TRABAJO: Sobre triángulos de lados enteros

Premios del Deprtmeto de Mtemátics de l Uiversidd Autóom de Mdrid pr Estudites de Secudri Segud Edició, 007/008 TRABAJO: Sore triágulos de ldos eteros GANADOR EN LA CATEGORÍA DE BACHILLERATO AUTORES: o Héctor Ros Álvrez o Adriá Tmyo Domíguez TUTORES: o Dvid Miguel del Río o Ágel Corrl Cedeñ CENTRO: IES Europ (Móstoles, Mdrid)

SOBRE TRIÁNGULOS DE LADOS ENTEROS Autores: Mtemáticos trigulres

Sore triágulos de ldos eteros ÍNDICE 1.- INTRODUCCIÓN Y ANTECEDENTES....- OBJETIVOS... 3.- DESARROLLO... 3.1.- Nuestrs fórmuls iiciles... 3..- Nuestrs fórmuls geerles... 5 3..1.- L primer fil suryd 1, 1 y c1... 7 3...- L segud fil suryd, y c... 8 3..3.- Geerlizdo ls expresioes pr ls series i, i y ci... 9 3.3.- Cmido de estrtegi... 10 3.3.1.- Serie cero (0, 0 y c0)... 10 3.3..- Serie 1 (1, 1 y c1)... 10 3.3.3.- Serie (, y c1)... 10 3.3..- Geerlizdo pr l Serie i (i, i y ci)... 11.- RESULTADOS... 1 5.- CONCLUSIONES Y CONSIDERACIONES SOBRE NUESTRO PROBLEMA... 1 5.1.- Relció de triágulos eteros co áre igul l perímetro... 1 5..- Comproció de l expresió de ls solucioes... 1 5.3.- Comprodo que o hy otrs solucioes... 1 6.- BIBLIOGRAFÍA... 18 Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 1

Sore triágulos de ldos eteros Resume.- A prtir de ls fórmuls pr ecotrr tods ls ters pitgórics desrrollremos uestrs propis expresioes pr ello y ls plicremos l resolució del prolem pltedo. Este proceso os llevrá ecotrr tods ls solucioes posiles. 1.- INTRODUCCIÓN Y ANTECEDENTES Se os plte el siguiete prolem: Hllr todos los triágulos existetes cuy áre se uméricmete igul su perímetro y sus ldos se eteros? Segú el eucido teemos que resolver l siguiete ecució, ceptdo úicmete ls solucioes eters: Áre c [1] Perímetro Como se trt de triágulos rectágulos, sus ldos v ser ters pitgórics. Por ello teemos que ecotrr fórmuls que geere tods ls ters..- OBJETIVOS El pricipl ojetivo del presete trjo es el de preder desrrollr estrtegis que permit ordr prolems cuy solució o se, e pricipio, fácil. Pr ello utilizremos el método cietífico, l oservció y l geerlizció de quells regulriddes que ecotremos. Trtremos de resolver l ecució plted, sore l que hemos de impoer u fuerte restricció: o vle culquier solució. Ést dee ser eter y cumplir l relció pitgóric. 3.- DESARROLLO 3.1.- Nuestrs fórmuls iiciles Cómo hllmos ls fórmuls iiciles (ls llmmos sí porque os drá pso ls fórmuls geerles)? Oservdo ters clculds prtir de ls fórmuls oteids e Iteret (ver Biliogrfí) vmos trtr de ecotrr uestrs propis expresioes pr oteer Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres

ters pitgórics. Ls fórmuls de Iteret er: p - q Ctetos pq Dode: p y q so úmeros eteros [] Hipoteus c p q Ls 10 primers ters prtir de ls fórmuls [] so: (3,,5); (6,8,10)1; (5,1,13); (7,,5); (9,0,1); (11,60,61); (13,8,85); (15,11,113); (17,1,15); (19,180,181); (1,0,1);... Vmos trtr de ecotrr regulriddes: 1) De mometo el primer úmero de cd u de ls ters de l serie es: 3, 6 *, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 1,... Oservmos que todos excepto el 6 so impres cosecutivos y como l expresió pr ecotrr los úmeros impres es: 1; oteemos: 1 [3] ) El segudo úmero de cd u de ls ters de l serie es:, 8*, 1,, 0, 60, 8, 11, 1, 180, 0,... Oservmos que so todos pres y demás múltiplos de : 1, 1 3, 6, 0 10, 60 15, 8 1, 11 8, 1 36, 180 5, 0 55,... Por lo que hicimos u tl pr oteer u fórmul que determir cd úmero que multiplic l cutro: Térmio 1 1 3 3 6 10 5 15... S Nº que multiplic 1 1 3 1 6 13 10 13 15 135... S 13 Tl 1.- Fctores multiplictivos de l serie de los segudos úmeros de ls ters Oservmos que el fctor multiplicdor es u sucesió ritmétic, sí que uscmos e los cuderos de mtemátics de los ños teriores y ecotrmos l fórmul de l sum de u sucesió ritmétic: S Dode: 1 es el primer térmio de l sucesió, es el último térmio y es el úmero de térmios. 1 1 Est ter es múltiplo de otr sí que l vmos igorr de mometo * Ter múltiplo de otr Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 3

1 S Por lo tto, volviedo uestro cso: De est form l fórmul fil es pr oteer los segudos úmeros de cd u de ls ters pitgórics serí multiplicr por l expresió de l sum:, es decir: [] 3) El tercer úmero de cd ter pitgóric es: 5, 10*, 13, 5, 1, 61, 85, 113, 15, 181, 1,... Oservmos que todos so i 1 (siedo i de 1 ) Por lo tto l fórmul es: c 1 1 [5] E resume, hemos oteido ls siguietes expresioes: 1 [3] ; [] ; c 1 [5] Ahor que y teemos us fórmuls propis pr oteer los compoetes de ls ters pitgórics procederemos sustituirls e l ecució [1] que se os plte: c c Áre Perímetro qued: ( 1)( ) ( 1) ( ) ( 1 ) Trjdo co est expresió oteemos: 3 5 0 fctorizdo por el método de Ruffii: ( 1) ( 3 ) 0 cuys solucioes so: -1/ que o es ceptle -1 que o es ceptle Estos dos últimos resultdos o so válidos, y que os drí resultdos egtivos y uestros resultdos dee ser eteros y positivos. Segú esto, sólo tiee el áre y el perímetro igules quell ter pitgóric oteid co: que es: 1 5 1 c 1 13 De est form, oteemos l ter (5, 1, 13) como u primer solució de uestro prolem. Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres

A cotiució, os dimos cuet de que existí más ters posiles, múltiplos de ls y oteids, y e ls que tmié podrí existir solució uestro prolem. Seguimos el siguiete procedimieto, sustituyedo e l ecució [1], e el que k será u úmero etero que multiplique ls ters teriormete oteids e ls expresioes [3], [] y [5]: k k k ( c ) k ( 1) ( ) k (( 1) ( ) ( 1)) 3 k ( 6 ) 3 k ( 6 ) ; k ( 3 ) k ( 6 ) k 3 3 ( 3 ) 6 ; k( 3 ) 6 ; k 6 ( 3 1) k ; k 3 3 ( 3 1) De dode: k k Pr est expresió de k existe dos posiles solucioes eters: 1.- k 1, (5, 1, 13), solució que y coocímos.- k, 1 (6, 8, 10), uev solució COMPROBACIÓN: 5 1 - (5, 1, 13): Áre 30 ; Perímetro c 5 1 13 30 6 8 - (6, 8, 10): Áre ; Perímetro c 6 8 10 3..- Nuestrs fórmuls geerles Nuestro profesor os dvirtió que existí ters pitgórics (oteids de ls fórmuls de Iteret) que o se clcul co uestrs fórmuls [3], [] y [5], y que, e los cudros siguietes, sólo clcul l primer fil, es decir, ls fils e egrit. E cmio pr clculr ls fils suryds hrí que utilizr otrs expresioes. Ls fils e cursiv so meros múltiplos de ls que está e egrit. Por tto, cómo hllmos el resto de ters pitgórics (ls suryds)? Vmos geerr tls de ters utilizdo ls fórmuls hllds e Iteret (fórmuls[]) hciedo vrir el vlor de los prámetros p y q (úmeros eteros positivos). Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 5

c c p q p -q pq p q p q p -q pq p q (1) 1 3 5 3 5 1 13 3 1 8 6 10 1 16 0 () 1 1 1 15 1 1 8 c1 1 17 5 1 1 1 0 c1 9 5 1 10 6 6 3 0 6(3) 1 1 35 1 1 c 1 37 7 5 8 c 53 7 1 8 1 50 8 60 3 68 8() 1 3 1 63 3 1 16 c3 1 65 9 3 77 3 36 c3 85 9 1 80 18 8 10 96 0 10 10(5) 1 1 99 1 0 c 1 101 11 117 c 15 11 1 10 1 1 10 8 18 1(6) 1 5 1 3 5 1 c5 1 15 13 5 165 5 5 c5 173 13 1 168 6 170 1 19 56 00 1(7) 1 6 1 195 6 1 8 c6 1 197 Tl.- Ters pitgórics pr q1 y q c c p q p -q pq p q p q p -q pq p q 3 7 5 5 9 0 1 5 3 16 30 3 6 0 8 5 6 3 1 3 7 1 3 36 c1 3 5 7 1 33 1 56 c1 65 7 3 0 58 8 8 6 80 8 3 3 55 3 8 c 3 73 9 65 7 c 97 9 3 7 5 90 10 8 80 116 10 3 3 3 91 3 3 60 c3 3 109 11 3 105 3 88 c3 137 11 3 11 66 130 1 18 96 160 1 3 3 135 3 7 c 3 153 13 153 10 c 185 13 3 160 78 178 1 180 11 1 1 3 5 3 187 5 3 8 c5 3 05 15 5 09 5 10 c5 1 15 3 16 90 3 16 0 18 7 16 3 6 3 7 6 3 96 c6 3 65 17 6 73 6 136 c6 305 Tl 3.- Ters pitgórics pr q3 y q c p q p -q pq p q 6 5 11 60 61 7 5 70 7 8 5 1 5 39 1 5 80 c1 5 89 9 5 56 90 106 10 5 5 75 5 100 c 5 15 11 5 96 110 16 1 5 3 5 119 3 5 10 c3 5 169 13 5 1 130 19 1 5 5 171 5 10 c 5 1 15 5 00 150 50 16 5 5 5 31 5 5 160 c5 5 81 17 5 6 170 31 18 5 6 5 99 6 5 180 c6 5 39 Tl.- Ters pitgórics pr q5 Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 6

3..1.- L primer fil suryd 1, 1 y c1 Pr clculr l primer fil suryd e cd tl, esto es: (15, 8, 17); (1, 0, 9); (7, 36, 5); (33, 56, 65); (39, 80, 89);... (será l serie 1, 1, 1 y c1 ) utilizremos fórmuls oteids de l mism mer que tes, es decir oservdo regulriddes: 1) El primer úmero de cd ter de l serie 1 es 1 : 15, 1, 7, 33, 39,... Oservmos que so todos múltiplos de 3: 15 3 5, 1 3 7, 7 3 9, 33 3 11, 39 3 13... por lo que hrí que ecotrr u expresió pr clculr los fctores multiplictivos 5, 7, 9, 11, 13 Es fórmul serí: (-1)5; pues, (-1) ecuetr todos los úmeros impres ecesrios pr uestrs ters l sumrle el primer úmero de l serie, es decir 5. Simplificd, est fórmul serí 1 6 9 (os iteres l fórmul si simplificr, pues os yudrá ecotrr regulriddes l hor de oteer ls fórmuls geerles). Simplificd quedrí: 1 3 [6] ) El segudo úmero de cd ter de l serie 1 es 1 : 8, 0, 36, 56, 80,... Oservmos que so todos múltiplos de e hicimos u tl pr lizr mejor estos dtos: Térmios de l serie, 1 1 1 8, 1 0, 1 3 36, 1 56, 1 5 80 Difereci etre los 13 16 05 6 térmios, d Tl 5.- Oteció de los segudos térmios de ls ters pitgórics de l serie 1 Al hcer esto ecotrmos l siguiete fórmul pr hllr los térmios de l sucesió de ls diferecis d (1) De est form podemos expresr cd térmio como el resultdo de l sum de los térmios d i desde i1 hst. Así, utilizdo l sum de l progresió ritmétic: 1 d i 1 i d1 d dode: d 1 8 y d (1). Oteemos: Desrrolldo qued: ( 1) 8 1 1 6 [7] Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 7

3) El tercer úmero de cd ter de l serie 1 es c1 : 17, 9, 5, 65, 89,... Procedemos de form similr l cso terior pr uscr regulriddes: cocordci Térmios de l serie, c1 Difereci etre los térmios, d c1 1 17, c1 9, c1 3 5, c1 69, c1 5 89 13 16 05 6 Tl 6.- Oteció de los terceros térmios de ls ters pitgórics Al hcer esto ecotrmos l siguiete fórmul pr hllr los térmios de l sucesió de ls diferecis d (), similr lo que ocurrí e el cso terior. De est form: c 1 17 d i i 1 y, utilizdo l sum de l progresió ritmétic, oteemos: Operdo qued: ( ) 1 c1 17 c1 1017 Si clculmos, veremos que sólo podemos clculr el primer térmio, 17, si sustituimos por 0, pero como se trt del primer térmio, os iteres que se 1. Pr ello, cmimos l de l fórmul oteid por -1 y clculmos (este pso os será de gr importci más delte): c1 ( 1) 10( 1) 17 Filmete oteemos l siguiete fórmul: c1 6 9 [8] E resume, hemos oteido ls siguietes expresioes pr ls ters de l serie 1 (primer fil suryd): 1 3 [6] ; 1 6 [7]; c1 6 9 [8] 3...- L segud fil suryd, y c Pr clculr l segud fil suryd, es decir: (35, 1, 37); (5, 8, 53); (55, 8, 73); (65, 7, 97),... utilizremos fórmuls oteids de l mism mer que tes. 1) El primer úmero de cd ter de l serie es : 35, 5, 55, 65... Oservmos que v de 10 e 10 prtir de 35; por lo tto, su fórmul es: 10(-1) 35 L expresió simplificd es: 10 5 [9] Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 8

) Actudo de form similr pr el segudo úmero de l ter de l serie, ecotrmos: 10 [10] 3) Actudo de form similr pr el tercer úmero de l ter de l serie 3, c ecotrmos: c 10 5 [11] E resume, hemos oteido ls siguietes expresioes pr ls ters de l serie (segud fil suryd): 10 5 [9]; 10 [10]; c 10 5 [11] 3..3.- Geerlizdo ls expresioes pr ls series i, i y ci Vmos recoger los resultdos oteidos e u tl. A l serie de l primer fil (e egrit) l llmremos serie 0 (0, 0 y c0 ). Oservdo ls expresioes ecotrremos us fórmuls geerles pr tods ls series de ls tls, 3 y : 1ª fil (e egrit). 0 1 ( 1) 1 0 ( 1) c0 10 1 Serie 0: ª fil (1ª 1 69 ( 3) 3 1 6 ( 3) c1 691 9 suryd). Serie 1 3ª fil (ª 105( 5)5 10 ( 5) c 105 5 suryd). Serie............ q-ésim fil. Serie i q [(q-1)](q-1) q [(q-1)] cq [(q-1)](q-1) Tl 7.- Oteció de los terceros térmios geerles de ls ters pitgórics Oservdo ests últims expresioes os dmos cuet de que tods ls fórmuls coseguids teí u relció. Operdo e ls expresioes q, q y cq de l tl 7 oteemos: q q - q q 1 q q c q - q q 1 dode q es el úmero de l serie de ls ters (tls, 3 y ) y es l ter pitgóric - ésim de l serie q-ésim. Filmete multiplicremos por k, úmero etero positivo, pr oteer tmié todos los múltiplos y sí, tods ls ters posiles: q k ( q - q q 1)... [1] q k ( q - ) [13] cq k ( q - q q 1) [1] U vez teemos ls fórmuls geerles [1], [13] y [1], ls sustituiremos e [1], codició del prolem, co ide de oteer tods ls solucioes posiles. Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 9

Si emrgo, medid que ímos vzdo e uestr ivestigció co ests expresioes ([1,13,1]), os dimos cuet de que o llegámos igú poliomio secillo, y que el que otuvimos o os permití trjr por su complejidd. 3.3.- Cmido de estrtegi Ddo que mejr ls expresioes [1,13,1] result demsido complejo, decidimos tomr otr ltertiv pr ecotrr l solució. E lugr de ls fórmuls geerles [1,13,1], utilizrímos ls fórmuls prticulres de cd serie, que prece e l tl 7. 3.3.1.- Serie cero (0, 0 y c0 ) Est serie se resolvió e el prtdo. Ls solucioes prece e el cudro 1. 3.3..- Serie 1 (1, 1 y c1 ) Hímos oteido ls relcioes: 1 k(69) 1 k( 6) c1 k( 69) dode k es u úmero etero positivo y es térmio -ésimo de l serie 1. Sustituyedo e l codició [1]: 1 1 1 1 c1 desrrolldo: k ( 6 9)( 6) k( 6 9) k( 6) k( 6 9) k 3 ( 1 5 5) k( 18 18) qued: k 3 ( 6 7 7) 18 18 k 3 ( 9 9) ( 9 9) k 3 [15] Segú esto, k /3, por lo que pr que k ó se eteros, uo de los dos dee ser frcciorio, y que el úmero etero será 1 ó y el úmero frcciorio será /3 ó 1/3 respectivmete. De est mer, llegmos l coclusió de que e l segud fil o existe u solució eter. 3.3.3.- Serie (, y c1 ) Hímos oteido ls relcioes: k(105) k( 10) c k( 105) dode k es u úmero etero positivo y es térmio -ésimo de l serie. Sustituyedo e l codició [1]: Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 10

desrrolldo: c k ( 10 5)( 10) k( 10 5) k( 10) k( 10 5) 3 k ( 0 150 50) k( 30 50) qued k 3 ( 10 75 15) 30 50 k 5 ( 15 5) ( 15 5) k 5 [16] Oservdo ls expresioes [15] y [16] vemos que podemos geerlizr los resultdos pr tods ls series de ls tls 3, y 5. 3.3..- Geerlizdo pr l Serie i (i, i y ci ) Vmos recoger e u tl ls expresioes hllds. Pr ls fils ver ls tls 3, y 5. Expresió resultte Solucioes ceptles 1ª fil de ters. Serie 0 k k 1, (5, 1, 13) k, 1 (6, 8, 10) ª fil de ters. Serie 1 k 3 Nigu 3ª fil de ters. Serie k 5 Nigu......... q-ésim fil de ters. Serie q-1 k(q 1) Tl 8.- Geerlizció de ls expresioes resulttes pr cd serie Oservmos que d cmi excepto los úmeros que multiplic l, que so impres cosecutivos. De est mer cocluimos que: k ( q 1) qued: k [17] q 1 E l expresió [17], pr que k se u úmero etero q 1 tiee que ser igul 1 ó, por lo que: ) q 1 1 q 1 ) q 1 q 3/, lo que o tiee setido porque q es u úmero etero positivo. 1 Si q 1, etoces k ; por ello, los vlores de k y será: k 1; ó k ; Filmete, sustituyedo k, q y e ls fórmuls geerles [1], [13] y [1], otuvimos como resultdo uestro prolem sólo 3 solucioes: Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 11

- si q 1: k 1, Ter pitgóric: 5; 1; c 13 Áre 30; Perímetro 30 k, 1 Ter pitgóric: 6; 8; c 10 Áre ; Perímetro Como se puede oservr sólo existe dos solucioes, que so: Triágulo de ldos: 5, 1, 13 Triágulo de ldos: 6, 8, 10 Solucioes que y hímos oteido teriormete e el prtdo..- RESULTADOS A prtir de expresioes desrrollds por osotros pr geerr tods ls ters pitgórics hemos ecotrdo ls siguietes solucioes pr uestro prolem: Triágulo de ldos: 5, 1, 13 Triágulo de ldos: 6, 8, 10 Estos dos triágulos rectágulos cumple l codició de que, uméricmete, su áre vle lo mismo que su perímetro. Más delte demostrremos que so ls úics solucioes posiles. 5.- CONCLUSIONES Y CONSIDERACIONES SOBRE NUESTRO PROBLEMA 5.1.- Relció de triágulos eteros co áre igul l perímetro Vmos trtr de oteer u relció que de cumplir los triágulos rectágulos de ldos eteros cuy áre vlg, uméricmete, lo mismo que su perímetro. Pr ello sustituimos co yud del teorem de Pitágors: c c c c ) ( ; ) ( ) ( 8 8 Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 1

8 0 ( 8) 0 0 1 0 1 ( c) 0 c 0 c 0 c 0 Oteemos l siguiete relció: c [18] Vmos compror si ls solucioes hllds cumple l relció [18]: 1) Solució 1: 5, 1, c 13 de dode: - c y 5 1-13, como querímos compror. ) Solució : 6, 8, c 10 de dode: - c y 6 8-10, como querímos compror. Si emrgo, hy ifiitos csos e los que est iguldd se cumple, pero o so solucioes uestro prolem, por ello est fórmul o os permite uscr más solucioes, y que, segú uestrs ivestigcioes, o ls hy. Est fórmul sólo os permitirí compror que uestrs solucioes so válids, pues e ms se cumple que c. Coclusió1: Así podemos cocluir que si c es u triágulo rectágulo de ctetos y eteros e hipoteus c eter, y uméricmete su áre vle lo mismo que su perímetro, etoces cumplirá que c, lo que o es cierto e setido cotrrio. Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 13

5..- Comproció de l expresió de ls solucioes A prtir de l fórmul [18] sustituimos, y c por ls fórmuls geerles [1], [13] y [1]. Co esto espermos llegr l expresió [17] que os llevó ls solucioes del prolem: c k(q - q - q 1) k ( q - ) c k( q - q - q 1) Sustituyedo y operdo: k(q q q 1) k( q - ) - k( q q q 1) k(q q q 1 q - - q q q 1) k(q - ) k(q - 1) ; qued: k q 1 que es l ecució [17], como querímos compror. 5.3.- Comprodo que o hy otrs solucioes A cotiució, djutremos us gráfics relizds utilizdo ls fórmuls [], oteids e Iteret, y que semos que so válids, ls que plicremos l restricció de uestro prolem, ddo de est form solidez uestrs solucioes: p - q Ctetos pq Dode: p y q so úmeros eteros [] Hipoteus c p q Utilizdo ests expresioes clculmos l fórmul del áre y del perímetro del triágulo e fució de los prámetros p y q de ls expresioes []: A p q pq [19] ( ) ( ) 3 3 p, q p q pq ( p q ) ( pq) ( p q ) p pq P( p, q) [0] Vmos relizr diferetes represetcioes, fijdo el vlor de q, de A(p,q) vs p y de P(p,q) vs p, de form que si ms curvs se cort e u vlor excto hremos ecotrdo u solució uestro prolem. Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 1

100 90 80 70 60 50 0 30 0 10 0 1 3 5 6 7 8 9 10 Are 0 6 60 10 10 336 50 70 990 Perímetro 1 0 60 8 11 1 180 0 Gráfic de áre y perímetro pr q 1 frete p 1) Si q 1, etoces A(p,1) p 3 p P(p,1) p p Ams gráfics se cort e el mismo vlor: puto de corte (3,), es decir, pr p 3 (y q 1 que est fijo) el áre y el perímetro coicide e vlor. Se trt, por lo tto, de l ter (6,8,10), solució y coocid por osotros. A medid que crece ls gráfics (u cúic y u práol) oservmos como ms diverge, por lo que o se volverá cruzr. 100 90 80 70 60 50 0 30 0 10 0-10 -0 1 3 5 6 7 8 9 10 Are -6 0 30 96 10 38 630 960 138 19 Perímetro 6 16 30 8 70 96 16 160 198 0 Gráfic de áre y perímetro pr q frete p ) Si q, etoces A(p,) p 3 8p P(p,) p p Ams gráfics se cort e el mismo vlor: puto de corte (3,30), es decir, pr p 3 (y q que est fijo) el áre y el perímetro coicide e vlor. Se trt, por lo tto, de l ter (5,1,13), solució y coocid por osotros. A medid que crece ls gráfics (u cúic y u práol) oservmos como ms diverge, por lo que o se volverá cruzr. Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 15

100 90 80 70 60 50 0 30 10 0-10 0-0 -30-0 1 3 5 6 7 8 9 10 Are - -30 0 8 0 86 80 13 19 73 Perímetro 8 0 36 56 80 108 10 176 16 60 3) Si q 3, etoces A(p,3) 3p 3 7p P(p,3) p 6p Ams gráfics se cort e u vlor o etero, por lo que o es u solució válid uestro prolem. A medid que crece ls gráfics (u cúic y u práol) oservmos como ms diverge, por lo que o se volverá cruzr. Gráfic de áre y perímetro pr q 3 frete p ) Si q : Gráfic de áre y perímetro pr q frete p 00 180 160 10 10 100 80 60 0 0-0 0-0 -60-80 -100-10 1 3 5 6 7 8 9 10 Are -60-96 -8 0 180 80 9 1536 30 3360 Perímetro 10 6 90 10 15 19 3 80 U vez que el áre empiez ser positiv el cruce etre ms gráfics y se h producido, por lo que y o se volverá cruzr, pues los vlores de áre y perímetro diverge. Esto se puede ver, tmié, e ls siguietes represetcioes pr otros vlores de q. 5) Si q 5: Gráfic de áre y perímetro pr q 5 frete p 00 300 00 100 0-100 -00-300 1 3 5 6 7 8 9 10 Are -10-10 -0-180 0 330 80 1560 50 3750 Perímetro 1 8 8 7 100 13 168 08 5 300 Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 16

6) Si q 6: Gráfic de áre y perímetro pr q 6 frete p 600 00 00 0-00 -00-600 1 3 5 6 7 8 9 10 Are -10-38 -86-80 -330 0 56 13 30 380 Perímetro 1 3 5 80 110 1 18 70 30 7) q 7: Gráfic de áre y perímetro pr q 7 frete p 850 650 50 50 50-150 -350-550 -750-950 1 3 5 6 7 8 9 10 Are -336-630 -80-9 -80-56 0 80 016 3570 Perímetro 16 36 60 88 10 156 196 0 88 30 Al lizr ls tls de vlores de l gráfics podemos ver que: 1) el áre es ul cudo p q ) el áre empiez ser positiv cudo p q 1 3) oservmos que e ls últims 5 gráfics ls curvs se cort e vlores o exctos será y siempre sí? Pr cotestr esto podemos trjr e l fórmul del áre y del perímetro. Resumimos lo relizdo e l siguiete tl: Si p q Si p q 1 A(p,q) p 3 q pq 3 A(q,q) 0 A(q1,q) q(q 3q 1) P(p,q) p pq P(q,q) q P(q1,q) (q 3q 1) Luego, si p q, A(q,q)<P(q,q) Luego A(q1,q)>P(q1,q) si q> Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 17

Por lo tto etre pq y pq1 se h producido el corte de ls curvs si q>. Esto sigific que se h cortdo e u vlor o etero. Coclusió Est últim demostrció permite cofirmr que los úicos putos de cruce exctos se correspode co q, es decir, co q1 y q, o siedo posile u cruce excto pr q>. Por ello o es posile ecotrr otrs solucioes distits ls hllds por osotros. 6.- BIBLIOGRAFÍA 1) http://gussios.com/como-cotruir-trigulos-pitgoricos Sore triágulos de ldos eteros Grupo: Mtemáticos trigulres 18