Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8

Colegio SSCC Cocepció - Depto. de Matemáticas Uidad de Apredizaje: POLINOMIOS Capacidades/Destreza/Habilidad: Racioamieto Matemático/ Aplicació / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad, Resposabilidad / Trabajo e equipo, Cumplimieto Curso: 3 E.M. ALGEBRA 8 Apredizajes Esperados: Operar co poliomios, factorizar poliomios aplicado teoremas y propiedades, resolver ecuacioes de grado mayor a, resolver situacioes codicioadas co poliomios. Recursos TICs: Presetació de la uidad a través de POWERPOINT Evaluació de proceso: Correcció de tareas, iterrogacioes, trabajo e clases Tiempo: 4 bloques Profesor Resposable: Miguel Ferádez Riquelme Uidad: POLINOMIOS Nombre: CURSO: Defiició: Fució Poliómica. 1

Fució Poliómica f es toda fució de domiio el cojuto de los úmeros reales, tal que la image de cada úmero real x es: 1 f x a x a x... a x a x a, dode a, a,..., a, a, a so umeros reales y es atural. 1 1 0 1 1 0 Defiició: Poliomio. Poliomio de variable real x, es toda expresió de la forma: 1 P x a x a x... a x a x a, dode a, a,..., a, a, a so umeros reales y es atural. 1 1 0 1 1 0 OBSERVACIONES: Se puede decir que el poliomio P(x) es el medio para calcular el úmero f(x). a, a 1,..., a, a1, a0 se deomia coeficietes del poliomio. i el subídice i de ai idica que ai es el coeficiete de x (i es u atural que varía etre 0 y ) Ejemplo: 3 1 P x 8x 6 x es u poliomio ordeado segu la variable x, cuyos coeficietes so: 1 a0, a1 6, a 0, a3 8, a4 a5... 0, Defiició: Llamaremos VALOR NUMÉRICO de u poliomio P(x) co respecto a u úmero real x1 al úmero que se obtiee luego de efectuar operacioes e P(x) cuado se sustituye la variable x por x1. (otaremos P(x1)). Ejemplo: 4 3 6, calculemos P 1 4 P 4 P x x x x x y P P 1 3 1 6 1 1 1 3 6 1 0 1 0 P 3 3 6 3.16 6 8.4 48 48 8 4 108 Defiició: Raíz de P(x). x1 es raíz de P(x) si P(x1) = 0 E el ejemplo aterior observamos que P(1) = 0, por lo tato x = 1 es raíz de P(x).

Defiició: Grado de u poliomio. P x a x a x... a x a x a, es el mayor expoete atural 1 1 0 El grado de 1 de x Notació:, 0 gr P x a, a se deomia coeficiete pricipal. Ejemplo: 4 P x 3x 6x x x, gr P x 4, y el coef. pricipal es a4 3 Q x 5 gr Q x 0 T x 6x 1 gr T x 1 OPERACIONES CON POLINOMIOS. Defiició: SUMA DE POLINOMIOS: Sea P x a x a x... a x a x a y Q x b x b x... b x b x b, 1 k k 1 1 1 0 k k 1 1 0 i x y Q x es S x ai bi x siedo m k La suma de P max, i m i 0 S(x) por su forma es u poliomio cuyos coeficietes so los reales ai bi. Esto sigifica que cada coeficiete del poliomio S(x) se obtiee sumado los coeficietes de los térmios semejates, es decir, los térmios de igual grado. Defiició: Poliomios opuestos. 1 1... Sea P x a x a x... a x a x a, el poliomio opuesto de P(x) es 1 1 0 Q x a x a x a x a x a. Notació: el poliomio opuesto de P(x) lo otaremos como P(x). 1 1 0 Defiició: Diferecia de Poliomios: Dados los poliomios P(x) y Q(x), D x P xq x D xq x P x. Al poliomio D(x) lo llamamos diferecia etre P(x) y Q(x) y es la sustracció etre poliomios. 3

Defiició: PRODUCTO DE POLINOMIOS: A x a x a x... a x a x a y 1 1 0 1 Dados los poliomios k k 1 B x b x b x... b x b x b, el producto A(x).B(x) es k k 1 1 0 i p j i. P x c x, dode los coeficietes c a. b i i i i j j i 0 j 0 Alguas cosecuecias: Gr[A(x)] = m, Gr[B(x)] = Gr[A(x) B(x)] = m + Si m <, Gr[A(x)] = m, Gr[B(x)] = Gr[A(x) + B(x)] = Defiició: DIVISIÓN ENTERA Defiició: Divisió Etera. Dados poliomios A(x) dividedo y D(x) divisor etoces al dividir el cociete lo llamaremos Q(x) y al resto R(x). Luego se verifica A(x) R(x) = D(x) Q(x) E el caso e que el resto es igual a cero decimos: D(x) divide a A(x). A(x) es divisible por D(x). A(x) es múltiplo de D(x). La divisió A(x) por D(x) es exacta. 4

Regla de Ruffii. - Muchas veces para resolver determiados problemas es útil u algoritmo coocido como regla de Ruffii 1 A x 5x 7x 1x 6 por B(x) = x -. Hallaremos el cociete y resto de dividir 4 SUMAR. 5 7-1 0 6 10 34 6 5 5 17 16 58 MULTIPLICAR El cociete es Q x 5x 17x 13x 6 y el resto es R x 58 - Cómo usar el esquema de Ruffii cuado el divisor es mx, m 0 y m 1? Tratemos de trasformar este problema, e uo ya visto. - Hallemos el cociete y resto de dividir A(x)= 3x 3 x + 5x + por B(x) = 3x+5. Por el método de Ruffii Teorema del RESTO El resto de dividir u poliomio A(x) por( x- x1) es el úmero que se obtiee de reemplazar x por x1 A(x1). TEOREMA DE DESCARTES La codició ecesaria y suficiete para que P(x) sea divisible por (x - ) es que, sea raíz de P(x). P x es divisible por x es raiz de P x. 5

P x es divisible por x El resto de dividir P x por x es 0 P 0 es raiz de P x. def. de Ley del Resto Def. de poliomio Raiz divisible Obs. - El dato S(x) es divisible por (x - ) os idica que el resto de la divisió es cero. - Esta propiedad relacioa la divisió co las raíces de u poliomio. TEOREMA o es raiz de P x es raiz de D x es raiz de Qx Es decir, si P(x) es divisible por D(x): - las raíces de P(x) so raíces del divisor o del cociete. - las raíces del divisor y del cociete so raíces de P(x). RAÍCES DE UN POLINOMIO Propiedades 0 es raíz de u poliomio si y sólo si el térmio idepediete es cero. Ejemplo: P(x)= 5x 4 + x 3-3x + x P(x)= x(5x 3 + x - 3x + 1)= 0 x1 = 0 1 es raíz de u poliomio sí y sólo si la suma de los coeficietes es cero. Ejemplo: P(x)= 7x 4 + x 3-3x + x 8 (7)+()+(-3)+(1)+(-8) = 0 x1 = 1 (-1) es raíz de u poliomio sí y sólo si la suma de los coeficietes de los térmios de grado par es igual a la suma de los coeficietes de los térmios de grado impar. P(x)= 8x 4 + x 3-3x + x Par (8)+(-3) + (-)= 3 ; Impar () + (1) = 3 P(-1)= 8(-1) 4 + (-1) 3-3(-1) + (-1) = 0 x1 = -1 6

Ejercicios 4 3 1) Sea P x x x 4x 9 y Q x x 5x 3x 1, calcular: 1 P 1, P 1, P 0, P, P 1,4, Q, Q, Q 1, Q 0. 3 x x mx x m ) a) Dado P 3 8, hallar sabiedo que P 1 6. b) Dado Q x 4x 3a 1 x 1 a x 9, hallar a sabiedo que Q 1 c) Dado H x x ax bx 6, hallar a y b sabiedo que H -1 11 y que el valor umerico de H para x= es -8. 3) Dado P x a 1 x bx 3. a) Discutir segu a y b el grado de P x. b) Determiar u posible a y b para que x=3 sea raiz de P x. 3) Sea F x ax bx c. i) Determiar a, b y c sabiedo que F 0, F 1 3 y es raiz de F x. 1 ii) es raiz de F x? iii) Calcular F 1 F 3. iv) Represetar graficamete F x e idicar su sigo. 1 3 4 4) Dados: A x x 3x x 1 x, B x x x, C x 3x x 1 y D x x x x 3 Calcular: i) A x B x C x ii) A x C x D x iii) A x. B x C x. D x iv) A x : D x 5) E cada caso hallar el valor de k sabiedo que: kx x ble por x-1. ii) B x kx k x 4x k es divisible por x+ 3 3 k x k x k k x 3 k x k i) A x 5 es divisi iii) J x k x 3kx 4 es divisible por x-1. vi) C x 3k 1 x k x 1 k es u poliomio de primer grado. v) Z x 3 1 1 admite raiz -1. vi)l x 3 1 1 toma el valor 4 para x=-. 7

6) Aplicado el esquema de Ruffii, hallar cociete y resto de: 1 a) 7x 5x 1 : x b) 8x 4x 3x 1 : x 1 c) x 5x 8x : x 3 5 5 3 7) Dado P x 3x x ax 5, determiar a para que P x dividido por x+ tega resto 1. 8) Dado P x x 4 x m, determiar m para que P x sea divisible por x-. 9) Dado P x x ax bx 3, determiar a y b para que P x dividido por x-3 tega resto 54 y dividido por x+ tega resto -11. 10) Dado P x x 5 x ax b, determiar a y b para que P x tega raiz -1 y que dividido por x+ tega resto igual al termio idepediete de P x. 4 11) Dado P x x ax bx 3x, determiar a y b para que P x dividido por x-1 de resto y para que el cociete de esa divisio dividido etre x- tega resto. 1) Se sabe qie P x es divisible por x- y que P x dividido por x+3 da resto -5. Calcular el resto de dividir P x por x- x+3. 13) P x dividido por x+1 da resto 4, P x dividido por x+ da resto 1 y P x dividido por x- da resto -. Calcular el resto de dividir P x por x 1 x x. 4 14) Hallar m,, a, b y c tal que: x mx 3x x 4 ax bx c x x. 4 4 x x ax x b a b 15) Dado P x x x 5 x ax b. Hallar a y b para que P x sea divisible por x x 1. 16) Dado P x 9 1 4. Hallar y para que P x 17) Hallar m,, p y q sabiedo que: 3x 5x 7x 1 m x 1 x 1 p x 1 q sea u cuadrado perfecto de coef. pricipal positivo. 18) Hallar A x de tercer grado si se sabe que A -1. A 0 y ademas A x -1 A x 6x x 7. 8

19) Hallar todas las raices de P x 36x 1x 5x 1 0, sabiedo que ua raiz es igual a la suma de las otras dos. 0) Resolver x x 18x 9 0 si se sabe que dos de las raices so opuestas. 1) Hallar todas las raices de P x x x 5x 0, sabiedo que el producto de dos de sus raices es -1. ) Resolver 16 x +76x -5=0, sabiedo que ua raiz es igual al producto de las otras dos. 3) Dado P x = x 6 x +11 x -6 4) Resuelve y halla a e: x 4x x a 0, si el producto de dos de sus raices es -1.. Resolver P x 0 si las raices esta e progresio aritmetica. 5) Dado P x x 8x 9 x a. i) Hallar a para que ua de la valor de a, resuelve P x 0. 1 15 10 1 8) Hallar todas las raices de A x y B x sabiedo que tiee raices comues. 6) Resuelve: 105x +37x 40x a 0 si. 7) Resuelve: 1 x + ax 97x 30 0 si.. 4 4 a) A x 5x 8x 7x 18 y B x 15x 16x 89x 6 b) A x x 9x 19x 9x 0 y B x x 6x 7x 60 9) Dado P x mx m 1 x 3m x 3 3m x 9m 6. a) Calcular las raices idepedietes del parametro m. b) Calcular m para que la suma de las raices sea 0. s raices sea el doble de la otra, co a 3 3 30) Dado P x ax a x 3a a x 6a 9a 7 a. Hallar la raiz idepediete del parametro (R.I.P). 31) Dado P x m x 5m x 11m 1 x 7m 1. Ivestigar la existecia de R.I.P. m. 4 4 4 4 3) P x m 3m 1 x 3m 7m 1 x 3m 3m 8 m. Ivestigar la existecia de R.I.P. m. 33) Resolver: x 3m a x m m 3a x m a 0; sabiedo que tiee ua raiz idepediete 4 x x a a x a a, y para ese de m, siedo a u real coocido. 34) Resolver: 3mx 3m 10m 3 x 10m 6m 10 x 3m 10m 3 x 3m 0, sabiedo que admite dos R.I.P. 35) Dado P x 5 10. i) Ivestigar la existecia de R.I.P. a. ii) Determiar a para que P(x) sea divisible por x a. iii) Para el valor hallado e b), resuelve P(x)=0. 36) Dado P(x)= m 1 x m 5 x 5 7m x 10m 1. a) Ivestigar la existecia de R.I.P. m. b) Hallar m para que las tres raices de P x sea reales. 37) Dado P(x)= x a 4 x a x 4 a. a) Ivestigar la existecia de R.I.P. a. b) Resuelve P(x)=0. c) Hallar a para que la suma de las raices valga 4. 9

Ejercicios Aplicar la Regla de Ruffii para calcular el cociete y el resto de las siguietes divisioes. Escribe e cada caso la relació D = d. c + r. 1. (x 3 6x + 3x 9 ) : (x 3). (x 5 5x 3 5x + 4) : (x ) 3. (x 4 x 3 x + 4x 8) : (x + ) 4. (x 3 8) : (x + 1) 5. ( x 4 + 3x 3 4x + x 18) : (x ) 6. (3x 4 10x 3 x 0x + 5) : (x 4) 7. (x 4 10x + 8) : (x + ) 8. (10x 3 15) : (x + 5) Hallar el valor de m para que cada ua de estas divisioes sea exactas. 9. (x 3 + 8x + 4x + m) : (x + 4) 10. (x 4 + 3x 3 4x m) : (x ) 11. (x 3 10x 5x + m) : (x 5) 1. (1x 3x + m) : (x 8) 1. Teorema del resto. El resto de la divisió del poliomio P(x) por el poliomio (x a) es igual al valor umérico del poliomio P(x) para x = a. Calcular el resto de las siguietes divisioes: 13. (3x 3 4x 9x + 17) : (x ) 14. (x 57 x 5 + 1) : (x 1) 15. (x 3 3x + x 10) : (x 3) 16. (x 6 1) : (x 1) 17. (x 3 x + x + 14) : (x + ) 18. (x 3 + 5 4x + ) : (x + ) Calcular el valor de m para que las siguietes divisioes sea exactas: 19. (x + 4x m) : (x 3) 0. (x 3 5x + m) : (x 1) 1. (5x 4 + x + mx + 1) : (x 3). (3x 3 4x mx + 6) : (x ). Raíces de u poliomio. U úmero a es ua raíz del poliomio P(x) si el valor umérico de P(x) para x=a es cero. Las raíces de u poliomio so tambié las solucioes de la ecuació P(x) = 0. Todo poliomio de grado tiee como máximo raíces distitas. 10

3. Raíces eteras de u poliomio. Las raíces eteras de u poliomio co coeficietes eteros so divisores del térmio idepediete si lo tiee. Calcular las raíces eteras de los poliomios: 3. x 3 + x x 4. x 4 + 3x 3 x 3x 5. x 3 + 3x + 4x + 8 6. x 4 3x 3 x 16 7. 3x 4 + x x + 8. x 3 x 5x + 6 4. Factorizació de u poliomio. La factorizació de u poliomio P(x) de grado, cuyas raíces so r1, r,..., r, es P(x) = a (x r1) (x r) (x r3)... (x r) Factoriza los siguietes poliomios: 9. x 3 x 4x + 4 30. x 3 x x + 31. x 3 6x + 6x 6 3. x 4 x 3 9x + 9x 33. x 4 5 x 3 x 5x 34. x 4 + x 3 5x 6x 35. 3x + 10x + 3 36. x x 1 37. x 3 3x + 4 38. x + x 1 39. 3x 3 + 3x 1x 1 40. 3x 4 x 3 + x 3 Resolver las ecuacioes: 41. x 3 7x x + 7 = 0 4. (x ) (x x + 1) = 0 43. (x + 1)(x 4) = 0 44. x 4 +4x 3 + 6x 4x + 1 = 0 45. 4x 3 7x 34x 8 = 0 46. x 3 + x 3x = 0 47. x 4 + x 3 11x + 11x 3=0 48. x 4 + 7 x 3 x + 5x 1 = 0 49. x 4x + 3 = 0 11