8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERÍA MECÁNICA Cusco, 23 al 25 de Octubre de 2007

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1 8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERÍA MECÁNICA Cusco, 3 al 5 de Octubre de 7 IMPLEMENACIÓN COMPUACIONAL DE LAS CONDICIONES DE BORDE DE LOS ELEMENOS DE SISEMAS DINÁMICOS CONINUOS Matusevich Ariel, Massa Julio y y Preidikma Sergio y Departameto de Estructuras, Uiversidad Nacioal de Córdoba, Casilla de Correo 96, 5 Córdoba, Argetia, Facultad de Igeiería, Uiversidad Nacioal de Río Cuarto, Ruta Nacioal 36 Km. 6, 58 Río Cuarto, Argetia. jmassa@ef.ucor.edu RESUMEN Para obteer la respuesta e vibracioes libres de u sistema cotiuo es ecesario hallar la solució de las ecuacioes de movimieto juto co sus respectivas codicioes de borde. El método de separació de variables permite obteer solucioes matemáticas cerradas para las ecuacioes de movimieto de ciertos elemetos simples, tales como barras, vigas y ejes co propiedades mecáicas costates a lo largo de los mismos. Para hallar la solució e tales casos es ecesario platear u sistema de ecuacioes de codicioes de borde, el cual puede ser expresado e forma matricial a través de lo que los autores de este trabajo deomia matriz de codicioes de borde. Ua vez obteida dicha matriz, el proceso para obteer las frecuecias aturales y modos de vibrar del sistema es directo y simple. Si bie los sistemas cotiuos posee u úmero ifiito de frecuecias aturales y modos de vibrar, el problema de vibracioes forzadas se puede resolver mediate la técica de superposició modal empleado sólo u úmero fiito modos. E el presete trabajo se propoe u procedimieto para el esamble de la matriz de codicioes de borde de estructuras cotiuas tridimesioales formadas por barras, vigas, ejes, masas cocetradas y resortes. Este procedimieto fue implemetado computacioalmete e el ambiete de programació Matlab y forma parte de u cojuto de programas para el aálisis modal de sistemas diámicos cotiuos. Este software se ecuetra dispoible e la caja de herramietas para aálisis de estructuras SA-Lab. PALABRAS CLAVE: sistemas cotiuos, codicioes de borde, aálisis modal.

2 INRODUCCIÓN Las vibracioes de sistemas cotiuos, se estudia usualmete e cursos de diámica estructural para estudiates de igeiería []. Debido a que el método de separació de variables aplicado al aálisis modal de sistemas de parámetros distribuidos, implica solucioar las ecuacioes difereciales que gobiera el problema juto co u cojuto especificado de codicioes de borde, los libros de texto cubre típicamete, elemetos uidimesioales y bidimesioales simples tales como barras, vigas, ejes, cables pretesados, placas y membraas. El aálisis de estructuras tales como reticulados o pórticos, se realiza geeralmete discretizado la estructura por medio del método de elemetos fiitos (MEF). ambié es factible, cosiderar a la estructura como u sistema cotiuo combiado elemetos co deformació axial, flexioal y torsioal. La formulació de las codicioes de borde e estructuras complejas o es u proceso trivial y los autores o tiee coocimieto de u procedimieto dispoible para dicho fi. Este trabajo está orgaizado de la siguiete maera. Primero, mediate u ejemplo secillo se repasa el método de separació de variables aplicado a la diámica de sistemas cotiuos. A cotiuació se platea problemas más complejos, los cuales itroduce coteidos importates acerca del plateo de codicioes de borde. Posteriormete, se preseta ua metodología para el plateo geeral de las ecuacioes de borde y se preseta u ejemplo de aplicació dode se compara resultados co las diversas técicas dispoibles. Fialmete se preseta las coclusioes del trabajo y lieamietos para futuros desarrollos. VIBRACIONES DE SISEMAS CONINUOS SIMPLES Para ilustrar alguos coceptos elemetales, cosideremos ua barra e vibració axial de propiedades uiformes como se muestra e la Figura, dode A es el área de la secció trasversal, ρ es la desidad del material y E es el módulo de elasticidad. Vibracioes libres Figura : Barra e vibració axial. La ecuació diferecial que gobiera el movimieto axial u(x,t) de las seccioes de la barra es: uxt (, ) uxt (, ) AE + ρ A = x t () Si se propoe ua solució separada e espacio y tiempo de la forma u(x, t)=φ (x) q(t), llegamos a ecuacioes separadas e t y e x: Para la variable q(t), cuado se igora el amortiguamieto, la solució tiee la coocida forma de la Ec. () dode las costates A y B se ajusta co las codicioes iiciales del problema: Para la variable φ(t) la solució tiee la forma: qt &&( ) + ω qt ( ) = qt ( ) = Acos( ωt) + Bsi ( ωt) () ρ φ ( x) + β φ( x) = ; siedo: β = ω φ( x) = Csi ( βx) + Ccos( βx) (3) E dode los coeficietes C y C que determia la forma de vibració de la barra debe ser ajustados para satisfacer las codicioes de cotoro del tramo de barra cosiderado.

3 Codicioes de cotoro de la barra e vibració axial Desplazamieto ulo e x = u(, t) = φ () = (4) Esfuerzo axial ulo e uxt (, ) x = l AE = AE φ ( l) = x x= l (5) Desarrollado las Ec. (4) y (5) llegamos a la siguiete expresió matricial: C = (6) AEβ cos( βl ) AEβ si ( βl ) C Deomiaremos matriz de codicioes de borde B c de la estructura a la matriz cuadrada e la Ec. (6). Notar que los elemetos de B c depede de β y por lo tato de la frecuecia que se debe ecotrar como parte de la solució. La existecia de ua solució o trivial para la Ec. (6), requiere que B c sea sigular, por lo tato: det [ B ( ω ) ] = (7) c La Ec. (7) posee u úmero ifiito de raíces y puede resolverse mediate métodos uméricos. Cada solució correspode a ua frecuecia atural del sistema cotiuo (e este caso elemetal se dispoe de ua fórmula explícita para la solució []). Las fucioes modales, φ (x) que represeta los modos de vibració de la estructura, se obtiee calculado los coeficietes o ulos C i que satisface la ecuació lieal homogéea para cada frecuecia atural. Bc ω C = (8) i Como ilustra este ejemplo simple, el aálisis e vibracioes libres de u sistema cotiuo se reduce a la defiició de formas modales y al esamble de ua matriz de codicioes de borde a partir de dichas fucioes. Cada codició de borde defie ua fila e B c, cuyos coeficietes depede de la forma modal, sus derivadas y los parámetros de masa y rigidez defiidos e el borde. E el caso de estructuras complejas, el cálculo maual resulta sumamete egorroso y se hace idispesable ua implemetació computacioal []. Vibracioes forzadas Los modos de vibració puede utilizarse para resolver problemas de vibracioes forzadas aplicado el método de descomposició modal. E este método se trasforma las coordeadas de desplazamieto a coordeadas ormales o modales y la repuesta u(x, t) se expresa como superposició de las formas modales φ (x) multiplicadas por coordeadas geeralizadas q (t) depedietes del tiempo. u( x, t) = φ ( x) q ( t) (9) = Auque u sistema cotiuo posee u úmero ifiito de formas modales, se puede alcazar ua precisió aceptable eligiedo u úmero limitado de modos asociados a las frecuecias aturales mas bajas. Se puede demostrar que las relacioes de ortogoalidad e sistemas cotiuos coduce a ua serie de ecuacioes de movimieto desacopladas para cada coordeada modal [], del tipo: M q&& ( t) + ω M q( t) = P ( t) () dode M y P (t), so respectivamete la masa geeralizada y la carga geeralizada asociadas al modo φ (x): l l () M = [ φ ( x) ] ρ( x) A( x) dx; P ( t) = φ ( x) p( x, t) dx Las Ec. () so válidas para el aálisis de vibracioes logitudiales o trasversales de ua estructura de u solo miembro, de logitud l, área trasversal A(x) y desidad másica ρ(x). E modelos estructurales de varios elemetos que icluye deformacioes axiales, flexioales y torsioales, este cálculo requiere de u proceso de esamble para cada elemeto de la estructura [3].

4 VIBRACIONES DE ESRUCURAS CONINUAS MÁS COMPLEJAS E esta secció se platea problemas algo más complejos, tales como reticulados y pórticos, los cuales itroduce coceptos importates acerca del plateo de codicioes de borde. Se preseta dos ejemplos que permite ilustrar la metodología propuesta e este trabajo. Coexió de elemetos que tiee diferetes direccioes Como primer ejemplo se preseta el sistema de dos barras de la Figura dode se cosidera solamete deformacioes axiales. Uo de los elemetos forma u águlo α co el eje X g. Las propiedades so uiformes e cada barra, pero las mismas puede variar de u elemeto a otro. La aplicació del método de separació de variables coduce a solucioes del tipo de la Ec (3) para las formas modales de cada elemeto: φ ( x ) = C si( β x ) + C cos( β x ) φ ( x ) = C si( β x ) + C cos( β x ) 3 4 () Figura : Coexió de elemetos co direccioes diferetes. ρ ρ dode: β = ω; β = ω E E Ua mirada rápida a este problema, iduciría a pesar que se ecesita cuatro codicioes de borde para evaluar los coeficietes C, C, C 3 y C 4. Esta suposició o es correcta ya que los desplazamietos y e y del udo tambié represeta icógitas del problema. Por lo tato, se requiere dos codicioes de borde adicioales. Codicioes de borde del problema. El desplazamieto e el udo está restrigido y lo mismo sucede co el udo 3, por lo tato: u(, t) = φ() = ; u(, t) = φ() = (3) El udo está libre para desplazarse e las direccioes X g e Z g por lo tato se debe escribir ecuacioes de equilibrio de fuerzas y de compatibilidad de desplazamietos. Equilibrio e direcció X g : N( l, t)cos( α) N( l, t) = ; AEφ ( l)cos( α) AE φ ( l) = (4) Equilibrio e direcció Z g : N( l, t) si( α) = ; AE φ ( l) si( α) = (5) Las Ec. (4) y (5) puede escribirse e forma vectorial usado las trasformacioes ciemáticas dadas e el Apédice, ver Ec. (37): F + F = [ L ] [( S ) ( l ) ] + [ L ] [( S ) ( l ) ] = (6) v x v x cos( ) cos() α ( Sx ) ( l) = N( l) = AEφ ( l) dode: [ Lv ] = ; [ L v ] = ; (7) si( α) si() ( Sx ) ( l) = N( l) = AEφ ( l) E el udo se satisface las siguietes relacioes de compatibilidad: u( l, t) = ycos ( α ) + ysi ( α ) ; u( l, t) = y (8) φ( l) = ycos( α ) + ysi ( α ); φ( l) = y que se puede escribir e forma vectorial utilizado las Ec. (37) del Apédice: u( l, t) = φ( l) = [ Lv ] y; u ( l, t) = φ( l) = [ Lv ] y y (9) dode: [ Lv ] = [ cos( α) si( α) ]; [ Lv ] = [ cos() si() ]; y = y Sustituyedo las Ec (), y sus derivadas parciales e las Ec. (3) (6) y (9), llegamos a ua ecuació matricial

5 del tipo B c C = : C C AEcc AEsc AE c AE s C3 = AEcs AEss C 4 s c c s y s c y dode: s = si ( α) ; c = cos ( α) ; s = si ( β l ); c = cos ( β l ); s = si ( β l ); c = cos ( β l ) De este ejemplo se extrae ua importate coclusió: cuado dos o mas elemetos co direccioes diferetes está coectados, los desplazamietos odales so tambié icógitas del problema. Modelado de pórticos Como se mecioó ateriormete, existe solucioes matemáticas exactas para las ecuacioes de movimieto de elemetos cotiuos simples de secció costate y propiedades de material uiformes. Alguas solucioes útiles se resume e la siguiete tabla: abla : Fucioes de forma de elemetos cotiuos simples. Elemeto ipo de vibració Fució de forma modal barra Axial φ ( x ) = C si ( βx) + C cos( βx) ; β = ( ρ/ E ) ω eje orsioal γ ( x ) = Csi ( ηx) + Ccos( ηx) ; η = ( ρ/ G ) ω ψ ( x) = Csi ( ax) + Ccos( ax) + ρ A viga Beroulli rasversal ; a = 4 ω + C sih ( ax) + C cosh ( ax) EI 3 4 () Los elemetos de la abla puede combiarse para costruir modelos estructurales tridimesioales relativamete complejos, por ejemplo el pórtico de la Figura 3. Cada elemeto (viga) del pórtico tiee deformació axial, flexioal y torsioal y se puede modelar usado los elemetos de la abla. Este efoque requiere el cálculo de fucioes de forma para cada tipo de deformació. Por ejemplo, el miembro que coecta los udos y 3 requiere fucioes de forma que correspode a, vibració axial, vibració torsioal, vibració flexioal e el plao XY y vibració flexioal e el plao YZ (supodremos que las direccioes de los ejes pricipales de iercia so X e Z). Estas fucioes debe satisfacer las codicioes de borde del problema. Por ejemplo, para el udo de la estructura se debe platear, equilibrio de fuerzas, equilibrio de mometos, compatibilidad de desplazamietos odales y compatibilidad de rotacioes odales. La especificació (o plateo) de las codicioes de borde e todos los udos de la estructura coduce al esamble de la matriz de codicioes de borde B c. Figura 3: Pórtico espacial. FORMULACIÓN GENERAL DE LAS CONDICIONES DE BORDE E esta secció se preseta ua metodología para platear las codicioes de borde (que costituye las filas de la matriz B c ) de ua estructura cotiua. Se cosidera estructuras e las cuales los desplazamietos está restrigidos, o bie so cosiderados grados de libertad, es decir, estructuras co soportes estructurales ideales que restrige ciertos desplazamietos odales. La especificació de las codicioes ciemáticas de los desplazamietos odales de la estructura, determia el úmero correcto de codicioes de borde. El tipo de ecuació a platear depede de las codicioes ciemáticas de los desplazamietos del udo cosiderado y de los tipos de elemetos coectados. La otació empleada e esta secció y alguos coceptos de ciemática se detalla e el Apédice. Cosideracioes prelimiares a) Número de icógitas Los coeficietes C i que determia las formas modales de los elemetos de la estructura, so icógitas del

6 problema de valores propios para sistemas cotiuos. Como se vio e la secció aterior, cuado se coecta elemetos que tiee direccioes diferetes, los desplazamietos odales tambié so icógitas del problema. Para que el plateo sea lo mas geeral posible, los desplazamietos odales siempre se cosidera como icógitas e esta formulació. b) Metodología Se platea ecuacioes de borde e cada udo de la estructura. Estas ecuacioes depede básicamete de las codicioes ciemáticas de las rotacioes y desplazamietos del udo cosiderado, como veremos a cotiuació. Aálisis de las codicioes ciemáticas de los desplazamietos odales. Se lleva a cabo este aálisis cuado está presetes deformacioes axiales y trasversales, es decir, cuado hay elemetos viga o elemetos barra coectados al udo. Se puede presetar dos casos: a) odos los desplazamietos está restrigidos: Si es el úmero de elemetos coectados al udo, se verifica las siguietes ecuacioes:... u( l) = ; u( l) = ; u ( l ) = () dode ui( l i) represeta el desplazamieto del elemeto i evaluado e x = ó x = l i, depediedo de qué extremo del elemeto correspode al udo cosiderado. b) Existe desplazamietos odales libres: Se debe platear ecuacioes de equilibrio de fuerzas y ecuacioes de compatibilidad de desplazamietos: Compatibilidad de desplazamietos: Para los elemetos que cocurre al udo se debe cumplir: u( l) = [ L ] y; u( l) = [ L ] y;... u ( l ) = [ L ] y () v v v Equilibrio de Fuerzas: Se platea ecuacioes de equilibrio segú las direccioes de los grados de libertad: F + F + L + F = [ L ] [ S ( l ) ] = (3) v i i i i= dode S i puede ser u esfuerzo ormal o de corte, depediedo del tipo de elemeto cosiderado. Aálisis de las codicioes ciemáticas de las rotacioes odales. Se lleva a cabo este aálisis cuado está presetes deformacioes rotacioales, es decir, cuado hay elemetos viga y/o elemetos eje coectadas al udo. Se puede presetar dos casos: a) odas las rotacioes está restrigidas: Si es el úmero de elemetos coectados al udo, se verifica las siguietes ecuacioes: θ ( l ) = ; θ ( l ) = ; θ ( l ) = (4)... b) Existe desplazamietos odales libres: E esta situació, debemos platear ecuacioes de equilibrio de mometos y de compatibilidad de rotacioes: Compatibilidad de rotacioes: Para los elemetos que cocurre al udo se debe cumplir: θ( l) = [ L ] yθ ; θ( l) = [ L ] yθ ;... θ ( l ) = [ L ] y θ (5) v v v Equilibrio de mometos: Se platea ecuacioes de equilibrio segú las direccioes de los grados de libertad: dode (S θ ) i ( F ) + ( F ) + L + ( F ) = ( F ) = [ L ] [( S ) ( l )] = (6) θ θ θ θ i v i θ i i i= i= puede ser u mometo flector o u mometo torsor, depediedo del elemeto cosiderado. Codicioes de borde o homogéeas. Si existe masas cocetradas y/o apoyos elásticos e alguos udos de la estructura, las ecuacioes de equilibrio de mometos y de equilibrio de fuerzas, deja de ser homogéeas. El resto de las ecuacioes de borde, o se modifica. a) Ecuacioes de equilibrio de fuerzas, o homogéeas Para mostrar la maera de tratar ecuacioes de equilibrio o homogéeas se utiliza el reticulado de 7 barras de la, que tiee ua masa cocetrada M e el udo 3. E este problema, las ecuacioes de equilibrio del udo 3 resulta

7 ser o homogéeas, por lo tato aalizaremos el cojuto de codicioes de borde a platear e dicho udo. Como muestra la los grados de libertad del udo se idetifica como y 3 e y 4. Figura 4: Estructura de barras co ua masa cocetrada. Escribimos las siguietes ecuacioes de compatibilidad: y3 y3 y3 y3 u( l, t) = [ L ] v ; u 3( l3, t) = [ ] v ; u 3 5(, t) = [ v] ; u 5 6(, t) = [ v] 6 y4 L y4 L y4 L y4 (7) Aplicado la seguda ley de Newto, obteemos las siguietes ecuacioes: My && 3 [ L ] { [ ] (, )} [ ] 3 {[ ] ( 3 3, )} [ ] v Sx l t + Lv Sx l t + Lv 5 {[ Sx ] (, t) 5 } + [ Lv] 6{ [ Sx ] (, t) 6 } = My (8) && 4 Para obteer las aceleracioes de la Ec. (8), debemos coocer los desplazamietos icógita y 3 (x,t) e y 4 (x,t). Para ello utilizaremos dos de las ecuacioes de compatibilidad que sea liealmete idepedietes. Esta codició se satisface eligiedo dos elemetos cuyos vectores de trasformació ciemática L v sea idepedietes. Claramete la úica combiació de elemetos que o cumple esta codició es la que correspode a los elemetos y 6. Nosotros elegiremos por ejemplo a las ecuacioes correspodietes a los elemetos y 5. y3 y3 u( l, t) = [ L v ] ; u5(, t) [ v ] 5 y = 4 y L 4 (9) Resolviedo el sistema de ecuacioes, obteemos y 3 e y 4 : [ Lv ] y(, 3 x t) u ( l, t) R = [ v ] = 5 y(,) 4 xt R u 5(,) t (3) L dode R es la matriz cuyas filas cotiee a los vectores de trasformació ciemática L v de los elemetos seleccioados. Aplicado el método de separació de variables a la ecuació (8), se llega a las siguietes ecuacioes de equilibrio de fuerzas: ( ) u l [ Lv] { [ Sx ] ( l ) } + [ Lv] 3 {[ Sx ] ( l 3 3) } + [ Lv] 5 {[ Sx ] () 5 } + [ Lv] 6{ [ Sx] () 6 } = Mω [ R ] u 5() (3) Supogamos ahora, que tambié existe u apoyo elástico de rigidez k y4 ubicado e la direcció del grado de libertad y 4. E ese caso, se debería agregar e el lado derecho de la ecuació de equilibrio de fuerzas segú el grado de libertad y 4 el térmio (k y4 y 4 ), que correspode a la fuerza de reacció del resorte segú el grado de libertad cosiderado. E tal caso la Ec. (3) se modifica de la siguiete maera: [ Lv] { [ Sx ] ( l) } + [ L v] 3 {[ Sx ] ( l 3 3) } + [ Lv] 5 {[ Sx ] () 5 } + u( l) u( l) + [ v] 6 {[ Sx ] () 6 } Mω [ ] [ ] (3) L = R + u5() k y u 4 R 5() La geeralizació de este ejemplo, permite propoer u procedimieto para formular las ecuacioes de equilibrio de fuerzas e presecia de masas cocetradas y resortes:. Idetificar los udos co masas cocetradas y/o elemetos de rigidez cocetrada (apoyos elásticos).. Recoocer los t grados de libertad de traslació del udo cosiderado, dode t puede tomar los valores, ó Elegir t elemetos que cocurre al udo cuyos vectores de trasformació ciemática L v sea liealmete idepedietes.

8 4. Formar la matriz R cuyas filas so los vectores L v de los elemetos seleccioados y calcular su iversa. 5. Calcular el vector u que cotiee los desplazamietos de los elemetos elegidos e el udo cosiderado. 6. Cuado hay ua masa cocetrada M y u apoyo elástico e el udo cosiderado se debe platear la siguiete ecuació de equilibrio de fuerzas: [ Lv ] [ Si( li) ] + Mω [ R] u ky[ R] u = i (33) i= La matriz k y de dimesió txt asociada al apoyo elástico, cotiee e los primeros elemetos de cada fila (primera columa), a las rigideces k y i de cada grado de libertad y los demás elemetos so ulos. b) Ecuacioes de equilibrio de mometos, o homogéeas La metodología presetada para masas cocetradas, tambié es válida para el caso de iercias rotacioales cocetradas y/o resortes rotacioales cocetrados. E este caso, las ecuacioes de equilibrio de mometos resulta ser o homogéeas. Se puede repetir el procedimieto recié descrito ateriormete: EJEMPLO DE APLICACIÓN: Pórtico tridimesioal E la Figura 5 se muestra u pórtico tridimesioal sometido a u impulso rectagular F(t) aplicado e el udo 4. Las propiedades del pórtico y las características de la carga se defie e la abla. abla : Características del pórtico de la Figura 5 y de la carga aplicada. Área de la secció trasversal (A).34 [m ] Desidad del material (ρ) 7 [Kg/m 3 ] Mometo de iercia (I y =I z ) 4.987x-6 [m 4 ] Módulo de Youg (E) 7.355x [Pa] Rigidez torsioal (J ) 8.33x -6 [m 4 ] Itesidad y duració del pulso 4 [N] 3 [s] Como se discutió e la secció referida al modelado de pórticos, cada miembro de este modelo icluye deformacioes axiales, torsioales y flexioales, por lo tato puede modelarse superpoiedo u elemeto barra cotiua para la deformació axial, u elemeto eje cotiuo para la deformació torsioal y u elemeto viga cotiua para la deformació flexioal para cada ua de las dos direccioes pricipales de iercia. E la abla 3 se compara las primeras cuatro frecuecias aturales calculadas co el modelo cotiuo co las obteidas utilizado Elemetos Fiitos tambié dispoibles e SA-Lab [4] y [5]. Se observa que al refiar la malla de elemetos fiitos, la solució tiede al resultado obteido utilizado elemetos cotiuos. abla 3: Frecuecias aturales del pórtico de la Figura 5. Método empleado ω [rad/s] ω [rad/s] ω 3 [rad/s] ω 4 [rad/s] Malla de elemetos fiitos de 3 elemetos Malla de elemetos fiitos de 5 elemetos Elemetos cotiuos (domiio del tiempo) Usado los primeros cuatro modos de vibració, se obtuvo ua aproximació de la respuesta e vibracioes forzadas. E la Figura 6 se ha graficado el desplazamieto vertical z(t) del udo 4, calculado co el modelo cotiuo.

9 5 () F(t). 4 (4) 3 (3) z(t) displacemt z(t) () time [s] Figura 5: Pórtico tridimesioal. Figura 6: Desplazamieto z(t) del udo 4.

10 CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUUROS E este trabajo se presetó u procedimieto geeral para la formulació de codicioes de borde e estructuras cotiuas, que lleva al esamble de la matriz B c. La obteció de esta matriz es esecial para el aálisis modal de sistemas diámicos cotiuos. Gracias a la geeralidad del procedimieto presetado, se puede aplicar tato a estructuras plaas como tridimesioales, compuestas por elemetos e flexió, torsió y deformació axial. E la esamble de B c para estructuras co grados de libertad esclavos, se ha omitido e este aálisis, y puede ser motivo de u futuro trabajo. Otro desarrollo futuro podría ser la geeralizació de este procedimieto para icluir el aálisis de sistemas bidimesioales, como placas o membraas. APÉNDICE E esta secció se preseta la otació utilizada e el trabajo. Los desplazamietos locales y los esfuerzos locales está asociados a las direccioes locales del elemeto asociadas a los ejes pricipales de iercia. Usamos la letra u para las compoetes de los desplazamietos locales y la letra griega θ para las compoetes de las rotacioes locales. ux θx u = u y ; θ = θ y (34) u z θ z Las fuerzas actuates e el elemeto se desiga co la letra S Sx Esfuerzo Axial S = S y Esfuerzo de Corte e direcció y (35) Sz Esfuerzo de Corte e direcció z Figura 7: Esfuerzos locales. Los mometos actuates e el elemeto se deota co la letra S θ S θ Mometo torsor (direcció x) x S θ = Sθ Mometo flector segú el eje pricipal y y (36) S Mometo flector segú el eje pricipal z θ z La trasformació ciemática L ν relacioa las deformacioes v correspodietes a u udo del elemeto co los desplazamietos de ese udo y. De maera similar L νθ relacioa deformacioes rotacioales v θ co las rotacioes y θ. U esfuerzo local S o S θ puede ser expresado e coordeadas globales usado las mismas relacioes ciemáticas. F cotiee fuerzas asociadas a traslacioes y F θ cotiee mometos asociados a las rotacioes: v = L y; v = L y ; F = L S; F = L S v θ v θ v θ v θ (37) θ θ REFERENCIAS. J.L. Humar, Dyamics of Structures, aylor & Fracis, º Editio,.. A.E. Matusevich y J.A. Iaudi, A Computer Implemetatio of Modal Aalysis of Cotiuous Dyamic Systems, Iteratioal Joural of Mechaical Egieerig Educatio, vol. 33, o. 3, pp.5-34, A.E Matusevich, Desarrollo Computacioal del Aálisis Modal de Sistemas Diámicos Cotiuos, rabajo Fial de grado carrera de Igeiería Mecáica Aeroáutica, Facultad de Ciecias Exactas Físicas y Naturales, Uiversidad Nacioal de Córdoba,. 4. J.A. Iaudi y J.C. De la Llera, SA-Lab: Mauales de Usuario y de Referecia, (). 5. J.A. Iaudi y J.C. De la Llera, SA-Lab: Leguaje de Aálisis Estructural, Revista de desastres aturales accidetes e ifraestructura civil, vol 3 o., pp 49-7, (3).