NIVERSIA E OVIEO Escela Politécnica Sperior de Ingeniería de Gijón Ingenieros Indstriales rso 8-9 Apntes de Mecánica de Flidos: ª parte II.. FLJO EXTERNO. Vórtices de Karman en las islas anarias Jlián Martínez de la alle Área de Mecánica de Flidos Gijón enero 8 Apntes de Mecánica de Flidos JM 9
II.. FLJO EXTERNO... apa límite.... Espesor de capa limite espesor de desplazamiento.... Ecaciones de capa límite de Prandtl.... apa límite laminar capa límite trblenta... apa límite sin gradiente de presión: placa plana.... Análisis de von Karman.... Fljo laminar: solción analítica de Blasis.... Fljo trblento... apa límite con gradiente de presión: desprendimiento de capa limite estela trblenta..4. Fljo convergente-divergente..5. Problemas reseltos... APA LÍMITE. En ljo eterno se tiene el movimiento de n objeto en el seno de n lido; conorme el objeto va penetrando en el lido, las partíclas son arrastradas adqieren nas determinadas distribciones de velocidad de presión. En n sistema de reerencia inercial ijo al objeto, se tendría n ljo niorme qe se dirige al objeto, qe alrededor de él, se divide en dos regiones: na región viscosa en las proimidades de la spericie del objeto; na región eterior no viscosa (sin tensiones tangenciales por ser nlo el correspondiente gradiente de velocidad). La región viscosa, se denomina APA LÍMITE, se inicia en las proimidades del borde de ataqe, s etensión va amentando agas abajo. El espesor de la capa límite es creciente, normalmente de poca etensión, dependiendo de la geometría del objeto del número de nolds; anqe se pede tener el desprendimiento de la capa límite la ormación de la estela transitoria, qe pede ocpar na amplia región a partir del pnto de desprendimiento.... ESPESOR E APA LÍMITE Y ESPESOR E ESPLAZAMIENTO. En la capa límite, la distribción de velocidades es monótona creciente, desde cero en la spericie de contacto del lido con el objeto, hasta alcanzar el valor de la velocidad niorme de la corriente eterior. En na determinada posición (entre el borde de ataqe el borde de estela), se deine el espesor de la capa límite, como la posición (normal a la sección) en donde se alcanza la velocidad de la corriente eterior. Por el carácter asintótico de la distribción de velocidades, se sele deinir eperimentalmente el espesor de la capa límite, por la posición en donde se alcanza el 99% de la velocidad de la corriente eterior. () () () Fig.. einición del espesor de la capa límite () del espesor de desplazamiento ( ) ( ) / teóricamente: ; eperimentalmente:,99 Apntes de Mecánica de Flidos JM 9
Se deine espesor de desplazamiento, como el espesor adicional, qe debería tener el objeto en na determinada sección, para poder considerar na única región no viscosa. d ( ) / d ( ) Tanto el espesor de la capa límite como el de desplazamiento, dependen de la geometría del número de nolds. Así para ljo sobre na placa plana ( en general para objetos qe oponen poca área rontal), el espesor de la capa límite es m peqeño, por tanto también el espesor de desplazamiento, por lo qe se pede despreciar el eecto de desplazamiento la distribción de presiones a lo largo de la placa se pede determinar con la ecación de Eler de ljo no viscoso, como si la capa límite no eistiese. Para objetos qe oponen gran área rontal al ljo, anqe la capa límite sige siendo relativamente peqeña, se tienen pntos de separación de la capa límite, qe originan s desprendimiento de la spericie la ormación de na estela trblenta, de alta vorticidad de carácter no estacionario. No se tiene la solción analítica, sólo con determinados modelos de trblencia con técnicas nméricas, es posible resolver el problema.... EAIONES E APA LÍMITE E PRANTL. Para ljo bidimensional, estacionario e incompresible, las ecaciones de Navier-Stokes son: v Ec. ontinidad: + Ec. Movimiento en dirección tangencial a la pared: Ec. Movimiento en dirección normal a la pared: p + μ + ρ + v p v v v v + μ + ρ + v Prandtl, estableció las sigientes hipótesis en la capa límite: velocidades: >> v gradientes: v v >> >> Número de nolds: >> ν p La ecación de movimiento en la dirección normal qeda redcida a: p p() on lo qe la presión no varía en la dirección normal de la capa límite, solo a lo largo de ella, viene determinada por la Ec. de Eler aplicable a la corriente eterior: p p p() dp d Ec. Eler dirección : dp d d d En na pared crva, la coordenada representa la longitd a lo largo de la pared, siendo la coordenada normal local; la velocidad de la corriente eterior, viene dada por la solción no viscosa, pede variar en cada posición : (). Apntes de Mecánica de Flidos JM 9
4 La ecación de movimiento en la dirección tangencial, qeda como: d d + μ ρ + v Para poder aplicarla, tanto a ljo laminar como a trblento, Prandtl epreso el término viscoso, en nción de la tensión de rozamiento: μ ljo laminar μ μ ρ' v' ljo trblento on todo, se tienen las dos ecaciones de la capa límite de Prandtl, para ljos bidimensionales e incompresibles: v + d d + ρ + v μ μ ρ' v' ljo laminar ljo trblento Las dos ecaciones se deben resolver, para determinar la distribción de velocidades en la capa límite: (,); vv(,), conocida la distribción de la velocidad de la corriente eterior no viscosa (), con las condiciones de contorno: No deslizamiento en la pared: (,) v(,) Acoplamiento de la capa límite la corriente eterior: (,()) ()... APA LÍMITE LAMINAR Y TRBLENTA. Al inicio de la capa límite a partir del borde de ataqe, la velocidad es prácticamente tangencial, moviéndose las particlar totalmente giadas por la geometría: se tiene la denominada capa límite laminar, en donde el campo de velocidad es: (.); v. A partir de cierta posición (dependiendo de la geometría del objeto, de la rgosidad de la spericie del ), se tienen partíclas qe no solamente avanzan en la dirección tangencial, sino qe también tienen componente normal de aproimarse o alejarse de la spericie: (,); vv(,). En la capa límite laminar, la distribción de velocidad es próima a la marcada por el ljo de Poiseille, es decir na distribción parabólica; anqe la solción eacta se pede obtener por integración de la Ecs. e Prandtl: es la denominada solción de Blasis. En la capa límite trblenta, la distribción de velocidad tiene periles no parabólicos, con velocidades medias m próimas a la de la región eterior, de imposible resolción analítica. Apntes de Mecánica de Flidos JM 9
5.. APA LÍMITE SIN GRAIENTE E PRESIÓN: PLAA PLANA. onsideremos el ljo en la capa límite, de na corriente niorme qe incide sobre na placa plana, a presión constante, con lo qe la presión no varía en la dirección del ljo, es decir se tiene n gradiente de presión nlo: dp/d. Para determinar el espesor de la capa límite a lo largo de la placa: (), se deine el espesor de cantidad de movimiento de Karman, qe permite obtener na epresión alternativa a la tensión en la pared de la le de Newton de viscosidad; a partir de las dos epresiones de dicha tensión en la pared, se obtiene la Ec. dierencial del espesor de la capa límite. ESPESOR E ANTIA E MOVIMIENTO de von KARMAN. onsideremos el volmen de control ormado por la solera de la placa de la spericie de corriente qe pasa por el borde de la capa límite en na determinada posición, se inicia en el borde de ataqe (): Línea de corriente d () d h F 's Fig... Volmen de control entre el borde de ataqe na posición genérica La erza de arrastre qe el lido hace sobre la placa, viene dada por la ecación integral de cantidad de movimiento aplicada al volmen de control considerado; en donde el ljo entra por la vertical del borde de ataqe (desde a h) sale por la vertical en la posición genérica (desde a ); evidentemente el lido no pede transvasar ni la solera ni la spericie de corriente: F h ( ) ρ( bd) ρb h ρb( d) bd La altra h de intersección de la línea de corriente con la vertical del borde de ataqe, se obtiene a partir de la igaldad del cadal qe entra por el borde de ataqe (de a h), del cadal qe sale (de a ): Q Q ENTRAA SALIA h bd b h bd h d on lo qe la erza de arrastre es: F ρ b ρ ( d) ρ b( d) ρ b d La integral, se denomina espesor de cantidad de movimiento de Karman: θ d La erza de arrastre qeda como: F ρb θ Apntes de Mecánica de Flidos JM 9
na orma alternativa de obtener la erza de arrastre sobre la placa, es integrar la erza de rozamiento elemental qe sobre n elemento de área de la solera (b d) ejerce el lido, a través del conocimiento de la tensión de rozamiento en la pared: df d( ρb θ) F w bd w b d b d dθ d w ρ dθ d... ANÁLISIS E VON KARMAN PARA FLJO LAMINAR: desde el borde de ataqe, hasta la zona de transición, el ljo es laminar, con lo qe pede epresar la tensión en la pared, a partir de la le de Newton de viscosidad: w μ Qe se pede obtener, a partir del conocimiento del peril de velocidades. Von KARMAN considero na distribción parabólica de velocidades: a+b+c ; con las condiciones de contorno: (,); (,); ( / ) ; se obtiene: (, ) () () on lo qe la tensión de rozamiento en la pared, en na determinada posición longitdinal, es: w μ μ... μ También se pede obtener la tensión en la pared, a partir del espesor de cantidad de movimiento: θ d ( /5) d... dθ d d w d d 5 d Igalando las dos epresiones de la tensión en la pared, se tiene la ecación dierencial qe permite obtener el espesor de la capa límite: d μ μ w μ d 5 d 5 d 5 Qe sele reescribirse, en términos de /: / μ 5,4 El espesor de desplazamiento, vendrá dado por: d d... μ,8 Apntes de Mecánica de Flidos JM 9
na vez, obtenida el espesor de la capa límite, la erza de arrastre desde el borde de ataqe, hasta na posición longitdinal genérica será: F μ 8 ρb θ ρb ρb b μ F,b μ 5 5 5 En la posición la tensión de rozamiento viscoso es: w μ μ μ /... μ 5 Qe se sele epresar adimensionalizada por la presión dinámica de la corriente eterior; dando lgar al coeiciente de ricción: w μ 5... 8 5 μ, La adimensionalización de la erza de arrastre, por la presión dinámica de la corriente eterior el área mojada (desde el borde de ataqe hasta la posición longitdinal ), da el coeiciente de arrastre: 8 F b μ 5 μ,4... ( b) ( b) 5... SOLIÓN ANÁLITIA E BLASIS PARA FLJO LAMINAR: a partir de las ecaciones de Prandtl de la capa límite, Blasis obtvo la solción analítica del peril de velocidades para ljo laminar; con la diicltad de qe es na solción por integración nmérica, obteniendo qe se aproima en na asíntota vertical a ; con lo qe el espesor de la capa límite no se pede obtener con la condición. No obstante la condición de qe,99, se alcanza aproimadamente con en 5. / μ on lo qe deiniendo el espesor de capa límite, en esa posición vertical, se tienen las sigientes ecaciones: 5,,,4,8 Apntes de Mecánica de Flidos JM 9
8... FLJO TRBLENTO: no eiste solción analítica de las ecaciones de Prandtl de capa límite trblenta, por el desconocimiento de los eserzos trblentos de nolds; no obstante a partir de las consideraciones de Prandtl de ajste de los periles trblentos en ljo sin gradiente de presión, a nciones potenciales, se sele considerar como distribción de velocidades en la capa límite trblenta: on esta distribción, el espesor de desplazamiento de cantidad de movimiento, son respectivamente: θ / / d d... 8 / / d d... La tensión en la pared es: w dθ d d d Prandtl (ver problema P9.), obtvo el coeiciente de ricción en nción del espesor de la capa límite:, / ( ) on lo qe la tensión en la pared también se pede epresar por: w, μ /, μ / Igalando las dos epresiones de la tensión en la pared, qeda la ecación dierencial, qe permite obtener el espesor de la capa límite: / / d, d integrando. μ, / ( ) Los coeicientes de ricción de arrastre, en nción del, son:, / ( ), ( ) / ZONA E TRANSIIÓN: en el ljo sobre na placa plana lisa, el régimen laminar se etiende hasta 5 5 ; el régimen trblento se inicia en 8 ; en la zona de transición de laminar a trblento, consideraremos la epresión del coeiciente de arrastre dada por Schlichting: zona laminar: <5 5 Ec. Blasis:,8 / ( ) L zona de transición: 5 5 <<8 Ec. Schlichting:, ( ) / L L 44 zona trblenta: 8 < Ec. Prandtl:, / ( ) L Apntes de Mecánica de Flidos JM 9
9.. APA LÍMITE ON GRAIENTE E PRESIÓN: ESPRENIMIENTO onsideremos qe en el ljo de capa límite, se tiene n gradiente de presión no nlo en la dirección del ljo: dp/d. Lo qe tiene dos consecencias: d dp. En la corriente eterior la velocidad no es constante, a partir de Eler: d d omo la variación de la velocidad de la corriente eterior es de signo contrario al gradiente de presión: si el gradiente de presión es negativo, la velocidad de la corriente eterior va amentando en la dirección del ljo; si el gradiente de presión es positivo, la velocidad de la corriente eterior va disminendo.. En la capa límite se pede tener n pnto de inleión en el peril de velocidades. A partir de las ecaciones de Prandtl para la capa límite en la pared (v), se tiene qe el signo de la derivada segnda de la distribción de velocidades en la pared viene dado por el signo del gradiente de presión. Además, como el peril de velocidades del borde de la capa límite debe ajstarse savemente a la corriente eterior, se tiene en dicho borde na derivada segnda negativa. μ dp d < Si el gradiente de presión es negativo, en la pared se tiene na derivada segnda de signo negativo, con lo qe la pendiente del peril de velocidades en monótona creciente, sin ningún pnto de inleión. Si el gradiente de presión es positivo, en la pared se tiene na derivada segnda positiva, en el borde de la capa límite negativa, con lo cal en algún pnto intermedio se debe tener n pnto de inleión (PI) con derivada segnda nla. En nción de la intensidad del gradiente de presión positivo, el pnto de inleión se tiene más o menos alejado de la pared: con gradientes débiles el pnto de separación esta cerca de la pared (si es tan débil, qe es nlo, el pnto de inleión está en la propia pared, tenemos el caso de ljo sin gradiente de presión); con gradientes ertes, el pnto de inleión se aleja de la pared. Otra consideración m importante, es el signo de la primera derivada de la velocidad (pendiente) en el contacto lido-sólido, qe viene determinada por la tensión en la pared. Para ljo con gradiente de presión negativo, dicha pendiente siempre es positiva va disminendo en la dirección del ljo: es decir se tienen cada vez menores tensiones de rozamiento en la pared. Para ljo con gradiente de presión positivo, la pendiente en la pared va amentando, pdiendo llegarse a na posición en donde dicha pendiente es ininita, a partir de la cal, la pendiente cambia de signo debido al retroceso del ljo: dando lgar a n ljo inverso en las proimidades de la pared, con el correspondiente desprendimiento de la capa límite. () () () () () (,) PI (,) (,) PI (,) PI w (,) PI Gradiente de presión avorable Gradiente de presión nlo Gradiente adverso débil Gradiente adverso crítico dp d dp d dp d < > > < d d d d d d Gradiente adverso erte SIN SEPARAIÓN SEPARAIÓN APA LIMITE ESPRENIA Fig... Eecto del gradiente de presión en la distribción de velocidades en la capa límite Apntes de Mecánica de Flidos JM 9
El desprendimiento se origina en el pnto de separación, en donde se tiene tensión nla en la pared, agas arriba, en la pared la pendiente del peril de velocidades es positivo, agas abajo es negativo. La teoría de Prandtl de la capa límite es válida hasta el pnto de separación; a partir del cal, se tiene la ormación de la estela trblenta con grandes interacciones con el ljo..4. FLJO ONVERGENTE- IVERGENTE. Para visalizar los conceptos anteriores, consideremos n objeto qe se inicia en el borde de ataqe (BA), se etiende hasta na sección de espesor medio (EM) inaliza en el borde de estela (BE); con lo qe tendremos tres zonas del ljo eterior en s avance: - Zona de ljo convergente, desde el borde de ataqe (BA) hasta el espesor máimo (EM). - Zona de ljo divergente, desde el espesor máimo (EM) al borde de estela (BE). - Zona de ljo de estela, a partir del borde de ataqe..4.. ZONA E FLJO ONVERGENTE: la sección de paso del lido va disminendo en la dirección del ljo, con lo qe por continidad de la corriente eterior, s velocidad va amentando: d da continidad : A cte. + d d d > da d zona convergente : < d omo en la región eterior, se cmple la Ec. de Eler, la geometría provoca n gradiente de presión negativo en la dirección del ljo: dp d Eler : d d dp < d d zona convergente : > d En la región viscosa de la capa límite, la Ec. de Prandtl, aplicada en la pared, da el signo negativo de la derivada segnda del campo de velocidad: dp Ec. Pr andtl en pared ( v ) + μ d < dp zona convergente : < d En el borde de la capa límite, el signo de la derivada segnda es siempre negativa, por la condición de máima velocidad, con lo qe en ésta zona convergente del ljo, el peril de velocidad no tiene ningún pnto de inleión, es imposible qe se desprenda la capa límite. Por lo qe al gradiente de presión negativo, se le sele denominar gradiente de presión avorable, por el no desprendimiento de la capa límite. Lo qe si pede tener lgar, es el paso de capa límite laminar a trblenta, sobre todo en nción de la rgosidad de la spericie del número de nolds de la corriente eterior. Otra consideración, es qe conorme el lido avanza, como la velocidad de la corriente eterior va amentando, el peril de velocidad en la capa límite desde la pared al borde de la capa límite, se va ensanchando, es decir, la primera derivada en la pared va disminendo, con ella la tensión en la pared. EM BA Fig..4. Evolción de la capa límite en zona de ljo convergente Apntes de Mecánica de Flidos JM 9
.4.. ZONA E FLJO IVERGENTE: la sección de paso del lido va amentando en la dirección del ljo, con lo qe por continidad de la corriente eterior, s velocidad va disminendo: continidad : zona divergente : A cte. da > d d d + da d d < d omo en la región eterior, se cmple la Ec. de Eler, la geometría provoca n gradiente de presión positivo en la dirección del ljo: dp d Eler : d d d zona divergente : < d dp > d En la región viscosa de la capa límite, la Ec. de Prandtl, aplicada en la pared, da el signo positivo de la derivada segnda del campo de velocidad: Ec. Pr andtl en zona divergente : pared dp > d ( v ) dp + μ d > En el borde de la capa límite, el signo de la derivada segnda es siempre negativa, por la condición de máima velocidad; es decir la derivada segnda del peril de velocidades se inicia en la pared con signo positivo inaliza en el borde de la capa límite con signo negativo, con lo cal en n pnto intermedio (<<) debe tener valor nlo, con lo qe es n pnto de inleión (PI). on lo qe es peril de velocidad desde la pared hasta el pnto de inleión, es de pendiente decreciente, lo qe tiene s maor valor en la pared, lo qe provoca grandes tensiones en la pared. onorme el lido avanza, la velocidad de la corriente eterior va disminendo, el peril de velocidad en la capa límite se va estrechando, la pendiente en la pared va amentando, pdiendo llegar a la posición, en donde se tiene na pendiente ininita, qe corresponde a na parada del lido, no solo en la pared, sino también en pntos próimos; ésta posición es la de separación de la capa límite (PS), a partir de la cal, el gradiente de presión obliga al lido en las proimidades de la pared, a invertir s sentido de avance, se provoca n ljo en sentido contrario al de la corriente eterior, qe se etiende desde la pared hasta determinada posición normal, a partir de la cal, el ljo retoma s sentido de avance llega a alcanzar la velocidad de la corriente eterior. En las secciones posteriores al pnto de separación de la capa límite, se provoca n ljo rotacional, de sentido de giro determinado por: velocidad nla en la pared, retroceso cerca de la pared avance cerca del borde de la capa límite. Son los denominados vórtices de Karman. EM PS BE Fig..5. Evolción de la capa límite en zona de ljo divergente Apntes de Mecánica de Flidos JM 9
P 9.. Análisis de von Karman para ljo laminar. En el ljo laminar de capa límite sobre na placa plana, la distribción de velocidad en la capa límite, permite obtener el espesor de cantidad de movimiento, a partir del cal se determina la distribción del espesor de la capa límite a lo largo de la placa. onsidere las distribciones de velocidad: a) lineal b) ) senoidal,; para cada na de ellas: ETERMINE: ATOS:. onstantes de la distribción de velocidad.. Espesor de cantidad de movimiento.. Tensión de rozamiento en la pared,a partir del espesor de cantidad de movimiento. 4. Tensión de rozamiento en la pared, para ljo laminar. 5. istribción del espesor de la cantidad de movimiento a lo largo de la placa: ().. istribción de la tensión en la pared a lo largo de la placa: w w ().. Ferza de arrastre, desde el borde de ataqe hasta na posición longitdinal. 8. oeicientes de ricción de arrastre: (), (). 9. A partir de los datos nméricos, represente: (); (). Fljo: velocidad corriente eterior (constante por ljo sin gradiente de presión) :,5 m/s Flido: aire: densidad: ρ, kg/m ; viscosidad: μ,8 mpa s Placa: anchra: b mm. RESOLIÓN: a) ISTRIBIÓN E VELOIA LINEAL: A+B ; ) Las constantes A B, se determinan a partir de las condiciones de contorno en la capa límite: en na determina posición longitdinal, la velocidad en la placa () es nla (); la velocidad en el borde de la capa límite () es la de la corriente eterior (): (condición de no deslizamiento) (borde de la capa límite) A + B A + B A ; B / ) El espesor de cantidad de movimiento viene deinido por: d θ θ d d... ) La tensión de rozamiento en la pared, se pede obtener a partir de la erza de arrastre sobre el volmen de control qe se tiene entre el plano vertical del borde de ataqe (), el plano vertical de la posición longitdinal (), la solera de la placa plana, la spericie de corriente qe pasa por el borde de la capa límite (ver 9..): obteniéndose: dθ d( / ) d w d d d 4) Para ljo laminar, la tensión de rozamiento viene determinada por la le de Newton de viscosidad, con lo qe en la pared (), se tendrá: v ( / ) μ w μ + μ + 5) La distribción del espesor de la capa limite (()), se obtiene por la igaldad de las epresiones de la tensión en la pared: μ d μ μ w d d + k d La capa límite se inicia en el borde de ataqe (, ; k); con lo qe s espesor es: () μ qe se sele epresar como: () μ μ / μ () Apntes de Mecánica de Flidos JM 9
) na vez obtenida la distribción del espesor de la capa límite, se pede determinar la tensión en la pared (ver apartado 4): μ μ ρμ w... μ / ) La erza de arrastre, se pede obtener a partir de la integración de la erza de rozamiento sobre n área mojada elemental b d: d F ρμ ρμ ρμ ρμ w ( b d) ( b d) b b b Anqe, es más inmediato a partir del espesor de cantidad de movimiento (ver apartado de teoría 9..): F ρb θ ρb ρb μ / b μρ 4 b ρμ 8) La adimensionalización de la tensión en la pared de la erza de arrastre, se hace a partir de la presión dinámica de la corriente eterior: oeiciente de ricción: oeiciente de arrastre: w ρμ / 4ρμ μ / 4 ρ / μ F b ρμ / 4ρμ 4μ 4 / 4 b b ρ / μ,5,55 9) on los datos nméricos:,5 m/s; ρ, kg/m ; μ,8 mpa s; b, m; las gráicas del espesor de la capa límite del coeiciente de arrastre son: ESPESOR APA LIMITE () μ,8,,5 (),954 (mm) 8 4 oeiciente de Arrastre 4 8 (mm).4.5..5..5..5..e+.e+4.e+5,,5 μ,8,55 () 5 Apntes de Mecánica de Flidos JM 9
4 b) ISTRIBIÓN E VELOIA SENOIAL: sen( ) ) Las constantes, se determinan a partir de las condiciones de contorno en la capa límite: en na determina posición longitdinal, la velocidad en la placa () es nla (); la velocidad en el borde de la capa límite () es la de la corriente eterior (). La condición de no deslizamiento, no aporta inormación sobre las constantes: en, sen( ), a qe el paréntesis del seno siempre es nlo, independientemente de los valores de. Por ello es necesario tener na condición de contorno adicional. Esta condición, es qe el borde de la capa límite cando se alcanza la corriente eterior no viscosa, la tensión de rozamiento viscoso debe ser nla; con lo qe al ser el ljo laminar, se debe cmplir qe sea nlo el gradiente de velocidad, es decir: ( ) v μ + μ ( sen( ) ) + μ cos ( ) cos ( ) π La condición de contorno, de alcanzar la velocidad de la corriente eterior en el borde de la capa límite, permite obtener la constante : π (, ) sen π on lo qe el peril de velocidades en la capa límite es: (, ) sen ( ) ) El espesor de cantidad de movimiento viene deinido por: d θ d π sen θ sen π 4 π d... π ) La tensión de rozamiento en la pared, se pede obtener a partir de la erza de arrastre sobre el volmen de control qe se tiene entre el plano vertical del borde de ataqe (), el plano vertical de la posición longitdinal (), la solera de la placa plana, la spericie de corriente qe pasa por el borde de la capa límite (ver 9..): obteniéndose: 4 π d dθ π 4 π d w d d π d 4) Para ljo laminar, la tensión de rozamiento viene determinada por la le de Newton de viscosidad, con lo qe en la pared (), se tendrá: w ( sen( π / ) ) v π π μ + μ + μ cos μ 5) La distribción del espesor de la capa limite (()), se obtiene por la igaldad de las epresiones de la tensión en la pared: 4 π d π μ π μ π μ w d d + k π d 4 π 4 π π /(4 π) μ La capa límite se inicia en el borde de ataqe (, ; k); qedando: ( ) () π qe se sele epresar como: (),995μ,995μ 4,95 / μ Apntes de Mecánica de Flidos JM 9 4,95 () 4,95
5 ) na vez obtenida la distribción del espesor de la capa límite, se pede determinar la tensión en la pared (ver apartado 4): w π μ μπ... 4,95 μ / ρμ 9,98 ) La erza de arrastre, se pede obtener a partir del espesor de cantidad de movimiento (ver apartado 9..): F 4 π 4 π ρb θ ρb ρb π π ( π /(4 π) μ ρμ... b,55b ρμ /(4 π) 8) La adimensionalización de la tensión en la pared de la erza de arrastre, se hace a partir de la presión dinámica de la corriente eterior: oeiciente de ricción: oeiciente de arrastre: w ρμ / 9,98... F,55b ρμ... b b 9) on los datos nméricos:,5 m/s; ρ, kg/m ; μ,8 mpa s; b, m; las gráicas del espesor de la capa límite del coeiciente de arrastre son:,9, ESPESOR APA LIMITE (),995μ,995,8,,5 () 5,4 (mm) oeiciente de Arrastre 4 8 4 4 8 (mm).45.4.5..5..5..5..e+.e+4.e+5,,5 μ,8, () 5 Apntes de Mecánica de Flidos JM 9
P 9.. Análisis de Prandtl para ljo trblento. En el ljo trblento de capa límite sobre na placa plana, la distribción de velocidad en la capa límite, se pede asimilar a la le logarítmica qe se tiene en ljo trblento en condctos: (A ln( /ν)+b). A partir de esta hipótesis, Prandtl obtvo na epresión implícita para el coeiciente de ricción en nción del número de nolds asociado al espesor de la capa límite. ETERMINE:. A partir de la velocidad de ricción ( ), la ecación (, ). Ajste a la nción anterior, la nción potencial: a ( ) b. ATOS: Le logarítmica de la capa límite trblenta: velocidad de ricción: w / ρ A/κ; constante de Karman: κ,4, B 5, Número de nolds, en el borde de la capa límite: /ν oeiciente de ricción: w /(½ ) RESOLIÓN: ) La velocidad de ricción, se pede epresar en nción del coeiciente de ricción: w ρ ρ Apntes de Mecánica de Flidos JM 9 En el borde de la capa límite:,, con estos valores en la distribción logarítmica de velocidad. A ln + B ν Epresando la velocidad de ricción, en nción del coeiciente de ricción, se tiene: ( / ) ( / ) A ln + B ν / A ln ( / ) En el nmerador del neperiano, se tiene el número de nolds, asociado al borde de la capa límite: La constante A es la inversa de la constante de Karman: A /κ /,4,44; qedando: on lo qe se tiene la ecación implícita: A ln( / ) + B ( ( / ) + 5, ),44 ln ν + B ν / 5 ) A partir de la ecación anterior se pede despejar el : e, 44 ando valores al coeiciente de ricción, se pede obtener el correspondiente número de nolds. La representación de vs,.5 permite obtener na crva, a la.45 qe se le ajsta na nción potencial: a ( ) b. En el.4.9 -. intervalo: 4 < <, la.5 R vs.995 nción potencial de ajste da:...9( ), con n coeiciente de correlación.5 del 99,%. El eponente, es. prácticamente -/, qedando la ecación de Prandtl, para el.5 coeiciente de ricción en capa límite trblenta:..5..e+4.e+5.e+.e+. / ( )
P 9.. Espesor de desplazamiento líneas de corriente en ljo trblento. onsidere el ljo trblento sobre na placa plana, desde la posición longitdinal con, a la posición longitdinal. Por esta última posición, pasa na línea de corriente tocando el borde de la capa límite; agas arriba, se pede obtener la altra de esa línea de corriente a partir del espesor de desplazamiento. ETERMINE:. La ecación del espesor de desplazamiento: (). La relación entre la altra de la línea de corriente los espesores de desplazamiento.. A partir de los datos nméricos, la capa límite, el espesor de desplazamiento la línea de corriente, entre las dos secciones (sección : ; sección : ) / ATOS: Fljo en capa límite trblenta: peril de velocidades de Prandtl: ( / ), Espesor capa límite: / ( ) Flido: aga: densidad: ρ kg/m ; viscosidad absolta : μ mpa s Velocidad de la corriente eterior: m/s ). El espesor de desplazamiento, viene deinido por: d / En ljo trblento, el peril de velocidades viene dado por la le potencial de Prandtl, ( / ) / / / + d d d / / + 8 8 La distribción del espesor de la capa límite para ljo trblento (ver pnto de teoría 9...) es:.. /... / / / μ / μ ( ) ( ) on lo qe el espesor de desplazamiento es:. / 8 /. 8 μ ( / μ) / ( / ) ) En na determinada sección (entre la la ), la línea de corriente qe pasa por el borde de la capa límite en la sección, tendrá na altra h() de tal orma qe el cadal qe pase por la sección (desde a h), sea el cadal qe pasa por la sección (desde a ): / (h ) + d d h + d Las integrales, se peden epresar en nción del espesor de desplazamiento: / d d on lo qe la altra de la línea de corriente es: h + ( ) ( ) h() ( ) + () ) Las ecaciones del espesor de la capa límite, el de desplazamiento la altra de la línea de corriente son:. /. / ( / μ) / ( / ) / (, /, / ), /, / /, μ h + m 8, h,4 +, / / (mm) 8 4 h: altra de la línea de corriente 8 APA LÍMITE : espesor de la capa límite 4 :espesor desplazamiento 4 5 8 9 (mm) Apntes de Mecánica de Flidos JM 9