VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Concepto de varable aleatora. Se llama varable aleatora a toda aplcacón que asoca a cada elemento del espaco muestral de un expermento, un número real. Ejemplo: Sea el expermento que consste en lanzar tres monedas al are. El espaco muestral será: E ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx { } S a cada elemento de E le hacemos corresponder, por ejemplo, el número de caras, hemos defndo una varable aleatora. ccc 3; xcc ; xxc ; ccx cxx ; xxx 0; cxc ; xcx Se utlzan letras mayúsculas para desgnar las v.a. y sus respectvas letras mnúsculas para los valores concretos de las msmas. Varable aleatora dscreta. Es la que solo puede tomar determnados valores. La varable aleatora número de caras en el lanzamento de tres monedas sólo puede tomar los valores 0,, y 3. (Es dscreta). La varable aleatora suma de las caras superores en el lanzamento de dos dados puede tomar solamente los valores, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, y. (Es tambén dscreta) Funcón de probabldad de una v.a. dscreta. Es la aplcacón que asoca a cada valor x de la v.a. X su probabldad p. Los valores que toma una v.a. dscreta X y sus correspondentes probabldades suelen dsponerse en una tabla con dos flas o dos columnas llamada tabla de dstrbucón de probabldad: X x x x 3 x n P ( X x ) p p p3 pn En toda funcón de probabldad se verfca que p p + p + + p + 3 n Ejemplo: La v.a. número de caras en el lanzamento de tres monedas tene la sguente funcón de probabldad: Nº de caras 0 3 f(x) P ( X x ) 3 3 8 8 8 8

Funcón de dstrbucón de una v.a. dscreta. Sea X una v.a. cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Se llama funcón de dstrbucón de la varable X a la funcón que asoca a cada valor de la v.a. la probabldad acumulada hasta ese valor, es decr, F( x) p( X x) Meda, varanza y desvacón típca de una varable aleatora dscreta. Se llama de una v.a. dscreta X, que toma los valores x, x, x3... xn con probabldades p, p, p3..... pn al valor de la sguente expresón: µ La varanza vene dada por la sguente fórmula: σ x. p µ, ben σ ( x µ ). p La desvacón típca es la raz cuadrada de la varanza. x. p Ejercco. La dstrbucón de probabldad de una v.a. X vene dada por la sguente tabla: x 3 4 5 p 0, 0,3 0, 0,3 Cuánto vale p(x3) Calcula la meda y la varanza. Solucón: La suma de todas las probabldades es, por tanto, 0, + 0,3 + p ( X 3) + 0, + 0,3 luego p(x3)0, Formamos la sguente tabla: x 3 4 5 p 0, 0,3 0, 0, 0,3 x. p 0, 0,6 0,3 0,8,5 x. p 0,, 0,9 3, 7,5 µ x. p 0, + 0,6 + 0,3 + 0,8 +,5 3, 3 σ x. p µ,9 (3,3), 0 Expermento de Bernoull Es un expermento que tene las sguentes característcas:. En cada prueba del expermento sólo son posbles dos resultados: el suceso ha llamado A llamado éxto y el suceso A llamado fracaso.. El resultado obtendo en cada prueba es ndependente de los resultados anterores. 3. La probabldad del suceso A es constante y no varía de unas pruebas a otras.

3 La dstrbucón de probabldad de este expermento recbe el nombre de dstrbucón bnomal de parámetros n y p n es el número de pruebas del expermento y p es la probabldad del éxto. S representamos por X la varable aleatora bnomal que representa el número de éxtos obtendos en las n del expermento, podemos escrbr: n r n r p(obtener r éxtos )p(xr) p.( p) r Esta expresón recbe el nombre de funcón de probabldad de una dstrbucón bnomal o de Bernoull. Dado que en este tpo de experencas los cálculos pueden ser laborosos, se han construdo unas tablas que nos proporconan la probabldad de que la varable X tome dstntos valores, según los dstntos valores de n y r. Meda y varanza de una dstrbucón bnomal. Meda: µ n. p Varanza: σ n. p. q; q p Desvacón típca: σ Ejemplos. Ejemplo n. p. q Una máquna fabrca una determnada peza y se sabe que produce un 7 por 000 de pezas defectuosas. Hallar la probabldad de que al examnar 50 pezas sólo haya una defectuosa. Solucón : Se trata de una dstrbucón bnomal de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabldad p(x). Ejemplo La probabldad de éxto de una determnada vacuna es 0,7. Calcula la probabldad de a que una vez admnstrada a 5 pacentes: a) Nnguno sufra la enfermedad b) Todos sufran la enfermedad c) Dos de ellos contragan la enfermedad

4 Solucón : Se trata de una dstrbucón bnomal de parámetros B(5, 0'7) Ejemplo 3 La probabldad de que el carburador de un coche salga de fábrca defectuoso es del 4 por 00. Hallar : a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de 000 b) La varanza y la desvacón típca. Solucón : Ejerccos resueltos..- Calcula la probabldad de que una famla que tene 4 hjos, 3 de ellos sean varones. Solucón: Se trata de un expermento de Bernoull donde n4 y p/ 4 3 p(obtener 3 varones)p(x3).0.5.0,5 3 4 Recuerda: 4 4 4.3. es un número combnatoro cuyo valor se obtene así: 3 3 3.. En general m m.( m n ).( m )... hasta tener n factores en el n.(n -).(n - )...3.. numerador m! n!.( m n)!

5.- Se tene una moneda trucada de modo que la probabldad de sacar cara es cuatro veces la de sacar cruz. Se lanza 6 veces la moneda. Calcula las sguentes probabldades: Obtener dos veces cruz. Obtener a lo sumo dos veces cruz. Solucón: Calculamos en prmer lugar la probabldad de cara y de cruz: p(cara)+p(cruz). S llamamos x a la probabldad de sacar cruz, podemos escrbr: 4x+x; 5x; x0, Así resulta: p(cruz)0, y p(cara)0,8 Es una dstrbucón bnomal de parámetros n6 y p0, Probabldad de obtener dos veces cruz: 6 4 p( X ).(0,).(0,8) 5.(0,04).(0,4096) Probabldad de obtener a lo sumo dos veces cruz: 0,4 p( X ) p( X 0) + p( X ) + p( X ) 6 0 6 6 5 6 4.(0,).(0,8) +.(0,).(0,8) +.(0.).(0.8) 0, 90 0 3.- La probabldad de que un alumno de º de Bachllerato repta curso es de 0,3. Elegmos 0 alumnos al azar. Cuál es la probabldad de que haya exactamente 4 alumnos repetdores? Solucón: Se trata de una bnomal de parámetros 0 y 0,3, es decr, B(0; 0,3) S X es el número de alumnos que repten, p( X 0 4 4).0,3.0,7 4 6 0!.0,3 4!.6! 4.0,7 6 0,3 4.- Calcula la esperanza matemátca, la varanza y la desvacón típca de la varable aleatora X, cuya funcón de probabldad vene dada por la sguente tabla: x -4-5 p X x ) 0, 0,5 0,3 0, ( Solucón: La esperanza matemátca es la meda: µ ( 4).0, + ( ).0,5 +.0,3 + 5.0, 0, σ x. p µ ( 4).0, + ( ).0,5 +.0,3 + 5.0, 0, 5, 76 σ 5,76,4

6 5.- Sea la sguente funcón de probabldad: x 3 5 7 9 p 0, 0, 0,4 0, 0, Escrbe la funcón de dstrbucón y calcula: p ( X 5) y p( 3 X 7) Solucón: x 3 5 7 9 F(x)P(X x ) 0, 0,4 0,8 0,9 p ( X 5) 0,8 ; p( X 7) p( X 3) + p( X 5) + p( X 7) 0, + 0,4 + 0, 0,7

7 Ejerccos propuestos..- La probabldad de que un reloj salga de fábrca defectuoso es del 4 %. Halla: a) El número de relojes defectuosos esperados en un lote de 000 b) La varanza y la desvacón típca. ( Solucón: 40 y 6,9).- Una determnada raza de perros tene 4 cachorros en cada camada. S la probabldad de que un cachorro sea macho es de 0,55, se pde: a) La probabldad de que en una camada dos exactamente sean hembras b) Probabldad de que en una camada al menos dos sean hembras. (Solucón: 0,3675; 0,609 ) 3.- Consdera una varable aleatora dscreta X cuya dstrbucón de probabldad es la sguente: x 3 P(X x ) k 0,45 k a) Calcula el valor de k b) Halla la funcón de probabldad c) Halla la funcón de dstrbucón F. Solucón k 0,75. Funcón de probabldad: x 3 f(x)p(x x ) 0,75 0,45 0,75 Funcón de dstrbucón: x 3 F(x)P(X x ) 0,75 0,75 4.- Consdera una varable aleatora X cuya funcón de probabldad vene dada por la sguente tabla: x -5-0 0 5 f(x) a a 3a 4a a) Deduce el valor de a. b) Halla la funcón de dstrbucón F c) Calcula la esperanza, la varanza y la desvacón típca. Solucón: a) 0,; c),5; 86,5; 9,9

8 5.- La probabldad de que un estudante obtenga el título de arqutecto es 0,3. Calcula la probabldad de que un grupo de 7 estudantes matrculados en prmer curso: a) Nnguno de los 7 fnalce la carrera. b) Fnalcen los 7. c) Al menos acaben la carrera. d) Sólo fnalce uno la carrera. Solucón: 0,08; 0,000; 0,67; 0,47 6.- El 0 % de los tornllos de un gran lote so defectuosos. Se cogen tres tornllos al azar y se pde calcular razonadamente: a) La probabldad de que los tres sean defectuosos. b) La probabldad de que nnguno sea defectuoso. c) La probabldad de que solamente uno sea defectuoso. (Propuesto en Selectvdad, Alcante, septembre de 00)

9 Más ejerccos obtendos Ejemplo 8. Un jugador lanza un dado corrente. S sale un número mpar gana dcho número de euros, pero s sale par entonces perde esa cantdad en euros. Estudar s el juego es equtatvo. Solucón Los resultados posbles x (euros que gana o perde al lanzar el dado) y sus respectvas probabldades son: x 3 5 - -4-6 f(x ) /6 /6 /6 /6 /6 /6 Los número negatvos ndcan el hecho de perder cuando sale par. E(X) luego no es equtatvo.

0 Nota. Se dce que un juego de dnero es legal o equtatvo s E 0 y desfavorable s E<0 Ejemplo 9. Consderemos la varable X que asgna la suma de dos números que se muestran en un par de dados. La dstrbucón de X es: x 3 4 5 6 7 8 9 0 f(x ) /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 x f(x ) x f(x ) x x f(x ) /36 /36 4 4/36 3 /36 6/36 9 8/36 4 3/36 /36 6 48/36 5 4/36 0/36 5 00/36 6 5/36 30/36 36 80/36 7 6/36 4/36 49 94/36 8 5/36 40/36 64 30/36 9 4/36 36/36 8 34/36 0 3/36 30/36 00 300/36 /36 /36 4/36 /36 /36 44 44/36 7 974/36 La varanza, Var (X) E(X )-E(X) 54,83-495,83

La desvacón típca Ejemplo 0. Un jugador de tens tene una probabldad de ganar una partda de 0,5. S juega 4 partdas, calcula la probabldad de que gane mas de la mtad. Solucón Es una bnomal con n4 y p0,5, lo que pden es que calculemos P(X3)+P(X4) donde: P(X3), P(X4) (termnarle) Ejemplo. Una máquna fabrca tornllos y se ha comprobado que el % de los msmos son defectuosos. S se vende en paquetes de de 9, se pde: a) Cuál es la funcón de probabldad de la varable aleatora nº de tornllos defectuosos en un paquete? b) Cuál es la probabldad de que al comprar un paquete haya en el msmo defectuosos? Solucón a) Es una bnomal de parámetros n 0 y q 0, 0. Su funcón de probabldad es p(x k) (0,0) k (0,98) 0-k b) P(X ) (comprobarlo) PARÁMETROS La meda es, la varanza y la desvacón típca Observacón: Cuando n. p>5 se puede consderar que la dstrbucón es normal (la vemos después). Ejemplo. La probabldad de que en una empresa haya un empleado enfermo es de 0,0. Sabendo que hay 300 empleados hallar la esperanza matemátca y la varanza de la dstrbucón correspondente.

Solucón Como se trata de una dstrbucón bnomal de parámetros n 300 y p 0,0, se verfca: E(X) n.p 300.(0,0) 6, Var(X) n.p.q 300.(0,0).(0,98) 5,88 º (Selectvdad Galca Estadístca - 999) a) En un juego una persona recbe 5 pesetas cuando saca una sota o un caballo y recbe 5 pesetas s saca un rey o un as de una baraja española con 40 cartas. S saca cualquer otra carta tene que pagar 4 pesetas Cuál es la gananca esperada para una persona que entra en el juego? b) El 40% de las declaracones del mpuesto sobre la renta son postvas. Un 0% de las que resultaron postvas lo fueron como consecuenca de errores artmétcos en la realzacón de la declaracón. S hay un 5% de declaracones con errores artmétcos, qué porcentaje de estas resultaron postvas? Resolucòn

3

4 4º (Selectvdad Murca Bloque 5 C- Juno 999) En un certo nsttuto, el curso pasado aprobaron la Flosofía el 80% de los alumnos de COU. Cuál es la probabldad de que, de un grupo de 8 alumnos elegdos al azar, sólo dos huberan suspenddo la Flosofía? Solucón: º (Selectvdad Murca Bloque 5 cuestón septembre 999) S el 0% de las pezas producdas por una máquna son defectuosas, cuál es la probabldad de que entre cuatro pezas elegdas al azar, a lo sumo sean defectuosas? Solucón 4º. Se lanza una moneda trucada en la que la probabldad de cara es de 0,4. Sea X el número de veces que se lanza la moneda hasta que aparece una cara. Se pde: Solucón: (a) P(X ) (b) P(X > 4) P(cara) 0,4 P(cruz) 0,6 Sea X "número de tradas hasta la ª cara". a) P(X ) P(cruz, cara) 0,6. 0,4 0,4 b) P(X > 4) P(cruz, cruz, cruz, cruz) (0,6) 4 0,96

5