ciudadanos mrsarios dl aís C qu xortan al aís E. Es la mustra rrsntativa d la oblación?. Para qu la mustra sa rrsntativa d la oblación s introduc l concto d mustra alatoria. 8

9 5.1.3 Dfinición 3. (Mustra Alatoria) Considr la oblación dada or la variabl alatoria X con función d distribución fx. Una mustra alatoria d tamaño n stá formada or n d stas variabls (X1, X, X3,..., Xn). Estas variabls cumln: 1. Todas sigu la misma distribución.. Son mutuamnt indndints. También odmos dcir, qu una mustra s alatoria (Mustra lgida al azar): Es Aqulla mustra tomada d la oblación n la qu todo individuo tin la misma robabilidad d rsultar lgido ara lla, y sto con indndncia ntr individuos. Una vz qu s tin crtza d qu la mustra s alatoria, l aso siguint s dfinir la caractrística d la oblación qu s dsa studiar (arámtro) y la hrraminta a alicar a la mustra (stadístico) ara ralizar l studio Mustra Alatoria siml Es aqul n qu cada lmnto d la oblación tin la misma robabilidad d sr slccionado ara intgrar la mustra. Es dcir cada lmnto d la mustra, s slcciona alatoriamnt uno or uno Dfinición 4. Parámtro: valor numérico qu s l asigna a la oblación. El arámtro s valor numérico qu s dsconoc dbido a varios factors, ntr llos: l tamaño d la oblación y la accsibilidad a los datos qu 9

10 comonn la oblación. La stadística infrncial busca acotar st arámtro or mdio d un análisis d la mustra. Sguidamnt s dfin los arámtros más comuns Dfinición 5. Considr la oblación {x1, x, x3,..., xn} dada or la variabl alatoria X. S dfin los siguints arámtros: 1. Mdia Poblacional. N X N i1 N x i. Varianza Poblacional. X i1 N N x i N 3. Dsviación Estándar Poblacional. 4. Proorción Poblacional o orcntaj d éxitos: Dond b s l númro d datos xitosos d la oblación (datos qu cumln una dtrminada condición). P b N Ejmlo 5. S db studiar l gasto mnsual n consumo d nrgía léctrica d las familias un quño rsidncial d un cantón crcano a San José n l ms d Octubr. El rsidncial sta forma or 40 familias y sguidamnt s rsntan los gatos n mils d colons d cada familia n st ms, rdondadas al décimo infrior

11 Aquí la oblación sría l consumo d nrgía léctrica d cada familia dl rsidncial n l ms d Octubr. Not qu la oblación s conoc totalmnt. 1. Dtrmin la mdia oblacional. N X 40 x i i Hall la Dsviación Estándar y la Varianza oblacional. Varianza oblacional X N N i1 N x i Dsviación Estándar oblacional La Estadística Dscritiva s ddica a calcular intrrtar los arámtros sobr una oblación d datos, stos junto con tablas, gráficos y diagramas l rmitn dar una dscrición d la oblación d datos. Cuando no s factibl la dtrminación d stos arámtros, la Estadística Infrncial rmit hallar aroximacions a los arámtros utilizando mustras. Qué hrraminta utiliza ara lograr la aroximación? Dfinición 6. Estadístico o stimador: variabl alatoria qu asigna un valor (llamado stimación) a cada mustra d tamaño fijo. A cada arámtro θ s l asigna un stadístico θ : 11

12 X 1, X, X3,, Xn R θ M 1 M M 3 M 4 Mustras d tamaño fijo θ 1 θ θ 3 θ 4 La distribución d robabilidad d un stadístico s llamada distribución mustral Estadísticos asociados a los arámtros más comuns Dfinición 7 Considr la oblación dada or la variabl alatoria X y una mustra alatoria d sta oblación M = (X1, X, X3,..., Xn). S dfin los siguints stadísticos: 1. El stadístico asociado a la mdia oblacional μ s dnomina mdia mustral X : X M n i 1 n X i. El stadístico asociado a la varianza oblacional varianza mustral S : s dnomina S M n i1 X i X n 1 3. El stadístico asociado a la dsviación stándar oblacional σs dnomina dsviación stándar mustral S : S M S (M ) 1

13 4. El stadístico asociado a la roorción oblacional P s dnomina roorción mustral P : P M B( M ) n Dond B(M) s l númro d datos d la mustra M qu cumln una dtrminada condición. Ejmlo 5.3. S dsa dtrmin la dad romdio d los studiants d la Univrsidad Binstar Sguro n l II smstr dl 007. En st caso la oblación s l conjunto formado or todas las dads d los studiants d la Univrsidad Binstar Sguro n l II smstr dl 007, l arámtro a studiar s: μ : dad romdio d los studiants Como hrraminta ara aroximars a μ s utilizará l stadístico X : Edad romdio n mustras d tamaño 3. Si Jorg, Karla y Anthony son trs studiants d la univrsidad n l II smstr, lgidos al azar, y tin dads d 6, y 18 años rsctivamnt ntoncs X ,, 18 Si s continúa tomando mustras, s obtin qu: X 1, X, X 3 R _ X 6,,18 Mustras d tamaño 3 5, 9, 3 17, 19, 6 4, 3,

14 Si s sigu tomando mustras d tamaño 3, unas 300, s ud ralizar una distribución d frcuncias d los datos obtnidos y dtrminar míricamnt la distribución d robabilidad d X. Sin mbargo, Es útil l X scogido ara infrir l valor d μ? No olvidar qu l tamaño d las mustras influy sobr la distribución mustra d X. Cómo s utiliza l stadístico? Por mdio dl stadístico θ s ud hacr infrncias sobr l arámtro θ d la oblación, las infrncias ud sr: 1. Estimación. Consist n un utilizar θ ara hallar una aroximación a θ (stimación untual) o un intrvalo qu contnga a θ con cirto grado d crtza (intrvalos d confianza).. Prubas d hiótsis. S utiliza afirmación sobr l valor d θ s muy robabl. θ ara dtrminar si una Cuándo un stadístico s un bun stimador? Para llo, s ncsita qu l stadístico tnga como valor srado l arámtro rsctivo Pruba d Hiótsis Dntro d la infrncia stadística s ncuntra la ruba d hiótsis, cuyo objtivo s robar o comrobar si la afirmación qu s hac sobr un arámtro oblacional basado n conclusions obtnidas d una mustra s corrcta o incorrcta. Hiótsis stadística. Es una roosición o suosición qu s hac sobr los arámtros d una distribución d robabilidad d una variabl alatoria. Dicha hiótsis ud sr vrdadra o falsa, or lo qu s ud actar o rchazar. Algunos jmlos: 14

15 El romdio d dad d los ingrsants a las univrsidads s mayor qu 18 años. El orcntaj d botllas mal mbotlladas or una máquina s mnor qu 5%. El romdio d los suldos d los trabajadors d la mrsa A s mnor qu l romdio d los suldos d la mrsa B. Pruba d hiótsis stadística. Es l rocdiminto mlado ara dcidir si s acta o s rchaza or su vracidad o falsdad, una hiótsis stadística también s l conoc como nsayos d significación, rglas d dcisión ó contrast d hiótsis. Su objtivo s valuar roosicions o afirmacions qu s hacn acrca d los arámtros oblacionals basados n stadísticos mustrals con un grado o nivl d significancia dtrminado. Hiótsis nula hiótsis altrnativa. En una ruba d hiótsis d significación s lantan dos tios d hiótsis xcluynts, llamadas hiótsis nula hiótsis altrnativa. La hiótsis nula xrsa qu una roosición s vrdadra, mintras qu la hiótsis altrnativa afirma qu s falsa ó vicvrsa. Hiótsis nula hiótsis altrnativa. En una ruba d hiótsis d significación s lantan dos tios d hiótsis xcluynts, llamadas hiótsis nula hiótsis altrnativa. La hiótsis nula xrsa qu una roosición s vrdadra, mintras qu la hiótsis altrnativa afirma qu s falsa ó vicvrsa. 15

16 H o = hiótsis nula H1= hiótsis altrnativa Ejmlo Ho: =1.68 H1: 1.68 H1: 1.68 H1: 1.68 Ho: =400 H1: 400 H1: 400 H1: Errors tio I y tio II. En l rocso d mlar una mustra ara formar una dcisión oblacional n una ruba d hiótsis, odmos comtr dos quivocacions, al rchazar una hiótsis vrdadra o al actar una hiótsis falsa; stas quivocacions s conocn como: a) Error tio I. S comt cuando s rchaza una hiótsis qu or sr vrdadra dbría sr actada. b) Error tio II. S comt cuando s acta una hiótsis qu or sr falsa dbría sr rchazada Bun Estudiant Mal Estudiant Arobado Dcisión corrcta Error Tio II Rrobado Error Tio I Dcisión corrcta Nivl d significancia y nivl d confianza. El nivl d significancia s rfir a la robabilidad d comtr rror tio I, s dcir, rchazar una hiótsis vrdadra. El nivl d confianza s rfir a la robabilidad 1- d actar una hiótsis vrdadra. 16

17 Ho Vrdadra H1 Falsa S acta Ho Dcisión corrcta (1- ) Error Tio II () S rchaza Ho Error Tio I ( ) Dcisión corrcta (1-) Procdiminto ara ralizar una ruba d hiótsis. 1.- Dl fnómno stadístico a robar. S stablcn las hiótsis nula Ho, y la hiótsis altrnativa H1..- S scifica la robabilidad dl rror tio I () como nivl d significancia y 1 como nivl d confianza. 3.- S slcciona l tamaño d la mustra, la función d distribución d robabilidad y l stadístico mustral qu sirva d bas ara la rgla d dcisión conocido como stadístico d ruba. 4.- S dtrminan los valors críticos qu limita la rgión d actación d la rgión d rchazo (qu dndrá dl valor d y d la hiótsis altrnativa). 5.- Si l valor dl stadístico mustral ca dntro d la rgión d rchazo, rchazamos Ho, dbido a qu la robabilidad d obtnr s valor dl stadístico mustral cuando Ho s cirta o vrdadra, s tan quño qu no db atribuirs a rrors d mustro, lo qu nos conduc a dducir qu Ho s falsa. 6.- Dar conclusión acrca dl roblma y/o formar una dcisión Al ralizar una ruba d hiótsis nustro intrés ud star n l valor xtrmo d un solo lado d la distribución, o n ambos lados. En l rimr casi, las rubas s dnominan unilatrals o d una cola; n l sgundo caso s conoc como bilatrals o d dos colas. En los nsayos unilatrals la rgión d rchazo s única a un lado d la distribución con un ára dtrminada or l valor d. 17

18 En las bilatrals la rgión d rchazo l ára s dtrmina dividindo l nivl d significancia n dos arts iguals Análisis no aramétrico. S dnominan rubas no aramétricas aqullas qu no rsuonn una distribución d robabilidad ara los datos, or llo s conocn también como d distribución libr (distribution fr). En la mayor art d llas los rsultados stadísticos s drivan únicamnt a artir d rocdimintos d ordnación y rcunto, or lo qu su bas lógica s d fácil comrnsión. Cuando trabajamos con mustras quñas (n < 10) n las qu s dsconoc si s válido suonr la normalidad d los datos, convin utilizar rubas no aramétricas, al mnos ara corroborar los rsultados obtnidos a artir d la utilización d la toría basada n la normal. Sgún Wikidia: La stadística no aramétrica s una rama d la stadística qu studia las rubas y modlos stadísticos cuya distribución subyacnt no s ajusta a los llamados critrios aramétricos. Su distribución no ud sr dfinida a riori, us son los datos obsrvados los qu la dtrminan. La utilización d stos métodos s hac rcomndabl cuando no s ud asumir qu los datos s ajustn a una 18

19 distribución conocida, cuando l nivl d mdida mlado no sa, como mínimo, d intrvalo. Aunqu l término no aramétrico sugir qu la ruba no stá basada n un arámtro, hay algunas rubas no aramétricas qu dndn d un arámtro tal como la mdia. Las rubas no aramétricas, sin mbargo, no rquirn una distribución articular, d manra qu algunas vcs son rfridas como rubas d libr distribución. Aunqu libr distribución s una dscrición más xacta, l término no aramétrico s más comúnmnt usado. Las siguints son las mayors vntajas y dsvntajas d los métodos no aramétricos. Vntajas d los Métodos No Paramétricos 1. Los métodos no aramétricos udn sr alicados a una amlia varidad d situacions orqu llos no tinn los rquisitos rígidos d los métodos aramétricos corrsondints. En articular, los métodos no aramétricos no rquirn oblacions normalmnt distribuidas.. Difrnt a los métodos aramétricos, los métodos no aramétricos udn frcuntmnt sr alicados a datos no numéricos, tal como l génro d los qu contstan una ncusta. 3. Los métodos no aramétricos usualmnt involucran simls comutacions qu los corrsondints n los métodos aramétricos y son or lo tanto, más fácils ara ntndr y alicar. Dsvntajas d los Métodos No Paramétricos 1. Los métodos no aramétricos tindn a rdr información orqu datos numéricos xactos son frcuntmnt rducidos a una forma cualitativa.. Las rubas no aramétricas no son tan ficints como las rubas aramétricas, d manra qu con una ruba no aramétrica 19

20 gnralmnt s ncsita vidncia más furt (así como una mustra más grand o mayors difrncias) ants d rchazar una hiótsis nula. Cuando los rquisitos d la distribución d una oblación son satisfchos, las rubas no aramétricas son gnralmnt mnos ficints qu sus contraarts aramétricas, ro la rducción d ficincia ud sr comnsada or un aumnto n l tamaño d la mustra. Sgún (Avils Garay, José, 001) Para ralizar análisis no aramétricos db artirs d las siguints considracions: 1. La mayoría d stos análisis no rquir n d rsuustos acrca d la forma d la distribución oblacional. Actan distribucions no normals.. Las variabls no ncsariamnt dbn star mdidas n un nivl ara intrvalos o d razón, udn analizar datos nominals u ordinals. D hcho, si s quir alicar análisis no aramétricos a datos d intrvalos o razón, éstos dbn sr rsumidos a catgorías discrtas (a unas cuantas). Las variabls dbn sr catgóricas. Métodos o rubas stadísticas no aramétricas más utilizados. La ji cuadrada o x Los coficints d corrlación n indndncia ara tabulacions cruzadas. Los coficints d corrlación or rangos ordnados d Sarman y Kndall. 0

21 5. PRUEVA CHI-CUADRADO PARA UNA VARIABLE: 5..1 Pruba d Bondad d Ajust Estas rubas rmitn vrificar qu la oblación d la cual rovin una mustra tin una distribución scificada o suusta. Sa X: variabl alatoria oblacional f0(x) la distribución (o dnsidad) d robabilidad scificada o suusta ara X S dsa robar la hiótsis: Ho: f(x) = f0(x) En contrast con la hiótsis altrna: H1: f(x) f0(x) (ngación d Ho) Suongamos qu tnmos un númro k d class n las cuals s han ido rgistrado un total d n obsrvacions (n srá us l tamaño mustral). Dnotarmos las frcuncias obsrvadas n cada clas or (oi s l númro d valors n la clas ai). S cumlirá: o1 o o3... ok n o, 1, o o3,..., ok Lo qu qurmos s comarar las frcuncias obsrvadas con las frcuncias sradas (tóricas), a las qu dnotarmos or,,. S cumlirá: 1 3,..., k k n Frcuncia Obsrvada Frcuncia Esrada Clas 1 o 1 1 Clas o Clas k o k k Total n n 1

22 S tratará ahora d dcidir si las frcuncias obsrvadas stán o no n concordancia con las frcuncias sradas (s dcir, la distribución o si l númro d rsultados obsrvados n cada clas corrsond aroximadamnt al númro srado). Para comrobarlo, harmos uso d un contrast d hiótsis usando la distribución Chi-cuadrado o distribución Ji-cuadrado con n=k r 1 grados d librtad dond r s la cantidad d arámtros d la distribución qu dbn stimars a artir d la mustra El stadístico d contrast srá: k i1 i oi i Obsrvar qu st valor srá la suma d k númros no ngativos. El numrador d cada término s la difrncia ntr la frcuncia obsrvada y la frcuncia srada. Por tanto, cuanto más crca stén ntr sí ambos valors más quño srá l numrador, y vicvrsa. El dnominador rmit rlativizar l tamaño dl numrador Las idas antriors sugirn qu, cuanto mnor san l valor dl stadístico, más cohrnts srán las obsrvacions obtnidas con los valors srados. Por l contrario, valors grands d st stadístico indicarán falta d concordancia ntr las obsrvacions y lo srado. En st tio d contrast s sul rchazar la hiótsis nula (los valors obsrvados son cohrnts con los srados) cuando l stadístico s mayor qu un dtrminado valor crítico. Notas: (1) El valor dl stadístico s odrá aroximar or una distribución Chi-cuadrado cuando l tamaño mustral n sa grand (n > 30), y

23 todas las frcuncias sradas san iguals o mayors a 5 (n ocasions dbrmos agruar varias catgorías a fin d qu s cumla st rquisito). () Las obsrvacions son obtnidas mdiant mustro alatorio a artir d una oblación articionada n catgorías. Dado un nivl d significancia s dfin un valor crítico rchazo d la hiótsis rousta Ho: f(x) = f0(x). ara l No olvidar qu: Si las frcuncias obsrvadas no difirn significativamnt d las frcuncias sradas calculadas con l modlo rousto, ntoncs l valor d stadístico d ruba srá crcano a cro, ro si stas difrncias son significativas, ntoncs l valor dl stadístico stará n la rgión d rchazo d Ho Rchazo H 0 Ejmlo 5.4 S ha tomado una mustra alatoria d 40 batrías y s ha rgistrado su duración n años. Estos rsultados s los ha agruado n 7 class n l siguint cuadro 3

24 i Clas (Duración) Frc. Obsrvada oi Vrificar con 5% d significancia qu la duración n años d las batrías roducidas or st fabricant tin duración distribuida normalmnt con mdia 3.5 y dsviación stándar 0.7. Solución Sa X: duración n años (variabl alatoria contínua) Hiótsis Ho: X tin una distribución Normal (=3.5, =0.7) Ha: No Ho =0.05 Cálculo d la robabilidad a cada intrvalo 1 =P(z1.95)=P(z( )/0.7)=P(z-.1)=1-P(z.1)= = =P(1.95z.45)=P(( )/0.7z( )/0.7)= =P(.45z.95)=P(( )/0.7z( )/0.7)= =P(.95z3.45)= =P(3.45z3.95)= =P(3.95z4.45)= =P(4.45z4.95)=0.075 Cálculo d las frcuncias sradas 1 =( 1 )(n)= (40)0.5 =( )(n)=0.053 (40).1 3=( 3)(n)=0.135 (40)5.4 4 =( 4 )(n)=0.575 (40)10.3 4

25 5 =( 5 )(n)=0.675 (40) =( 6 )(n)=0.175 (40)7 7 =( 7 )(n)=0.075 (40)3.5 Rsumn d rsultados Duración (años) Frc. Obsrva (oi) Frc. Esrada (i) Ojo con l rdondo, la suma db sr n=40 Es ncsario qu s cumla la condición i, 5 or lo qu s dbn agruar class adyacnts. Como rsultado s tinn cuatro class k=4 Duración (años) Frc. Obsrva (oi) Frc. Esrada (i) i Ahora s ud dfinir la rgión d rchazo d Ho Obsrvmos qu n st jmlo la mdia y la dsviación stándar d la distribución normal no s stimaron, sino qu stán roustas, d dond r = 0 α 0.05, v k r ; Tomado d la tabla Rchazamos H0 si Calculo dl stadístico d ruba k ( oi i ) ( ) i1 i 8. 5 ( ) ( ) ( ) Dcisión 5

26 Como 3.05 no s mayor a 7.815, s dic qu no hay vidncia suficint ara rchazar l modlo rousto ara la oblación. Ejmlo 5.4: En cirta máquina Exnddora d Rfrscos xistn 4 canals qu xidn l mismo tio d bbida. Estamos intrsados n avriguar si la lcción d cualquira d stos canals s hac d forma alatoria o or l contrario xist algún tio d rfrncia n la slcción d alguno d llos or los consumidors. La siguint tabla mustra l númro d bbidas vndidas n cada uno d los 4 canals durant una smana. Contrastar la hiótsis d qu los canals son slccionados al azar a un nivl d significación dl 5%. Clas Frc. Obsrvada (canal) oi Total 70 Solución Sa X: Canal (variabl alatoria continua) Hiótsis Ho: X tin una distribución Uniform Ha: No Ho =0.05 Cálculo d la robabilidad a cada intrvalo Para ralizar l contrast d Bondad d Ajust dbmos calcular las frcuncias sradas d cada sucso bajo la hiótsis d uniformidad ntr los valors. Si la slcción dl canal fura alatoria, todos los canals tndrían la misma robabilidad (1/4) d slcción y or lo tanto la frcuncia srada d bbidas vndidas n cada uno d llos dbría sr aroximadamnt la misma. 6

27 Como s han vndido n total 70 rfrscos, la frcuncia srada n cada canal s Cálculo d las frcuncias sradas i =( i )*(n)=(1/4)* (70)=17.5, ara i=1,,3,4=k Rsumn d rsultados S cumla la condición i, 5 Clas (canal) Frc. Obsrvada i oi Frc. Esrada Total i Ahora s ud dfinir la rgión d rchazo d Ho α 0.05, v ; Tomado d la tabla Rchazamos H0 si Calculo dl stadístico d ruba k ( oi i ) ( ) i1 i ( 17. 5) ( ) ( ) Est valor dbmos comararlo con l valor crítico d la distribución con (4-1)=3 grados d librtad. Est valor s: 0. 05( 3) Dcisión Pusto qu l valor dl stadístico (.34) s mnor qu l valor crítico, no odmos rchazar la hiótsis d qu los datos s ajustan a una distribución uniform. Es dcir, qu los canals son slccionados alatoriamnt ntr los consumidors. 7

28 Ralizarmos st cálculo usando Minitab Ingrsamos los datos n Editor d Minitad Ir a Estadística/Tablas/Pruba Chi-cuadrada d bondad d Ajust (Una variabls) En la vntana Pruba d bondad d ajust d chi-cuadrado Obtnmos: Chi-cuadrado y -valor 8

29 Dcisión: No solo s cuml qu l valor dl stadístico (.34) s mnor qu l valor crítico 7 815, or lo cual no odmos rchazar la hiótsis d qu los datos s ajustan a una distribución uniform. Es dcir, qu los canals son slccionados alatoriamnt ntr los consumidors. Pro aquí odmos usar l - valor qu s qu s mayor qu 0.05, lo cual nos dic actamos la hiótsis Ho, d qu los datos s ajustan a una distribución uniform. Es dcir, qu los canals son slccionados alatoriamnt ntr los consumidors. Ejmlo 5.6 Los siguints datos rrsntan los nacimintos or ms n PR durant 1993 (NacimintosPR). Probar si hay igual robabilidad d naciminto n cualquir ms dl año. Usar un nivl d significación dl 5%, ( α 0.05 ) Ms En Fb Mar Abr May Jun Jul Ago St Oct Nov Dic Nacidos Solución: Hiótsis Ho: Hay igual robabilidad d nacr n cualquir ms dl año ( 1 = = = 1 = 1/1 =.083) Ha: En algunos mss hay más robabilidad d nacr qu n otros. =0.05 Cálculo d la robabilidad a cada intrvalo Para ralizar l contrast d Bondad d Ajust dbmos calcular las frcuncias sradas d cada sucso bajo la hiótsis d igual robabilidad d nacr n cualquir ms dl año. 9

30 Como s igual la robabilidad d nacr n cualquir ms dl año ( 1 = = = 1 = 1/1 =.083) s dcir s tndrá la misma robabilidad y or lo tanto la frcuncia srada d bbidas vndidas n cada uno d llos dbría sr aroximadamnt la misma. Como s han nacido n total 654 rsonas, la frcuncia srada n cada canal s Cálculo d las frcuncias sradas i =( i )*(n)=(0.083)* (65 4)= , ara i=1,,3,4,, 1=k Rsumn d rsultados S cumla la condición i, 5 i Ms Obsrvado Esrado En Fb Mar Abr May Jun Jul Ago St Oct Nov Dic Ahora s ud dfinir la rgión d rchazo d Ho α 0.05, v ; Tomado d la tabla Rchazamos H0 si

31 Calculo dl stadístico d ruba ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k ( ) oi i i1 i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Est valor dbmos comararlo con l valor crítico d la distribución con (1-1)=11 grados d librtad. Est valor s: 0. 05( 11) Dcisión Pusto qu l valor dl stadístico (40.368) s mayor qu l valor crítico, odmos rchazar la hiótsis d hay igual robabilidad d nacr n cualquir ms dl año. Es dcir qu n algunos mss hay mayor robabilidad d naciminto qu n otros. Ralizarmos st cálculo usando Minitab Ingrsamos los datos n Editor d Minitad 31

32 Ir a Estadística/Tablas/Pruba Chi-cuadrada d bondad d Ajust (Una variabls) En la vntana Pruba d bondad d ajust d chi-cuadrado Obtnmos: Chi-cuadrado y -valor 3

33 Dcisión: El valor d la ruba stadística rsulta sr y l P-valor s Lugo, s concluy qu s rchaza la hiótsis nula, s dcir qu n algunos mss hay mayor robabilidad d naciminto qu n otros. Ejmlo 5.7 Estamos intrsados n comrobar la rfcción d un dado cúbico (un dado normal d 6 caras). Para sto ralizamos 100 lanzamintos dl dado anotando los untos obtnidos n cada lanzaminto. A la vista d los rsultados obtnidos, odmos concluir qu l dado no s rfcto?. Nivl d significación (5%=0.05) Puntuación Númro d vcs qu En l lado S obtin la untuación Solución: Sa X: Lanzaminto d dado (los osibls rsultados dl dado) Hiótsis Ho: Ha: =0.05 distribución uniform ( 1 = = = 1 = 1/6 = ) No Ho Cálculo d la robabilidad a cada intrvalo Si l dado stuvira quilibrado, n l rsultado d lanzarlo sucsivamnt s dbrían obtnr aroximadamnt l mismo 33

34 númro d vcs cada una d las caras dl dado. En st jrcicio dbmos contrastar si la distribución dl dado s una distribución uniform, con robabilidad d obtnr cada una d las caras igual a 1/6. Podmos calcular d una forma muy sncilla l númro srado d rsultados obtnidos n cada clas multilicando la robabilidad d obtnr cada una d las caras ( = 1/6) or l númro d lanzamintos (n = 100). Cálculo d las frcuncias sradas i =( i )*(n)=( )* (100= ara i=1,,3,4, 5,6=k Rsumn d rsultados S cumla la condición i, 5 i Puntuación Númro d vcs qu Esrada En l lado S obtin la untuación Ahora s ud dfinir la rgión d rchazo d Ho α 0.05, v ; Tomado d la tabla Rchazamos H0 si

35 Calculo dl stadístico d ruba ( ) ( ) ( ) k ( ) oi i i1 i ( ) ( ) ( ) Est valor dbmos comararlo con l valor crítico d la distribución con (6-1)=5 grados d librtad. Est valor s: 0. 05( 5) Dcisión Pusto qu l valor dl stadístico (6.44) s mnor qu l valor crítico ( ), no odmos rchazar la hiótsis no odmos rchazar la distribución uniform ara los osibls rsultados dl dado. 35

36 5.3 PRUEVA CHI-CUADRADO PARA DOS VARIABLES: PRUEBA DE INDEPENDENCIA Y PRUEBA DE HOMOGENEIDAD Tabla d Contingncia Una Tabla d contingncia con r filas y k columnas tin la siguint forma: VAR B B1 B B3 BK Total A1 n11 n1 n13 n1k R1 VAR A A n1 n n3 nk R A3 n31 n3 n33 n3k R3 Ar nr1 nr nr3 nrk Rr Total C 1 C C 3 C k n Tablas d contingncia nij : s l númro d sujtos qu tinn las caractrísticas Ai y Bj a la vz. Ri (i = 1,,r) s la suma d la i-ésima fila d la tabla. Es dcir, s l total d sujtos qu osn la caractrística Ai. Cj (j = 1 c) s la suma d la j-ésima columna d la tabla Es dcir, s l total d sujtos qu osn la caractrística Bj. n rrsnta l total d obsrvacions tomadas. Srvirán ara mdir: Exist homognidad ntr stas dos variabls; xist o no rlación ntr las variabls A y B?, s dcir, si las mustra rovinn d una misma oblación; o si A y B son o no indndints. Ejmlo 5.8, d una tabla x A: El studiant graduando consigu trabajo, B: Sxo dl graduando. Uno ud star intrsado n comarar la roorción d mujrs graduandas qu consigun trabajo con la roorción d varons graduandos qu consigun trabajo. Considrmos ahora la tabla: 36

37 B1 (Mujr) B (Varón) Total A1(No) A(Si) Total Notar qu los valors d la sgunda fila stán n sntido contrario a los d la rimra fila. O sa hay un fcto n la variabl A al cambiar los valors d B, n conscuncia odmos dcir qu aquí sí hay rlación ntr las variabls. Por otro lado las roorcions d los valors d la variabl A no son los mismos n cada columna. Por jmlo, ara A1 (no) las roorcions son 10/15 =0.67 vrsus 6/= Pruba d Homognidad Estamos intrsados n dtrminar si los datos corrsondints a dos o más mustras alatorias rovinn d la misma oblación. Nuvamnt l conjunto d osibls valors d las obsrvacions s divid n k conjuntos disjuntos: A1, A,..., Ak.; clasificando n llos las obsrvacions d cada mustra. Si nij rrsnta l númro d obsrvacions d la mustra i qu rtncn al conjunto Aj, los datos udn tabulars n lo qu dnominamos una tabla d contingncia. Mustra A 1 A A k Total 1 n11 n1 n1k n 1 n1 n nk n 3 m nm1 nm nmk nk Total n 1 n n k n La hiótsis d qu las m oblacions son homogénas, s traduc n qu cada conjunto Aj db tnr una robabilidad tórica j, dsconocida, ro qu no varía d la oblación i a la oblación i. Esto db vrificars ara 37

38 todas las catgorías, s dcir, las catgorías dbn sr homogénas n las divrsas mustras Objtivos d la ruba d homognidad. Comrndr la imortancia d st método ara mdir si dos mustras alatorias rovinn d la misma oblación. Mtodología muy útil ara comarar divrsas mustras y xtrar conclusions sobr la igualdad n las distribucions oblacionals d cada una d llas. Para l rimr unto: Notar qu n la stadística no aramétrica, como s st contrast, no s ralizan contrasts sobr arámtros d la oblación (contrast d igualdad d mdias), s dcir, s ralizan contrasts sobr la oblación orign. Dl mismo modo qu la Pruba d Bondad d Ajust, n st caso dbmos comarar las frcuncias obsrvadas n cada una d las mustras y ara cada catgoría con las frcuncias bajo l suusto d homognidad n las oblacions. En st caso las frcuncias obsrvadas corrsond al númro d individuos d la mustra i n la clas j, s dcir, nij. El stadístico d contrast srá * m k i1 j1 n i j i j i j Dond ij s la frcuncia srada bajo l suusto d homognidad, qu ud rrsntars como ni.j, s dcir, l númro d individuos n la mustra i or la robabilidad d qu ocurra la caractrística j n la oblación. Para l cálculo d las robabilidads d rtncr un individuo a cada una d las catgorías odmos utilizar Por lo tanto: i j ni n j / n 38 n n ; i j /

39 Obsrvar qu st valor srá la suma d n*k númros no ngativos. El numrador d cada término s la difrncia ntr la frcuncia obsrvada y la frcuncia srada. Por tanto, cuanto más crca stén ntr sí ambos valors más quño srá l numrador, y vicvrsa. El dnominador rmit rlativizar l tamaño dl numrador. Las idas antriors sugirn qu, cuanto mnor san l valor dl stadístico *, más cohrnts srán las obsrvacions obtnidas con los valors srados. Por l contrario, valors grands d st stadístico indicarán falta d concordancia ntr las obsrvacions y lo srado. En st tio d contrast s sul rchazar la hiótsis nula (los valors obsrvados son cohrnts con los srados) cuando l stadístico s mayor qu un dtrminado valor crítico. Obsrvacions: El valor dl stadístico * s odrá aroximar or una distribución Chi-cuadrado cuando l tamaño mustral n sa grand (n > 30), y todas las frcuncias sradas san iguals o mayors a 5 (n ocasions dbrmos agruar varias catgorías a fin d qu s cumla st rquisito). Las obsrvacions son obtnidas mdiant mustro alatorio n cada mustra a artir d una oblación articionada n catgorías. Concrtamnt, usarmos l stadístico: grados d librtad Ejmlos Ejmlo * k i 1 Oi Ei E i ; con (m-1)(k-1) Estamos intrsados n studiar la fiabilidad d cirto comonnt informático con rlación al distribuidor qu nos lo suministra. Para ralizar sto, tomamos una mustra d 100 comonnts d cada uno d

40 los 3 distribuidors qu nos sirvn l roducto comrobando l númro d dfctuosos n cada lot. La siguint tabla mustra l númro d dfctuosos n ara cada uno d los distribuidors. Comonnts Comonnts dfctuosos corrctos Distribuidor n1 Distribuidor n Distribuidor n3 Totals n1 n i=1,,3; j=1, Solución: Dbmos ralizar un contrast d homognidad ara concluir si ntr los distribuidors xistn difrncias d fiabilidad rfrnt al mismo comonnt. H 0 Las oblacions son homogénas (Entr los distribuid ors no xistn difrncias d fiabilidad rfrnt al mismo comonnt. ) H a Las oblacions no son homogénas (Entr los distribuid ors xistn difrncias d fiabilidad rfrnt al mismo comonnt. ) Hallamos las robabilidads y frcuncias sradas: Usando: n n ; Por lo tanto: n n n ; ara i=1,, 3; j=1, i j / i j i j / Para i=1; y j=1, n1 / n n1 n1 / n 110 * / n n1 n / n 110 * n. Para i=; y j=1, n1 / n n n1 / n 100 *

41 51 51 / n n n / n 100 * n. Para i=3; y j=1, / n n3 n1 / n 90 * n / n n3 n / n 90 * n. Obtnmos: Comonnts Comonnts dfctuosos corrctos Distribuidor 1 16 (17.966) 94 (9.0313) 110 n1 Distribuidor 4 (16.333) 76 (83.66) 100 n Distribuidor 3 9 (14.7) 81 (75.3) 90 n3 Totals n1 n Las frcuncias sradas bajo homognidad son las rrsntadas ntr aréntsis. El stadístico dl contrast srá: * * m k 3 3 ni j i j ni j i j ni 1 i1 ni i i1 j1 i j i1 j1 i j i1 i1 n n n n 11 n n i

42 * con (3-1)(-1)= grados d librtad. Est valor dl stadístico Ji-cuadrado s mayor qu l valor ara l nivl d significación dl 5%, or lo tanto dbmos concluir qu no xist homognidad y or lo tanto qu hay difrncias ntr los trs distribuidors * Es dcir, como Ha. Usando Minitab v.16 Ingrso d datos , rchazamos H0 y actamos Procso Mnú Estadísticas/Tablas/Pruba Chi-cuadra (tabla d dos factors n hoja d trabajo) 4

43 Obtnindo la vntana: Clic n botón actar y obtnmos Pruba Chi-cuadrada: C. Df, C. Corr Los contos srados s imrimn dbajo d los contos obsrvados Las contribucions Chi-cuadradas s imrimn dbajo d los contos srados C. Df C. Corr Total Total Chi-cuadrada = 7.00, GL =, Valor P = 0.07 Intrrtación: Como l P-valu (0.07) s mnor qu 0.05 s ud concluir qu la hiótsis nula (Ho) d homognidad s rchazada y s acta Ha; y s concluy d qu, no xist homognidad y or lo tanto qu hay difrncias ntr los trs distribuidors. Ejmlo 5.9 Suongamos qu dsamos stablcr si hay homognidad ntr la roorción d arobados n la misma clas d matmáticas s igual tanto ara studiants qu rovinn d sculas úblicas como d scula 43

44 rivada si hay rlación ntr las variabls tio d scula surior y la arobación d la rimra clas d matmáticas qu toma l studiant n la univrsidad, usando los datos d 0 studiants qu s mustran abajo Estudiant Escula Pr Pr Pu Pr Pu Pu Pu Pr Pu Pr Pu Pr Pu Pr Aruba si no no si si no si si si si si no no si Estudiant Escula Pr Pu Pr Pu Pu Pr Aruba si no no si no si D dond obtnmos l cuadro d dobl ntrada: Aruba Escula No Si Privado n1 Pública n Total n1 n1 Solución: Para la ruba d homognidad. H a H 0 La roorción d arobados n la rimra clas d matmáticas s igual tanto ara studiants qu rovinnd scula ública como d scula rivada. La roorción d arobados n la rimra clas d matmáticas nosla misma ara ambos tios d scula. Hallamos las robabilidads y frcuncias sradas: Usando: n n ; Por lo tanto: n n n ; ara i=1, ; j=1, i j / i j i j / 44

45 Para i=1; y j=1,. 8 8 n1 / n n1 n1 / n 10 * n / n n1 n / n 10 * Para i=; y j=1,. 8 8 n1 / n n n1 / n 10 * n / n 0. 6 n n / n 10 * 0 0 Obtnmos: Aruba Escula No Si Privado 3(4) 7(6) 10 n1 Pública 5(4) 5(6) 10 n Total n1 n1 Las frcuncias sradas bajo homognidad son las rrsntadas ntr aréntsis. El stadístico dl contrast srá: * * m k ni j i j ni j i j ni 1 i1 ni i i1 j1 i j i1 j1 i j i1 i1 n n n n i * con (-1)(-1)=1 grados d librtad. 45

46 * Est valor dl stadístico Ji-cuadrado s mnor qu l valor ara l nivl d significación dl 5%, or lo tanto dbmos concluir qu xist homognidad Es dcir, la hiótsis nula d homognidad s actada y s concluy d qu, la roorción d studiants qu aruban l curso d matmáticas s la misma ara studiants d scula ública y scula rivada * Es dcir, como , actamos H0 y rchazamos Ha Usando Minitab v.16 Ingrso d datos Procso Mnú Estadísticas/Tablas/tabulación cruzada y Chi-cuadra 46

47 Obtnindo la vntana: Clic n botón chi-cuadrada y obtnmos Lugo clic n botón actar Estadísticas tabuladas: Escula, Aruba Filas: Escula Columnas: Aruba no si Todo Privada Publica Todo Contnido d la clda: Conto Chi-cuadrada d Parson = 0.833, GL = 1, Valor P = * NOTA * cldas con contos srados mnors qu 5 Intrrtación: Como l P-valu (0.361) s mayor qu 0.05 s ud concluir qu la hiótsis nula (Ho) d homognidad s actada y s rchaza Ha; y s concluy d qu, la roorción d studiants qu 47

48 aruban l curso d matmáticas s la misma ara studiants d scula ública y scula rivada Contrast d Homognidad d Poblacions Situación: X s una caractrística común a oblacions indndints. Extramos mustras alatorias d cada oblación Con n 1 n n r X11,, X1 n X,, X 11 A la vista d las mustras, s razonabl admitir qu las oblacions son homogénas, s dcir, qu todas llas sigun la misma distribución? 1 n r Comrobar si una variabl alatoria s comorta d manra similar o homogéna n varias suboblacions. H 0 H a Las oblacions son homogénas Las oblacions no son homogénas Obsrvación: Si H 0 s cirta, s d srar qu las frcuncias obsrvadas y las sradas san arcidas, or lo qu si fctivamnt H0 s cirta, l stadístico dbría d tomar valors róximos acro. Conscuncia: Rchazarmos la hiótsis nula cuando los valors dl stadístico san quños. i 1 k Oi Ei * san grands, y la actarmos cuando E i 48

49 La saración ntr valors grands y quños vin dada or la lcción d un nivl d significación Ejmlos Ejmlo5.10 No olvidar, qu, aquí l Objtivo s vrificar si una variabl alatoria s comorta d modo similar, o homogéno, n varias suboblacions. Una racción al trataminto or quimiotraia stá sindo studiada n cuatro gruos d acints con cáncr. S dsa invstigar si todos los tios raccionan d la misma manra. Una mustra d acints d cada gruo fu scogida al azar y las raccions s clasifican n trs catgorías. Racción Cáncr Poca Mdia Alta Total Tio I n1 Tio II n Tio III n3 Tio IV n4 Total n1 n1 n1 i=1,,3,4; j=1,,3 Solución: Dbmos ralizar un contrast d homognidad ara concluir si todos los tios d cáncr raccionan d la misma manra. H a ( H 0 Las rccions son homogénas (todos los tios d cáncr raccionan d la misma manra Las raccions no son homogénas todos los tios d cáncr no raccionan d la misma manra.).) 49

50 Hallamos las robabilidads y frcuncias sradas: Usando: n n ; Por lo tanto: n n n ; ara i=1,, 3, 4; j=1,, 3 i j / Para i=1; y j=1,, 3. i j i j / / n n1 n1 / n 100 * n / n n1 n / n 100 * n / n n1 n3 / n 100 * n3. Para i=; y j=1,, / n n n1 / n 100 * n / n n n / n 100 * n / n n n3 / n 100 * n3. Para i=3; y j=1,, n1 / n n3 n1 / n 10 * / n n3 n / n 10 * n / n n3 n3 / n 10 * n3. Para i=4; y j=1,, n1 / n n4 n1 / n 80 * / n n4 n / n 80 * n n3 / n n4 n3 / n 80 *

51 Obtnmos: Racción Cáncr Poca Mdia Alta Total Tio I 51(45.75) 33(35.5) 16(18.75) 100 n1 Tio II 58(45.75) 9(35.5) 13(18.75) 100 n Tio III 48(54.9) 4(4.6) 30(.5) 10 n3 Tio IV 6(36.6) 38(8.4) 16(15) 80 n4 Total n1 n1 n1 Las frcuncias sradas bajo homognidad son las rrsntadas ntr aréntsis. El stadístico dl contrast srá: * m k n 4 3 i j i j ni j i j i1 j1 4 ni 1 i1 ni i ni 3 i 3 i1 i1 i j i1 j1 i j i i3 n n n 11 n n n 1 n n n 31 n n n

52 * * con (4-1)(3-1)=6 grados d librtad. Est valor dl stadístico Ji-cuadrado s mayor qu l valor ara l nivl d significación dl 5%, or lo tanto dbmos concluir qu no xist homognidad n las raccions, s dcir todos los tios d cáncr no raccionan d la misma manra: * Es dcir, como Ha. Usando Minitab v.16 Ingrso d datos , rchazamos H0 y actamos 5

53 Procso Mnú Estadísticas/Tablas/Pruba Chi-cuadra (tabla d dos factors n hoja d trabajo) Obtnindo la vntana: Clic n botón actar y obtnmos: Pruba Chi-cuadrada: Poca, Mdia, Alta Los contos srados s imrimn dbajo d los contos obsrvados Las contribucions Chi-cuadradas s imrimn dbajo d los contos srados Poca Mdia Alta Total Total Chi-cuadrada = , GL = 6, Valor P = Intrrtación: Como l P-valu (0.009) s mnor qu 0.05 s ud concluir qu la hiótsis nula (Ho) d homognidad s rchazada y s acta Ha; y s concluy qu, no xist homognidad n las raccions, s dcir todos los tios d cáncr no raccionan d la misma manra. 53

54 5.3.3 Pruba d Indndncia Estamos intrsados n dtrminar si dos cualidads o variabls rfridas a individuos d una oblación stán rlacionadas. S difrncia d los contrasts antriors n qu n st caso stamos intrsados n vr la rlación xistnt ntr dos variabls d una misma oblación, no qurmos contrastar la distribución tórica d una variabl (ruba d bondad d ajust) ni n comarar la distribución d una única variabl n dos oblacions (ruba d homognidad). Los objtivos son: Comrndr la imortancia d st método ara mdir rlacions ntr variabls si ralizar suusto adicional sobr las distribucions d stas. Altrnativa muy otnt ara mdir rlacions ntr variabls catgóricas, dond no s osibl alicar los métodos clásicos d Infrncia Estadística como la Rgrsión Linal. También s alicabl a variabls cuantitativas si no s vrifican los suustos ncsarios a satisfacr or otras técnicas stadísticas. Idntificar las difrncias conctuals ntr l tst d homognidad y l Tst d Indndncia. Fundamntos Suongamos qu d n lmntos d una oblación s han obsrvado dos caractrísticas X Y, obtniéndos una mustra alatoria siml bidimnsional (X1,Y1),(X,Y),...,(Xn,Yn). Sobr la bas d dichas obsrvacions s dsa contrastar si las caractrísticas oblacionals X Y son indndints o no. Para llo s dividirá l conjunto d osibls valors d X n k conjuntos disjuntos A1,A,...,Ak; mintras qu l conjunto d osibls valors Y srá dscomusto n r conjuntos disjuntos: B1,B,...,Br. Al clasificar os lmntos d la mustra, aarcrá un cirto 54

55 númro d llos, nij, n cada una d las k r class así constituidas, dando lugar a una tabla d contingncia d la forma: Mustra A1 A Ak Total B1 n11 n1 n1k n 1 B n1 n nk n 3 Br nm1 nm nmk nr Total n 1 n n k n Al igual qu ara l Tst d homognidad, l stadístico dl contrast srá m k i1 j1 ni j i j * con (k-1)(r-1) grados d librtad. i j Dond ij s la frcuncia srada bajo l suusto d homognidad, qu ud rrsntars como ni.j, s dcir, l númro d individuos n la mustra i or la robabilidad d qu ocurra la caractrística j n la oblación. Para l cálculo d las robabilidads d rtncr un individuo a cada una d las catgorías odmos utilizar Por lo tanto: i j ni n j / n n n ; i j / Ejmlos Ejmlo 5.11 Suongamos qu dsamos stablcr si hay rlación ntr las variabls tio d scula surior y l rsultado (aruba o no aruba), d la rimra clas d matmáticas qu toma l studiant n la univrsidad, basados n los rsultados d 0 studiants qu s mustran abajo: Estudiant Escula Pr Pr Pu Pr Pu Pu Pu Pr Pu Pr Pu Pr Pu Pr Aruba si no no si si no si si si si si no no si 55

56 Estudiant Escula Pr Pu Pr Pu Pu Pr Aruba si no no si no si D dond obtnmos l cuadro d dobl ntrada: Aruba Escula No Si Privado n 1 Pública n Total n 1 n 1 Solución: Para la ruba d Indndncia las hiótsis son: H 0 Nohay rlaciónntr l tio d scula y l rsultado obtnido n la rimra clas d Matmáticas. H a Si hay rlaciónntr ambas variabls Hallamos las robabilidads y frcuncias sradas: Usando: n n ; Por lo tanto: n n n ; ara i=1, ; j=1, i j / i j i j / Para i=1; y j=1,. 8 8 n1 / n n1 n1 / n 10 * n / n n1 n / n 10 * Para i=; y j=1,. 8 8 n1 / n n n1 / n 10 * n / n 0. 6 n n / n 10 * 0 0 Obtnmos:

57 Aruba Escula No Si Privado 3(4) 7(6) 10 n1 Pública 5(4) 5(6) 10 n Total n1 n1 Las frcuncias sradas bajo indndncia son las rrsntadas ntr aréntsis. El stadístico dl contrast srá: * * m k ni j i j ni j i j ni 1 i1 ni i i1 j1 i j i1 j1 i j i1 i1 n n n n i * Con (-1)(-1)=1 grados d librtad. * Est valor dl stadístico Ji-cuadrado s mnor qu l valor ara l nivl d significación dl 5%, or lo tanto dbmos concluir qu xist Indndncia Es dcir, la hiótsis nula d Indndncia s actada y s concluy d qu, no hay asociación ntr l tio d scula d dond rovin l studiant y l rsultado qu obtin n la rimra clas d matmáticas 57

58 Usando Minitab v.16 Ingrso d datos Procso Mnú Estadísticas/Tablas/Pruba Chi-cuadrada(tabla d dos factors n hoja d trabajo) Obtnindo la vntana: Clic n botón actar, obtnmos: 58

59 Pruba Chi-cuadrada: No, Si Los contos srados s imrimn dbajo d los contos obsrvados Las contribucions Chi-cuadradas s imrimn dbajo d los contos srados No Si Total Total Chi-cuadrada = 0.833, GL = 1, Valor P = cldas con contos srados mnors qu 5. Intrrtación: Como l P-valu s mayor qu 0.05 s ud concluir qu la hiótsis nula d Indndncia ntr las variabls s actada. O sa no hay asociación ntr l tio d scula d dond rovin l studiant y l rsultado qu obtin n la rimra clas d matmáticas. Ejmlo 5.1 Quirs vr si hay dndncia ntr l ingrso y l númro d niños n familias d una ciudad. 50 familias lgidas al azar y facilitaron la siguint tabla: No olvidar qu l objtivo s: Dtrminar si xist indndncia ntr dos variabls mdidas n las mismas unidads xrimntals. Ingrsos (S/.) Total d hijos 0 1 Más d Total < d D 000 a >

60 Solución: Para la ruba d Indndncia las hiótsis son: H 0 El númro d hijos y l ingrso or familia son indndints. H a Exist dndnci a ntrlñúmro d hijos y lingrso or familia Hallamos las robabilidads y frcuncias sradas: Usando: n n ; Por lo tanto: n n n ; ara i=1,,3; j=1,,3,4; i j / Para i=1; y j=1,,3,4. i j i j / / n n1 n1 / n 135 * n / n n1 n / n 135 * n / n n1 n3 / n 135 * n / n n1 n4 / n 135 * n4. Para i=; y j=1,, 3, / n n n1 / n 75 * n n / n 0. 8 n n / n 75 * / n n n3 / n 75 * n / n n n4 / n 75 * n4. Para i=; y j=1,, 3, / n n3 n1 / n 40 * n / n n3 n / n 40 * n / n n3 n3 / n 40 * n / n n3 n4 / n 40 * n

61 Obtnmos: Ingrsos (S/.) Total d hijos 0 1 Más d Total < d (5.9) 7(37.80) 50(38.34) 43(3.94) 135 D 000 a (14.40) 30(1.00) 1(1.30) 8(18.30) 75 > (7.68) 13(11.0) 9(11.36) 10(9.76) Las frcuncias sradas bajo indndncia son las rrsntadas ntr aréntsis. El stadístico dl contrast srá: * r k n 3 4 i j i j ni j i j i1 j1 i j i1 j1 i j n11 11 n1 1 n13 13 n n n n3 3 n n31 31 n3 3 n33 33 n * *

62 Con (4-1)(3-1)=6 grados d librtad. * Est valor 36.6 dl stadístico Ji-cuadrado s mayor qu l valor ara l nivl d significación dl 5% ( ), or lo tanto dbmos concluir qu rchazamos (Ho) la indndncia ntr l númro d hijos y l ingrso familiar. Es dcir, la hiótsis nula d Indndncia s rchazada y s concluy d qu, hay asociación (dndncia) ntr l númro d hijos y l ingrso familiar. Usando Minitab v.16 Ingrso d datos Procso Mnú Estadísticas/Tablas/Pruba Chi-cuadrada(tabla d dos factors n hoja d trabajo) 6

63 Obtnindo la vntana: Clic n botón actar, obtnmos: Pruba Chi-cuadrada: 0 hij, 1 hij, hij, + d hij Los contos srados s imrimn dbajo d los contos obsrvados Las contribucions Chi-cuadradas s imrimn dbajo d los contos srados + d 0 hij 1 hij hij hij Total Total Chi-cuadrada = 36.61, GL = 6, Valor P = Intrrtación: Como l P-valu (P=0.000) s mnor qu 0.05 s ud concluir qu la hiótsis nula d Indndncia ntr las variabls s rchazada; y s concluy d qu, hay asociación (dndncia) ntr l númro d hijos y l ingrso familiar. S acta Ha. 63

64 Ejmlo 5.13: Los siguints datos s han rcoilados ara tratar d stablcr si hay rlación ntr l Sxo dl ntrvistado y su oinión con rscto a una ly dl Gobirno. Sxo Oinión Conto Masculino Si 10 Masculino No 0 Masculino abstnción 30 Fmnino Si 15 Fmnino No 31 Fmnino abstnción 44 D dond obtnmos l cuadro d dobl ntrada: Oinión Sxo Si No abstnción Total Masculino Fmnino Total Solución: Para la ruba d Indndncia las hiótsis son: H 0 Nohay asociaciónntr lsxodl ntrvistado H a Si hay rlaciónntr las variabls y suoinión Hallamos las robabilidads y frcuncias sradas: Usando: n n ; Por lo tanto: n n n ; ara i=1, ; j=1,,3; i j / i j i j / Para i=1; y j=1,, 3. 64

65 5 5 n1 / n n1 n1 / n 60 * / n n1 n / n 60 * n / n n1 n3 / n 60 * n3. 10 Para i=; y j=1,, 3, n1 / n n n1 / n 90 * / n n n / n 90 * n / n n n3 / n 90 * n3. Obtnmos: 15 Oinión Sxo Si No abstnción Total Masculino 10(10) 0(0.4) 30(9.6) 60 Fmnino 15(15) 31(30.6) 44(44.4) 90 Total Las frcuncias sradas bajo indndncia son las rrsntadas ntr aréntsis. El stadístico dl contrast srá: * r k n 3 i j i j ni j i j i1 j1 i j i1 j1 i j 65

66 * n n n 11 n n n * 0.0 Con (-1)(3-1)= grados d librtad. * Est valor 0. 0 dl stadístico Ji-cuadrado s mnor qu l valor ara l nivl d significación dl 5% ( ), or lo tanto dbmos concluir qu actamos (Ho), o sa la indndncia ntr l sxo y la oinión dl ntrvistado. Es dcir, la hiótsis nula d Indndncia s actada y s concluy d qu, no hay asociación (dndncia) ntr l sxo y la oinión dl ntrvistado. 66

67 Usando Minitab v.16 Ingrso d datos Procso Mnú Estadísticas/Tablas/Pruba Chi-cuadrada(tabla d dos factors n hoja d trabajo) Obtnindo la vntana: Clic n botón actar, obtnmos: Pruba Chi-cuadrada: sxo - Oinión Los contos srados s imrimn dbajo d los contos obsrvados Las contribucions Chi-cuadradas s imrimn dbajo d los contos srados Si No Abstncion Total Total Chi-cuadrada = 0.0, GL =, Valor P =

68 Intrrtación: Como l P-valu (P=0.989) s mayor qu 0.05 s ud concluir qu la hiótsis nula d Indndncia ntr las variabls s actada ((S acta Ha); y s concluy d qu, no hay asociación (dndncia) ntr l sxo y la oinión dl ntrvistado.. VI. ANALISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS La imortancia d sta art d studio s v rfljada n sus alicacions y sus rsultados stán rsaldados, ara: Pruba d bondad d Ajust, dsd la ágs. 18 al 3. Pruba d Homognidad conform al jmlo 5.8, 5.9 y 5.10 n las ágs. 40, 46 y 50 rsctivamnt. Pruba d Indndncia, dsd la ágs. 51 al 64. Finalmnt, los rsultados son contrastados con todo libro d stadística y d stadística alicada a la invstigación, admás considramos qu st trabajo d invstigación s un aort qu rmitirá contribuir a futuras invstigacions d studiants d Univrsidads Institucions ducativas VII. CONCLUSIONES. Gnral S alicó la ruba chi-cuadrado n la stadística NO aramétrica Escíficos: S Alicó la ruba Chi-Cuadrado, ara la ruba d Bondad d Ajust n una variabl. S Alicó la ruba Chi-Cuadrado, ara la ruba d Homognidad ntr dos variabls S Alicó la ruba Chi-Cuadrado, ara la ruba d Dndncia ntr dos variabls VIII. RECOMENDACIONES a. S rcominda st matrial sa romovido su uso ntr los studiants y docnts univrsitarios ara l curso d stadística. 68

69 b. También s rcominda su uso, ara los studiants qu s ncuntran ralizando sus trabajos d invstigación. IX. REFERENCIAS BLIBLIOGRÁFICAS Avila Acosta, R. (001). Mtodología d la invstigación. Lima - rú: Estudios y Edicions R.A. D la Horra Navarro J. (003): Estadística Alicada. Edicions Díaz d Santos. Esaña. Galan Morno, M. (11 d Abril d 006). Comlmnto d Matmaticas. Aunts d stadistica dscritiva. Esaña: ETSA. Garcia Mancilla, H. (011). Estadistica dscritiva infrncial I. Esaña: Colgio d Bachillrs. Gonzálz Rodríguz, B. (013). Estadística dscritiva. Laguna, Esaña. Moor D. S. ( 000): Estadística Alicada Básica. Antoni Bosch Editor S.A. Esaña. Navidi William (006): Estadística ara Ingniros y Cintíficos. Ed. McGraw-Hil. Orllana, L. (1 d MARZO d 001). ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Rcurado l 1 d marzo d 015, d ESTADÍSTICA: htt:// CIFH/1MatrialdaoyocursosCIFH/4Estad%C3%ADsticaBasica/Estadisticad scritiva-lillianaorllana.df Wayn, D. (1988). Estadistica con Alicacions a la cincias socials y a la ducación. México D.F: McGraw - Hill. Otros htts:// htt:// htt:// htt://acadmic.urm.du/acuna/miniman8sl.df 69

70 X. ANEXOS 10.1 Concto d Invstigación cintífica El concto d invstigación cintífica hac rfrncia al rocdiminto d rflxión, d control y d crítica qu funciona a artir d un sistma, y qu s roon aortar nuvos hchos, datos, rlacions o lys n cualquir ámbito dl conociminto cintífico. La información qu rsultará srá d caráctr rlvant y fiddigna (digna d crédito), ro no odrá dcirs qu s absolutamnt vrdadra: la cincia aunta a dscubrir nuvos conocimintos, ro también a rformular los xistnts, d acurdo con los avancs n la técnica, la tcnología y l nsaminto. Aqullos qu ralizan sta clas d invstigacions son dnominados cintíficos, y n l timo actual, la rincial limitación s la disonibilidad d rcursos ara sostnr la invstigación or l timo qu sta dmand. Db rmarcars sto, ya qu durant mucho timo l dscubriminto cintífico stuvo limitado or custions olíticas o rligiosas, qu s transformaban n dogmas contra los qu no s odía invstigar. Admás, la cincia no ra vista como algo tan ncsario ara la socidad, sino como un rocso más individual, or lo qu ra difícil ncontrar un cintífico qu rciba un ingrso or su actividad. La librtad ara invstigar s ha xtndido bastant, y n gnral (al mnos n los aíss occidntals), no hay custions dogmáticas qu s introngan n l camino d la cincia. La ética cintífica s l conjunto d rinciios éticos qu subyacn a toda indagación n cincia. Gnralmnt contmla l no rovocar sufriminto vitabl a los animals d xrimntación y l rstar la confidncialidad d datos d los individuos. En cuanto a la rmunración or l trabajo, la mayoría d los aíss modrnos ofrcn bcas y stímulos ara la invstigación cintífica. 70

71 10. Elmntos d la invstigación cintífica La invstigación cintífica stá comusta or trs grands lmntos: 1. El objto, aqullo sobr lo qu s indaga, ntndido como l tma sobr l qu s invstigará. Como l conociminto qu tin l hombr sobr l mundo no s comlto, aquí radica sa custión d qu toda invstigación s histórica y sacial. Si un nuvo aradigma instala nuvas nocions, s osibl qu custions qu s tomaban como indudabls n una invstigación asn a sr dscartadas or una nuva.. El mdio, l conjunto d técnicas adcuadas ara ralizar la invstigación. Esto también srá tmoral, ro s ha stablcido un método cintífico con l qu s cr qu odrán onrs a ruba y asgurars d qu las roosicions san fiddignas. El método cintífico consist n la obsrvación, lugo la rcolcción d los datos rlvants d sa obsrvación, a artir d llo formular la hiótsis, ralizar la xrimntación qu la constata y a artir d llo laborar una conclusión. En l aso d la hiótsis s dond intrvin la caacidad dl cintífico, qu ud star quivocado: n s caso, lugo d la conclusión odrá volvr atrás y lantar otra hiótsis altrnativa. Algunas discilinas, como la invstigación histórica, cuntan con otra clas d métodos qu involucran a las funts rimarias o scundarias 71

72 10.3 Tabla d la distribución Normal N(0, 1) 7