UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Definición : Sea f una función definida en un a, b Dom f. Se llama tasa de intervalo [ ] variación media de f en dicho intervalo al cociente: f ( b) f ( a) TVM[ a, b] ( f ) = b a Nota : Obsérvese que la tasa de variación media de una función en un intervalo coincide con la pendiente (recordemos que la pendiente es la tangente trigonométrica del ángulo que forma con el eje de abscisas) de la recta secante a la gráfica en los puntos correspondientes, es decir: f ( b) f ( a) m = tgα = = TVM [ a, b] ( f ) b a Definición : Sea f una función definida en un entorno de un punto = a de su dominio. f f ( a) Decimos que f es derivable en dicho punto si eiste es finito: Lím. En tal a a caso, a este límite se le llama tasa de variación media o derivada de la función en el f ( ) f ( a) f f ( a) punto. Se escribe: f ( a) = Lím. Al cociente se le llama cociente a a a incremental. Nota : Sin más que hacer el cambio de variable h = a, podemos obtener una definición equivalente que fue la primera que apareció históricamente: f f ( a) f ( a + h) f ( a) f ( a) = Lím = Lím. Ambas definiciones son válidas dependerá a a h 0 h del caso la idoneidad de emplear una u otra. Definición 3: Sea f una función definida en un entorno por la izquierda de un punto = a de su dominio. Decimos que f es derivable por la izquierda en dicho punto si eiste es f f ( a) finito: Lím. En tal caso, a este límite se le llama derivada por la izquierda de a a f f ( a) la función en el punto. Se escribe: f ( a) = Lím a a Definición 4: Sea f una función definida en un entorno por la derecha de un punto = a de su dominio. Decimos que f es derivable por la derecha en dicho punto si eiste es f f ( a) finito: Lím. En tal caso, a este límite se le llama derivada por la derecha de la + a a f f ( a) función en el punto. Se escribe: f+ ( a) = Lím+ a a Nota 3: Es evidente que una función es derivable en un punto cuando eisten sus derivadas laterales coinciden. Matemáticas II. º de Bachillerato A. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 7
UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Definición 5: Se dice que una función es derivable en un intervalo cuando lo es en todos sus puntos, entendiendo derivadas laterales en los etremos cerrados del intervalo si es que el intervalo es cerrado. Ejemplo : Sea a) f = 3 +. Veamos si es derivable en algunos puntos: ( ) 3 + + ( )( ) f f Lím = Lím = Lím = f ( ) = b) ( 0 + ) ( 0) h 3h + ( 3) f h f h h Lím = Lím = Lím = 3 f ( 0) = 3 h 0 h h 0 h h 0 h Ejemplo : Sea g 3 6 g g ( ) 3 6 3 3 + 6 3 3( ) a) =. Veamos si es derivable en algunos puntos: Lím = Lím = Lím = Lím 3 g = 3 b) 3 6 0 3 + 6 3( ) g g g = Lím = Lím = Lím = Lím = 3 g g 3 6 0 3 6 3( ) g+ = Lím = Lím = Lím = Lím = 3 + + + Así pues f no es derivable en = si =. Veamos si es derivable en = + si > h h( ) ( + ) h ( ) = Lím = Lím = Lím = + + + h h( ) + ( + )( ) h+ ( ) = Lím = Lím = Lím = + + + + Ejemplo 3: Sea: h Así pues f no es derivable en = 3.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. Analicemos desde un punto de vista gráfico la definición de derivada de una función en un punto: Parece claro que, a medida que se acerca al punto a, las rectas secantes se acercan a la recta tangente en el punto a. Es además evidente, que las distintas tasas de variación media, correspondientes a los sucesivos cocientes incrementales, tienden, en caso de eistir a la derivada. Podemos establecer, por tanto la siguiente interpretación geométrica de la derivada: Matemáticas II. º de Bachillerato A. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 8
UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Nota 4: (Interpretación geométrica de la derivada). Si una función f es derivable en un punto = a, entonces, la derivada de f en = a coincide con la = f pendiente de la recta tangente a la curva en el punto a, f ( a ) normal tienen por ecuaciones: a. Así pues, las rectas tangente t : f a = f a a Recta tangente n : f ( a) = a Recta normal f Esta nota es una de las propiedades más importantes para entender bien todas las aplicaciones de las derivadas, por lo que debemos tomarnos su comprensión e interpretación en distintos contetos como uno de los objetivos esenciales de la unidad. 4.- CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. Proposición : Si f es derivable en el punto = a, entonces es continua en = a. Nota 5: Como consecuencia de la proposición anterior, si una función no es continua en un punto, entonces, no puede ser derivable en dicho punto. Nota 6: El recíproco de la proposición no es cierto, es decir, una función continua en un punto no tiene porqué ser derivable. Definición 6: Se dice que una función f tiene un punto anguloso en = a si f es continua en = a no derivable, siendo derivable por la izquierda por la derecha en dicho punto, es decir, si es continua eisten las derivadas laterales pero no coinciden. Gráficamente, un punto anguloso es aquel en el que las tangentes saltan de la izquierda a la derecha del punto. Por el contrario, las funciones derivables son redondeadas sus tangentes no dan saltos. Ejemplo 4: Si recordamos los ejemplos, 3, cuas epresiones eran: si f = 3 +, g = 3 6 h = + si > Es evidente que mientras la primera es redondeada no tiene picos, la segunda tercera presentan picos (puntos angulosos) en los puntos en los que no eran derivables. Este hecho, como tendremos oportunidad de ver durante la unidad, es bastante frecuente en funciones con valores absolutos en funcione definidas a trozos. Además de esto, con estos ejemplos podemos comprobar que la continuidad no implica la derivabilidad a que se trata de tres funciones continuas en todo su dominio. Matemáticas II. º de Bachillerato A. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 9
UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES 5.- FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS Definición 7: Sea f : D R una función derivable en un dominio D D. Se llama f : D R función derivada primera de f a la función. De manera análoga se define la f función derivada segunda de f en un dominio D D, como la derivada de la derivada, f = f, la derivada tercera como la derivada de la derivada segunda, es decir ect. Nota 7: Es importante observar que, mientras que la derivada de una función en un punto es un número, la función derivada, como su propio nombre indica, es una función, precisamente la que a cada punto asocia la derivada puntual. Ejemplo 5: Hallemos la función derivada de la función f ( ) =. Sea a R cualquiera. f f ( a) a ( a)( + a) f ( a) = Lím = Lím = Lím = a. Así pues, podemos concluir a a a a a a que la función es derivable en todo su dominio, siendo f = 6.- ÁLGEBRA DE DERIVADAS. REGLA DE LA CADENA Veamos en este punto de la unidad, el resultado de las derivadas que resultan de las operaciones elementales: Proposición : (Álgebra de derivadas). Sean f g dos funciones derivables en entonces: a) f ± g es derivable en a f ± g a = f a ± g a b) k f es derivable en c) f g es derivable en a d) Si g ( a) 0, f g = a, = se cumple: = a se cumple: ( k f )( a) = k f ( a) k R = se cumple: ( f g )( a) = f ( a) g ( a) + f ( a) g ( a) = se cumple: f ( a) g ( a) f ( a) g ( a) f / g a = g ( a) es derivable en a Proposición 3: (Regla de la cadena). Sea g una función derivable en función derivable en g ( a) ( f g )( a) = f g ( a) g a =, entonces f g es derivable en 7.- DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES. = a f una = a se cumple que: Es evidente que el cálculo de derivadas mediante la definición (procediendo de forma similar a lo hecho en el ejemplo 5) resulta largo a menudo dificultoso. Para evitar estos cálculos, lo más sensato es obtener una vez la fórmula de cada derivada elemental, usarla cuando sea necesario. En las dos siguientes tablas se resumen las epresiones de las derivadas de funciones elementales las operaciones vistas en el punto 6. Además, eceptuando el valor absoluto, las funciones elementales, son derivables en sus dominios respectivos carecen de puntos angulosos. Matemáticas II. º de Bachillerato A. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 30
UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Simple DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Compuesta Función Derivada Función Derivada = k 0 = = = n = n = e n = n n n = f nf f = f = = f n = = n f n n = e = a = ln = ln = log a a a = = lnf ( ) lna = sen cos = = f ( ) f f f f ( ) f n n f f ( ) = e = f e f ( ) = a log a f n f f a lna ( ) f f f ( ) ln f a = = sen f = cos sen cos( f ) = tg = cotg = sec = co sec = arcsen = arccos cos = = + = = tg f tg sec sen ( cotg ) co sec f cos( f ) = f sen f = = + = = cotg f sen cos = = f cos sen sec = co sec ( f ) = = arctg ( ) = arcsen f = arccos( f ) = = arctg f ( ) + ( f ) f = = f + tg ( f ) = f sec f cos f sen ( f ) ( ) = = f + cotg f = f cos ec f ( ( )) ( f ( )) ( f ( )) ( ) sen f f cos sen f cos f f f f ( ) f ( ) ( ) ( ) f + f Matemáticas II. º de Bachillerato A. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 3
UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES OPERACIONES CON DERIVADAS Suma/Resta ( f ± g )( ) = f ± g Producto por escalar ( k f )( ) = k f Producto ( f g )( ) = f g + f g ( ) f g f g Cociente ( f / g ) = g Composición (Regla de la cadena) ( f g) = f g g Nota 8: Además de las derivadas de funciones elementales de las reglas de derivación, es bastante importante que tengamos en cuenta algunas de las propiedades de los logaritmos que pasamos a recordar a continuación, a que, al transformar productos divisiones en sumas restas, además de potencias en productos, facilitan bastante el cálculo de derivadas logarítmicas aplicando las propiedades antes de derivar. Pasamos a recordarlas: a) b) log = log + log a a a log / = log log a a a c) log = log a a Vamos a dedicar en este punto un tiempo a resolver algunas situaciones que requerían el cálculo de derivada que hemos pospuesto hasta disponer de la tabla de derivadas. Nota 9: (Estudio de la derivabilidad) Lo primero que podemos observar, a la vista de la tabla, es que la maoría de las funciones elementales no son sólo continuas derivables, sino que sus derivadas son también continuas ( en la maoría de los casos nuevamente derivables). Esto nos permite estudiar la derivabilidad derivando las funciones tomando límites hallar derivadas puntuales derivando sustituendo. Esto simplifica bastante el estudio de la derivación. Veamos un ejemplo a hecho utilizando este método: Ejemplo 6: Si tomamos la misma función del ejemplo 3: si si < f ( ) = h = h = + si > si > f ( ) = Así pues, se conclue que no es derivable en =, a que tiene un punto anguloso. Obsérvese también que al derivar una función a trozos, las desigualdades pasan a ser estrictas momentáneamente hasta que no tengamos seguridad de la derivabilidad de la misma en el punto en cuestión. Proponemos las actividades, 3 + Ejemplo 7: Hallemos las recta tangente normal a la curva = 5 + en =. Matemáticas II. º de Bachillerato A. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 3
UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Lo primero que hacemos es llamarla f = 5 + para sustituir en valores numéricos con rigor. Recordemos que las fórmulas de la tangente la normal, para este t : f ( ) = f ( )( ) Recta tangente caso serían: n : f ( ) = ( ) Recta normal f f f, para lo cual, derivamos la función: Así pues, necesitamos hallar f = 5. Así pues: Proponemos la actividad 3. f ( ) = 7 t : 7 = 3 t : = 3 + 0 simplificando 0 f ( ) = 3 n : 7 = ( ) n : = + 3 3 3 Ejemplo 8: Vamos a mostrar ahora varios ejemplos de cómo se usa la tabla de derivadas las reglas de derivación: a) = + 6 4 3 b) = + + 3 + + 3 4 3 3 4 3 c) = 3 ln 3 ln + 3 = 3 ln + = ( 3ln + ) 5/ 5 3/ 5 3 d) = = = 3 4 3 8 e) = 6 6 cos f) = ln( sen) = ln + ln sen + = + cotg sen e e e e ( ) e ( ) g) = = = 4 4 3 = cos ln cos sen = ln cos sen h) 3 i) = 4 ln 4 4 j) = ln( + ) + k) = sen3 3cos3 l) m) 3/ 3/ = arctg = + = arccos = ( ) ( + ) Se proponen las actividades 4 5. 4 Matemáticas II. º de Bachillerato A. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 33
UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES 8.- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA. A menudo, eisten funciones que no se ajustan a ninguna de las derivadas de funciones elementales deben ser llevadas a cabo con otros métodos no elementales. f =, a la que no se le puede aplicar la fórmula Este es el caso de funciones como de la potencia (el eponente no es constante) ni la de la eponencial (la base no es constante). Para derivar este tipo de funciones otras en las que se pueda aplicar, vamos a ver un procedimiento llamado derivación logarítmica: Nota 0: (derivación logarítmica). Consideremos una función del tipo g = f.. Si tomamos logaritmo neperiano en ambos miembros nos quedará la igualdad: ln = lnf g ( ) 3. Aplicando ahora las propiedades de los logaritmos, se transforma en: ln = g lnf. 4. Si ahora derivamos ambos miembros queda: = g lnf + g g 5. Con lo que, basta despejar: ( ) f f = g lnf + g ( ) f Como es lógico, no tiene ningún sentido memorizar esta última fórmula, en los ejemplos concretos podemos proceder como en el caso general que acabamos de ver. Veamos un ejemplo: f ( ) Ejemplo 9: Sea = ln = ln = ln = ln + + ln Se propone la actividad 6. 9.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 9..- Cálculo de límites: Reglas de L Hôpital. Proposición 4: (Regla de L Hôpital): Sean g f entorno reducido de = a tales que Lím a g f f Si eiste Lím, entonces también eiste Lím a g a g resultado también es válido para límites en el infinito. f f funciones derivables en un 0 presenta la indeterminación o bien. 0 coincide con el anterior. El En la práctica, esto supone que en la maoría de las situaciones en las que se nos presenten indeterminaciones de tipo cociente, podemos derivar numerador denominador ver si el límite resultante eiste, a que, en tal caso, coincidirá con el anterior. Matemáticas II. º de Bachillerato A. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 34
Ejemplo 0: Resolvamos los siguientes límites: L H sen 0 cos a) Lím = Lím 0 0 = = 0 ln L H b) Lím = = = Lím + + = Lím = 0 + + = + ln c) Lím ( ln ) = [ 0 ] = Lím L H = Lím = Lím ( ) = 0 + + + + 0 0 0 0 Se propone la actividad 7
UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES 3 g) ln ( ) = + i) = ln j) = arccos k) = l) = cos sen m) = ln( e + ) 3 + n) = ln ñ) = ln ( 4 ) o) sen cos = ln tg q) = arcsen = h) log ( ) = p) r) = tg + u) = ln( ) e v) = ln e ) = arctg ) = cos ln + aa) ln( sen) s) = arctg ( sen ) t) = sen ln( 3) = ab) = + ac) ad) = ( ) + ( + ) sen cos Actividad 5: Halla la derivada novena en cada caso: w) 3 = sen cos z) = ln( tg ) = ( + ) + a) f ( ) = e b) g = 3 c) h ( ) = ln Actividad 6: Halla la derivada de las siguientes funciones: a) ( sen) = b) cos = c) = Actividad 7: Halla el valor de los siguientes límites: e a) Lím + 3 b) e e Lím 0 sen e + c) Lím 0 d) 3 + + Lím 3 +
UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES.- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES Actividad : a) f es continua derivable en R b) g es continua en R derivable en R {, } Matemáticas II. º de Bachillerato A. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 6
UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Actividad : a = b = 0 Actividad 3: a) f es continua derivable en R { } b) t : = 6 3 n : = + 6 6 Actividad 4: a) e) 3 3 = b) 4( ) ( ) 3 4 = + + c) 4e e f) g) + 7 ( 4 + 5) 3 ( ) ln d) 6e e + h) ln + ( ) 6 ln + 3 cos i) j) k) l) 4 sen cos ln 4 sen 6e m) n) e + = ñ) 4 cos cos sen p) q) sen cos t) 3cos( ln( 3) ) ( 6 ) ln( 3) ) + ) ab) 4 Actividad 5: 3 + 3 ( ) 4 + r) u) v) sen ln z) 3 ac) + ( + ) e o) cos + aa) sen cos cos s) + sen w) sen ( 3cos sen ) ad) ( cos sen ) cos sen ln ( sen ) a) f 9) ( ) = 5e 9) b) g Actividad 6: = 3 9! ( ) 0 9) c) h = 8! 9 a) ( sen) ( lnsen cot g) = + b) cos = + cos sen ln ln c) Matemáticas II. º de Bachillerato A. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 6
UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Actividad 7: a) + b) c) / d) / Matemáticas II. º de Bachillerato A. Prof.: Santiago Martín Fernández Página 63