Cpítulo Series Numérics y Series de Potecis.. Itroducció. E este cpítulo le dremos setido l cocepto de sum ifiit de úmeros ó serie uméric, es decir, diremos que sigific sumr u ifiidd de úmeros... 4 El cocepto de serie es muy utilizdo pr represetr cierts fucioes o ctiddes umérics que, de otr mer, resultrí difícil estudir. Se hce l clrció de que el tem de series es summete eteso y que su iclusió e este curso es mermete itroductorio, pretediédose destcr ls priciples propieddes que permit su utilizció e otros cotetos como el álisis umérico y ls ecucioes difereciles.. Motivció. Ates de dr l defiició forml de lo que es u serie, trtremos de llegr ell de u mer ituitiv. Es coveiete otr que o siempre será posible sumr u ifiidd de úmeros pues, uque o dispogmos u de u defiició precis, podemos firmr que, por ejemplo, l siguiete sum: 4 5... o correspode u úmero rel pues medid que gregmos sumdos, l sum crece y lo hce más llá de culquier límite. Si queremos obteer l siguiete sum: - - - -... probblemete estemos tetdos, por uestr eperieci co sums fiits, decir que est sum vle cero, pues si los summos de dos e dos, estremos obteiedo u sum ifiit de ceros, que clrmete deberí vler cero, es decir: 65
( - ) ( - ) ( - ) ( - )...... Obsérvese que estmos utilizdo l propiedd socitiv de l sum. Si grupmos de l siguiete mer - ( - ) - ( - ) - ( - ) -... - - - - -... obteemos u resultdo cotrdictorio. Es rzoble pedir que, si los térmios de u serie se puede sumr, el vlor de l sum se úico y, e este cso, tedrímos dos posibles vlores pr l sum, lo cul os llev cocluir que est serie o es posible sumrl. Otr coclusió imedit es que, pr sums ifiits, o es válid l propiedd socitiv.. Epsioes decimles como sums U situció cotidi e l que ecotrmos el cocepto de serie, uque se de mer ocult, se d l represetr los úmeros reles e otció deciml. Cudo epresmos u úmero rel e otció deciml, cd dígito tiee u vlor segú l posició que ocup, por ejemplo S.69 sigific eteros más décims más 6 cetésims más 9 milésims, es decir, S 6 9 es decir este úmero lo podemos epresr como u sum fiit de úmeros reles. Si embrgo cudo represetmos de est mer, por el lgoritmo de l divisió sbemos que tiee u represetció deciml ifiit periódic.... lo cul sigific que... Así pues, este úmero se epres como u sum ifiit de úmeros reles. 66
A difereci del ejemplo de l sum de todos los turles, e este cso l gregr sumdos, evidetemete l sum crece, sólo que l precer, l sum o ecede de.4, es decir estos vlores so.,.,.,., etc ls cules so proimcioes cd vez mejores /. Epresdo ests epsioes decimles fiits como sums, podemos decir que ls siguietes sums fiits so proimcioes cd vez mejores de /. S S. S S. S S. S... S... veces el tres / / E vist de lo terior prece rzoble esperr que ls sums fiits teg / como límite, es decir lim S lo cul podemos verificrlo utilizdo l coocid fórmul pr l sum de u progresió geométric r r... r r r si r E uestro cso 6
S...... S (/) / (/) 9 / Como lim (/) lim S lim 9 / 9 / 9 Est situció reflej muy precismete el sigificdo de ls sums ifiits y que escribimos e l siguiete defiició:.4 Defiició y Ejemplos. Defiició: Se { } u sucesió de úmeros reles., l epresió se llm SERIE NUMÉRICA. A prtir de l sucesió { } formmos u uev sucesió { } S S S S... S... de sums prciles 68
y diremos que l serie es CONVERGENTE (sus térmios se puede sumr) si lim S eiste. De lo cotrrio diremos que l serie es DIVERGENTE (sus térmios o se puede sumr). Si epresmos S y S e otció sumtori S... k k S... k k l serie covergete se epresrí como k k lim k lo cul epres u serie como el límite de ls sums fiits (sums prciles) k Ejemplo. Determie si l serie es covergete. Solució. E l secció terior probmos justmete que el límite de ls sums prciles vle /. S k k k k (/) 9 / k k lim S lim (/) 9 / 9 / 9 Ejemplo. Determie si l serie ( ) es covergete. 69
Solució. Est serie fue l lizd teriormete ( )... Sus sums prciles so S S - S - S 4 - - Y clrmete su límite o eiste por lo que l serie es divergete..5 L serie Geométric. U serie geométric es u de l form r r r r... Pr coocer los vlores de r pr los cules est serie coverge, seguimos el mismo procedimieto que e el cso prticulr de l serie geométric que represet /. S r r... r r r pr r pr r S y clrmete l serie serí divergete e este cso. Pr r > r cudo y por lo tto, l serie es divergete. Pr r <
r lim r y por lo t to lim S lim r r Así pues l serie geométric es covergete solmete cudo el vlor bsoluto de l rzó es estrictmete meor que uo, y r r si r < A cotiució euciremos dos propieddes de ls series covergetes, ls cules so fáciles de probr pues mbs so válids pr ls sums prciles. Propieddes:. Si y b so series covergetes, etoces ( b ) es covergete y ( b ) b. Si es covergete y k es culquier úmero rel, etoces k es covergete y se cumple k k Ejemplo Ecuetre el vlor de l serie Solució: Auque formlmete o es u serie geométric, utilizdo l propiedd, podemos trsformrl e u serie geométric de rzó /.
... dode l serie del prétesis es l serie complet meos los dos primeros térmios:... por lo tto 4 6 Otr form de llegr este resultdo, es fctorizdo el primer térmio. 4 6...... 4 Observció: Pr que u sucesió ifiit de úmeros teg l posibilidd de ser sumdos y obteer u ctidd fiit, es ecesrio que, coforme crece, los térmios se cd vez más próimos cero, como se observó e los ejemplos de series covergetes, es decir, covergete lim Lo cul se cumple siempre pr series covergetes, pues sus sums prciles coverge l serie lim S dode S... Despejdo l térmio -ésimo de l serie
S S y tomdo límite lim lim( S S ) lim S lim S..6 L Serie Armóic. Reitermos que lim es u codició ecesri pr que l serie se covergete, pero, desfortudmete, l codició o es suficiete, como lo veremos e l siguiete serie, llmd serie rmóic, e l cul se cumple que el térmio -ésimo tiede cero pero l serie es divergete, es decir lim covergete Ejemplo 4 Pruebe que l serie... es divergete. 4 5 Solució. Pr probr que est serie es divergete, veremos que ls sums prciles tom vlores cd vez más grdes tediedo l ifiito. E prticulr veremos que ls sums prciles tiede ifiito cudo k tmbié tiede ifiito. S k S S S 4 S > 4 4 4 pues > 4 y 4 4 Utilizdo el mismo rzomieto pr S 8 :
S 8 S S4 > 5 6 8 8 8 8 8 Medite u rgumeto iductivo cocluimos que k S k > pr todo turl k y, por lo tto, ls sums prciles crece si límite, y esto prueb que l serie rmóic es divergete.. Series de Térmios o-egtivos: El Criterio de Comprció. Ls series pr ls cules es más fácil lizr su covergeci o divergeci so ls series de térmios positivos, pues evidetemete sus sums prciles costituye u sucesió creciete y sólo bstrá comprobr que está cotds o o pr determir su turlez. Ejemplo 5. Determie si l siguiete serie es covergete o divergete. Solució. Primermete otmos que los térmios de est serie so meores o igules que los de l serie geométric Es decir pr se cumple que lo cul implic que, e cosecueci ls sums prciles de uestr serie, S o ecederá ls sums prciles T de l serie geométric, es decir, S T y como lim T, l sucesió S de ls sums prciles estrá cotd; es decir: 4
S T Esto implic que lim S eiste y por lo tto l serie es covergete. Observció. Como l comprció etre ls sums prciles se dio prtir de e relidd hemos probdo que l serie que coverge es: lo cul clrmete implic que l serie complet tmbié coverge pues sólo flt gregrle u térmio, es decir El procedimieto seguido e este ejercicio es el llmdo Criterio de Comprció, el cul eucimos cotiució: Criterio de Comprció (Pr covergeci): Si es u serie covergete de térmios positivos y es u serie de térmios positivos que stisfce b b b pr todo etoces l serie es covergete. Aceptremos si demostrció que l serie es covergete. Ejemplo 6. Pruebe usdo el criterio de comprció que l serie Solució. es covergete. 5
Al utilizr el criterio de comprció debemos teer l mo l serie co l cul l queremos comprr, e este cso l comprremos co l serie covergete. Como pr tod turl, etoces y por lo tto covergete. Observcioes: es. Al utilizr el criterio de comprció hemos probdo que u ciert serie es covergete pero o determimos su vlor.. El cso prticulr del ejemplo terior se geerliz pr culquier poteci myor que uo, es decir p es covergete pr p >. El criterio de comprció tmbié puede utilizrse pr determir divergeci de series de térmios positivos como se muestr e el siguiete ejemplo. Ejemplo. Determie si l siguiete serie es covergete o divergete. Solució. Primermete otmos que los térmios de est serie so myores o igules que los de l serie rmóic pues como pr todo turl, etoces lo cul implic que ls sums prciles de uestr serie, S so myores o igules que ls sums prciles T de l serie rmóic, es decir, S T 6
y como ls sums prciles T crece si límite por ser divergete l serie rmóic, l sucesió S tmbié crecerá si límite y por lo tto l serie es divergete. Observció: E geerl l serie p es divergete pr p El procedimieto del ejercicio terior lo podemos plsmr e el siguiete criterio: Criterio de Comprció (Pr divergeci): Si es u serie divergete de térmios positivos y b es u serie de térmios positivos que stisfce b pr todo etoces l serie es divergete. A cotiució euciremos si demostrció dos importtes criterios de covergeci, los cules está bsdos e el criterio de comprció. b Criterio del Cociete. Si l serie stisfce:. lim <, etoces l serie es covergete.. lim >, etoces l serie es divergete. Criterio de l Ríz. Si l serie stisfce:. lim <, etoces l serie es covergete.. lim >, etoces l serie es divergete. Ejemplo 8. Determie l covergeci de l siguiete serie.
! Solució. Utilizremos el criterio del cociete, tomdo! ( )! ( )!! y como lim, etoces l serie! coverge. Observcioes:. U procedimieto similr l terior os llev que l serie k coverge pr! culquier vlor rel de k.. Como el límite del térmio -ésimo de u serie covergete tiede cero, hemos obteido de mer idirect que k lim! pr todo úmero rel k. Ejemplo 9. Determie l covergeci de l siguiete serie. 5 Solució. Utilizremos el criterio del cociete, tomdo 5 5 ( )5 5 5 5 y como lim <, etoces l serie 5 5 5 coverge. 8
.8 Series de Potecis. Cudo lizmos l serie geométric ecotrmos que est coverge pr < y diverge pr, es decir si cosidermos l fució f ( ) su domiio será D f (, ). Esto os llev cosiderr u uev clse de fucioes: quells represetbles por medio de series. Defiició: U Serie de Potecis es u serie de l form... dode k so úmeros reles. Clrmete tods ls series de potecis coverge pr. Puede demostrrse, lo cul se sle del lcce de este teto, que este tipo de series coverge e itervlos cetrdos e, icluyedo tod l rect rel, los cules se les llm Itervlos de Covergeci. Si recordmos l fórmul de Tylor de lgus fucioes, tedremos represetcioes e series de potecis Ejemplo. Ecuetre l serie de potecis pr l fució f() e. Solució. E el cpítulo, ecotrmos l fórmul de Tylor (Mc Luri) pr est fució e... E!! ( )! 9
dode E es el residuo ddo por el Teorem de Tylor E e! c dode c se ecuetr etre o y. Si le llmmos S l sucesió de ls sums prciles de l serie de potecis, despejdo E de l fórmul de Tylor, E e - S y utilizdo el hecho de l secció terior: lim! pr todo rel, c c lim E lim e e lim!! y e cosecueci ls sums prciles coverge e, lim S e lo cul os represet l fució epoecil e serie de potecis pr todo rel. e... otció sumtori:!! e! de mer completmete álog, podemos ecotrr l represetció e series de potecis de ls fucioes seo y coseo, pr todo rel: 5 se... e otció sumtori:! 5!! se ( ) ( )! 8
4 6 cos... e otció sumtori:! 4! 6! cos ( )! Observció: Si dmitimos, como relmete sucede e el itervlo de covergeci, que ls series de potecis se puede derivr e itegrr térmio térmio, podremos comprobr hechos como: d d ( ) ( )! ( )! d, ó d!! es decir, ls coocids fórmuls de derivció d d se cos y d d e e. 8
EJERCICIOS I. Ecuetre el vlor de ls siguietes series geométrics. ) 9 ) ) 5 4) 5) 9 6) 5 II. Utilizdo los criterios de covergeci, determie l turlez de ls siguietes series. ) ) 5 ) 4) 5) se ( 9) 6) 6 )! 8)! 9) (!) ()! )! III. Utilizdo el hecho de que pr se cumple: 8
...,. Ecuetre l serie de potecis pr f() Sugereci: Remplce por - e l fórmul terior.. Ecuetre l serie de potecis pr f ( ) Sugereci: Remplce por e l fórmul terior. Ecuetre l serie de potecis pr f() rct Sugereci: Itegre e mbos ldos e l fórmul terior. IV. Utilizdo l serie de potecis pr f() terior,, obteid e el ejercicio. Ecuetre l serie de potecis pr f() l( ) Sugereci: Itegre e mbos ldos e l serie de potecis.. Ecuetre l serie de potecis pr f() l Sugereci: Remplce por - e l fórmul terior. V. Utilizdo l represetció e series de potecis pr ls fucioes se y e e itegrdo térmio térmio, ecuetre l serie de potecis de:. se ) d ) e d 8