ANÁLISIS Junio 9.. Dada la función cos si 0 b si f() a si 0 a) [ punto] Calcular los valors d a y b para qu la función f() sa continua n b) [ punto] Es drivabl la función obtnida n = 0?. En =?. Razona la rspusta.. Calcular: a) [,5 puntos] d ( ln) b) [,5 puntos] d. a) a =, b =. b) Sí, no.. a) C b) ln ( ln) Junio 9.. a) [ punto] Encontrar las asíntotas d la curva f() b) [ punto] Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas vrticals pud tnr una función racional cualquira?. Razónalo.. [,5 puntos] Una cartulina rctangular d prímtro 6 cm y dimnsions, y gira n torno a un lado fijo d longitud y, gnrando un cilindro C. Para qué valors d, y tin C un volumn máimo? y. a) Vrtical: = ; Oblicua:. = cm, y = 6 cm. y b) Oblicuas: sólo una; vrticals: varias. Sptimbr 9.. Rsponda razonadamnt a las siguints prguntas rlativas a la función cuya gráfica s dibuja n la siguint figura (La rgión curva s part d la parábola y + y = 0)
a) [,5 puntos] Drivabilidad d la función n los puntos =, =, =. Calcular la drivada n cada uno d los puntos citados, si ist. b) [0,5 puntos] Puntos d discontinuidad n l intrvalo [-, ]. Tipo d discontinuidad.. [,5 puntos] Calcular l ára d la rgión dl plano limitada por l j y la curva y = sn, ntr los π π valors d : y.. a) f (-) = ; f () = 0 ; f () b) Discontinuidad invitabl (salto finito) n. 8 u Sptimbr 9.. Sa f : a,b una función continua, cumplindo qu f() > 0 n todos los puntos dl intrvalo a,b. y a) [,5 puntos] Pruba qu F(y) f()d s una función crcint dfinida n l intrvalo a,b b) [0,5 puntos] Intrprta gométricamnt l rsultado. a. [,5 puntos] Dado un sgmnto AC d longitud a, dividirlo n dos parts AB y BC d modo qu construyndo un cuadrado Q d bas AB y un triángulo quilátro T d lado BC, la suma d las áras d Q y T sa mínima.. Torma fundamntal dl cálculo.. AB a ( ) BC a Junio 95.. [,5 puntos] Eplica razonadamnt la intrprtación gométrica d la drivada d una función n un punto. En qué puntos d la curva + la rcta tangnt s paralla al j OX?. [,5 puntos] La suma d todas las aristas (incluidas las d la tapa) d una pirámid rcta con bas cuadrada s. Calcular sus dimnsions para qu l ára latral sa máima.. En = 0 y n =. Arista bas: ; arista latral:
Junio 95.. [ puntos] Hallar dos númros naturals qu sumn y tal qu l producto d uno por l cuadrado dl otro sa máimo.. [,5 puntos] Hallar l ára dl triángulo curvilíno limitado por la curva f(), l j OY y l j OX.. 8 y. ln u Sptimbr 95.. [,5 puntos] La función f() = + p q tin un valor mínimo rlativo para =. Calcular las constants p y q.. [,5 puntos] Hallar l ára d la rgión limitada por la curva 5 + 6 y l j OX.. p =, q =. 7 u Sptimbr 95.. [ puntos] Hallar los máimos y mínimos d la función mayor qu l máimo? f(). Cómo s plica qu l mínimo sa 8. [,5 puntos] La suma d todas las aristas (incluidas las d la tapa y la bas) d un prisma rcto con bas un triángulo quilátro s 6. Calcular sus dimnsions para qu l ára latral sa máima.. Mínimo: (0,0), máimo: (6, ). Porqu n = 8 hay una discontinuidad (as. vrt.).. u Junio 96.. [,5 puntos] Hallar l dominio d dfinición, máimos y mínimos intrvalos d crciminto y dcrciminto d la función f(). [,5 puntos] Encontrar las asíntotas y posibls simtrías d la curva qu la rprsnta.. [,5 puntos] Qurmos disñar un nvas cuya forma sa un prisma rgular d bas cuadrada y capacidad 80 cm. Para la tapa y la suprfici latral usamos un dtrminado matrial; pro para la bas dbmos mplar un matrial un 50% más caro. Hallar las dimnsions d st nvas (longitud dl lado d la bas y altura) para qu su prcio sa l mnor posibl.
. Dom (f) = {, } ; Máimo rlativo n = 0 ; Crcint n (,0) y dcrcint n (0, ). Asíntotas vrticals: = y =. Asíntota horizontal: y = 0. La curva s simétrica rspcto al j OY.. Arista d la bas: cm ; arista latral: 5 cm. Junio 96.. [ punto] Dada la función f() = + a + 5 hallar l valor d a para qu tnga un trmo rlativo (máimo o mínimo) cuando =. [,5 puntos] Encontrar, n st caso, todos los trmos rlativos, intrvalos d crciminto y dcrciminto y puntos d inflión. [ puntos] Hallar l ára comprndida ntr las parábolas y = + y = +. a =. = 0 (máimo rlativo), = (mínimo rlativo), = (punto d inflión). Crcint: (,0) (, ), Dcrcint: (0,). u Sptimbr 96.. [,5 puntos] Hallar l punto P d la curva c d cuación y [ punto] Qué ángulo forma la rcta PQ con la tangnt a c n P? más próimo al punto Q = (, ).. [ puntos] Hallar l ára d la rgión dl plano limitada por la parábola y = + y la rcta y = +.. P(, ). 90 o.. u Sptimbr 96.. [0,5 puntos] Hallar a para qu la función f dfinida por si f() a si sa continua para todo valor d. [ punto] Una vz hallado st valor d a, hallar la cuación d la tangnt a la curva qu la rprsnta n l punto d abscisa. [ punto] Eist drivada d sta función cuando val? (razonar la rspusta). [ puntos] Disponmos d mtros d matrial para hacr una valla con la qu qurmos dlimitar un jardín d forma rctangular y con la mayor suprfici posibl. En uno d los lados dl rctángulo tnmos qu ponr dobl vallado. Encontrar las dimnsions d s jardín, indicando la dl lado doblmnt vallado.. a =. Ec. tangnt: + 9y 0 = 0. No.. Lado dobl: m, l otro lado: 6 m.
Junio 97.. Dada la función f() s pid a) [0,5 puntos] Asíntotas y simtrías d la curva y = f(). b) [,5 puntos] Etrmos rlativos intrvalos d crciminto y dcrciminto. c) [0,5 puntos] Dibujar la gráfica. Prubas d Accso a la Univrsidad d Zaragoza. [ puntos] Hallar l ára limitada n l primr cuadrant por las gráficas d las funcions y = sn, y = cos y l j d ordnadas. a) Asíntota vrtical: = 0, asíntota oblicua: y =. Simtría rspcto al orign d coordnadas. b) Crcint: (-,), dcrcint: (, ) (, ) c). u Junio 97.. [ puntos] Estudiar la continuidad y drivabilidad d la función f dada por si - f() si - - si razonando las rspustas.. [,5 puntos] Hallar las dimnsions dl rctángulo d ára máima qu pud inscribirs n un triángulo isóscls cuya bas s l lado dsigual y mid 6 cm y la altura corrspondint mid cm. Suponr qu un lado dl rctángulo stá n la bas dl triángulo.. La función s continua. No s drivabl n =.. Bas: 8 cm. Altura: 6 cm Sptimbr 97.. Dada la función f(), s pid: a) [ punto] Asíntotas d la curva y = f(). b) [ punto] Etrmos rlativos intrvalos d crciminto y dcrciminto. c) [0,5 puntos] Dibujar la gráfica.. [ puntos] La drivada sgunda d una función f s f () = 6 ( ). Hallar la función si su gráfica pasa por l punto (, ) y n st punto s tangnt a la rcta y 5 = 0. 5
. a) Asíntota vrtical: = 0 ; asíntota oblicua: y =. b) Mínimo rlativo n = c). f() = + Sptimbr 97. si. [,5 puntos] Hallar a y b para qu la función f dada por f() sa continua y a b si drivabl para todo ral. [ punto] Encontrar los puntos n dond la rcta tangnt a la curva y = f() s paralla al j OX.. [ puntos] Un cono circular rcto tin una altura d cm y radio d la bas d 6 cm. S inscrib un cono d vértic l cntro d la bas dl cono dado y bas paralla a la dl cono dado. Hallar las dimnsions (altura y radio d la bas) dl cono d volumn máimo qu pud inscribirs así.. a =, b =. Puntos d tangnt horizontal: = 0, =. Radio bas = cm. Altura = cm. Junio 98. 0 si -. Dada la función f dfinida por f() a b si - s pid: 6 si a) [0,5 puntos] Hallar a y b para qu la función sa continua n todo ral. b) [ punto] Analizar su drivabilidad. c) [ punto] Rprsntación gráfica.. [,5 puntos] Un campo d atltismo d 00 mtros d prímtro consist n un rctángulo con un smicírculo n cada uno d dos lados opustos. Hallar las dimnsions dl campo para qu l ára d la part rctangular sa lo mayor posibl.. a) a =, b =. b) No drivabl n = c). Largo: 00 m., ancho: 00 m. 6
Junio 98.. [,5 puntos] Un jardinro dispon d 0 mtros d valla y dsa dlimitar un trrno rctangular y dividirlo n cinco lots con vallas parallas a uno d los lados dl rctángulo. Qué dimnsions db tnr l trrno para qu l ára sa la mayor posibl?. [ puntos] Dibujar l rcinto limitado por la curva y =, l j OX y la rcta paralla al j OY qu pasa por l punto dond la curva tin su mínimo rlativo. [,5 puntos] Hallar l ára d dicho rcinto.. Largo: 0 m., ancho: 0 m.. / 0,6 u Sptimbr 98.. [ punto] Comprobar qu todas las funcions f() = 5 + 0 + a + b tinn un único punto d inflión. [,5 puntos] Hallar a y b para qu la tangnt a la gráfica d dicha función n l punto d inflión sa la rcta y = +.. [,5 puntos] Hallar l ára dl rcinto limitado por las gráficas d las funcions f() = y f() =. La cuación f () = 0 tin una única solución. a =, b =. 0. u Sptimbr 98.. Dada la función f() s pid: ( ) a) [0,5 puntos] Asíntotas d la curva y = f(). b) [,5 puntos] Etrmos rlativos intrvalos d crciminto y dcrciminto. c) [0,5 puntos] Dibujar la gráfica.. [ puntos] Hallar los puntos d la curva y = más próimos al punto d coordnadas (, 0). [0,5 puntos] Cómo s llama dicha curva?, dibujarla.. a) Asíntota vrtical: =, asíntota horizontal: y = b) Mínimo: (0,0). Crcint: (0,), dcrcint: (,0) (, ) c).,,,. Hipérbola. 7
Junio 99. ln si. S dfin la función f dl modo siguint: f() a b si [ punto] Encontrar los valors d a y b para qu la función sa continua y su gráfica pas por l orign d coordnadas. [ punto] Estudiar su drivabilidad y [0,5 puntos] hallar los puntos d su gráfica n los qu la tangnt s paralla al j OX. (NOTA: ln significa logaritmo npriano).. [ punto] Dibujar l rcinto limitado por las gráficas d las funcions y, y = y = 8. [,5 puntos] Hallar l ára d st rcinto.. a =, b = 0. Drivabl. En.. A u Junio 99.. D la función y nos pidn: ( ) i) [ punto] Dominio d dfinición y asíntotas. ii) [ punto] Máimos y mínimos rlativos intrvalos d crciminto y dcrciminto. iii) [0,5 puntos] Rprsntación gráfica.. [,5 puntos] El barco A abandona un purto a las 0 horas y navga dirctamnt hacia l nort a la vlocidad constant d 6 nudos. El barco B s ncuntra a las 0 horas a 0 millas marinas al st dl purto y navga n dircción a dicho purto a la vlocidad constant d 8 nudos. Cuándo s hallarán stos barcos lo más próimos l uno dl otro? (Dar l rsultado n horas y minutos). NOTA: un nudo s una milla marina por hora.. i) Dom. = {}. Asíntota vrtical: =, asíntota oblicua: y = ii) Mínimo: (, ). Crcint: (,) (, ), dcrcint: (,) iii) 8. A las horas y minutos.
Sptimbr 99.. Dada la función f(), s pid: Prubas d Accso a la Univrsidad d Zaragoza i) [0,5 puntos] Hallar su dominio d dfinición. ii) [,5 puntos] Hallar l punto o puntos n los qu la gráfica d la curva y = f() tin tangnt horizontal. iii) [0,5 puntos] Dibujar sta curva n un pquño ntorno d cada uno d stos puntos.. [,5 puntos] Hallar l valor d m (qu supondrmos positivo) para qu l ára dlimitada por la parábola y = y la rcta y = m valga 6 (unidads d ára). i) Dominio:, ii) En = : (, 0,8) (máimo) y n = : (,,5) (mínimo) iii). m = 6 Sptimbr 99.. Dada la función f(), s pid: i) [0,5 puntos] Hallar su dominio d dfinición. ii) [ punto] Hallar, si los tin, sus trmos rlativos. iii) [ punto] Hallar, si las tin, las asíntotas horizontals d la curva y = f(). 9. [,5 puntos] Hallar l punto P d la curva y más próimo al punto Q,0. [ punto] Qué ángulo forman la rcta qu un P y Q y la tangnt a la curva n l punto P?. i) Dominio: (, ). ii) No tin trmos rlativos. iii) Asíntota horizontal: y = (cuando + ). P (9, ). 90 o. Junio 00.. [,5 puntos] Hallar los valors d las constants a, b y c para qu las gráficas d las funcions f() = + a + b y g() = + c pasn por l punto (, ) y n st punto tngan la misma tangnt.. [,5 puntos] Un triángulo isóscls tin 0 cm d bas (qu s l lado dsigual) y 0 cm d altura. S inscrib n st triángulo un rctángulo uno d cuyos lados s apoya n la bas dl triángulo. Hallar las dimnsions dl rctángulo así construido y qu tnga la mayor ára posibl. 9
. a =, b = 0, c =.. Bas:,5 cm., altura: 0 cm. Junio 00.. S considra la función: f() ) [ punto] Estudiar su continuidad y drivabilidad cuando =. ) [ punto] Alcanza para dicho valor d un máimo o mínimo rlativo? Razonar la rspusta. ) [0,5 puntos] Si la rspusta a la prgunta antrior s afirmativa, s prgunta si l trmo n custión s absoluto.. [,5 puntos] Hacindo l cambio d variabl u = calcular d.. ) Es continua y no drivabl n = ) En = la función tin un mínimo rlativo. ) No pud sr absoluto pus n = 0 la función tin una asíntota vrtical (la función crc indfinidamnt cuando 0 + y dcrc indfinidamnt cuando 0 ).. ln Sptimbr 00.. [,5 puntos] D todos los prismas rctos d bas cuadrada y tals qu l prímtro d una cara latral s d 0 cm, hallar las dimnsions (lado d la bas y altura) dl qu tin volumn máimo.. Tnmos la función f dfinida para todo númro ral no ngativo y dada por [0,5 puntos] S pid su rprsntación gráfica, [,5 puntos] hallar 0 gométricamnt l rsultado. si 0 f() si f () d [0,5 puntos] intrprtar. Bas: 0 cm., altura: 5 cm.. 5 f () d Ára dl rcinto limitado por la función, l j OX y las rctas = 0 y =. 0 0
Sptimbr 00.. [,5 puntos] Hallar a, b y c para qu la función f dfinida n todo númro ral y dada por si f() a b c si sa continua y drivabl n todo ral y admás alcanc un trmo rlativo para =. [ punto] Rprsntar gráficamnt la función f, analizando su continuidad y drivabilidad.. [,5 puntos] Calcular d. a, b =, c = Continua. No drivabl n =. ln Junio 0.. [,5 puntos] Hallar los valors d los coficints b, c y d para qu la gráfica d la función y b c d cort al j OY n l punto (0, ), pas por l punto (, ) y n st punto tnga tangnt paralla al j OX. [ punto] Una vz hallados sos valors hallar los máimos y mínimos rlativos y los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la citada función.. [,5 puntos] Un rctángulo tin por vértics los puntos d coordnadas (0, 0), (a, 0), (a, b) y (0, b), d modo qu l punto (a, b) tin coordnadas positivas y stá situado n la curva d cuación y. D todos stos rctángulos hallar razonadamnt l d ára mínima. 85. b = 5, c = 8, d =. Máimo rlativo:,, mínimo rlativo: (,). 7. Crcint: (, a, b = 8 ) (,+ ), dcrcint:,
Junio 0.. [,5 puntos] Hallar l punto d la curva d cuación y 6 n l qu la tangnt a la misma tin pndint mínima. Escribir la cuación d dicha tangnt.. [,5 puntos] Hallar todas las funcions f cuya drivada s f'() indicando l dominio d dfinición d éstas.. P(, 0). y =. f() ln C Dominio: (, ) (0, + ) Sptimbr 0.. Sa f la función dfinida para todo númro ral d modo qu para los valors d prtncints al intrvalo crrado [, ] s tin f() ( )( ) y para los valors d no prtncints a dicho intrvalo s tin f() = 0. S pid: a) [,5 puntos] Estudiar su continuidad y drivabilidad. b) [ punto] Hallar razonadamnt su valor máimo, indicando l valor o valors d n dond s alcanza.. [,5 puntos] Hallar la función f dfinida n todo númro ral qu vrifica las dos condicions siguints: a) f'() b) Su gráfica pasa por l punto (0, ).. a) f() s continua. No s drivabl n =. b) El máimo s alcanza n. f() = ( + ) Sptimbr 0.. [,5 puntos] Un pquño islot dista km d una costa rctilína. Qurmos instalar n dicho islot una sñal luminosa qu s ha d alimntar con un tndido léctrico. La funt d nrgía stá situada n la costa n un punto distant km dl punto d la costa más próimo al islot. El cost dl tndido submarino por unidad d longitud s 5 dl tndido n tirra. A qué distancia d la funt d nrgía db mpzar l tndido submarino para consguir un cost mínimo?.. [,5 puntos] Hallar l ára dl rcinto limitado por las gráficas d las funcions y y. 50 m.. 5 u
Junio 0. Prubas d Accso a la Univrsidad d Zaragoza. S sab qu la función f() = + a + b corta a su función drivada n = y qu, admás, n dicho punto f tin un trmo. a) [ punto] Dtrmina los valors d a y b. b) [0,5 puntos] Dtrmina la naturalza dl trmo qu f tin n =. c) [ punto] Tin f algún otro trmo?. San las funcions f() log b, g() a b. (Nota: l logaritmo s npriano) a) [ punto] Dtrmina a y b para qu ambas funcions san tangnts ntr sí al pasar por =. b) [ punto] Dtrmina n qué puntos s anula cada una d stas funcions. c) [0,5 puntos] Dtrmina cuál s l dominio d la función producto h() = f() g().. a) a =, b = b) Es un mínimo rlativo. c) Tin un máimo rlativo n =.. a) a =, b = b) f() s anula n. g() s anula n. c) Dom (h) = +. Junio 0.. Sa la intgral. Sa sn d a) [,5 puntos] Intégrala mdiant l cambio t =. b) [ punto] Calcula la constant d intgración para qu la función intgral pas por l orign d coordnadas. f(). a) [ puntos] Halla los trmos y puntos d inflión d la función f. b) [0,5 puntos] Calcula l límit d f n + y.. a) sn cos C b) C = cos sn 0,. a) (, 0) mínimo rlativo,, máimo rlativo, 7 b) lím f (), lím f (), 7 punto d inflión Sptimbr 0.. Sa la función f() cos. a) [ punto] Tin límit n +? (justifica tu rspusta). b) [,5 puntos] Calcula la intgral d f ntr = 0 y l primr cro positivo qu tin la función. Nota: Llamamos cros d una función a aqullos puntos dond s anula.. [,5 puntos] En un concurso s da a cada participant un alambr d dos mtros d longitud para qu doblándolo convnintmnt hagan con l mismo un cuadrilátro con los cuatro ángulos rctos. Aqullos qu lo logrn rcibn como prmio tantos uros como dcímtros cuadrados tnga d suprfici l cuadrilátro construido. Calcula razonadamnt la cuantía dl máimo prmio qu s pud obtnr n st concurso.. a) No, pus la función y = cos oscila ntr y. b) 0 cos d. 5
Sptimbr 0. si 0. Sa la función f dfinida para todo númro ral n la forma f() snβ cosβ si 0 S pid: a) [, puntos] Dtrminar l valor d para qu f sa drivabl n = 0. π b) [, puntos] Calcular la intgral d f sobr l intrvalo 0,. Nota: S ntind qu la función f cuya intgral s pid n la part b) s la dtrminada prviamnt n la part a). No obstant, si alguin no ha sabido calcular l valor d, db intgrar f djando como parámtro.. Sa la función f() a) [0,5 puntos] Dtrminar su dominio, s dcir, l conjunto d puntos dond stá dfinida. b) [ puntos] Estudiar sus máimos y mínimos (si los tin) n l intrvalo (, ), prcisando si son absolutos o rlativos rspcto al intrvalo indicado.. a) = b). a) Dom (f) = {, } 9 b) Tin un mínimo rlativo n, qu s l mínimo absoluto n l intrvalo, Junio 0.. [,5 puntos] Dtrminar un polinomio d trcr grado sabindo qu pasa por los puntos 0,0 y, y qu los dos son trmos, y [ punto] analizar la naturalza d ambos trmos, s dcir si son máimos o mínimos.. San las parábolas y y 8 6. a) [0,5 puntos] Rprsntar sus gráficas. b) [0,5 puntos] Calcular los puntos dond s cortan ntr sí ambas parábolas. c) [,5 puntos] Hallar la suprfici ncrrada ntr las dos parábolas.. y. a) b),0 y,0 c) u
Junio 0.. Sa la parábola f() a b c. [,5 puntos] Dtrminar sus coficints sabindo qu a) pasa por l orign d coordnadas tangncialmnt a la bisctriz dl primr cuadrant y b) tin un trmo n 0, 5 [ punto] Dtrminar la naturalza dl trmo antrior.. Sa la función f() a) [0,5 puntos] Calcular la cuación d su tangnt n l orign d coordnadas. b) [ punto] Dtrminar los trmos d la función f. c) [ punto] Hallar l ára ncrrada ntr la gráfica d sta curva, l j d abscisas y la rcta. f(). S trata d un mínimo rlativo.. a) y = b) Mínimo rlativo n, c) u Sptimbr 0.. [0,5 puntos] Dtrminar l dominio, [0,5 puntos] cros y [,5 puntos] trmos d la función f() ln.. Sa la parábola y. a) [0,5 puntos] Dtrminar los puntos d cort d la parábola con los dos js coordnados. b) [ punto] Calcular l ára ncrrada ntr la parábola y l j d abscisas. c) [ punto] Calcular l ára ncrrada ntr la parábola y l j d ordnadas.. Dom.: (0, ) ; Cros: = ; mínimo n,. a) Con OX: (, 0), (, 0). Con OY: (0, ) b) u c) u Sptimbr 0.. Sa la función f() sn y sa T la rcta tangnt a su gráfica n π. Dtrminar: a) [,5 puntos] La cuación d T. b) [ punto] El ára ncrrada ntr T y los js coordnados.. Sa la función f() a) [0,5 puntos] Dfinir su dominio. b) [0,5 puntos] Calcular su límit n l infinito. c) [0,5 puntos] Dtrminar sus trmos. d) [ punto] Calcular l ára ncrrada por la gráfica d f ntr las abscisas 0 y. 5
. a) y π π b) π. a) Dom = b) límf() 0 c) Mínimo n, ; máimo n, d) ln Junio 0.. [,5 puntos] Tnmos qu hacr dos chapas cuadradas d dos distintos matrials. Los dos matrials tinn prcios rspctivamnt d y uros por cntímtro cuadrado. Cómo hmos d lgir los lados d los cuadrados si qurmos qu l cost total sa mínimo y si admás nos pidn qu la suma d los prímtros d los dos cuadrados ha d sr d un mtro?.. [,5 puntos] Calcular l ára ncrrada ntr la gráfica d la función ponncial la misma qu un los puntos d abscisas = y = f() y la curda a. 5 cm l d y 0 cm l d. S u Junio 0.. Sa la función f() sn. Dtrminar: a) [,5 puntos] El ára ncrrada ntr su gráfica y l j d abscisas ntr los valors = 0 y = π b) [ punto] El ára ncrrada ntr la tangnt n = π y los dos js coordnados.. Sa la función f() sn. Dtrminar: a) [,5 puntos] El máimo d la función n l intrvalo 0, π. b) [ punto] Ecuación d las tangnts a la gráfica n los trmos dl intrvalo antrior.. a) S. a) máimo: π u b) π, π π u b) y = (n = 0) ; (n π ) π π y π Sptimbr 0.. [,5 puntos] Dscomponr l númro n dos sumandos positivos d forma qu la suma d los logaritmos nprianos d los sumandos sa máima. [ punto] Calcular dicha suma.. [,5 puntos] Calcular l ára ncrrada ntr las gráficas d la rcta y y la parábola y. y. S ln. 9 u 6
Sptimbr 0.. Sa l polinomio a b c. a) [,5 puntos] Dtrminar los coficints a, b y c sabindo qu tin trmos n y n y qu pasa por l orign d coordnadas. b) [ punto] Estudiar la naturalza d ambos trmos.. Sa la parábola f() 6 9. a) [ punto] Probar qu s tangnt a uno d los js coordnados, indicando a cual. b) [,5 puntos] Calcular l ára ncrrada ntr la gráfica d la parábola y los dos js coordnados.. a) a 0, b, c 0 b) : máimo rlativo, : mínimo rlativo, 0 b) 9 u. a) Es tangnt al j d abscisas n l punto Junio 05. sn. Sa la función f(). [ punto] Dtrminar l dominio d f [,5 puntos] indicar si f tin sn límit finito n algún punto qu no sa dl dominio.. [,5 puntos] Calcular los trmos y los puntos d inflión d la función intrvalo 0, π. f() sn n l kπ. D(f) con k = 0,,,... límf() 0 π 7π. Máimo rlativo: ; mínimo rlativo: ; Puntos d inflión: π y π Junio 05.. [,5 puntos] Qurmos construir un marco rctangular qu ncirr una suprfici d un mtro cuadrado. Sabmos qu l cost d cada cntímtro n los lados horizontals s d uros, mintras qu n los lados vrticals s d 8 uros. Dtrminar las dimnsions qu hmos d lgir para qu l marco nos rsult lo más barato posibl.. [,5 puntos] Sa la función f() sn. Calcular la intgral d sta función ntr = 0 y su primr cro positivo. (Nota: Llamamos cros d una función a aqullos puntos dond s anula).. mtros d ancho y 0,5 mtros d alto. π Sptimbr 05.. Sa la función f() sn. [,5 puntos] Dtrminar sus trmos y [ punto] sus puntos d inflión n l intrvalo π, π. 7
. Sa la rgión acotada ncrrada ntr las parábolas f() y g() 6. a) [,5 puntos] Hallar la suprfici d. b) [ punto] Razonar (no valn comprobacions con la calculadora) cuál d las dos parábolas stá n la part infrior d la rgión. Mínimo:. a) 6 u π ; máimo: π ; Puntos d inflión: π y b) argumntar a partir dl signo d la intgral dfinida. π Sptimbr 05.. [,5 puntos] Calcular razonadamnt l límit d la sucsión n (n ) (n ). [,5 puntos] Dtrminar l ára ncrrada por la gráfica d la función ntr l orign y l primr punto positivo dond f s anula. f() sn y l j d abscisas. 6. π u Junio 06. b. [,5 puntos] Calcular los valors d a y b para qu la función f() a tnga como asíntota vrtical la rcta y como asíntota horizontal la rcta y. Razonar si para a y b la función f() tin algún mínimo rlativo.. a) [,5 puntos] Utilizando l cambio d variabl sn b) [ punto] Calcular lím 0 7. a, b. f() no tin trmos rlativos.. a) C b) t, calcular d Junio 06.. La función f : 0, a si 0 8 dfinida por f() si 8 s continua n 0,. a) [0,75 puntos] Hallar l valor d a qu hac qu sta afirmación s cirta. b) [,75 puntos] Calcular 0 0 f()d 8
. [,5 puntos] Dscomponr l númro 8 n dos sumandos positivos d manra qu la suma dl cubo dl primr sumando más l cuadrado dl sgundo sa mínima.. a) a 8 b) 06 ln 6. y 6. Sptimbr 06.. Dadas las funcions f() y funcions ntr las rctas: a) [,5 puntos] 0 y. b) [,5 puntos] y. g(), dtrminar l ára ncrrada por las gráficas d ambas. a) [,5 puntos] Comprobar si b) [,5 puntos] Calcular lím sn f() tin un máimo rlativo n 5 π. a) u b) 7 u. Comprobar qu π f' 0 y π f'' 0 Sptimbr 06.. a) [,5 puntos] La función f() no stá dfinida para 0. Dfinir f(0) d modo qu f() sa una función continua n s punto. b) [,5 puntos] Utilizando l cambio d variabl t ln, calcular ln(ln) d ln. [,5 puntos] Sa f: una función polinómica d grado mnor o igual a trs qu tin un mínimo rlativo n,. Calcular la prsión d dicha función. 0, 0 y un máimo rlativo n. a) f(0) b) I ln ln C. f() Junio 07.. Calcular: a) [,5 puntos] lím 5 b) [,5 puntos] lím. [,5 puntos] Sa rspusta. F() lnt dt, con. Calcular F (). Es F () una función constant? Justificar la 9
. a) b). F' () F"() no s constant Junio 07.. Sa la función f: dfinida por f() a) [0,5 puntos] Calcular su dominio. b) [ punto] Estudiar sus intrvalos d crciminto y dcrciminto. c) [ punto] Analizar sus asíntotas vrticals, horizontals y oblicuas y dtrminar las qu istan... [,5 puntos] Calcular / ln d. D (f). a) b) Crcint:, 0, Dcrcint:, 0. c) Asíntota vrtical: Asíntota oblicua: y,6 Sptimbr 07. si 0. Sa f() acos() si 0 π a b si π a) [ punto] Estudiar los valors d a y b para los qu la función f () s continua para todo valor d. b) [0,5 puntos] Dtrminar la drivada d f() n l intrvalo 0,π. c) [ punto] Calcular π 0 f()d. [,5 puntos] Calcular un polinomio d trcr grado p() a b c d qu satisfac: i) p(0) ii) Tin un máimo rlativo n y un punto d inflión n 0 9 iii) p() d 0. a) a, b b) f'() sn() c). p() 8π π Sptimbr 07.. [,5 puntos] Obtnr las dimnsions d trs campos cuadrados d modo qu: i) El prímtro dl primro d llos s l tripl dl prímtro dl trcro. ii) S ncsitan actamnt 66 mtros d valla para vallar los trs campos. iii) La suma d las áras d los trs campos sa la mínima posibl. 0
. a) [,5 puntos] Utilizando l cambio d variabl t ln calcular b) [ punto] Calcular lím sn() sn(5) 0. 9 m, 60 m y 6 m. a) ln b) 0 d ln Junio 08. Opción A.. Sa f: log (a) (0,75 puntos) Calcular l dominio d f(). (b) (0,75 puntos) Estudiar si f() s una función par. (c) ( punto) Calcular las asíntotas d f().. (a) (,5 puntos) Dada F() tsn(t)dt, studiar si π 0 s una raíz d F'(). (b) (,5 puntos) Calcular l valor d α para l cual Opción B.. San las funcions f:, g:, h: αn n n n lím n n sn() (a) (0,75 puntos) Estudiar los intrvalos d crciminto y dcrciminto y los puntos d inflión d f() (b) (0,75 puntos) Calcular la drivada d f h (). (c) ( punto) Obtnr l ára dl rcinto limitado por f y g ntr 0 y.. (,5 puntos) Encontrar l valor d k para l cual la función si su drivada s una función continua. 6, f() k, s continua. Estudiar Opción A. D(f), 0 0, (b) Sí, s par. (c) (por la dcha.) y (por la izda.). (a). (a) Sí. (b) α 0 Opción B.. (a) Crcint. Punto d inflión:. k. f'() s discontinua n. 0, 0 (b) f h '() sn cos (c) S u
Sptimbr 08. Opción A.. Sa f() (a) ( punto) Calcular l máimo y l mínimo absolutos d f(). (b) (0,5 puntos) Estudiar si f() s una función simétrica rspcto al j OY. (c) ( punto) Calcular f() d.. (a) (,5 puntos) Razonar si para 0 F() 0 t dt (b) ( punto) Calcular lím s satisfac qu límf() límf'() 0 0 Opción B.. Sa f() (a) (,75 puntos) Estudiar su dominio, los intrvalos d crciminto y dcrciminto y sus asíntotas. (b) (0,75 puntos) Calcular lím f( ) f(). (,5 puntos) Una mprsa ha dcidido mjorar su sguridad instalando 9 alarmas. Un spcialista n l tma sñala qu, dada la structura d la mprsa, sólo pud optar por alarmas d dos tipos, A ó B; admás, afirma qu la sguridad d la mprsa s pud prsar como la décima part dl producto ntr l númro d alarmas dl tipo A instaladas y l cuadrado dl númro d alarmas instaladas d tipo B. Estudiar cuántas alarmas d cada tipo dbn instalar n la mprsa para maimizar la sguridad. Opción A.. (a) Máimo absoluto:, (b) No s simétrica rspcto a OY Mínimo absoluto: (c) 5 ln 5,0. (a) Sí s vrifica. (b) Opción B. D(f) Crcint D(f) asíntota vrtical, y asíntota horizontal. (a) (b). alarmas tipo A y 6 alarmas tipo B. Junio 09. Opción A.. a) [,5 puntos] Calcular los siguints límits: b) [,5 puntos] Obtnr cos( )d lím 7 9 6 5, lím cos sn. 0
. Sa f() sn() a) [0,75 puntos] Dtrminar si tin asíntotas d algún tipo. b) [,5 puntos] Estudiar sus intrvalos d crciminto y dcrciminto y la istncia d trmos rlativos. π c) [0,5 puntos] Son los puntos kπ con k, puntos d inflión d f()? Opción B.. Sa f() a) [0,5 puntos] Dtrminar su dominio. b) [0,75 puntos] Estudiar si f() s una función simétrica rspcto al orign d coordnadas. c) [,5 puntos] Obtnr l ára ncrrada por f() y l j OX ntr y.. a) [,5 puntos] Qurmos vallar un campo rctangular qu stá junto a un camino. La valla dl lado dl camino custa 5 uros/m y la d los otros trs lados, 0,65 uros/m. Hallar l ára dl campo d mayor suprfici qu podmos crcar con 800 uros. b) [,5 puntos] Calcular para qué valors d a y b la función a s continua. b Opción A.. a) ; b) cos sn. a) No tin asíntotas b) Es crcint. No tin trmos rlativos. Opción B. D 0, b) No lo s. c) ln9,97 u. a). a) 00 m b) a, b c) Sí. Sptimbr 09. Opción A.. San f() cos y h() a) [0,5 puntos] Calcular g() sn (). h f (). b) [0,5 puntos] Comprobar si g() s una función par. c) [,5 puntos] Obtnr g'() y studiar si s cirto qu g' 0.. Sa f() a) [0,5 puntos] Calcular su dominio. b) [0,75 puntos] Encontrar los puntos d cort d f() con l j OX y studiar si la función s crcint n l intrvalo 0,. c) [0,5 puntos] Obtnr lím f() d) [0,75 puntos] Hallar f()d
Opción B.. a) [,5 puntos] Calcular b) [,5 puntos] Sa f() d f(). π cos ()d 0 a, con a. Calcular 0 (n) n f () a f(), sindo (n) f () la drivada n-ésima. a) [,5 puntos] Sa f(). Estudiar para qué valors dl parámtro a sta a 0 función s continua n 0. b) [,5 puntos] Entr los númros cuya suma s 6, ncontrar aqullos númros positivos cuya suma d cuadrados sa mínima. Opción A.. a) g() sn cos b) No s par c) g'() 6sn cos cos cos sn. a) D b) Corta n Opción B. g' 0 0,0. Es crcint. c) d). a) b) 0. a) a b) 8 y 8 Junio 0.. Sa la función f() sn(a) 0 π 0 ( π) π a) ( punto) Calcular los valors d a para los cuals f() s una función continua. b) ( punto) Estudiar la drivabilidad d f() para cada uno d sos valors. c) (0,5 puntos) Obtnr 0 f()d.. (,5 puntos) Encontrar l polinomio d grado dos p() a b c sabindo qu satisfac: n 0 l polinomio val, su primra drivada val para y su sgunda drivada val n 0. Estudiar si l polinomio obtnido s una función par. Tin n 0 un punto d inflión?. a) a k k 0,,,.... a,b, c. No s par. No. b) Es drivabl n 0 c) Junio 0.. Sa f() a) (0,5 puntos) Calcular l dominio d f(). b) ( punto) Estudiar l crciminto y dcrciminto d f(). c) ( punto) Analizar las asíntotas d f() y calcular las qu istan.
. a) (,5 puntos) Hallar l ára ncrrada ntr la curva b) (,5 puntos) Calcular lnn lím ln(7n ) lnn. Prubas d Accso a la Univrsidad d Zaragoza y y la rcta y. D(f) 0, b) La función s crcint. c) 0 ; ; y 0. a). a) S 8 u b) ln 7 Sptimbr 0.. a) ( punto) Utilizar l cambio d variabl b) (,5 puntos) Estudiar la continuidad d t para calcular l siguint límit: f(). Sa la función f() ln ln con 0,. y obtnr f() d. lím 0 a) (,5 puntos) Calcular sus trmos rlativos. b) ( punto) Estudiar su crciminto y dcrciminto y razonar si pos algún punto d inflión.. a) b) Discontinua n (no vitabl).. a) Mínimo rlativo n b) Dcrcint n 0, y crcint n, Sptimbr 0.. El númro d socios d una ONG vin dado por la función n() 5 6 dond indica l númro d años dsd su fundación. a) (0,5 puntos) Calcular l númro d socios inicials n l momnto fundacional y n l quinto año. b) ( punto) En qué año ha habido l mnor númro d socios? Cuántos furon?. c) ( punto) El cuarto año s produjo un cambio n la junta dirctiva, influyó n l ascnso o dscnso dl númro d socios?.. Sa f() una función dfinida n,. a) (,5 puntos) Cuánto db valr f(0) para asgurar qu f() s continua n su dominio? Calcular f() d. f(t) b) ( punto) Para G() dt t calcular G'().. a) 6 socios y socios rspctivamnt. b) El cuarto año. c) En l ascnso.. a) f(0).. b) G'() 5
Junio.. a) (,75 puntos) Utilizar l cambio d variabl b) (0,75 puntos) Para opcions s la corrcta: i) (n) n f () ii) 6 t para calcular f() calcular sus drivadas sucsivas y concluir cuál d las siguints (n) (n) f () ( ) iii). Sa la función f() a) (0,5 puntos) Calcular su dominio. b) ( punto) Obtnr sus asíntotas. c) ( punto) Estudiar sus puntos d cort con los js y analizar si s función par. d (n) n f () ( ) 5 6. a) 6 9 8 6 8 ln 6 C 5 b) (n) n f () ( ), Asíntota oblicua: y. a) Df b) Asíntota vrtical: c) Con OX: no tin. Con OY: 0,. La función no s par. Junio.. a) (,5 puntos) S considra la función f d a y b qu hacn qu f sa continua. ln 0 a b b) (,5 puntos) Calcular lím log 9 y lím log 9. Sa f. a) (0,5 puntos) Dtrminar su dominio b) ( punto) Calcular sus intrvalos d crciminto y dcrciminto c) ( punto) Analizar sus puntos d inflión. a) a, b b) lím log 9 ; lím log 9. a) Df c) 0, 0 s un punto d inflión. Si b) Crcint:,,, Dcrcint:, f, obtnr los valors Sptimbr.. Para la función f() a) ( punto) Estudiar su continuidad. g() f() s una función drivabl. b) (0,75 puntos) Razonar si c) (0,75 puntos) Calcular 6 f() d
. (,5 puntos) En un campo hay plantados 50 manzanos. En st momnto cada manzano produc 800 manzanas. Está studiado qu por cada manzano qu s añad al campo, los manzanos producn 0 manzanas mnos cada uno. Dtrminar l númro d manzanos qu s dbn añadir para maimizar la producción d manzanas d dicho campo.. a) Continua cpto n dond tin una discontinuidad no vitabl con asíntota vrtical. b) No s drivabl n. c) ln8. 5 manzanos Sptimbr.. Sa la función f(). Dtrminar: a) (0,5 puntos) Su dominio d dfinición. b) (0,5 puntos) Sus asíntotas. c) (0,75 puntos) Máimos y mínimos. d) (0,75 puntos) Intrvalos d crciminto y dcrciminto.. a) (,5 puntos) Calcular: lím cos, sin lím π cos b) ( punto) Utilizar l cambio d variabl t para calcular, lím, d. lím 0 D(f) b) Asíntota vrtical:, Asíntota oblicua: y. a) c) Mínimo: 0, 0. Máimo: 8, 6 d) Crcint: 0,, 8 Dcrcint:, 0 8,. a) lím cos ; b) sin lím ; cos π K lím 8 ; lím 0 Junio.. (,5 puntos) Calcul la siguint intgral indfinida. a) (0,75 puntos) Dscomponr l númro n dos sumandos positivos d forma qu l producto dl primro por l cuadrado dl sgundo sa máimo. k b) ( punto) Hallar l valor d k para qu lím 0 sn c) (0,75 puntos) Sa f: una función ral d variabl ral, continua y drivabl n la rcta ral. Supongamos qu f(0) 0 y f( y) f()f(y) para todo númro ral, y. Dmostrar qu f(0) ; f() 0 ; f() 0 y f'() f'(0)f() para todo númro ral. d 7
. 6 7 ln arctg C. a) y 8 b) k c) Dmostracions Junio.. a) (,5 puntos) Calcul la siguint intgral indfinida coslnd (Ayuda: ralic un cambio d variabl adcuado para sta intgral) 5 b) ( punto) Calcul l límit siguint lím ln. Sa f la función d variabl ral dfinida mdiant la prsión f() a) (0,5 puntos) Dtrmin l dominio d continuidad, simtrías, cort con los js y asíntotas d la función. b) ( punto) Calcul, si istn, los trmos rlativos y absolutos, intrvalos d crciminto y dcrciminto d f. c) (0,5 puntos) Calcul, si istn, los puntos d inflión d f. d) (0,5 puntos) Dibuj la gráfica d f.. a) cos ln sn ln C 6 b) 0,0, y 0 asíntota horizontal. a) D(f), impar, b) Crcint:,. Dcrcint:,,. Mínimo rlativo:, Máimo rlativo:, c) Punto d inflión n 0,0 d) Sptimbr.. Considr las funcions f() y g() 5. a) (0,5 puntos) Dtrmin los posibls puntos d cort d sas dos funcions. b) ( puntos) Calcul l ára ncrrada ntr sas dos funcions y las rctas y. 8
. (,5 puntos) S dispon d una cartulina cuadrada como la dl dibujo, cuyo lado mid 50 cm. En cada una d las squinas s corta un cuadrado d lado con l fin d podr doblar la cartulina y formar una caja, sin tapa. Cuál db sr l lado dl cuadrado a cortar para qu l volumn d la caja sa máimo? 50 cm 50 cm. a), b),6 u (apro.). 5 cm Sptimbr.. a) ( punto) Calcul l límit: b) (,5 puntos) Calcul la intgral. Sa la función f() 6 6 lím π sn sn cos d usando l cambio d variabl sn t 0 a) (0,5 puntos) Dtrmin l dominio d f() b) (0,5 puntos) Estudi si la función f() s continua. Si no lo s, dtrmin los puntos d discontinuidad. c) (,5 puntos) Dtrmin los posibls máimos y mínimos, así como las asíntotas d f().. a) b) D(f), b) Discontinua n y n. a) c) Máimo rlativo n Asíntotas vrticals: y Asíntota horizontal: y 0 Junio.. (,5 puntos) Un post d mtros d altura tin n su punta un snsor qu rcog datos mtorológicos. Dichos datos dbn transmitirs a través d un cabl a una stación d almacnaminto situada a mtros d la bas dl post. El cabl pud sr aéro o trrstr, sgún vaya por l air o por l sulo (véas figura). El cost dl cabl s distinto sgún sa aéro o trrstr. El mtro d cabl aéro custa 000 9
uros y l mtro d cabl trrstr custa 000 uros. Qué part dl cabl db sr aéro y qué part trrstr para qu su cost sa mínimo?. a) (,5 puntos) Dtrmin la función f () cuya drivada s b) (,5 puntos) Calcul: lím f'(). 5 y qu vrifica qu f(0). Cabl aéro:,8 m. Cabl trrstr:,9 m 5. a) f() b) 5 5 5 Junio.. a) (,5 puntos) Sa la función f(). Dtrmin l dominio y las asíntotas d f(), si istn. b) (,5 puntos) Dtrmin l ára dl rcinto ncrrado por las funcions. a) ( punto) Dtrmin qué valor db tomar k para qu b) (,5 puntos) Calcul: ln() d lím k 5 Dom(f),, Asíntotas vrticals:, Asíntota oblicua: y. a) f() y g(). b) 8 u. a) k b) ln ln C Sptimbr.. Sa la función f() a) (0,5 puntos) Dtrmin su dominio d dfinición. b) ( punto) Encuntr las asíntotas qu tnga sa función. c) ( punto) Considr ahora la función: g() Encuntr sus intrvalos d crciminto y dcrciminto y sus máimos y mínimos rlativos, si istn.. a) (,5 puntos) Calcul: b) (,5 puntos) Dtrmin l límit: d ln() ln() lím ln() 0
D(f), b) asíntotas vrticals: ; asíntota horizontal: y. a) c) Crcint:,,, Dcrcint:,, Máimo:. Mínimo:. a) b) 0 Sptimbr.. a) Considr las funcions: f() y g() (0,5 puntos) Dtrmin los puntos d cort d sas dos funcions. ( punto) Dtrmin l ára ncrrada ntr sas dos funcions. b) ( punto) Dtrmin, si istn, los máimos y mínimos rlativos, y los puntos d inflión d la función: 6 h(). a) (,5 puntos) Usando l cambio d variabl b) (,5 puntos) Calcul: lím t, calcul: d. a), 5 y, 9 A u b) 0 mínimo rlativo. No hay puntos d inflión.. a) ln K b) Junio.. (,5 puntos) Considr la función f() a) (,5 puntos) Dtrmin las asíntotas, horizontals, vrticals y oblicuas, qu tnga la función f(). b) ( punto) Dtrmin los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f(). Tin la función f() algún máimo o mínimo rlativo?. (,5 puntos) a) (,5 puntos) Usando l cambio d variabl t ln(), dtrmin l valor d la intgral b) (,5 puntos) Dtrmin l límit: lím cos() 0 ln() ln() ln() sn() d
. a) y asíntota horizontal b) Crcint:,0, Dcrcint: 5 ln () ln ln() ln ln() K b). a) 0,, Máimo rlativo: 0, Junio.. (,5 puntos) a) (,5 puntos) Dtrmin, si istn, los máimos y mínimos rlativos y puntos d inflión d la función: g() b) ( punto) Dtrmin: lím. (,5 puntos) a) (,5 puntos) Dtrmin la intgral sn() d b) (,5 puntos) Dtrmin l ára máima qu pud tnr un rctángulo cuya diagonal mid 8 mtros. Cuáls son las dimnsions dl rctángulo d ára máima?. a) Mínimo rlativo: 0,. No tin puntos d inflión. b). a) cos() sn() cos() K b) Cuadrado d lado m. 6 Sptimbr.. (,5 puntos) Considr la función f() 6 a) (,5 puntos) Dtrmin l dominio y las asíntotas, si istn, d sa función. b) (,5 puntos) Dtrmin los intrvalos d crciminto y dcrciminto y los máimos y mínimos rlativos, si istn, d sa función.. (,5 puntos) a) (,5 puntos) La drivada d una función f() s: Dtrmin la función f() sabindo qu f0. b) (,5 puntos) Dtrmin l límit: lím.
. a) Dom f : asíntota vrtical, b) Crcint n, 0 6,. Dcrcint n 0: máimo rlativo. 6: mínimo rlativo. 5 7 6 f b) 5 0. a) y : asíntota oblicua 0, 6. Sptimbr.. (,5 puntos) si a) (,5 puntos) Considr la función: f() a si b si Dtrmin los valors d a y b para qu la función sa continua. b) (,5 puntos) Supongamos ahora qu a 0. Usando la dfinición d drivada, studi la drivabilidad d f() n.. (,5 puntos) a) (,5 puntos) Dadas las funcions ambas funcions. f() y g(), dtrmin l ára ncrrada ntr b) (,5 puntos) Calcul la intgral: d.. a) a 0, b f', f' b) No s drivabl pus. a) A 8 u b) 5 ln8 Junio 5. a) (,5 puntos) Considr la función f(). Dtrmin los máimos rlativos, los mínimos rlativos y los puntos d inflión, si istn, d la función f(). b) (,5 puntos) Usando l cambio d variabl t cos, calcula cos d. sn c) ( puntos) ) ( punto) Calcul los valors d a y b para qu la función rlativo n l punto,. f() a b tnga un trmo ) ( punto) Calcul l ára ncrrada por la curva f() y la part positiva dl j OX.
6 a), : mínimo rlativo,, : b) cos cos ln C cos c) ) máimo rlativo. Puntos d inflión n 5 y n 5. a, b ) 7 A u Junio 5. a) ( puntos) Calcul las dimnsions d trs campos cuadrados qu no tinn ningún lado común y qu satisfacn qu l prímtro d uno d llos s tripl qu l d otro y, admás, s ncsitan 8 mtros d valla para vallar compltamnt los trs campos, d manra qu la suma d las áras s la mínima posibl. b) (,5 puntos) Usando l cambio d variabl t, calcul: d c) (,5 puntos) Calcul: lím ln a) l 8 m.,l m.,l 0 m. b) ln C c) Sptimbr 5. a) ( puntos) Usando l cambio d variabl t, calcul: d b) (,5 puntos) Dtrmin l límit siguint: lím sn π c) (,5 puntos) Dtrmin la cuación d la curva f() sabindo qu la rcta tangnt n s y 9 y la drivada sgunda vrifica qu f''(), para cualquir valor d. cos sn a) ln C b) c) f() 5 Sptimbr 5. a) ( puntos) Sa f() ) (0,5 puntos) Dtrmin l dominio d f(). ) (,5 puntos) Dtrminn, si istn, las asíntotas d f(). ) ( punto) Dtrmin, si istn, los máimos y mínimos rlativos d f(). b) ( puntos) Calcul: ln d
Dom f 0 ) Asíntota vrtical: 0 a) ) b) ln 5 C ), y, : mínimos rlativos 5