de Poder de Mercado y Estratega Curso 3º - ECO- 0-03 Iñak Agurre Jaromr Kovark Marta San Martín Fundamentos del Análss Económco I Unversdad del País Vasco UPV/EHU
Tema. Olgopolo y competenca monopolístca. Suponga una ndustra abastecda por dos empresas que venden un producto homogéneo. La funcón nversa de demanda vene dada por p( x) = 80 x. Ambas empresas producen con los msmos costes tal que C ( x ) = 0 x, =,. a) Suponga que las empresas tenen que decdr entre producr una cantdad alta (H) gual a 0 undades o una cantdad baja (L) gual a 5 undades. Calcule los benefcos correspondentes a cada combnacón de estrategas y represente el juego en forma normal. Calcule el equlbro de Nash. b) Suponga ahora que las empresas decden qué cantdad producr entre cualquer cantdad no negatva. Represente el juego en forma normal. Obtenga las funcones de mejor respuesta y calcule el equlbro de Nash. Represente dcho equlbro.. Consdere un duopolo de Cournot que se enfrenta a una funcón nversa de demanda p(x) = a - bx. Sean c y c los costes margnales constantes de las empresas y, respectvamente (y no hay costes fjos). a + c j () Cuál es el equlbro de Nash s c <,, j =,, j? () Cuál sería el equlbro de Nash s c c a c a + c < < y >?
Solucón () () + c j x =,, j =,, j. 3b x =, x = 0. b 3. Sea p(x) = 00-0.5x la funcón nversa de demanda de un mercado que es abastecdo por dos empresas que compten en cantdades, la empresa y la empresa, cuyas funcones de costes totales son, respectvamente: C ( x) = 5x, C ( x ) = 0.5x. a) Represente el juego en forma normal y defna la nocón de equlbro de Cournot- Nash. b) Obtenga las funcones de mejor respuesta. Calcule el preco, las cantdades producdas por cada empresa y los benefcos de cada empresa en el equlbro de Cournot-Nash. Represente gráfcamente dcho equlbro. c) Consdere el acuerdo de colusón. Muestre que dcho acuerdo no puede mantenerse como equlbro. d) Suponga que la empresa actúa de líder en un juego secuencal y la empresa de segudora (es decr, la empresa elge prmero su nvel de produccón y la empresa elge en segundo lugar su nvel de produccón después de observar la eleccón de la empresa ). Calcule el equlbro perfecto en subjuegos, el preco, las cantdades producdas por cada empresa y los benefcos de cada empresa.. Consdere un olgopolo de Cournot con n empresas que producen un ben homogéneo. La funcón nversa de demanda es p( x) 0 = y todas las empresas x 3
tenen el msmo coste margnal constante, c > 0 (no hay costes fjos). (Nota: la funcón drecta de demanda es x( p) 00 = p ) () Calcule la produccón de cada empresa en el equlbro (smétrco) de Cournot-Nash, la produccón de la ndustra y el preco de equlbro. () Cuáles son la produccón y el preco de monopolo en este mercado? Consdere el acuerdo de colusón smétrco (reparto equtatvo de la produccón de monopolo) Qué cantdad producría cada empresa s todas ellas respetan el acuerdo? Muestre que el acuerdo de colusón smétrco no se puede sostener como equlbro. 5. En el mercado del producto x, la funcón de demanda es x( p) = 00 0 p. S el coste margnal es sempre cero para cualquer empresa que quera producr ese ben: a) Cuánto se venderá y a qué preco s hay un únco oferente en el mercado? b) Cuánto y a qué preco s lo abastecen dos empresas y se comportan según el modelo de Cournot? c) Aumentaría o dsmnuría la cantdad ofertada s lo abastecen tres empresas comportándose tambén según el modelo de Cournot? Hállense el preco y la cantdad de equlbro de cada una de ellas. d) Cuánto se venderá y a qué preco s hay n oferentes en el mercado? Qué ocurre cuando n? e) Cuál sería la produccón de competenca perfecta? Cuál el preco? f) Compare las cantdades anterores con la cantdad efcente.
6. Consdere un olgopolo de Cournot con n empresas que producen un ben homogéneo. La funcón nversa de demanda es p(x) = a bx y todas las empresas tenen el msmo coste margnal constante, c (no hay costes fjos y a > c). () Obtenga la funcón de mejor respuesta de la empresa ante las produccones de las demás empresas, f (x - ), donde x - = x +..+ x - +.+ x + +..+ x n = j x j. Calcule la produccón de cada empresa en el equlbro de Cournot-Nash, la produccón de la ndustra, el preco de equlbro y el benefco de cada empresa. Muestre que un aumento en el número de empresas reduce la produccón de cada empresa en equlbro, eleva la produccón agregada, reduce el preco y los benefcos. Qué ocurre cuando n? () Consdere el acuerdo de colusón smétrco (reparto equtatvo de la produccón de monopolo) y muestre que no se puede sostener como equlbro. Calcule el benefco de la empresa cuando se desvía óptmamente y las demás respetan el acuerdo de colusón. () Es el juego de duopolo de Cournot un dlema del prsonero? (v) Suponga que el juego se repte durante nfntos perodos. Obtenga el factor de descuento crítco a partr del cual la colusón se puede sostener como equlbro del juego repetdo. Muestre que el factor de descuento crítco aumenta al aumentar el número de empresas y, por tanto, que cuanto mayor sea el número de empresas más dfícl es que la colusón sea estable. 5
Solucón bx () f (x - ) = max,0 b ; x =, =,..., n; b( n + ) n( ) x = b( n + ) lm x ( n) 0 n ; p = a + nc n + ; = lm x ( n) n b (), =,..., n. b(n +) lm n p (n) = c ; lm (n) = 0. n () El acuerdo de colusón smétrco, m m x ( ) x = =, =,..., n no es equlbro n bn de Nash ya que: m m ( )( n + ) x m m x ( a c) = f(( n ) ) = f( x ) > x = =. bn n n bn d m m ( n + ) ( ) = ( f( x ), x ) = 6bn () Un juego es un dlema del prsonero s cada jugador tene una estratega domnante, y el equlbro de Nash resultante no es efcente (exste otra asgnacón que proporcona mayores pagos a ambos jugadores). El juego de duopolo de Cournot no es un dlema del prsonero, ya que los jugadores no tenen estrategas domnantes. Aunque es certo que las empresas obtendrían mayores benefcos s cooperasen. (v) d ( n + ) δ ( n) = = d ( + ) + n m n dδ ( n) > 0 lm δ ( n) = dn n 6
7.- Consdere un mercado con n empresas que producen un ben homogéneo. La funcón nversa de demanda es p(x) = a x y todas las empresas tenen el msmo coste margnal constante, c (no hay costes fjos y a > c). () Suponga que n = 3 y las tres empresas elgen smultáneamente sus nveles de produccón. Obtenga la funcón de mejor respuesta de la empresa ante las produccones de las demás empresas, f (x - ). Calcule la produccón de cada empresa en el equlbro de Cournot-Nash, la produccón de la ndustra, el preco de equlbro y el benefco de cada empresa. () Consdere el sguente juego en tres etapas: Etapa : la empresa elge su nvel de produccón x 0. Etapa : la empresa elge su nvel de produccón x 0, después de observar x. Etapa 3: la empresa 3 elge su nvel de produccón x 3 0, después de observar x e x. (a) Obtener el equlbro perfecto en subjuegos, las produccones de las empresas, el preco de mercado y los benefcos. (b) Obtenga otro equlbro de Nash que no sea perfecto en subjuegos. Explque su respuesta. () Consdere el sguente juego en tres etapas: Etapa : la empresa elge su nvel de produccón x 0. Etapa : la empresa elge su nvel de produccón x 0, sn observar x. Etapa 3: la empresa 3 elge su nvel de produccón x 3 0, sn observar x e x. (a) Represente el juego en forma normal. (b) Obtenga el equlbro de Nash y el equlbro perfecto en subjuegos. Compare la solucón con el equlbro de Cournot. 7
Solucón x () f (x - ) = max,0 ; x =, =,, 3; 3( ) x p a + 3 c ( ) =, =,, 3. 6 () (a) EPS: x m x = = x ; x( x ) = max,0 ; x x x3 ( x, x) = max,0 x x = x( x ) 7( ) x3 = x3 ( x, x) x 8 8 ( ) 6 ( ) 3 3 p a + 7 = ( ) 6 =. 8 c (b) x x( x ) =, x x ( x, x ) =, x e x 3. 8.- Consdere un duopolo de Bertrand que produce un ben homogéneo. La funcón de demanda es x( p) 00 = p y las empresas tenen el msmo coste margnal constante, c > 0 (no hay costes fjos). () Caracterce el equlbro de Bertrand-Nash (descrba el juego en forma normal, la demanda resdual de cada empresa, defna la nocón de equlbro, muestre que la solucón propuesta es efectvamente un equlbro de Nash y que es únco), obtenga la produccón de la ndustra en equlbro y el benefco de cada empresa. 8
() Cuáles serían el preco y la produccón de monopolo en este mercado? Qué combnacón de estrategas representaría el acuerdo de colusón? Muestre que el acuerdo de colusón no se puede sostener como equlbro. () Compare la produccón agregada del equlbro de Bertrand con la produccón efcente. Calcule la pérdda rrecuperable de efcenca. 9. Consdere dos empresas que venden productos dferencados cuyas funcones nversas de demanda venen dadas por: p ( x, x) = α β x γ x p( x, x) = α β x γ x () Las funcones drectas de demanda son: x ( p, p) = a bp + dp x( p, p) = a bp + dp () a = α ; b = β y d = γ β + γ β γ β γ () Muestre que. Suponga que los costes de produccón de las empresas son nulos. () Obtenga el equlbro de Nash cuando las empresas compten smultáneamente en cantdades (equlbro de Cournot). () Obtenga el equlbro de Nash cuando las empresas compten smultáneamente en precos (equlbro de Bertrand). (v) Muestre que, en comparacón con los resultados en Bertrand, las produccones de las empresas son menores y los precos mayores en Cournot. 9
Solucón c α c αβ () x =, p =, =,. β + γ β + γ b a b ab () p =, x,,. b d = b d = (v) b α( β γ ), b αβ p = x =, =,. β γ ( β + γ )( β γ ) Por tanto, p b < p c, x b > x c, =,. 0