Rentas o Anualdades Patrca Ksbye Profesorado en Matemátca Facultad de Matemátca, Astronomía y Físca 10 de setembre de 2013 Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 1 / 31
Introduccón Rentas o Anualdades Asumremos que la tasa nstantánea r(t) es constante e gual a r. Así, la tasa peródca está dada por = e r 1. Renta Una renta o anualdad es una sucesón de captales fnanceros (C 1, t 1 ), (C 2, t 2 ),..., (C n, t n ),..., con t 1 < t 2 < < t n.... Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 2 / 31
Introduccón Elementos de la renta Se denomna: cuota o térmno: a cada uno de los pagos C, 1. Períodos de la renta: [t k, t k+1 ], k 1. Ampltud del período: t k+1 t k Las rentas se caracterzan por: momentos de los pagos: cuotas vencdas o cuotas adelantadas. monto de las cuotas: cuotas constantes o cuotas varables. duracón de la renta: rentas certas o rentas perpetuas tasa de nterés en cada período: constante o varable. Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 3 / 31
Rentas certas Rentas certas $500 $500 $500 CUOTAS VENCIDAS 15/01 15/02 15/03 15/04 t=0 t=t 15/05 t $500 $500 $500 CUOTAS ANTICIPADAS 15/01 15/02 15/03 15/04 15/05 t=0 t=t t Fgura: Rentas pospagable y prepagable Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 4 / 31
Rentas certas Rentas certas Asumremos que los períodos de tempo son constantes: t k+1 t k = 1, para certa undad de tempo. la tasa de nterés es constante, e gual a. Renta prepagable, o de cuotas antcpadas: el orgen de la renta es t 1. Renta pospagable, o de cuotas vencdas: el orgen de la renta es t 0 = t 1 1. Fnal de la renta: n períodos posterores al orgen. Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 5 / 31
Rentas certas Valoracón de rentas certas Valor actual y fnal de una renta Defncón Dada una renta certa (C 1, t 1 ), (C 2, t 2 ),..., (C n, t n ) llamaremos Valor actual de la renta: a la suma de los valores actuales de cada uno de los captales fnanceros calculada en el orgen de la renta. Valor fnal de la renta: a la suma de los valores fnales de cada uno de los captales fnanceros calculada en el fnal de la renta. Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 6 / 31
Rentas constantes Rentas certas Valoracón de rentas constantes Consderemos una renta de n cuotas constantes guales a C. Cuotas vencdas: orgen en t 0 = t 1 1. Valor actual = C ((1 + ) 1 + (1 + ) 2 + + (1 + ) n). Valor fnal = C (1 + (1 + ) + (1 + ) 2 + + (1 + ) n 1). a n = 1 (1 + ) n s n = (1 + )n 1 Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 7 / 31
Rentas constantes Rentas certas Valoracón de rentas constantes Valor actual y valor fnal de una renta pospagable con cuotas constantes S las cuotas constantes son guales a C y la tasa efectva períodca es, se tene que el valor actual V 0 y el valor fnal V n están dados por: V 0 = C a n = C 1 (1 + ) n V n = C s n = C (1 + )n 1 Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 8 / 31
Rentas constantes Rentas certas Valoracón de rentas constantes Cuotas antcpadas: orgen en t 1. ( Valor actual = C 1 + (1 + ) 1 + (1 + ) 2 + + (1 + ) (n 1)). Valor fnal = C ((1 + ) + (1 + ) 2 + + (1 + ) n). ä n = (1 + ) 1 (1 + ) n s n = (1 + ) (1 + )n 1 Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 9 / 31
Rentas constantes Rentas certas Valoracón de rentas constantes Valor actual y valor fnal de una renta prepagable con cuotas constantes S las cuotas constantes son guales a C y la tasa efectva períodca es, se tene que el valor actual V 1 y el valor fnal V n+1 están dados por: V 1 = C ä n = C (1 + ) 1 (1 + ) n V n+1 = C s n = C (1 + ) (1 + )n 1 Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 10 / 31
Rentas certas Valoracón de rentas constantes Ejemplo Una renta está conformada por 4 cuotas mensuales de $100, sujetas a una tasa del 3 % mensual, y se desea conocer el captal fnal obtendo al momento de pagar la cuarta cuota. Solucón: Cuota Períodos Valor fnal que captalza 1 3 100 (1,03) 3 = 109,2727 2 2 100 (1,03) 2 = 106,09 3 1 100 (1,03) = 103 4 nnguno 100 Valor fnal 100 (1,03)4 1 0,03 = 418,3627 Esto es, el valor fnal de la renta es de $418,3627. Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 11 / 31
Ejemplo Rentas certas Ejemplos Ejemplo Una renta está conformada por 4 cuotas mensuales de $100, sujetas a una tasa del 3 % mensual, y se desea conocer el valor actual de la msma al momento de pagar la prmera cuota. Solucón: Cuota Períodos Valor fnal 1 nnguno 100 2 1 100 (1,03) 1 = 97,0874 3 2 100 (1,03) 2 = 94,2596 4 3 100 (1,03) 3 = 91,5141 Valor actual 100 1 (1,03) 3 0,03 = 382,8613 Esto es, el valor actual de la renta es de $382.8613. Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 12 / 31
Rentas certas Cálculo del número de cuotas Cálculo del número de cuotas Ejemplo Cuántas cuotas mensuales guales y vencdas de $3.000 habrá que abonar para que el valor actual de la renta resulte de $100.000 consderando una tasa del 0.02 mensual? Sea V A el valor actual de la renta, entonces V A = c a n. n = log(c) log(c V ) log(1 + ). Volvendo a los datos del ejemplo, tenemos que n = Al menos, 56 cuotas. log(3000) log(3000 2000) log(1,02) = log(3) 55, 48. log(1,02) Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 13 / 31
Rentas certas Cálculo del número de cuotas Cálculo de la tasa de nterés Ejemplo S una persona deposta mensualmente $300 en una cuenta, y al cabo de 4 años tene un captal de $15.000, qué rendmento tuvo su nversón? Es decr, cuál fue la tasa de nterés sobre dchos depóstos? para = 0,05, arroja un valor fnal de $56.407,6 para = 0,005 el valor fnal resulta ser $16229.35, lo que se aproxma bastante más al resultado; para = 0,0017 se obtene $14.990.67, y para = 0,0018 el valor fnal es de $15.026,28. Así que puede estmarse una tasa de nterés entre el 0,17 % y el 0,18 % mensual. Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 14 / 31
Rentas certas Cálculo del número de cuotas Anualdades certas con cuotas varables Consderaremos rentas certas con cuotas varables, y períodos constantes. En partcular, nteresan los sguentes casos: Defncón Dada una renta (C 1, t 1 ), (C 2, t 2 ),..., (C n, t n ), dremos que es una renta en progresón artmétca s para certa constante h. C k C k 1 = h, una renta en progresón geométrca s para certa constante q > 0. C k C k 1 = q, Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 15 / 31
Rentas certas Rentas en progresón artmétca Rentas en progresón artmétca La sucesón de captales es de la forma c, c + h, c + 2 h,..., c + (n 1)h, donde c es el valor de la prmera cuota, y h es el térmno de la progresón artmétca. Observacón: h > c n 1. Ejemplo En una renta de cuatro cuotas mensuales en progresón artmétca, con c = 100 y h = 15, las sucesvas cuotas serán 100, 115, 130 y 145. Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 16 / 31
Ejemplo Rentas certas Rentas en progresón artmétca Una renta en progresón artmétca puede pensarse como una superposcón de n rentas con cuotas constantes. Para el ejemplo anteror: Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 100 100 100 100 15 15 15 15 15 15 Total 100 115 130 145 Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 17 / 31
Caso general Rentas certas Rentas en progresón artmétca Momentos 1 2 3... n 1 n c c c... c c h h... h h h... h h...... h RENTA c c + h c + 2h... c + (n 2)h c + (n 1)h El valor actual y fnal de la renta puede calcularse como la suma de los valores actuales y fnales de cada una de estas rentas. Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 18 / 31
Cuotas vencdas. Rentas certas Rentas en progresón artmétca Valor Número de la cuota de cuotas Valor fnal en t = n c n c s n r h n 1 h s n 1 r. h 3 h s 3 r h 2 h s 2 r h 1 h s 1 r = h Valor fnal h + h s 1 r + h s 2 r + + h s n 1 r + c s n r Cuadro: Valor fnal: Renta en progresón artmétca con cuotas vencdas V n = c s n + h (s n n ). Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 19 / 31
Rentas certas Rentas en progresón artmétca Cálculo de valores actuales y fnales Cuotas vencdas Valor actual Valor fnal c a n + h (a n n (1 + ) n) c s n + h (s n n ) Cuotas antcpadas c ä n + h Valor actual Valor fnal (ä n n (1 + ) (n 1)) c s n + h ( s n n (1 + ) ) Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 20 / 31
Rentas certas Rentas en progresón artmétca Ejemplo Ejemplo Un ndvduo percbrá una renta consstente en pagos anuales cada 1 de enero durante 20 años, sendo el prmer pago el 1 de enero de 2010. El prmer pago será de $5000, y su renta dsmnurá en $150 cada año. Obtener el valor de esta renta al día de hoy, valorando la msma con una tasa de nterés efectva anual del 5 %. Solucón. En clase Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 21 / 31
Rentas certas Rentas en progresón geométrca Rentas en progresón geométrca La sucesón de captales es de la forma c, c q, c q 2,..., c q n 1 donde c es el valor de la prmera cuota, y q es el térmno de la progresón geométrca. Ejemplo En una renta de cuatro cuotas en progresón geométrca, con c = 1000 y q = 1,1, las sucesvas cuotas serán 1000, 1010, 1121 y 1242,1. Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 22 / 31
Rentas certas Rentas en progresón geométrca Valor fnal y valor actual Cuotas vencdas q (1 + ) Valor actual c 1 qn (1 + ) n 1 + q Valor fnal c (1 + )n q n 1 + q q = (1 + ) c n (1 + ) 1 c n (1 + ) n 1 Cuotas antcpadas Valor actual Valor fnal q (1 + ) c (1 + ) 1 qn (1 + ) n 1 + q c 1 qn (1 + ) n 1 + q q = (1 + ) c n c n (1 + ) n (1 + ) n+1 Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 23 / 31
Rentas certas Rentas en progresón geométrca Ejemplo Ejemplo Un ndvduo decde hoy, depostar cada 15 de dcembre un captal equvalente al 10 % de su salaro bruto anual en una cuenta que redtúa un 3,5 % anual. S este ndvduo estma que su salaro bruto en el año 2014 será de $120.000 y que se ncrementará un 2 % cada año, cuál será el captal acumulado en dcha cuenta el 1ro. de enero de 2020? Cuál sería ese captal acumulado s su salaro bruto se ncrementara un 3,5 % por año? Solucón. En clase. Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 24 / 31
Rentas perpetuas Rentas perpetuas Defncón Una renta perpetua es una sucesón nfnta de captales fnanceros: (C 1, t 1 ), (C 2, t 2 ),..., (C n, t n ),... con t k < t k+1 para k 1. Al gual que en el caso de las rentas certas, se tenen rentas perpetuas de cuotas constantes (untaras) de cuotas varables (en progresón artmétca, geométrca, y otras). de cuotas antcpadas. de cuotas vencdas. Esta clasfcacón no es exhaustva. Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 25 / 31
Rentas perpetuas Rentas perpetuas untaras Asumremos que los períodos de la renta equvalen a la undad de tempo. La valoracón de la renta se hará de acuerdo a una tasa de nterés, correspondente a esta undad de tempo. Denotaremos: a : valor ncal de una renta perpetua untara con cuotas vencdas. ä : valor ncal de una renta perpetua untara con cuotas antcpadas. Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 26 / 31
Rentas perpetuas Cálculo de a y ä Recordemos que para una renta certa, el valor ncal de la renta untara es a n = 1 (1 + ) n cuotas vencdas 1 (1 + ) n ä n = (1 + ) cuotas antcpadas Para un número nfnto de cuotas, se obtene entonces que a = 1 y ä = 1 +. Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 27 / 31
Ejemplo Rentas perpetuas La mayoría de las empresas al constturse asumen que su vda será lmtada. Los poseedores de accones de la empresa recben peródcamente dvdendos a cuenta de los benefcos. S una empresa otorga $100 anuales por accón, cuál es el valor actual de la accón s se la valora al 4 %? Solucón: 100 a 0,04 = 100 0,04 = 2500. Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 28 / 31
Rentas perpetuas Rentas perpetuas en progresón geométrca Estas rentas son de la forma c, c q, c q 2,..., c q n,... q (1 + ): el valor actual tende a nfnto. q < (1 + ): el valor actual es cuotas vencdas c 1 1 + q cuotas antcpadas c 1 + 1 + q Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 29 / 31
Ejemplo Rentas perpetuas Como consecuenca de una herenca, una persona percbrá anualmente una renta perpetua, cuya prmer cuota será de $50.000 y se rá ncrementando en un 4 % cada año. Calcular el valor actual asumendo que las cuotas son vencdas y con una valoracón del 9 % anual. Solucón: C = 50000, q = 1,04, = 0,09 c 1 + q = 50000 = 1 000 000. 0,05 Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 30 / 31
Rentas perpetuas Rentas perpetuas en progresón artmétca Estas rentas son de la forma c, c + h, c + 2h,..., c + (n 1) h,..., h > 0 Para una renta certa, el valor actual para rentas untaras con cuotas vencdas está dado por a n + h ( ) n a n (1 + ) n. Tomando límte cuando n tende a nfnto, se obtene que el valor actual para rentas perpetuas en progresón artmétca está dado por V 0 = ( c + h ) 1 V 1 = ( c + h ) 1 + Patrca Ksbye (FaMAF) 10 de setembre de 2013 31 / 31