TEMA CARACTERIZACIÓ DE MEDIOS POROSOS Fuente: Kutlek y elsen 994
ÍDICE Pags... ITRODUCCIÓ.. CARACTERIZACIÓ FÍSICOQUÍMICA DEL SUELO... Porosdad... Dstrbucón de las partículas mnerales 3..3. Comportamento de las arcllas 5.3. CARACTERIZACIÓ ESPACIAL DE LAS PROPIEDADES DEL SUELO 7.3.. Varacón espacal de las propedades del suelo 7.3... Varacón espacal de las propedades del suelo 7.3... Tamaño de la muestra 8.3..3. Estmacón del número de muestras.3..4. Correlacón espacal entre muestras vecnas.3..3. Efecto escala. Determnacón del VER.3.. Determnacón de la varacón espacal 3.3... Correlograma 4.3... Semvarograma 5.3.3. Interpolacón espacal 8.3.3.. Krgreado puntual 8.3.3.. Krgreado por bloques.3.3.3. Krgreado unversal.4. REFERECIAS BIBLIOGRÁFICAS.5. LISTA DE SÍMBOLOS UTILIZADOS
Tema. CARACTERIZACIÓ DEL MEDIO POROSO.. ITRODUCCIÓ El medo poroso se dstrbuye de forma contnua y tortuosa y lo componen tres fases ben dferencadas: sólda, líquda y gaseosa. La prmera, denomnada matrz, está formada por las partículas mnerales y orgáncas del suelo undas medante agregados más o menos estables. Las otras dos, compuestas por agua y are con vapor de agua, ocupan los espacos uecos, poros, entre las partículas sóldas del suelo. El agua no es pura sno que lleva dsueltas sales y sustancas orgáncas. A la fase líquda se le denomna dsolucón del suelo y su flujo se consdera lamnar. La caracterzacón espacal de las propedades drofíscas del suelo adolece de la varabldad espacal de las varables mplcadas en el movmento del agua y transporte de solutos. El estudo de dca varabldad se a vsto favorecdo por el desarrollo de los métodos de medda y de análss en muestras de suelo representatvas de la superfce en estudo. Las meddas tomadas en puntos específcos del suelo no dejan de ser una mera aproxmacón de la realdad que utlza la Geoestadístca para estmar la varabldad espacal de la propedad en estudo en el conjunto de la superfce. Dco conocmento permtrá una gestón más efcente de los recursos naturales, en especal el uso del agua de rego, en una socedad donde ésta es un ben escaso... CARACTERIZACIÓ FÍSICOQUÍMICA DEL SUELO Las partículas mnerales de la fase sólda varían en tamaño. Su dstrbucón defne la textura del suelo. La clasfcacón de famlas de suelo del trángulo de texturas se ace en funcón de la proporcón en arclla, lmo y arena del msmo. Los suelos arenosos son sueltos y relatvamente nertes mentras que los arcllosos son suelos más complejos, físcamente pesados lo que dfculta su laboreo. La ordenacón de los agregados del suelo, atendendo a la forma, el tamaño, la dsposcón, y el grado de coesón y compactacón de las partículas sóldas, defne la estructura del msmo. Ésta condcona sus propedades drofíscas pues determna la proporcón y tamaño de los poros.... Porosdad La capacdad de un suelo para retener y dejar pasar el agua y el are se relacona con su volumen de poros V p. La relacón entre éste y el volumen aparente V a del suelo se denomna porosdad P. V p P [.] V a La porosdad concde con el contendo de agua del medo poroso saturado sn embargo, no es ndcatva de la cantdad de agua que puede transmtr. La expresón anteror puede expresarse por: a P [.] m donde a es la de densdad aparente del suelo (relacón entre la masa de suelo seco y su volumen aparente) y m la densdad de las partículas mnerales (relacón entre la masa de suelo seco y el volumen ocupado por las partículas mnerales).
La porosdad depende de la composcón, de la textura y de la estructura del suelo. Por lo general, P varía de,4 a,6 y su valor es superor a,9 en suelos con un contendo de matera orgánca (su forma rregular produce una escasa compactacón). Un aumento en el contendo de arclla favorece la formacón de agregados del suelo e ncrementa la porosdad. La tabla. muestra el ntervalo de valores de P y a de dversos suelos. Suelo Porosdad (P) (%) Densdad aparente ( a ) (g/cm 3 ) Arenoso 3656,6,7 Franco 355,,85 Arclloso 357,88,7 Tabla.. Intervalo típco de valores de P y a en dstntos suelos (adaptado de Kutlek y elsen 994). La porosdad y la densdad aparente del suelo no deben de relaconarse, drectamente, con la permeabldad del suelo. Se da la paradoja de que suelos con valores a grandes y valores P pequeños son muy permeables mentras que al contraro, suelos con valores a pequeños y P grandes son poco permeables. La permeabldad del suelo se relacona con la forma y dstrbucón del tamaño de poros. Los poros dferen en forma y en tamaño. La nterconexón entre ellos varía con el tpo de suelo, con la actvdad bológca y con las práctcas de cultvo. El uso de maqunaría agrícola, la aplcacón de elevadas concentracones de fertlzantes, undo a la dsmnucón progresva de matera orgánca, favorece la compactacón del suelo, desace los agregados y modfca su porosdad. La porosdad de los materales porosos compuestos por un tamaño de partícula unforme depende de su compactacón. Los medos porosos con predomno de dferentes tamaños de partículas mnerales tenen una menor porosdad dado que las partículas más pequeñas rellenan los uecos que dejan las partículas grandes. Cuanto más amplo es el rango en el tamaño de partícula más pequeña será su porosdad. La porosdad tambén depende de la forma de las partículas sóldas. Formas redondeadas se compactan más que las formas rregulares por lo que P es más pequeño. El tamaño de poro afecta a la retencón del agua en el suelo. Los poros gruesos tenen una capacdad de retencón baja pero partcpan de forma actva en la fltracón líquda en stuacones de saturacón. Sn embargo, los poros fnos tenen una capacdad de retencón más alta. Se suele dstngur tres categorías de poros: mcroporos (dámetro comprenddo entre 3 a 3 m), mesoporos (dámetro comprenddo entre 3 a m) y macroporos (dámetro > m). Una proporcón equlbrada y estable entre los dferentes tamaños de poro asegura un buen comportamento del suelo ante el agua: los poros más grandes facltan los procesos de fltracón y de areacón mentras que los más pequeños permten una buena capacdad de retencón. En el medo poroso natural (rocas, sedmentos,..), la porosdad producda por la accón de los factores clmátcos suele denomnarse porosdad prmara. La presenca de fracturas entre los materales aumenta su porosdad. A ésta últma se la denomna porosdad secundara. En suelos francos y arcllosos V a no es constante, depende del contendo de umedad (ver fgura.). El suelo se expande cuando se umecta y se contrae cuando se seca. La relacón entre P y V a con muestra zonas dferencadas. En la zona no lneal, cuando el suelo se seca, solamente, una proporcón del volumen ocupado por el agua es ocupado por are; cuando el suelo se umecta, el volumen del suelo aumenta pero una proporcón de poros permanece llena de are. Por debajo de un determnado valor de el volumen aparente del suelo alcanza el mínmo. En suelos con alto
Partículas < d (%) contendo de agua ésta se perde sn un cambo aprecable en V a. Los valores de que delmtan las dferentes zonas están condconados por la textura y estructura del suelo, tpo de arclla, contendo en matera orgánca etc. P, V a Fgura.. Varacón de la porosdad y volumen aparente con el contendo de agua en suelos con arcllas expandbles. dp/d = < dp/d < dp/d dp/d = La determnacón de la forma y dstrbucón del espaco poroso es esencal para el estudo del movmento del agua en el suelo. La dstrbucón de poros suele realzarse en el laboratoro en muestras de suelo ya que no exste un procedmento práctco para determnarla en campo... Dstrbucón de las partículas mnerales Los materales porosos se clasfcan en funcón de su tamaño de grano atendendo a las especfcacones dadas por dversos organsmos como el U.S. Geologcal Survey o la Amercan Socety of Testng Materals. La dstrbucón del tamaño de partículas mnerales se representa en las llamadas curvas granulométrcas (ver fgura.) que muestra la dstrbucón acumulada de los tamaños de partícula: curvas de frecuenca acumulada. El valor de la ordenada ndca el porcentaje de partículas de tamaño menor que el valor del dámetro d que le corresponde en el eje de abscsas, expresado a escala logarítmca o a escala real. Dcas partículas an pasado por el dámetro d de la crba utlzada para la evaluacón de las msmas. Las curvas contnuas muestran unformdad en la dstrbucón de los dferentes tamaños de partículas del medo. Las curvas con dscontnudades ndcan el predomno de unos tamaños sobre otros. Estas curvas proporconan nformacón de la composcón de las partículas mnerales de una determnada muestra de suelo y son de aplcacón en dferentes campos de la Ingenería Hdráulca como la caracterzacón de materales fltrantes, por ejemplo fltros de arena o grava, utlzados en obras dráulcas (embalses, presas, cmentos, relleno de carreteras...). 9 8 7 6 5 4 3 arclla franco arena unforme Dámetro de partícula d ( m) arena no unforme Fgura.. Curvas granulométrcas de dstntos componentes de suelos. 3
En algunas curvas granulométrcas el eje de ordenadas expresa el porcentaje de partículas retendas en la crba utlzada para su clasfcacón por lo que se debe de sustraer de las cantdades representadas en la fgura anteror. Para descrbr la dstrbucón del tamaño de partículas en cada muestra del medo poroso, a partr de su curva granulométrca se consdera: los tamaños pequeños de partícula, la pendente y su forma. Con respecto a los prmeros, éstos se clasfcan, según el rango de tamaños especfcado para cada uno de ellos, en arena fna, arena gruesa y grava. Hazen (89) defnó tamaño efectvo de partícula como el correspondente al tamaño de partícula donde el % corresponde a la fraccón más fna y el 9% a la más gruesa. Éste representa un índce general utlzado en la clasfcacón de los tamaños de arena y srve para correlaconar el tamaño de grano de arena con su permeabldad ntrínseca K (depende de las característcas del medo poroso). En las curvas representadas en la fgura. se determnaría por el valor d correspondente al % de las partículas. El tamaño medo de las partículas es el valor d 5 correspondente al 5 % de las partículas. La dstrbucón del tamaño de partículas del medo poroso se a correlaconado con K por medo de dferentes expresones empírcas cuya aplcacón se ve restrngda a medos smlares pero no así a otros medos con dferente tamaño de partículas y/o agregados. Se a observado que en materales porosos formados por partículas con forma esférca unforme de dámetro efectvo d, el caudal que lo atravesa es proporconal a d. Aplcando la ecuacón de Darcy se cumple: K d [.3] Los materales porosos con gradacón unforme en el tamaño de partículas cumplen la relacón anteror. Cuanto más pequeño es el tamaño de partícula, mayor es su superfce específca por lo que la resstenca al flujo es mayor y el valor de K menor. Por el contraro, tamaños mayores de partícula producen poros más grandes por lo que K aumenta. La conductvdad dráulca K depende tanto de las característcas geométrcas del medo poroso como de las propedades del fludo, fundamentalmente, peso específco y vscosdad dnámca (K= K / ). Hazen (9) observó que en fltros de arena con tamaño efectvo d comprenddo entre, y 3 mm se cumple la relacón sguente: K d [.4] La pendente correspondente de la mayor parte de la curva puede determnarse de dferentes maneras. En la práctca, se usa el coefcente de unformdad Cu defndo por Hazen como la relacón entre el tamaño de partícula que corresponde al 6% de partículas más pequeñas y el correspondente al % de partículas más pequeñas (Cu= d 6 /d ). Éste representa el valor medo de la pendente de la curva entre el y el 6% de los tamaños de partículas. Su valor es ndcatvo de la buena o mala unformdad en la gradacón de los tamaños de partícula. Cuanto más pequeño sea, más unformes serán los tamaños de arena dentro de los límtes consderados. Su uso queda lmtado a materales que, de por sí, ya son unformes por ejemplo en gravas. En cuanto a la forma de la curva cabe dstngur las formas en S, como las que presentan los sedmentos acarreados por el agua en suspensón, y las dstrbucones con la presenca de colas, como los acarreos de mezclas de arena y grava. La porosdad de los materales con curvas en forma de S es mayor que la de los materales con curvas con presenca de colas. 4
Hasta oy, no se conoce un método que calcule drectamente K a partr de la curva granulomérca del materal. Sn embargo, la nformacón que de ellas se extrae permte estmar la capacdad para transmtr agua del medo...3. Comportamento de las arcllas Las arcllas son partículas mnerales de tamaño < m con gran superfce específca y con carácter colodal. Poseen carga eléctrca negatva que se compensa con la adsorcón de catones a +, K +, H +, H 4 +, Mg +, Ca + y Al 3+ de la dsolucón del suelo. Éstos, al no formar parte de la estructura de la arclla, se ntercamban por otros catones de la solucón y son los responsables de la capacdad de cambo del suelo que afecta tanto a la retencón y movmento de sales y de nutrentes en él, como a su establdad estructural (floculacón y dspersón de los colodes). La capacdad de cambo depende del contendo y el tpo de arclla (superfce específca y carga eléctrca). La carga eléctrca negatva de la superfce externa de la mcela se neutralza con la carga postva de los catones de la dsolucón del suelo formando la denomnada doble capa electrostátca (ver fgura.3). La concentracón de catones varía con la dstanca a la mcela (ver fgura.4). Los catones próxmos a ella forman una capa más rígda que la de los más alejados. Ésta se ace más dfusa al aumentar la dstanca a la mcela y dsmnur la concentracón de catones. Su dstrbucón fnal, resulta del equlbro entre la atraccón electrostátca entre éstos y la arclla y del proceso de dfusón, dervado de la agtacón de las moléculas de agua, que tende a equlbrar su concentracón. El estado de equlbro se corresponde con el mínmo de energía lbre del sstema. Los anones, por lo general, son repeldos de la superfce mcelar. Para profundzar en la justfcacón teórca de la doble capa electrostátca consultar Clds, 969 (seccón 4.9) e Iwata et al. 995 (seccón.3). En la fgura.3 (a) se muestra una mcela cuya carga negatva a sdo neutralzada por catones adsorbdos. Tras la umectacón del suelo una parte de ellos se separa de la mcela (ver fgura.3 b). mcela mcela Fgura.3. Formacón de la doble capa electrostátca: (a) mcela seca y (b) mcela dratada. a b El espesor de la doble capa, defndo por la dstanca entre la superfce externa de la mcela asta el punto donde la concentracón de electroltos se aproxma a la de la dsolucón del suelo, dsmnuye con el aumento en la valenca de los electroltos y, para una msma valenca, dsmnuye al aumentar su concentracón (ver fgura.4). 5
Atraccón Repulsón Fuerzas entre mcelas concentracón de electroltos catones anones c >c c c Fgura.4. Dstrbucón de catones y de anones en las proxmdades de la mcela (c y c son concentracones de electroltos fuera de la nfluenca de la doble capa). dstanca a la mcela Cuando dos partículas de arclla se aproxman, las dobles capas de cada una de ellas nteracconan entre sí. Se crea una fuerza electrostátca (de Coulomb) de repulsón entre los electroltos, con la msma carga eléctrca, adsorbdos a ellas que tenderá a dspersarlas. Por otra parte, las fuerzas de atraccón, fuerzas de Van der Waals entre los dpolos de las moléculas de agua, que están undas fuertemente a la mcela y que se mueven al unísono con ella (dratacón de la arclla), tenderá a atraerlas. El efecto de éstas fuerzas es mayor cuanto más próxmas se encuentren las partículas de arclla pues son nversamente proporconales a la séptma potenca de la dstanca ntermcelar mentras que las electrostátcas, son proporconales al cuadrado de la dstanca y su efecto sgue manfestándose a dstancas mayores (ver fgura.5). Dstanca mcelar Fgura.5. Fuerzas entre mcelas dratadas. Aparte de las fuerzas ctadas, se producen otras fuerzas de atraccón y de repulsón pero de menor mportanca. Cuando predomna el efecto de atraccón la arclla flocula. Para profundzar más en la nteraccón entre las dobles capas consultar Clds, 969, seccones 4. y 4.. e Iwata et al. 995 (seccón 3.). El balance entre fuerzas de atraccón y repulsón es reversble. Según las condcones del suelo la arclla puede repetr varas veces el proceso de dspersón y floculacón como ocurre en un suelo regado con agua en la que se varía la concentracón de sales y la composcón de ones. La dspersón se favorece en stuacones con espesor grande de la doble capa: dsolucones con concentracón de electroltos pequeña, complejo de cambo domnado por un catón monovalente etc. Por el contraro, favorecen la floculacón stuacones con espesor pequeño de la doble capa: dsolucones con concentracón de sales alta. La recuperacón de suelos salnosódcos exge lavar las sales y aplcar mejorantes químcos (en general calzos). Un complejo de cambo domnado por el a + crea unas condcones estructurales del suelo defcentes al dspersar la arclla. Las arcllas tenen carácter groscópco: adsorben y condensan el vapor de agua de la atmósfera del suelo. Conforme se drata la arclla aumenta el espesor de la capa de moléculas de agua que la rodean. La adsorcón de las moléculas de agua a la superfce externa de la arclla se produce por complejos mecansmos donde ntervene fuerzas de atraccón electrostátca y puentes de drógeno. La fuerza de atraccón dsmnuye al aumentar la separacón a la mcela. El agua más próxma a la superfce de la mcela es retenda con más fuerza. Se cree que la estructura y 6
propedades (vscosdad, densdad) de ésta pueden dferr de las del agua de la dsolucón del suelo. Los catones adsorbdos a la superfce externa de la arclla pueden, a su vez, dratarse. Cuando la arclla se pone en contacto con la dsolucón del suelo, la dferenca de presón osmótca entre ésta y la de la doble capa orgna unas presones que tenden a expandr y aumentar su volumen. Por otra parte, conforme la mcela aumenta de tamaño, la carga negatva de los anones adsorbdos a la doble capa de una mcela repele a los de otra próxma y las dos mcelas se separan producendo un aumento del volumen del suelo. Durante la expansón se cerran los poros más gruesos con la consguente reduccón en la permeabldad del suelo. Durante la desecacón del suelo se produce la contraccón de la arclla provocando fsuras, sobre todo, en la superfce del suelo. En clmas semárdos, con alternanca entre umectacóndesecacón, se llegan a formar planos de fracturas en orzontes más profundos. Los suelos rcos en monmorllonta, por ejemplo vertsoles, al umectarse se encarcan y al desecarse se endurecen dfcultando las labores agrícolas..3. CARACTERIZACIÓ ESPACIAL DE LAS PROPIEDADES DEL SUELO La varabldad espacal de las propedades drofíscas del suelo es causada tanto por factores naturales (roca madre, procesos formadores del suelo y tempo), como por la actvdad bológca y umana. Bajo el supuesto de medo omogéneo, la dstrbucón de una propedad dada puede ser determnada en muestras ndependentes de suelo y a partr de ella, predecr la dstrbucón en el conjunto de la superfce de suelo en estudo. Se requerrá, a pror, determnar el tamaño y número de muestras necesaras y la relacón entre muestras próxmas. Por el contraro, s no se consdera dco supuesto, el número de muestras requerdo para caracterzar una propedad es astronómco lo que dfculta la estmacón de su dstrbucón en el resto de la superfce en estudo. Con frecuenca, las meddas de una varable en muestras dferentes no son ndependentes; las tomadas en puntos próxmos tenen menos varabldad que las de los más alejados. Esta correlacón espacal condcona los resultados de la estadístca clásca por lo que la varabldad espacal de las propedades drofíscas del suelo se analza con las erramentas que proporcona la Geoestadístca. Ésta, estuda las varables regonalzadas (poseen una correlacón espacal) en las que se observan dos componentes complementaras y aparentemente contradctoras, por una parte, una componente aleatora asocada con las varacones errátcas e mpredecbles de la varable y por otra, una componente determnsta de varacón lenta (llamada derva) que refleja en certa forma, las característcas globales del proceso analzado. Las varacones errátcas no permten su descrpcón como funcón contnua por lo que se les aplca la teoría de las varables aleatoras. Los apartados que sguen recogen una síntess de las erramentas empleadas por la Geoestadístca en el estudo de la varabldad espacal. La prmera de ellas es el semvarograma, que defne la funcón que caracterza la varabldad espacal a partr de meddas tomas en muestras de suelo. La segunda, es la técnca de krgreado que utlza la funcón anteror para nterpolar la varable en estudo a los puntos donde no se realzaron meddas. Un estudo más detallado de la matera requere la consulta a textos especalzados como el ctado en la bblografía Geoestadístca. Aplcacones a la drología subterránea..3.. Varacón espacal de las propedades del suelo.3... Varabldad y funcones de densdad de probabldad La varabldad de cualquer proceso suele defnrse por un coefcente de varacón CV cuyo valor depende de varabldad ntrínseca de la varable en estudo y de la superfce de la muestra de 7
suelo donde se realza la medda. Warrck y elsen (98) estudaron la varabldad de dferentes propedades del suelo observándose valores del CV entre 7 y % en la estmacón de la densdad aparente del suelo D a y en el contendo de agua en suelos saturados s; valores entre y % en la determnacón del porcentaje de los dferentes tamaños de partículas mnerales del suelo y en el contendo de agua a una tensón dada y valores superores al % en varables relaconadas con procesos de transporte como la conductvdad dráulca y dfusvdad. Cada propedad se caracterza por una funcón de densdad de probabldad (fdp) calculada con las meddas obtendas en las dferentes muestras del suelo. El CV muestra el sesgo de msma. El contendo de umedad, la densdad aparente y la dstrbucón de arena y de arclla, se ajustan bastante ben a la fdp ormal o de Gauss. Mentras que la dstrbucón de sedmentos, la conductvdad dráulca y la dfusvdad se aproxman más a la dstrbucón lognormal. Por lo general, las meddas obtendas suelen ajustarse a una de esas dos dstrbucones u a otras de tpo empírco. Propedades con CV pequeños requeren un mayor número de muestras para obtener un buen ajuste..3... Tamaño de la muestra La caracterzacón drológca del suelo tene por objeto el conocmento y descrpcón de los procesos drológcos (nfltracón, redstrbucón, evaporacón, avenamento) lo que requere su estudo en varos nveles de aproxmacón utlzando varas escalas. Las de mayor nterés son la mcroscópca, la macroscópca (en columnas de laboratoro o el pedon ) y la de campo o cuenca (fgura.6). En la escala mcroscópca se descrbe el poro de forma ndvdual, asemejándolo a un caplar clíndrco, al que se le asgna un valor de rado equvalente. La caracterzacón del suelo desde un ámbto mcroscópco es nvable por lo que, consderándole un medo contnuo, se recurre al estudo de sus propedades a escala macroscópca: en el laboratoro (columnas de suelo omogéneo) o con el pedon (muestras de campo de, aproxmadamente, x x m). Éste, caracterza un volumen de elemento de suelo representatvo con una dstrbucón de poros determnada. Se le supone omogéneo por lo que no se consdera la varacón espacal orzontal del parámetro estudado. Fgura.6. Escalas utlzadas en la caracterzacón de un suelo. 8
4 6 8 4 6 8 La extrapolacón de los resultados del pedon a una escala mayor, denomnada de campo o cuenca, requere el estudo de la varabldad espacal en el plano orzontal de todos los procesos. Convene dstngur dos categorías: la escala del pedotop (undad taxonómca más pequeña en la clasfcacón de suelos) y la escala utlzada en la elaboracón de mapas pedológcos (pedología snónmo de edafología). En la prmera, la varabldad es de naturaleza estocástca (dependente de la propedad físca del suelo) mentras que en la segunda, es tanto estocástca como determnsta (causada por la roca madre o mcroclma que condconan la evolucón del suelo). La poscón de cada pedon queda ben defnda en mapas con escalas : o :5 donde suelen colocarse abrevaturas de las propedades dráulcas más mportantes. En mapas con escalas mayores, :, la superfce correspondente a cada pedotop es estmada por nterpolacón smple o con las erramentas de la Geoestadístca. Las varables dráulcas suelen estmarse con regresones lneales que las correlaconan con varables de fácl medda como: textura, densdad aparente, contendo en matera orgánca del suelo y estructura. La fgura.7 muestra la stuacón de las sete undades pedológcas, según la escala del mapa, que caracterzan una superfce de a. Se realzaron meddas de la ntensdad de nfltracón ( ) en 93 muestras de suelo, tomadas a ncrementos de 6 m en toda la superfce. Estas meddas se compararon con las estmacones obtendas por el método de nterpretacón para la clasfcacón de suelos basado en la textura de la muestra (U.S. Dept. of Agrculture 95), no observándose relacón entre ellas (ver fgura.8a). En cambo, al agrupar las meddas de nfltracón en sus correspondentes pedotop y calcular un valor de nfltracón meda, representatvo de cada uno de ellos, la correlacón entre éstos y las estmacones fue evdente (ver fgura.8b). Fgura.7: Mapa pedológco en el que se muestran sete pedotops (desgnados con las letras A, B, C, D, E, F y G) correspondentes a una superfce de a (Duffy et al. 98 ctado en Kutlek y elsen 994). (a) (b) medda (cm/) 4 6 8 estmada (cm/) medda (cm/) F G D A R E =,94 B C 4 6 8 estmada (cm/) Fgura.8: Comparacón de los valores de nfltracón nstantánea obtendos en campo y los estmados por el método de la textura del suelo: (a) sn consderar los sete pedotops del campo y (b) valores medos de cada pedotop. 9
El valor medo de las dferentes meddas es representatvo de una determnada superfce o volumen que es asgnado al centro del msmo (el suelo se consdera un medo contnuo). La dmensón de muestra más pequeña no suele ser menor de, m sendo la más frecuente de, m. El tamaño de la muestra se calcula para estmar el valor medo de una varable con una determnada precsón. El efecto del tamaño de la muestra en la magntud de una propedad físca del suelo A se lustra con el ejemplo sguente: una sere de círculos de dámetros pequeños d y grandes D (con valores medos, respectvamente, d y D desconocdos) se dstrbuyen unformemente en una gran superfce, tal como muestra la fgura.9. Supuesto que A es proporconal a la cuarta potenca del dámetro de cada círculo se tene: m p 4 4 d D j j A c [.5] donde c es la constante de proporconaldad y, m y p son, respectvamente, el número de círculos pequeños y grandes. El valor medo A por undad de superfce es: c m p 4 4 d D j j A [.6] Fgura.9. Representacón gráfca que lustra el efecto de la escala en el valor de una propedad físca. Se determna A a partr de los valores A (s) ( ), calculados según [.6], correspondentes a un número de seccones cuadradas de longtud L y superfce s tomadas al azar. A pror debe de determnarse el valor de s para que todas las seccones pertenezcan a una msma poblacón. S d L D la muestra no contendrá nngún círculo grande por lo que se evaluará el efecto de los círculos más pequeños sobre la propedad en estudo. Pero s A fuere proporconal al cuadrado de D el tamaño de la muestra no sería adecuado para estmar su valor pues no se evalúa el efecto de los círculos grandes. S L > D pero a su vez muco menor que la separacón entre círculos grandes vecnos, las seccones elegdas contendrán mucos círculos pequeños pero muy pocos grandes por lo que en su stograma de dstrbucón de tamaños de poros aparecerían dos pcos.
S L es mayor de cuatro o cnco veces la separacón entre círculos grandes vecnos la proporcón de círculos grandes de cada seccón será mayor que en la stuacón anteror y en cada seccón, se cálcula un valor A (s) que se supone pertenece a la msma poblacón. Por lo tanto los valores de la meda y de la varanza podrán ser estmados con certa aproxmacón. La longtud, área ó volumen más pequeño de la muestra necesaro para predecr dcos valores para una propedad dada se denomnan, respectvamente, línea, superfce o volumen (VER) del elemento de suelo representatva (o). Bear (97) defnó este últmo como el volumen más pequeño de suelo que contene una representacón de la varacón mcroscópca con las proporcones y formas exstentes en el suelo. Su valor varía con la propedad estudada y, para cada una de ellas, dependerá tanto de su magntud como del suelo. Un suelo se consdera omogéneo cuando la escala de observacón es al menos el tamaño defndo por el VER en caso contraro, el suelo es eterogéneo..3..3. Estmacón del número de muestras En la estmacón del número de muestras y de su ubcacón se tene en cuenta el trabajo requerdo y coste económco que supone la recogda de las msmas. Se valorará un aumento de en funcón de la mejora en el grado de confanza del resultado. Se elge un nvel de confanza ( ) % tal que el estmador del valor medo de la poblacón m pertenezca al ntervalo de confanza [ m d, m +d], donde d es la desvacón fjada para el estmador de m y ndca la probabldad de que el valor real de m no se ncluya en dco ntervalo. Al dsmnur el ntervalo de confanza ó al aumentar d, dsmnuye tambén. Dada una poblacón dstrbuída según una funcón de Gauss (o con gran número de muestras tal que cumpla con el teorema Central del límte) y supuesto que las meddas son ndependentes, se cumple que el valor medo de las muestras x pertenece a una dstrbucón de Gauss con la msma meda de la poblacón y una varanza x defnda por: x donde es la varanza de la poblacón. El nvel de confanza se expresa como una probabldad: % P d x m d % [.8] [.7] z,5 Dada una varable aleatora z, se defne la dferenca estándar con la meda z,5 como d por lo que la expresón anteror se reescrbe como:,5 x m P z z [.9],5,5,5 El valor de z,5 se consulta en lbros de estadístca. Suele elegrse, para una probabldad dada, el valor correspondente a la dstrbucón t de Student con () grados de lbertad. Por lo tanto, se determna por: z,5 [.] d.3..4. Correlacón espacal entre muestras vecnas En la formacón del suelo an ntervendo tanto factores prmaros (temperatura, lluva) como factores secundaros entre los que se encuentra las fsuras producdas por la actvdad bológca.
Conductvdad Hdráulca (cm/d) Éstas últmas pueden rellenarse con partículas fnas por lo que sus propedades dráulcas dferrán del suelo adyacente. Intutvamente es de esperar que las meddas en muestras vecnas sean smlares. Las meddas de muestras procedentes de una superfce muy pequeña se consderan pertenecentes a una poblacón secundara (caracterza un determnado factor secundaro) que se ncluye dentro de una poblacón mayor en la que en su proceso de formacón an ntervendo los factores prmaros. En estos casos, los parámetros de la estadístca clásca (meda, varanza,...) pueden dferr bastante de los valores reales. Sólo las meddas de muestras representatvas de los dstntos efectos secundaros proporconarán una estmacón más exacta del valor real de la varable estudada. Es decr, las muestras sometdas a los dstntos efectos secundaros son ndependentes entre sí mentras que las sometdas a un msmo efecto secundaro no lo son. La dstanca a la que dos muestras se consderan ndependentes se denomna dstanca o rango nfluenca y caracterza la varabldad espacal de cada propedad. Se determna con el semvarograma. El rango nfluenca de las propedades dráulcas dsmnuye con la profunddad del suelo lo que confrma lo comentado en los párrafos precedentes de los efectos secundaros. Los valores de la meda y varanza de una propedad físca no pueden predecrse con fabldad sn antes estmar el VER y el rado de nfluenca..3..5. Efecto escala. Determnacón del volumen del elemento representatvo VER Efecto de escala La presenca de poros pequeños nfluye decsvamente en las propedades dráulcas del medo poroso. La probabldad de encontrar en un corte, del suelo, por un plano transversal una gran proporcón de poros pequeños dsmnuye con el aumento del tamaño de la muestra al contraro de lo que pasa con los poros gruesos (ver fgura.9). La fgura. muestra como el valor medo y la desvacón típca de la conductvdad dráulca a saturacón K s dsmnuye al aumentar el dámetro de la muestra. 8 6 4 Fgura.. Varacón de la conductvdad dráulca a saturacón con el dámetro de la muestra. 5 5 Dámetro del molde (cm) Estmacón del volumen del elemento representatvo VER Por lo general, conforme el tamaño de la muestra aumenta, la varabldad de la varable medda dsmnuye y puede llegar a alcanzar un valor constante que representa la varanza del método de medda utlzado. Para cada propedad, el VER defne el tamaño de muestra más pequeño al que corresponde una varanza constante (ver fgura.). Se observó que la varanza de las meddas de la nfltracón en el suelo dsmnuye al aumentar el dámetro del nfltrómetro de anllo utlzado.
Medda VER Fgura.. Esquema donde se muestra el efecto del tamaño de la muestra en la medda de las propedades del suelo. Tamaño de la muestra La varabldad de certas propedades en un suelo dado puede ser tal que, no sea posble determnar el tamaño del VER o que éste sea tan grande que no resulte práctco. En suelos donde la propedad en estudo presenta una tendenca clara en el valor medo ó en la varanza son eterogéneos. Generalmente, el procedmento elegdo para la estmacón del VER de una determnada propedad es el sguente:. Tomar meddas en muestras con dferentes tamaños.. Calcular su valor medo, la medana y la varanza. 3. Selecconar el tamaño más pequeño cuyos valores medo y medana estén más próxmos y sean estables. En la práctca, el tamaño de la muestra no se a de elegr sólo por la magntud de su varanza sno tambén debe de consderarse que la medda se aga de forma práctca y operatva. Un método de muestreo tedoso puede ncrementar el error de medda. Se determna el valor de la medana junto con el de la meda dado que los stogramas (dstrbucón de la curva de frecuenca) de las meddas procedentes de dos muestras de tamaños dstntos pueden ser dferentes aunque tengan gual meda, por ejemplo stogramas con uno o dos pcos. En algunas propedades del suelo, sobre todo s éste es muy eterogéneo, se a observado una correlacón entre el tamaño de la muestra y el rango nfluenca por lo que se necesta determnar el VER antes del muestreo para poder estmar el rango nfluenca. El problema fundamental en el análss de la varabldad espacal de cualquer propedad es correlaconar la medda de las muestras con el comportamento del suelo en general..3.. Determnacón de la varacón espacal La varabldad en el espaco de una varable se determna a partr de correlogramas o de varogramas (o semvarogramas). Tanto uno como otro, consderan un conjunto de varables aleatoras z(x ), z(x ),... z(x n ) correspondentes a los puntos x, x,... x n, respectvamente. Su valor no tene porqué corresponder, exactamente, al punto x sno, más ben, defne un volumen representatvo cuyo centro se ace corresponder con dco punto. Una varable es estaconara s su funcón de dstrbucón no varía en toda la superfce de muestreo. Se la denomna estaconara de º orden cuando el valor de z, en cualquer punto, concde con su valor medo y la covaranza de z(x ) y z(x ) y exste y es funcón de la dstanca entre x y x. Una varable se dce que es estaconara de º orden cuando la meda de las dferencas entre las observacones es, es decr: E z x z x. Ésta será estaconara de º y º orden 3
cuando la meda y la varanza son constantes en todo el domno de nterés (tanto la varanza como la covaranza exsten). El correlograma caracterza a varables aleatoras estaconaras de º y º orden sn embargo el varograma, caracterza a varables ntrísecas (varables con un menor grado de estaconaredad). En éstas se cumplen las pótess ntrínsecas de la Geoestadístca: cumple la condcón de estaconaredad de º orden (el valor de z en cualquer punto del varograma concde con el valor medo) y la varanza z(x+) z(x), exste para toda dstanca y es funcón únca de. Una varable caracterzada por un correlograma tambén posee un varograma pero no así lo recíproco..3... Correlograma El correlograma () de una varable regonalzada representa la funcón de correlacón o autocorrelacón en relacón con. Por lo general, () dependerá tanto de la dreccón como de la magntud de. Se defne por: Cov z( x), z( x ) E z( x) x z( x ) x [.] donde Cov representa la covaranza de cualquer par de valores de z separados una dstanca (> ), defnda como el resultado del producto de la dferenca de cada uno de los valores con respecto al valor medo z. Cuando la Cov[z(x), z(x+)] tende a la varanza de z,. El correlograma no es más que una sere de correlacones de la varable donde cada par de observacones dstan una dstanca. Su domno está comprenddo dentro el ntervalo ()= y () para todo. Las fguras. muestran correlogramas teórcos típcos. En ellos se observa que para = se obtene el valor máxmo, ()=. En la fg..a, al aumentar la dstanca entre muestras, dsmnuye gradualmente asta acerse. En este caso, se dce que las muestras son ndependentes. Las muestras próxmas son más parecdas que las más dstantes y por lo tanto su correlacón es mayor. La fg..b caracterza una varable aleatora pura sn correlacón espacal, ()= y a otras dstancas ()=. El resultado no depende de la separacón entre muestras. La fg..c caracterza a una varable cíclca. Al aumentar la dstanca el correlograma toma, alternatvamente, valores postvos y negatvos y, eventualmente, se aproxma a a grandes dstancas. Un ejemplo de este últmo es la acumulacón de sedmentos por nundacones peródcas. (a) (b) (c) Fguras.. Correlogramas teórcos típcos de las propedades del suelo: (a) la correlacón entre los valores dsmnuye de forma gradual; (b) valores no correlaconados y (c) valores cíclcos. En la práctca para estmar el correlograma () se determna el número de pares de muestras () separas una dstanca. S las muestras se toman en un transecto undmensonal los pares 4
de puntos pueden pertenecer a clases dscretas. En la práctca se defne un tamaño de clase y () caracterzará todos los pares de puntos pertenecentes a esa clase. La funcón de covaranza C () se calcula por: ( ) C z( x ) z z( x ) z [.] ( ) donde z es el estmador de la meda. Sendo el estmador de la varanza, el correlograma de la muestra C m () se calcula por: C( ) C m ( ) [.3] En teoría, para determnar C m () se requere un gran número de pares de observacones para cada dstanca pero, en la práctca, unas observacones suelen ser sufcentes..3... Semvarograma El rango nfluenca de cada propedad se estma a partr del semvarograma (tambén llamado varograma) () que defne la estructura espacal de la varacón de la varable en estudo, más que, la de la propa varable. Se defne por: Var z( x) z( x ) [.4] donde Var es la varanza. Lo msmo que en el correlograma, x y son en general, vectores. Dado que, las varables espacales suelen ser ansótropas el correlograma y el varograma dependerán de la orentacón del transecto consderado en el muestreo. En el supuesto de no ser ndependentes de la orentacón se cumple E [z(x+)]= E[z(x)] y la ecuacón anteror se transforma en: E z( x ) z( x) [.4 ] * *() es un estmador de (), defndo como: ( ) z( x ) z( x ) ( ) [.5] donde todas las varables an sdo prevamente defndas. S la varable aleatora es estaconara de ºy º orden posee tanto varograma como correlograma. A partr de las ecs. [.] y [.4 ] se cumple: ( ) ( ) [.6] Por la propa defncón de semvarograma (ec..4) para =, ()=, pero no sempre es así. Hay stuacones donde se obtene un valor de ordenada en el orgen C ( te nugget varance ) que defne el denomnado efecto pepta (ver fgura.3b y c). Éste resulta de la mposbldad de tomar valores = dado que la muestra tene un tamaño fnto. El semvarograma () aumenta dentro del rango, ó dstanca, de nfluenca a asta un valor constante denomnado meseta (sll), que concde con la varanza de la poblacón. La dstanca a representa la separacón mínma entre pares de muestras para no estar correlaconadas y por tanto ser ndependentes. 5
Las fguras.3. muestran varogramas teórcos típcos. La fg..3a defne un modelo lneal con un valor ()= y un valor de meseta C. Se cumple ()= C a dstancas a. La fgura.3b defne un modelo lneal con característcas parecdas al anteror pero muestra el efecto pepta. El semvarograma lneal con meseta C +C se caracterza por: C C para a a [.7] C C para a (a) (b) a C C a C+C Cov(z(x)z(x+) (c) (d) C a C+C Fgura.3. Varogramas teórcos típcos: (a) Modelo lneal con rango nfluenca a y meseta C; (b) Modelo lneal con rango nfluenca a, meseta C+C y efecto pepta C ; (c) Modelo esférco con rango nfluenca a y efecto pepta C ; d) Modelo lneal sn meseta. La fgura.3.c defne el modelo esférco, que junto el modelo exponencal son dos de los más utlzados. Se caracterzan por: C C C C,5 a t,5 a 3 para para a a modelo esférco [.8] C C e modelo exponencal [.9] donde t es un parámetro denomnado longtud de correlacón. En la práctca se consdera a = 3 t donde (a ) a +,95 C. Supuesto una superfce de suelo nfnta, el modelo esférco ()= C + C = superfce es fnta, < C + C.. S la En las fguras.3 a, b y c el varograma alcanza un valor constante a grandes dstancas. Sn embargo, cuando la varable en estudo no es estaconara de º y º orden, () no se establza (ver fgura.3d). 6
() S la varabldad espacal depende sólo de la dstanca el varograma se denomna sotrópco (ver fguras.3). Se denomna ansotrópco cuando depende tanto del módulo como de la dreccón de. La condcón de estaconaredad de º orden puede ser comprobada a partr del parámetro denomnado derva D, cálculado por: ( ) D ( ) z x z x [.] ( ) S D()= la varable es estaconara de º orden. Por el contraro, s su valor es dstnto de, se produce una derva y la meda no puede ser consderada constante en todo el domno de estudo. Determnacón de los parámetros del semvarograma El semvarograma expermental se obtene a partr de las meddas realzadas en muestras de suelo. En la práctca, los valores reales de la meseta, rango nfluenca (estructura espacal) a y el efecto pepta (nugget varanza) C son dfícles de estmar. Las semvaranzas calculadas a partr de las observacones no ajustan de forma suave sobre la línea de tendenca sno que osclan de forma más o menos acusada a lo largo de ella (ver fgura.4). a C + C Fgura.4. Ajuste de un modelo de semvarograma esférco (línea sólda) a los puntos que defnen el semvarograma expermental. C (m) La eleccón del modelo de semvarograma teórco que mejor se aproxma al expermental se ace, en certa manera, de forma subjetva aunque es aconsejable segur una sere de pautas tales como: selecconar una funcón válda dentro del rango de aplcacón; confar más en los puntos determnados con un mayor número de pares () y poner especal cudado en las dstancas cortas. Dado que el comportamento en el orgen es crítco, la utlzacón del ajuste automátco de curvas basado en la mnoracón de los errores al cuadrado no es en general adecuada. La adecuacón de un modelo u otro se juzga a partr de técncas como la denomnada jackknfng. Para cada propedad se deberá determnar el rango de nfluenca a partr del cual las muestras se consderan ndependentes. Dco rango exste sempre que se trate de varables estaconaras de ºº orden ó lo que es lo msmo que exsta la funcón de covaranza para todo valor de. Las muestras próxmas no son ndependentes por lo no pueden aplcarse las técncas tradconales de análss de datos. En las fguras.a y b la dstanca a la cual () tende a defne su rango de nfluenca. Se denomna escala ntegral al valor de en el que se gualan las áreas rayadas de la fgura.4. Se usa para medr el grado de correlacón espacal de la varable y a sdo defnda como: d ( dmensón) [.] 7
/ d ( dmensones) [. ] El valor de depende de la seleccón de las superfces de muestreo. La escala ntegral de muestras procedentes de grandes superfces tenden a ser mayor que la de superfces más pequeñas. La relacón entre la superfce de estudo y es compleja ya que depende de la varacón entre muestras, su tamaño y de condcones de estaconaredad..3.3. Interpolacón espacal El krgeado es una técnca de nterpolacón usada para estmar el valor de un parámetro dado a partr de las meddas de las muestras. Se denomna krgeado puntual cuando se estma el valor del parámetro en un punto y krgreado por bloques cuando la estmacón caracterza a un volumen elemental representatvo (VER) del medo poroso..3.3.. Krgreado puntual Una de las aplcacones de la geoestadístca es la estmacón de la varable en estudo z en puntos donde no se tomaron muestras. En la práctca, se suponen conocdos sus valores z(x ), z(x ),... z(x n ) en los puntos, respectvamente, x, x,... x n y se determna el semvarograma (o correlograma) tal como se a descrto en la seccón.3.. El krgreado puntual es una mejora de la nterpolacón lneal que estma el valor z* en el punto x,. Proporcona el mejor estmador lneal nsesgado del valor nterpolado así como, la varanza Var(zz*) que ndca la fabldad del resultado. El krgeado puntual supone que la varable es ntrínseca. El procedmento de cálculo ncluye los pasos sguentes:. Calcular el varograma expermental y determnar un modelo de varograma teórco de ajuste.. Selecconar los coefcentes de ponderacón para calcular z*(x ) a partr de las observacones z(x ): z * x z [.] x donde son puntos separados de x por dstancas menores que la que corresponde al rango de nfluenca del varograma (dstanca a partr de la cual la autocorrelacón es nula). El mejor estmador lneal es aquel que elge los coefcentes tal que se cumpla: E z x z [.3] * x Var z* x z x es mínma [.4] La condcón [.3] ndca que la meda de los valores estmados concde con la meda de los meddos (z(x ) y su estmador z*(x ) son desconocdos). Los valores que cumplendo [.3] garantzan que z*(x ) es nsesgado cumplen la condcón sguente: [.5] 3. Hacer mínma la varanza, ec. [.4], cumplendo con la restrccón [.5]. 8
Para ello, se consdera el multplcador de Lagrange y queda: Var z x z * x [.6] Var Por defncón y consderando [.3] se llega a: z x j j j j z * x [.7] j j donde j toman el valor: x x [.8] j j Susttuyendo el segundo membro de [.7] por el térmno de varanza de [.6] y tomando dervadas parcales respecto a se obtene el conjunto de ecuacones lneales sguentes: j,,,... [.9] j j, Las ecuacones anterores pueden ponerse en forma matrcal: A b [.9 ] donde T A......... y las matrces columnas venen dadas por las transpuestas de... b. T y Se deben determnar + parámetros (,..., y ) que se calculan a partr de [.9 ]: A b [.3] La varanza del error de estmacón, llamada varanza del krgreado k. Se calcula por: k b T [.3] Cuando se produce efecto pepta la ec. [.9 ] debe ser evaluada ncluyendo los térmnos (desde = asta ) ben asgnándoles el valor de la varanza del efecto pepta C ó ben el valor. En cualquera de los dos casos los coefcentes de ponderacón son algebracamente guales. En el segundo caso, se toma como multplcador de Lagrange + C. Sendo el valor de el que cumple = C. 9
Una alternatva a la solucón [.9 ] es susttur los valores j por sus correspondentes covaranzas. En todo el proceso, lo más tedoso es calcular la transpuesta de la matrz A sobretodo con un gran número de puntos. Afortunadamente, en la práctca, con dez o menos meddas se consguen buenas aproxmacones y la nclusón de más coefcentes de ponderacón sólo modfca lgeramente el resultado. La varanza del krgreado evalúa la fabldad del estmador. Éste varía dentro del domno de la estmacón. Se suelen elaborar mapas de error donde se muentran las superfces de mayor varabldad en las cuales sería recomendable tomar muestras adconales. Otro método para evaluar las estmacones es el denomnado jackknfe consstente en evaluar sstemátcamente, en cada punto, el valor de la varable z*(x ) como s dco valor fuese desconocdo. Segudamente, se compara la estmacón obtenda con el valor meddo. El método permte evaluar dferentes modelos de varogramas. El más adecuado es el que tene la menor varanza entre el valor real y el estmado por krgeado..3.3.. Krgreado por bloques La técnca de krgeado por bloques ace extensvo la estmacón de una varable en un punto dado a otros de la msma zona y obtene un valor medo z(x ) representatvo del elemento consderado V que se calcula por: z ( x ) z( x) dx [.3] V V donde el elemento V puede corresponder a una línea, una superfce o un volumen, para los casos de que la varable esté defnda, respectvamente, en un espaco de una, dos o tres dmensones. Los valores medos se dstrbuyen de forma más suave que los obtendos medante krgeado puntual por lo que el efecto de la varabldad espacal se observa con más clardad. z * El estmador z*(x ) se calcula por: ( x ) z( ) [.33] x El procedmento a segur es el msmo que el descrto para el krgeado puntual. S el estmador es nsesgado cumplrá = y al acer mínma la varanza se obtene: A s [.34] s T El vector columna del segundo membro de [.34] concde con la transpuesta de: x V, x, V,, x,, [.35], V donde se corresponde con el valor medo del varograma en cada bloque V, por ejemplo: x, V x, x dx [.36] V V La resolucón del sstema lneal de ecuacones [.34] se ace de forma smlar a la comentada en el krgreado puntual. La varanza del krgreado por bloques k se calcula por: k x, V x, x dx [.37] V V En general, dca varanza es menor que la krgeado puntual. La dferenca entre ellas es gual al valor del segundo sumando de [.37].
.3.3.3. Krgreado unversal En los métodos anterores se a supuesto que la varable era ntrínseca, es decr con ncrementos estaconaros ( E z x z(x) ). Pero en numerosas stuacones, la varable no satsface esas condcones y el proceso muestra una derva (ec. [.]) por lo que las ecs. [.9] deben de cambarse. Con este tpo de varables suele descomponerse a la varable z (x) en dos: una funcón determnsta que caracterza la derva y una componente estocástca que se caracterza por una funcón aleatora ntrínseca de meda nula. El modelo más smple para caracterzar la derva es: p E z( x) a f ( x) [.38] donde f, f,..., f p son funcones conocdas lnealmente ndependentes y p es el número de térmno usado para la estmacón. Los coefcentes a, a,..., a p se desconocen, aunque no son necesaras para le técnca del krgreado. El estmador z*(x ) es el msmo que en [.9], transforma en: x x j K k j j z * x z, pero la ec. [.3] se x, f x x, x [.39] y la ec. [.39] se transforma en: f j ( x ) f j ( x ) j,, p [.4] La varanza del krgreado Uk es mayor que en los métodos anterores debdo a la ncertdumbre asocada al modelo elegdo para caracterzar la derva. Se calcula por: Uk k p x, x f ( x ) [.4] k k Las modelos más smples para caracterzar la derva son funcones polnómcas, por ejemplo, consderando el espaco undmensonal f (x)=, f (x)=x, f (x)=x. La dfcultad en el uso de este método estrba en que la estmacón o el ajuste del varograma requere conocer la derva, pero los coefcentes a de [.38] sólo se estman de forma óptma cuando éste es conocdo. Estos nconvenentes se resuelven con métodos que sobrepasan el ámbto de estudo en este tema..4. REFERECIAS BIBLIOGRÁFICAS Baver, L.D, W.R. Gadner and W.H. Gadner. 97. "Sol Pyscs". J. Wley. ew York. (Traduccón castellana: Físca de suelos. Utea, Méxco, 973). Bear, J. 97. Dnamc of Fluds n Porous Meda Elsever, new York. Clds, E.C. 969."An Introducton to te Pyscal Bass of Sol Water Penomena". Wley Interscence. London. Hllel. D. 998. "Envromentals Sol Pyscs" Capítulos 3, 4 y 5. Academc Press, ew York.