º DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA MATEMÁTICAS UNIDAD LOS NÚMEROS REALES Presentción b) Evlución Inicil c) Conceptos d) Actividdes e) Autoevlución f) Otros recursos: bibliogrfí y recursos en red g) Refuerzos Eductivos h) Ampliciones / Propuest de investigción Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
INTRODUCCIÓN Pr poder relizr el Cuderno de Alumno de Mtemátics, debes conocer el significdo de estos iconos. Ellos te indicrán qué tipo de ctividd vs relizr. Actividdes orles Relizr en hoj prte Softwre Dibujos Refuerzo / Amplición / Propuest de investigción Autoevlución Gráficos Áres de intercción PAI - Aprender prender Comunidd y Servicio - Slud y educción Socil - Medio Ambiente Homo fber Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
A/ PRESENTACIÓN Gurismo eres y no más, según donde te pongn, sí vldrás. (Refrnero espñol) El libro de l Nturlez está escrito en lenguje mtemático, y que ls leyes físics y químics que rigen el comportmiento de l mteri se epresn medinte fórmuls y ecuciones. El desrrollo de l Ingenierí y l Arquitectur no serí posible sin un sólido soporte mtemático. Ls Ciencis Sociles utilizn tmbién herrmients mtemátics pr estudir diversos spectos cuntittivos. En l vid cotidin, los números nos roden. Sbís que l fctorizción en números primos de un número nturl, contribuye de form decisiv en l teorí de códigos y criptogrfí? Eso es, básicmente lo que hcen los decodificdores de cdens de televisión, ls grbdors de DVD, ls cdens de músic, etc. No en tods ls situciones bstn los números nturles y enteros; pr indicr nuestr ltur y peso, necesitmos los decimles; pr nuncir un descuento se utilizn los porcentjes; pr comprr ciertos limentos utilizmos otros como estos ejemplos: / de lomo, / de queso, curto y mitd de gmbs. Todos estos números son los rcionles. Pitágors pensb que tods ls coss se podín epresr con números enteros o cociente de números enteros (números rcionles). Todo es número,decí. Su fmoso teorem dio pso otros números: los irrcionles (no rcionles), y que si los ctetos de un triángulo miden m de ldo, l hipotenus no se puede epresr con un número rcionl. Ejemplos de números irrcionles nos los encontrmos cd vez que relizmos un medid; cundo efectumos operciones mtemátics como,... Ante l pregunt de cuál es el resultdo de ess dos ríces, podemos responder, y,7, respectivmente; esto no es del todo cierto porque después del y del 7 hy infinitos decimles. Lo que hemos hecho es relizr un proimción. Y como es posible tener infinitos decimles distintos? Pr responder, sólo debes preguntrte: qué número está detrás de? Un posible respuest es:. Pero otr más trevid es:,. Más ún:,0. Y por qué no,00?, ó,00000000000? Piens en esto y cundo cbes est unidd lo verás clrísimo. Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
B/ EVALUACIÓN INICIAL 0. Recuerd en este espcio ls regls de divisibilidd básics: - Un número es divisible por cundo.. - Un número es divisible por cundo.. - Un número es divisible por cundo.. - Un número es divisible por 9 cundo.. - Un número es divisible por cundo.. Qué prte del totl ocup cd un de ls figurs numerds en el Tngrm?. Simplific est frcción: 0 780 =. Reduce un sol frcción: b) 7 0. Epres como un sol potenci:. Roberto quiere comprr un moto que cuest 000 euros. L entrd es / del precio, y el resto lo pg plzdo en meses. Cuánto pg de entrd? b) Qué frcción del precio plz? b) Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
c) Cuánto pgrí en cd plzo?. Ddos los siguientes números, indic en l líne cuáles son rcionles y su derech encuentr l frcción genertriz, en los que se pued. 7... b) / 7... c) 9... d),000000...... e),0...... f),...... g)... h),9...... 7. Hll l ríz de este número descomponiendo previmente en fctores = Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
C/ CONCEPTOS.- Números rcionles (repso). Epresión y representción de un número rcionl.. Epresiones decimles y su frcción genertriz.. Operciones con números rcionles. Jerrquí de operciones.. Resolución de problems con números rcionles..- Números reles.. Números irrcionles y su representción.. Aproimciones en los números reles y errores.. Potencis. Notción científic.. Operciones con rdicles.. Introducción l concepto de Rcionlizción. Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
D/ ACTIVIDADES. Epresión y representción de un número rcionl. Sistem de trbjo: individul. Recursos: Libro de teto, consultores de ul, Progrm Wiris. RECUERDA: Número rcionl es quél que se puede epresr medinte un rzón o cociente. Dentro de los números rcionles (Q) se incluyen ls frcciones, los enteros (Z) y los nturles(n).. Responde ls siguientes cuestiones: Qué es un frcción? Qué indic cd elemento de un frcción?. Epres de form gráfic ests frcciones:,, Pr representr un nº rcionl en l rect se debe tomr en cuent: Si es frcción propi (numerdor < denomindor) * Determinr entre qué dos números está comprendido. está entre el 0 y el Por qué?... * Dividir el intervlo formdo por esos enteros, tnts veces como indic el denomindor,. 0 * Tomr ls prtes que indic el numerdor,. 0 b) Si es frcción impropi (numerdor > denomindor) *Trnsformrl en nº mito: *Dividir el intervlo formdo por el entero obtenido y el siguiente, tnts prtes como indic el denomindor. *Tomr ls prtes que indic el numerdor. Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd 7
. Represent los siguientes números rcionles:, 7, -, - 8. Epresiones decimles y su frcción genertriz.. Efectú ls siguientes divisiones en estos números rcionles y escríbelos son cinco decimles, si se puede: 7/=... /=... 7/=.... Lee ls págs. 8 y 9 de tu libro y pon nombre ls epresiones decimles obtenids nteriormente. Sepr tmbién ls diferentes prtes que ls integrn elborndo un cudro como éste. Nº Rcionl Nº Deciml Nombre Prtes E A P RECUERDA: Todo número rcionl se puede epresr siempre en form deciml periódic y vicevers.. Fíjte bien en los ejemplos de ls págins 8 y 9 del libro y escribe en form frccionri (es decir, hll su frcción genertriz) los siguientes números decimles. 0,,, 7. Hz los ejercicios 8, 0 y de l pág. 9 del libro.. Operciones con números rcionles. RECUERDA: Pr reducir común denomindor se hll el m.c.m. de los denomindores, que será el denomindor de ls frcciones buscds. Después se divide por el denomindor de cd un de ells y se multiplic por el numerdor. RECUERDA: Al relizr operciones combinds con números rcionles, debes seguir un orden: Resolver los préntesis. Si hy vrios, empezr por el más interior. Potencis y ríces (de izquierd derech. Multiplicciones y divisiones (de izquierd derech. Sums y rests (de izquierd derech. 8. Hz los ej. Del 9 l de l pág. 7 del libro. 9. Hz el ejercicio de l pág. del libro. 8 Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
0. Efectú ls siguientes operciones combinds y comprueb con Wiris el resultdo obtenido: 7 7 : 0 9 0 b) 9 7. 0 0 7 : 7 : : 8 Cundo se utiliz un frcción como operdor intervienen tres elementos: - Nº sobre el que ctú l frcción (ENTRADA). - L frcción. - Nº que result (SALIDA). Al plicr l número : ENTRADA SALIDA 9 de = 9 Si lo que se quiere obtener es l entrd, l frcción trnsform 9 en 9 de 9 = 9 Si lo que se quiere obtener es l frcción se divide l slid entre l entrd 9 0. Hz los ejercicios y de l pág. 7 del libro.. PARA AMPLIAR: Pág. : nº 7, 8. Pág. : nº 8, 8 y 8. Pág. : 88, 90. Pág. : del 00 l 0. Números irrcionles y su representción.. Efectú con Wiris ó con l yud de un clculdor ests operciones y escribe continución el resultdo completo que prece en l pntll. Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd 9
......... (nº Aureo) = +.... Qué diferenci observs entre ests epresiones decimles y ls estudids nteriormente?.... Lee l pág. 0 del libro e indic el nombre que reciben los números obtenidos y por qué.... Hz el ejercicio de l págin del libro SABÍAS QUE: Números irrcionles son números de infinitos decimles no periódicos por lo cul no se les puede epresr medinte un rzón? El conjunto de los Rcionles e Irrcionles form el conjunto de los Reles (R) Y sbes cómo representr números enteros y rcionles en l rect. Pr representr de form ect números irrcionles,,..., sigue estos psos: - Dibuj un triángulo rectángulo cuy hipotenus se el nº irrcionl - D los ctetos los vlores decudos pr obtener es hipotenus medinte el teorem de Pitágors. hip ct ct ;?? ; - Llev el triángulo l rect y con un compás trsld l longitud de l hipote nus l rect. 0 0 Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
. Hz l representción de los números irrcionles,,.. Aproimciones en los números reles. Errores. Lee l pág. del teto. Observ distints proimciones l nº =,079... Por defecto Por eceso Error A ls uniddes -------------------------------- Menor u. A ls décims,-----------------------, Menor 0, A ls centésims,----------------, Menor 0,0 A ls milésims,--------,7 Menor 0,00 7. Hz un cudro similr pr el vlor de, 9... y luego los ejercicios y 7 de l pág... Notción científic. 8. Revis ls operciones con potencis estudids en cursos nteriores, complet en hoj prte este cudro y hz los ejerc.,,, 7 de l pág. del libro. n m n n n b n n m n 0 b m n n RECUERDA: Un nº en notción científic se epres sí:, bcd... 0. Const de: Un prte enter formd por un sol cifr no nul. Un prte deciml. Un potenci de bse 0 con eponente entero. El eponente n indic el orden de mgnitud. 9. Hz los ejercicios 8 de l pág. y 8 de l pág.. 0. Resume ls cutro operciones con notción científic leyendo en el libro l pág. y luego reliz el ejerc. 9. 9. Reliz ls siguientes operciones combinds: Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
7 0-0 : 9 0-7 0 b) 0-0 0 0 - + 0 : 0 8. Operciones con rdicles. SABÍAS QUE: Los elementos de un epresión rdicl son los siguientes: Ep. rdicl indice n rdicndo r riz Todo rdicl de l form n m n m frccionrio, sí : n? m se puede epresr como potenci de eponente. Escribe quí en form de potenci o de rdicl, según se el cso: -...; 7...;...;... SABÍAS QUE: Un rdicl se puede trnsformr en otro equivlente multiplicndo o dividiendo el índice y el eponente de un rdicl por un mismo número? n n p n p m m p ; n m m p. Complet quí con rdicles equivlentes y se por reducción o mplificción. 8 9...... Observ en ls págs. 8, 9 y 0 de tu libro ls operciones con rdicles y ls condiciones que se deben cumplir; luego reliz los ejercicios de l págin 9 y : 7, 8, 9,,,,, 8. Ls propieddes de los rdicles permiten etrer fctores de un rdicl. Observ estos ejemplos: 7 7 Vemos cómo se reliz el proceso contrrio, es decir, introducir fctores en un rdicl: 7 7. Reliz los ej. 0 y de l pág. 9 del libro. Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
Pr relizr sums y rests con rdicles, éstos deben cumplir dos condiciones: Sus índices deben ser igules. b) Sus rdicndos deben serlo tmbién. 0 A veces se pueden sumr y restr rdicles con distinto rdicndo, por ejemplo: 8. Reliz ls siguientes operciones: b) c) 0 00 0 80 Pr multiplicr y dividir rdicles con distinto índice, es necesrio reducir índice común. Observ este ejemplo:. El índice común buscdo es el m.c.m. de y = 0 9 0 9 9. Reliz ls siguientes operciones: b) c) d) 8 b b b b e) 9 b 7 RECUERDA: Pr multiplicr o dividir rdicles del mismo índice, se dej el mismo índice y se multiplicn o dividen los rdicndos. Pr multiplicr o dividir rdicles con distinto índice, se reducen previmente índice común. Pr sumr o restr rdicles con el mismo índice y el mismo rdicndo se sumn o restn scndo fctor común. Pr sumr o restr rdicles de distinto rdicndo se etren lgunos fctores del rdicl pr conseguir que queden con igul rdicndo. Pr elevr un rdicl un potenci se elev el rdicndo dich potenci. Pr hllr el rdicl de otro rdicl se multiplicn los índices de mbos. Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
7. A modo de repso reliz estos otros ejercicios: Pág. : 7, 8 Pág. :,, 8. PARA AMPLIAR: Resuelve y simplific. Comprueb con Wiris los resultdos, mirndo en l págin 9 de tu libro cómo introducir rdicles en el progrm. 9 b b b b 7 b) 0 7 9 c) 8m 7m 8 9m 8m d) 0 8 9 00 INDICACIÓN: L prioridd de operciones debe seguirse siempre. Es decir, no es lgo eclusivo de ls frcciones.. Introducción l concepto de Rcionlizción. Observ l siguiente epresión:. Imgin que necesitmos conocer su vlor y no tenemos clculdor. L sbemos que es, si est ríz estuviese en el numerdor, l división serí mucho más fácil. Qué podemos hcer? SABÍAS QUE Rcionlizr consiste en quitr ls ríces del denomindor de un frcción? Debes multiplicr el numerdor y el denomindor por l ríz que prezc en el denomindor. De este modo l ríz desprece del denomindor. L respuest es sencill: L frcción no cmbi su vlor si multiplico rrib y bjo por el mismo número: sí que el resultdo será 0,7 proimdmente. 9. Rcionliz ls epresiones: g) b) 0 h) 0 c) i) d) e) f) Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
E/ AUTOEVALUACIÓN Alumno/...Grupo....- Indic cómo se llmn ls siguientes epresiones decimles y cuál es su frcción genertriz.,... b) 89, c),0....- Clcul tomndo en cuent ls prioriddes en ls operciones. Puedes comprobr el resultdo, utilizndo Wiris. 9 9 7 8 9 : 9 7 7 b) c) 7 8 9 : 8 7 7 7 7.- Luis sle de comprs y gst l curt prte del dinero que llev en comid, y más trde l mitd de lo que le qued en rop. Si vuelve cs con 0 euros con cuánto dinero slió?.- Represent en est rect los siguientes números: 7 y 7.- Hz un proimción de estos números cometido se menor un centésim.,,, 9 pr que el error Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
.- Epres en notción científic. Rdio del Sol: 9.990.000 = b) Virus del resfrido: 0,00000000= 7. Ls /0 prtes de los libros de un pequeñ bibliotec están en l sección de ficción y ventur. Ls / prtes son libros relciondos con l educción. De l prte restnte, un tercio son de divulgción científic. Aún sobrn 0 libros reprtidos en otrs secciones. Qué frcción del totl son de divulgción científic? b) Cuántos libros tiene en totl l bibliotec? 8.- Reliz ls siguientes operciones con potencis. Dejndo el resultdo, con eponentes positivos: 7 7 : 7 7 : 7 y y b) y 9.- Reliz ests operciones en notción científic., b) c) d) e) 0, 0 0 0 99 0 0 9,,, : 0, 0 0 0 99 0 0 0,7 0 8 Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
0.- Reliz ls siguientes operciones con rdicles. b) c) d) 0 0 00 80 b 9.- Oper y simplific l máimo: y y y = b) 98 0 8 =.- Rcionliz: 7 7 = b) = c) = Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd 7
F/ OTROS RECURSOS: BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS EN RED Bibliogrfí: Consultores de ul Recursos en red: Gcetill mtemátic: www.rrkis.es/ mcj El príso de ls mtemátics con Buscdor de Mtemátics www.mtemtics.net Consejo de Educción de l Com. de Cnris. www.nti.educ.rcnri.es/usr/mtemtics Proyecto Descrtes: http://descrtes.cnice.mecd.es/indice_ud.php#_eso 8 Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd
G/ REFUERZOS EDUCATIVOS Alumno/...Grupo... Sistem de trbjo: individul, monitorís de crácter individul o grupl. Recursos: Todos los utilizdos en l unidd..- Reps y estudi todos los RECUERDA y SABÍAS QUE que hs encontrdo en est unidd..- Bsándote en los contenidos propuestos l principio de est unidd y en lo estudido nteriormente, elbor un mp conceptul..- Reliz estos ejercicios del libro: Pág. :,,,, Pág. :,,,, 7, 8, 9.- Averigu cuáles de los siguientes números son rcionles y cuáles irrcionles. 0,,...,777... 7,....- Epres los números nteriores medinte proimciones con un error menor ls diezmilésims..- Introduce en el rdicl los fctores que están fuer. 7.- Etre del rdicl los fctores posibles. 8 8 7 b 8.- Clcul: b) c) 8 9 e) f ) g) d) 8 9 h) 0 Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd 9
H/ AMPLIACIONES / PROPUESTA DE INVESTIGACIÓN Alumno/...Grupo... Sistem de trbjo: individul. Recursos: Todos los utilizdos en l unidd..- Un pndero prt cd semn, pr el consumo de su fmili, /00 de ls brrs de pn que fbric, vende. brrs y regl lo que le sobr, /70 del totl de brrs. Cuánts brrs de pn fbric el pndero en totl?.- Si tu clculdor sólo pudiese relizr ríces cudrds, cómo clculrís 8 y? Obtén sus vlores..- Dos rdicles del mismo índice son igules cundo tienen el mismo rdicndo. Se puede decir entonces que es el doble de..- Reliz estos ejercicios: : 7 7 9 9 7 9 0 b) 0 - : 0 7 + 7 7 0 9 : 0 c) 8 y y y 0 d) 8.- Ls operciones que hs estudido en est primer unidd se pueden relizr tmbién con l plicción Wiris. Lee tentmente ls págins 0,, 8, 9 del libro y hz los ejercicios que vienen en ells. b) Utiliz Wiris pr comprobr los resultdos de los ejercicios de myor complicción. 0 Sistem Eductivo SEK Aul Inteligente Mtemátics º ESO Unidd