FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Hemos visto el prolem de enontrr el produto, ddos los ftores. L ftorizión es enontrr los ftores, ddo el produto. Se llmn ftores de un epresión lgeri quellos que multiplidos entre sí dn omo resultdo l primer epresión. Ejemplo: sí ( ( 6 Tenemos que, ( son ftores de 6, sí pues, ftorizr un epresión lgeri es onvertirl en el produto indido. Eisten diversos proedimientos pr desomponer en ftores un produto, los menionremos, sin perjuiio de que en lgunos sos podmos ominr dos o más de estos proedimientos.. FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN. Cundo en los diversos términos de un polinomio prtiip un mismo ftor, se die que se le s omo ftor omún, pr lo ul, se esrie e inmeditmente, después, dentro de un préntesis se notn los oientes que resulten de dividir d uno de los términos del polinomio entre el ftor omún. Ftorizr los siguientes polinomios: ( 0 0 0( 0 ( d ( 7 e 0 8 6( 7 f 0 0 7 ( 7 n n n g 66 ( m n n n m n n m h ( n m n n n m n m -

. FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES. Como su nomre lo indi onsiste en plir los produtos notles onoidos.. Ftorizión de un difereni de udros. Se se que: ( ( por lo tnto un difereni de udrdos, es igul l produto de dos inomios onjugdos. 9 ( ( ( ( 6 ( ( ( ( 6 ( ( ( ( ( [( ( ] ( ( ( 6 9. Ftorizión de un udrdo perfeto: Del desrrollo del inomio l udrdo se tiene: ( tmién ( Un ntidd es udrdo perfeto undo es el udrdo de otr ntidd, sí tenemos que es udrdo perfeto porqué es el udrdo de. Pr ftorizr un trinomio udrdo perfeto, un vez que h sido identifido omo tl, on poo de los produtos notles, se etre ríz udrd l primero terer termino del trinomio seprándose ests ríes por medio del signo del segundo termino elevndo este inomio l udrdo. m m (m (m (m 0. Ordenndo ftorizndo, se tiene: 0 ( ( ( 6 6 ( 8 ( 8 ( 8 9 ( ( ( -

( ( ( 6 7 9 6 8 9. Ftorizión de un sum o difereni de uos. Se se que: ( ( ( (. Ftorizr: 8 6. Llevándolo l tipo de sum de uos tenemos: 8 6 ( (6 ( 6( 6. Ftorizr: 8 9. Llevándolo l tipo de difereni de uos tenemos: 8 9 (7 6 [( ( ] ( (9 6. Ftorizr: 7 8. Se puede ver que es un difereni de uos, por lo que: 7 8 ( ( ( (9 6. Ftorizr: ( (. Ftorizr: 6. 6 ( ( ( (6 0 d. Ftorizión de uos perfetos de inomios. Se h visto que: ( que: (. 8 6 ( ( ( ( -

9 6 8 08 0 6 ( ( 6 6 ( 6 ( 6 8 7 8. FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. Alguns vees en un polinomio los términos no ontienen ningún ftor omún, pero pueden ser seprdos en grupos de términos on ftor omún. Este método onsiste en formr grupos, los más deudos, pr ftorizr d uno omo más onveng en d so logrr finlmente l ftorizión totl de l epresión. Ftorizr:. Agrupndo los términos que tengn lgún ftor omún se tiene: ( ( ( ( o tmién ( ( ( ( ( ( ( ( 8 8 8( ( ( (8 p p (p (p (p ( ( ( ( ( 6 ( ( ( ( 7 ( ( ( ( (. FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA Pr ftorizr el trinomio 6 se proede de uerdo l siguiente proedimiento: Primero. Se usn dos números que l sumrlos nos den el oefiiente del termino de primer grdo (- que l multiplirlos den el produto del oefiiente del término de segundo grdo (6 por el término independiente (- Es deir: m n mn 6( 0 Como l sum: 0 ( l multipliión: 0( 0, result que: m 0 n. -

Segundo. El término de primer grdo (- se desompone omo l sum de m n: 6 6 0 Terero. Se ftoriz por grupmiento l epresión nterior: 6 0 (6 0 ( ( 7( ( ( 7 Ejemplos. Por lo que: 6 ( ( 7 Ftorizr:. Siguiendo los psos desritos: m n mn. Por lo que: m - 6 n 7. Entones: 6 7 ( 7 (6 7( ( ( (7 Ftorizr: 9 6. Siguiendo el proedimiento nterior: m n 6 mn 7. Por tnto: m - n 9 Entones: 9 6 9 9 ( ( ( ( Ftorizr:. De uerdo l proedimiento empledo: m n mn. Por tnto: m - n - Entones: ( ( ( ( Pr el so del trinomio de l form: en donde el oefiiente del término l udrdo vle l unidd, tmién se proede en l mism form. -

Ftorizr: 7. m n - 7 mn. Por tnto: m - n -, entones: 7 ( ( ( ( Ftorizr: m n mn. Por tnto: m n ( ( ( ( Ftorizr:. m n - mn -.Por tnto: m n - 7 7 ( 7( ( ( 7. FACTORIZACIÓN POR COMPLEMENTACIÓN DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Alguns vees se puede ftorizr un trinomio de segundo grdo de l form, si previmente se omplet on él un trinomio udrdo perfeto, este nturlmente jo l hipótesis de que no lo es desde un prinipio. Se empiez por sr omo ftor omún el oefiiente de únimente en los términos en ls que está ontenid l literl. Posteriormente se divide entre dos l oefiiente que le h queddo elevdo l primer poteni lo que result, se elev l udrdo, ést es l ntidd que dee sumrse pr omplementr el trinomio udrdo perfeto restrse tmién inmeditmente después, pr que no h lteriones. Ftorizr:. De uerdo lo indido tenemos: ( 6 9 9. Los tres primeros sumndos dentro del préntesis formn el trinomio udrdo perfeto. Por lo que: ( 6 ( [(( ] ( Vemos que es un difereni de udrdos. [( ][( ] ( 6 ( 6 ( ( -6

Ftorizr: 9 6. 9 6 9 9 9 ( ( 9 ( ( ( Ftorizr: 6 8 6 8 6 9 9 ( ( 7 6 ( 6 ( 6 6. RAZONES Y PROPORCIONES L rzón es un número strto que epres sólo l relión que h entre dos mgnitudes, por lo que ree de uniddes. L rzón es un frión de dos mgnitudes, se esrie, o ien, : se lee: es. Sen dos engrnes A B de 0 dientes respetivmente l rzón de A B es: 0, o se, o ien : que se lee es. L rzón de B A es. 0, o se, o ien : que se lee es. L rzón 60 pesos pers indi que un per uest 60 $.00 pesos. En iertos de un tirdor, en 00 dispros, l rzón es: o o : 00-7

Proporiones. L iguldd de dos rzones se llm proporión. Cundo se plin ls rzones prolems es freuente enontrr situiones en que dos rzones son igules. De modo que si representn l mism rzón, result l proporión, que d d tmién puede esriirse omo : : :: : d : : d se lee " es omo es d. Ls ntiddes,, d se llmn términos de l proporión sin importr que epresión se use, se die que: d son los etremos son los medios Por otr prte se les onoe omo: nteedentes d onseuentes Propieddes de ls proporiones.. En tod proporión, el produto de los etremos es igul l produto de los medios. Ls rzones d son igules si d, propiedd fundmentl.. En tod proporión, los medios se pueden intermir. Si tenemos:. d result: d (. En tod proporión, l sum de los dos primeros términos es l segundo, omo l sum de los dos últimos es l urto. Prtiendo de:. Sumándole l unidd d rzón tendremos: d d d d (. En tod proporión l difereni de los dos primeros términos es l segundo, omo l difereni de los dos últimos es l urto Se l proporión:. Restndo l unidd d rzón se tiene: d d d d (. En tod proporión, l difereni de los dos primeros términos es su diión, omo l difereni de los últimos es su diión de ellos. Igulndo los oientes de los miemros respetivos de ls dos proporiones nteriores: Igulndo los primeros miemros: -8

( Igulndo los segundos miemros: d d d d d d d d d d ( Igulndo ( (, nos d: d d ( Pr otener el vlor de un término desonoido en un proporión, deemos plir l propiedd fundmentl de ésts efetur ls operiones neesris. Enuentre el vlor de si:. Usndo l propiedd fundmentl, tenemos: ( 0 0 Despejndo: 6 Enontrr los vlores de, si - d. De uerdo l propiedd (: d. Sustituendo: d Semos que -. Sustituimos : 6 Comproión: Según l propiedd (: d 6 Vriión diretmente proporionl. Dds dos ntiddes, si un umento de un orresponde un umento de l otr, o un disminuión de un orresponde un disminuión de l otr, se die que dihs ntiddes son diretmente proporionles. -9

Sen, dos ntiddes que vrín en form diretmente proporionl si le orresponde el vlor, le orresponde, se umple l iguldd: Pr epresr que ls ntiddes, son diretmente proporionles, se esrie De uerdo on l definiión, se umple que proporionlidd. k, donde k, es l onstnte de Pr determinr l onstnte de proporionlidd, st onoer los vlores orrespondientes de e. Si tom el vlor undo tom el vlor, se tiene: Ejemplo: k Si l veloidd de un utomóvil es onstnte, l distni reorrid el tiempo son diretmente proporionles, pues mor distni reorrid orresponde mor tiempo, menor distni menor tiempo Si l distni reorrid es de 00 Km en hors. Qué distni se reorrerá en 7 hors?. Representndo por l distni por t l tiempo, se tiene: 00, t t 7 Como: Despejndo: t 00. Sustituendo vlores tenemos: t 7 (00(7 00 km L onstnte de proporionlidd en este so está dd por vlor se sustitue t, o t k, pr enontrr su t 00 Pr: 00 t, se tiene: k 7 km, en donde k, es l veloidd del utomóvil. -0

Vriión inversmente proporionl. Dds dos ntiddes puede ourrir, que, todo umento de un, orrespond un disminuión pr l otr, o que tod disminuión de un, orrespond un umento pr l otr. Entones se die que ls dos ntiddes son inversmente proporionles. Sen, dos ntiddes que vrín en form inversmente proporionl, si le orresponde el vlor el vlor, se umple l iguldd: De uerdo on l definiión se umple que: k, donde k, es l onstnte de proporionlidd invers. Ejemplo: Un tren reorre 00 km, l veloidd que llev el tiempo empledo en reorrer es distni, son ntiddes inversmente proporionles, mor veloidd orresponderá menor tiempo, menor veloidd mor tiempo. Si l veloidd es de 0 km/hr oup un tiempo de minutos. Qué veloidd llev si oup minutos? Utilizndo: v veloidd t tiempo v veloidd orrespondiente t v veloidd orrespondiente t, Tenemos: v t 0. Sustituendo: v 00 v t v 00 Despejndo: v 7 km/h, qué es l veloidd que llev el tren l orrer en minutos l distni de 00 Km. 7. FRACCIONES ALGEBRAICAS Un frión lgeri es un epresión de l form, donde son polinomios. Como se oserv, l frión lgeri es el oiente de dos ntiddes que, en este so, son polinomios. es el numerdor o dividendo es el denomindor o divisor. Son friones lgeris: 6 6 7 Eisten tres signos soidos en un frión lgeri: el signo del numerdor, el signo del denomindor el signo resultnte de l operión de l frión. -

Es deir: d d d De lo nterior se oserv que se pueden her mios en los signos de un frión, sin que ést se ltere. L frión lgeri es propi undo el grdo del numerdor es menor que el grdo del denomindor. 9 8 6 Un frión lgeri es impropi undo el grdo del numerdor es igul o mor que el grdo del denomindor. Un frión lgeri es simple undo el numerdor el denomindor son polinomios. 6 d Un frión es ompuest undo eiste, por lo menos, un frión, en el numerdor ó. 0 6 8 8. SIMPLIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES. Se die que un frión est epresd en su form más simple, undo el numerdor el denomindor no tienen ftor omún, eepto l unidd. Est operión sólo puede ejeutrse previ ftorizión del numerdor denomindor de un frión, puesto que en tles ondiiones, nturlmente si ls h, pueden suprimirse los ftores omunes del numerdor denomindor. Cundo se he esto se die que tles ftores se simplifin, no que se nuln, puesto que tod epresión dividid entre sí mism d l unidd por oiente. -

6 8 ( ( ( 6 ( m 0 m m 6 (7 m m (7 m 6 m 8 (6 (6 ( 6 ( ( ( 7 d d ( d ( d ( d( ( ( d 8 ( ( ( ( ( ( [( ( ] ( ( ( ( ( 9. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Ls operiones on friones lgeris se efetún de l mism form que en ritméti, pero en álger intervienen epresiones on signos que ontienen números literles.. Sum rest de friones. Si ls friones tienen el mismo denomindor, se proede en form nálog omo se efetú en ritméti, o se: d d d d Ejemplo: 8 Si los denomindores de ls friones son diferentes, entones d frión se onvierte un frión equivlente on el mínimo omún múltiplo, m..m., de los denomindores, omo -

nuevo denomindor omún de los denomindores. Ejemplo: 6 6 Pr efetur l sum o rest, se proede omo se indi ontinuión:. Se simplifin ls friones dds si es posile. Se otiene el m..m. de los denomindores, si son diferentes, éste será el nuevo denomindor omún.. Se divide el m..m. entre d uno de los denomindores ddos el oiente se multipli por el numerdor orrespondiente.. Se grupn todos los numerdores resultntes en un sol frión que tiene omo denomindor el m..m. enontrdo.. Se efetún ls operiones indids en el numerdor de l nuev frión. 6. Se reduen términos semejntes en el numerdor, 7. Se simplifi, l frión resultnte si es posile. 6 7 El es el denomindor omún se divide entre d uno de los denomindores pr tener: 6 7 ( ( ( (7 Efetundo ls operiones: Reduiendo términos semejntes: Se simplifi l frión: 8 9 0 7 7 6 Proediendo igulmente pr este ejemplo los siguientes: -

- ( ( ( ( ( ( ( 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 60 89 6 7 60 6 0 70 7 9 60 ( 0(7 ( 6 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7 ( ( ( ( ( ( ( 8 ( ( ( ( ( ( ( ( ( (. Multipliión de friones. L multipliión de friones lgeris se efetú en l form nálog omo se llev o en ritméti es deir:. Pr multiplir un entero por un querdo ó un querdo por un entero, se multipli el

-6 entero por el numerdor se dej el mismo denomindor. Ejemplo:. Pr multiplir entre sí dos ó más querdos el produto de sus numerdores se divide entre el produto de sus denomindores. Ejemplo: df e f e d z 7 z z z(7 ( 9 0 0 0 ( 0 (( 0 ( 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 6 ( ( ( ( 7

8 (m n (m n m n 6(m n 6( ( ( (m n (m n(m n (m n (m n( ( (. División de friones. L división de friones lgeris se efetú en l mism form que en ritméti. Se presentn los siguientes sos.. Pr dividir un querdo entre un entero siempre que se puede se divide el numerdor entre el entero se dej el mismo denomindor, si no es posile, se multipli el denomindor por el entero se dej el mismo numerdor. Es deir: 6 7 8 6 8 7 7 9 8 98 7. Pr dividir un entero entre un querdo, se multipli el entero por el inverso del querdo. Lo que podemos representr omo:. Pr dividir un querdo entre otro, se multipli el querdo dividendo por el querdo divisor invertido. d d d Relizr l siguiente división: -7

-8 6 9 6 6 9 Dividir 8 entre 6. Dividiendo: ( 6 8 ( 8( ( 6 8( ( 6 8 Dividir entre. Dividiendo: ( ( ( ( Dividir ( entre (. Dividiendo: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Dividir entre. Dividiendo: ( ( ( 6 Dividir entre. Dividiendo:

-9 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7 Dividir entre. Dividiendo: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (