Univrsidad d Puro Rico Rcino Univrsiario d Maagüz Dparamno d incias Mamáicas Eamn II - Ma álculo II d marzo d 9 Nombr Númro d sudian Scción Profsor Db mosrar odo su rabajo. Rsulva odos los problmas, scriba los pasos dl procdimino uilizado. Pud usar calculadora cinífica, pro solo cuando sa indispnsabl. (El amn in un valor d punos). (%) Hallar la longiud d arco d la curva:, < <, < < * d d L d d d L d. (%) Hall l ára d la suprfici qu s gnra cuando l gráfico < <9 gira alrddor dl j. Solución: A d, () d d, d Susiundo n la fórmula A= d d = 8 8 6 9 por ponindo los limis corrspondins d la nmos:. (%) S in una lámina cua fórmula corrspond a un riángulo isóscls d lado 5 pis bas pis. La lámina s ncunra sumrgida n agua con l véric vrical hacia arriba la bas paralla a la suprfici dl agua. El véric vrical s ncunra a pis d la suprfici dl agua. lbs Drmin la furza qu l agua jrc sobr una cara d la lámina. Dnsidad dl agua = 6.5 pis Solución. Tommos l sisma d coordnadas n la suprfici dl agua la dircción posiiva dl hacia abajo. El j srá prpndicular a la bas pasando por l véric suprior dl riángulo con coordnadas (,) A, p, F, F d Por qué la varía d a? La alura dl riángulo la podmos drminar aplicando l orma d Piágora ( 5) h, h, lugo la va d = a =. Ahora dbmos vr la rlación nr. Por riángulos smjans nmos:. Susiundo n la fórmula para F nmos 6 8 56 ( ) 6 6.67 lbs F d
. (%) Hallar la primra coordnada X dl cnroid ( X, Y ) d una lámina qu sá rprsnada por la rgión acoada por las siguins curvas: =, =, las linas =, = Hallar X : l dnominador s = = El momno con rspco al j d M s l numrador: l numrador M s, aquí ncsiamos ingración p u =, du =, dv =, v =, susiu n uv- vdu X ( ) 9 M masa oal 9 9.6857 or pars: = 9 9
5. (%) Hall la solución dl problma d valor inicial: ' + = ; () = - ' = - d = - d = d =, vamos a dscomponr n fraccions parcials. A B = A - = A+B -A, igualando coficins nmos qu: A+B= A = -, por ano B =. A B d = ln + ln - = ln ln = ln ln = = ln B =, sa A = = A, vamos a rsolvr por : -A =, ésa l la solución gnral, ahora susiu qu si =, = - A -=, -+A= ; A = la solución paricular s = -A - 6. ( 6%) Vrifiqu qu Solución: = c + c s solución d 6' + 8 =. '' ' c c, " 6c c Susiundo n la cuación nmos: 6c c 6 c c 8( c c )? 6c c c c 8c 8 c? omo vmos l lado d la izquirda s rduc a, lugo cuación c c s solución d la
7. (8%) ons las siguins prgunas, con rspco al problma d valor inicial: d, () = A coninuación vmos l campo d pndins d su cuación difrncial: (a) Dibuj la solución dl problma d valor inicial. (b) Uilic su dibujo para simar l valor (). 8. (%)Uilic l Méodo d Eulr con amaño dl scalón Δ = h =. para simar (.8), dond () s la solución dl problma d valor inicial. Rdond su consación a lugars dcimals.
, () i s i s = = =. =. =. =.9 =.6 =.56 =.8 =.7 F(, ) = ( - ) = + h F(, ) = +.(( ) =. = + h F(, ) =. +.(.(.)) =. +.(.96) =. +.9 =.9 = + h F(, ) =.9 +.(.(.9)) =.9 +.(.(.68)) =.9 +.(.85) =.9 +.7 =.56 = + h F(, ) =.56 +.(.6(.56) =.56 +.(.6(.776)) =.56 +.(.76) =.56 +.8 =.7 9. S culiva una población d 5 bacrias n un laboraorio. Si s obsrva qu la vlocidad d crcimino d sa población s dircamn proporcional a la canidad d bacrias n cada impo ( n horas). (a) (%) Escriba la cuación difrncial con su condición inicial. i) Vlocidad d crcimino s dircamn proporcional a la población: ii) La condición inicial s ; =, P()= 5 Rsolvindo la cuación difrncial: S duplica cuando =, noncs iii) Finamn (b) (%)Rsulva la cuación, por sparación d variabls, para drminar la población n un impo cualquira. Rsolvindo la cuación difrncial: Población inicial 5, noncs (c) (%)Hall una cuación para la población d sas bacrias, si s sab qu la población s duplicó dspués d horas. Jusificar su rspusa. S duplica cuando =, noncs Finamn (d)(5%) Hallar l númro d bacrias qu ha a las 5 horas. 5 P (5) = 5 = 5 5.656859 88
Bono: (6%) Rsulva la cuación difrncial: d d d d d d ln ln, sa A = = - A