PROGRESIONES 3º ESO PÁGINA EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS UN POCO DE HISTORIA: UN NIÑO LLAMADO GAUSS Hce poco más de dos siglos, u mestro lemá que querí pz y trquilidd e su clse propuso sus lumos que clculr l sum de los úmeros del l 00. A Crl Friedrich Guss (0 ñitos) se le ocurrió lo siguiete, e primer lugr escribió l sum de los 000 úmeros e el orde orml: ++3+ +98+99+00. Después escribió l sum l revés 00+99+98+ +3++ Y después fue sumdo el úmero de rrib co el correspodiete de debjo + + 3 + + 98 + 99 + 00 00 + 99 + 98 + + 3 + + 0 + 0 +0+.. +0 + 0+ 0 Se dio cuet que tods ls prejs sumb 0, por tto el resultdo de l sum que teemos plted será 0x00, como e est sum hemos clculdo el doble de l ctidd que querímos, tedremos etoces que l sum de los úmeros del l 00 será: 0 00 5050 Crl Friedrich Guss fue u fmoso mtemático y stróomo lemá (777-855). PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS. Hllr el vigésimo térmio de l progresió ritmétic: -5, -, -9, -6,... = -5 ; d = - (-5) = - + 5 = 3; = 0; =? = + ( ) d 0 = -5 + (0 ) 3 = -5 + 57 = 4 0 = 4. L sum de los cutro primeros térmios de u PA creciete es 56 y el térmio myor es 0. Escribe esos cutro térmios. Como 4 = 0, S 4 = 56 y = 4. se tiee: 0 56 S 56 4 0 8 0, de dode: = 8. 4 Por otro ldo = + ( ) d, etoces se tiee: 0 8 0 = 8 + (4 )d ; d = 4 Solució: los cutro primeros térmios so: 8,, 6, 0 3. Coociedo que e u PA el térmio 00 = 99 y que l sum de los 00 primeros térmios es 0.000, clculr el primero y l difereci. 00 = 99; = 00; S 00 = 0.000; =?; d =?
99 0000 S 0000 00 99 00 00 = + 99; = 4. Dd l sucesió -6,,8,5, ( ) d (00 ) d 00 99 = + (00 ) d 98 = 99d d =. PROGRESIONES 3º ESO PÁGINA 5. Clculr l sum de los doce primeros térmios de u PA de difereci 4, sbiedo que el primero vle 7. = 7; = ; S =? ( ) d ( ) d 7 4 5 99 = + (00 ) d 98 = 99d d =. 7 5 S S 348 S =348 6. Clculr l sum de los primeros térmios de u PA, cuyo primer térmio es 4 y cuy difereci es 3, sbiedo que el térmio es 40. S =?; =?; = 4; = 40; d = 3 ( ) d 4 ( ) 3 40 43 3 40 43 3 De dode =3 3 4 40 S S3 3 3 86 S 3 =86
PROGRESIONES 3º ESO PÁGINA 3 7. Coociedo el primer térmio de u PA. 3 y el doce 5, determir l difereci y l sum de los doce primeros. S =?; = ; = 3; = 5; d =? ( ) d ( ) d 5 3d 5 3 d d d =. 4 5 S S 68 S =68 8. De u progresió ritmétic coocemos los térmios 8 = 9 y = 44. Clcul: 9. Hllr el úmero de térmios de u progresió ritmétic que tiee por primer térmio 7, por último y por difereci 3. =?; = 7; = ; d = 3 ( ) d = 7 + ( - ) 3 = 7 + 3-3 = 4 + 3 3 = 08; = 36 = 36 0. Coociedo el primer térmio de u PA es 3, cierto térmio es 39 y que l sum de todos los térmios etre los dos teriores es 0, clcul l difereci y el lugr que ocup el térmio 39. = 3; = 39; S = 0; d =?; =? 3 39 4 S 0 0 0 0 = 0
( ) d (0 ) d 0 39 = 3 + 9 d 39-3 = 9d d = 4. PROGRESIONES 3º ESO PÁGINA 4. Clculr l sum de todos quellos úmeros que, teiedo tres cifrs, so múltiplos de 7. Debemos buscr el primer úmero de tres cifrs que se divisible por 7, d 05 y luego debemos buscr el úmero más grde de tres cifrs que se divisible por 7, veremos que d 994. = 05; = 994; d = 7 ( ) d 994 = 05 + ( - ) 7 S 994-05 = ( - ) 7 889 / 7 = = 8 05 994 8 =70336 S = 70.336. Formr u PA de térmios positivos de difereci sbiedo que el último de ellos es8 y que etre todos sum 88. d = ; = 8; S = 88 ( ) d 8 ( ) 0 8 0 8 S 88 88 76 (38 ) De dode: - 38 + 76 = 0; y simplificdo: - 9 + 88 = 0 Resolviedo le ecució de segudo grdo hllmos los vlores de ; = ; = 8 Pr = ; = 0 - ; = 0 - ; = - ; o cumple el eucido Pr = 8; = 0 - ; = 0-6; = 4 Los 8 primeros térmios so: 4, 6, 8, 0,, 4, 6, 8 3. Cul será l profudidd de u pozo si por el primer metro se h pgdo 760 y por cd uo de los resttes, 50 más que el metro terior. El pozo h costdo 43700. =?; = 760; d = 50; S = 43.700 ( ) d 760 ( ) 50 60 50 760 760 60 50 43700 S 43700 87400 (370 50 )
PROGRESIONES 3º ESO PÁGINA 5 De dode: 87400 = 370 + 50; y simplificdo: 5 + 37-8740 = 0 Resolviedo le ecució de segudo grdo hllmos los vlores de ; = 0; = 0 4. Clcul l sum de los 80 primeros múltiplos de 4. 5. Hllr los cutro águlos de u cudrilátero, sbiedo que form p.. de rzó igul 5º. = 4; d = 5; S = 360º 360 S 4 4 80 80 4 = + (4 - ) d 80 - = + 3 5; 4 4 80 = + 75; de dode = 05; = 5'5 Solució: 5º 30'; 77º 30'; 0º 30'; 7º 30'. 6. Iterpolr 0 elemetos etre los úmeros 3 y 5, pr que forme progresió ritmétic. NOTA: iterpolr, quiere decir meter etre los dos extremos de l progresió el úmero de térmios que os pid. Por ello uestr progresió cut co doce térmios (los dos extremos más los diez que debemos iterpolr) = 3; = 5; d =?; ( ) d 5 3 ( ) d = d d = Luego, los doce térmios so: 3, 5, 7, 9,, 3, 5, 7, 9,, 3, 5 7. Iterpolr seis medios ritméticos etre y 9 =, = 8 = 9, = 8 ( seis medios ritméticos y los dos extremos) 9 8 ( ) d 9 (8 ) d d = 4 8 7 d = 4 Etoces l progresió ritmétic es: ; 5; 9; 3; 7;, 5; 9
LA LEYENDA DEL INVENTOR DEL AJEDREZ PROGRESIONES 3º ESO PÁGINA 6 Cuet l leyed que el rey Shirhm, rey de l Idi, estb muy deprimido por hber perdido su hijo e u btll. U sbio de su corte llmdo Siss Be Dhir le llevó el juego del jedrez pr imrlo y le eseñó jugr. El rey Shirhm, quedó t impresiodo co el juego que se ofreció regrle su ivetor lo que pidier como recompes. Así, el ivetor pr drle u lecció de humildd, le pidió lo siguiete: u gro de trigo por l primer csill del tblero, dos por l segud, cutro por l tercer, ocho por l curt... y sí sucesivmete, duplicdo e cd csill l ctidd de l terior hst llegr l últim. El rey extrñdísimo de lo poco co lo que se coformb ordeó que le dier lo que pedí, pero cudo cudo sus cotbles echro cuets, viero sombrdos, que o hbí trigo e el reio, i siquier e tod l tierr pr jutr es ctidd. De qué ctidd estmos hbldo? Ate qué tipo de progresió estmos? Solució Primero debes sber que el tblero cost de 64 csills, luego l ctidd de gro de recompes vedrá dd por l sum de los gros de cd u de ess csills. Además os dice que los gros de cd csill se obtiee multiplicdo por el úmero de gros situdos e l primer csill, que es, es decir, que v estr e u progresió geométric dode el primer térmio es y l rzó : =, =, 3 = 4, 4 = 8, 5 = 6,... Y como e u progresió geométric l sum de térmios viee dd por l expresió: llegmos : 64 64 S64 = 8 446 744 073 709 55 65,8 0 9 S r r, Es decir, el úmero de gros es: dieciocho trilloes, cutrocietos curet y seis mil setecietos curet y cutro billoes, setet y tres mil setecietos ueve milloes, quiietos cicuet y u mil seiscietos quice gros de trigo. L cifr fil es t elevd que sobreps l producció mudil de trigo de l ctulidd. 8. Comprueb que ls siguietes sucesioes so progresioes geométrics, hll el térmio geerl y el vlor del térmio duodécimo. 5 45 35 ) 5,,,,... b) +,, +,,... c), +,, +,... 4 8 ) Pr 5, 5 45 35,,,... se cumple que: 5/ 5 3 4 8 5 0 3 45/ 4 5/ 90 3, luego es u PG 60 3 3 Como = 5 y r =, su térmio geerl será: 5. Por tto, 3 5 885735 048, y lo mismo sucede pr
PROGRESIONES 3º ESO PÁGINA 7 b) Pr +,, +,,..., el cociete etre dos térmios cosecutivos es siempre Por tto, r =. Su térmio geerl es ( ) ( ). 9. Dd l sucesió 6,-8,4,-,... Luego ( ) c) Pr, +,, +,... que tmbié tiee rzó. Su térmio geerl es ( ) ( ) ( ) Luego. 0. Clcul el térmio geerl de l PG:,, 4, 6, 3,... Clcul los térmios 0 y 45 Se trt de u progresió geométric de rzó r =. Su térmio geerl será:. Por tto 5. 9 0 Y 7598604446. 44 45. Clcul l sum de los 0 primeros térmios de l progresió,, 4, 8,... Se trt de u PG, de rzó r = y cuyo primer térmio es r Como S r 0 0 S 0 =03. Luego S 0 03
. Clcul l sum de todos los térmios de l PG siguietes. 00, 50, 5, 5... b. 7, 7/3, 7/9, 7/7 PROGRESIONES 3º ESO PÁGINA 8 ) Se trt de u PG de rzó r = y cuyo primer térmio es 00 Como S r 00 S 00 / b) Se trt de u PG de rzó r = 3 y cuyo primer térmio es 7 Como S r 7 7 S : 0'5 / 3 3 3. Clcul el producto de los 0 primeros térmios de l progresió geométric 3, 6,, 36,.. Ejercicio de mplició. L fórmul del producto de los primeros térmios de u PG es P ( ) Por tto P 0 9 0 0 90 0 45 0 ) (3 3 ) 3 3 ( 4. Clcul el producto de los 6 primeros térmios de l progresió geométric 56, 8, 64,.. Siguiedo el ejercicio terior: 6 r 5 56 6 P ( ) (56 56 ) () 6 5 6 4 7 5