TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Límite Derivada Deinición: Deinimos intuitivamente, al ite L de una unción () de variable real, al número al cual se aproima la unción cuando la variable independiente, se aproima a un valor a; se mboliza: a ( ) L Si nos interesa estudiar a que valor se aproima la unción ( ) 1 cuando la variable independiente se aproima al valor 6 Y 5 4 1-6 -5-4 - - -1 1 4 5 6 - X - -4-5 -6 Si nos aproimamos a por la izquierda vemos que la unción se aproima al valor 5 nos aproimamos al valor por la derecha también vemos que la unción se aproima al valor 5, esto lo escribimos: ( 1) ( 1) 5 5 (ite por izquierda de ()) (ite por derecha de ()) ( 1) 5 Página 1
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA ESTUDIO DE LÍMITES EN FORMA GRÁFICA A continuación veremos como podemos analizar el cálculo de un ite en orma gráica. Ejemplo 1: Dada la guiente unción 1 Se debe graicar la unción. ( ) 1 5 Y 8 7 6 5 4 1-4 - - -1-1 1 4 5 6 7 8 - X - -4 Se debe analizar el valor al que la unción tiende cuando tiende al valor. Esto se hace acercandonos a por la izquierda por la derecha. Estos dos ites deben ser iguales para que eista el ite de la unción. Observando la gráica de la () (ver la guiente gráica), cuando nos acercamos a por la izquierda, vemos que () se acerca al valor, cuando nos acercamos a por la derecha se observa que la gráica de la unción tiende al valor. Es decir: Página
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA ( ) ( ) (ite por izquierda de ()) (ite por derecha de ()) ( ) Para nuestro caso ambos ites son iguales a, por lo tanto el ite de () cuando tiende a eiste es igual a, a pesar que () 5, según su deinición. Ejemplo : Dada la guiente unción 1 Graicamos la unción. ( ) 1 1 - < 7 Analizamos el valor al que tiende la unción cuando la variable tiende a, acercándonos a por la derecha por la izquierda: ( ) 7 ite de ( ) 7 ite de ( ) por izquierda ( ) por derecha ( ) 7 concide con el valor de la unción o sea () 7 Página
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Ejemplo : Dada la guiente unción 1 Graicamos la unción. ( ) 6 7 4 - > 6 - -5 Analizamos el valor al que tiende la unción cuando la variable tiende a -, acercándonos a - por la derecha por la izquierda: ( ) 5 ite de ( ) por izquierda ( ) 6 ite de ( ) por derecha Como estos ites son distintos entonces no eiste el ite de la unción, n embargo (-) -5 CONTINUIDAD. Decimos que una unción dada por () es continua en un punto de abscisa a se cumplen las guientes condiciones: I) La unción está deinida en a, es decir, a pertenece al dominio de la unción. II) Eiste el ite ( ) a, es un valor inito. III) El ite para tendiendo a a es igual al valor de la unción en el punto de abscisa a: a ( ) ( a) Página 4
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Ejemplo: En la unción: ( ) 1 1-7 < I ( ) II III 7 ( ) 7 ( ) 7 () ( ) ( ) 7 Podemos asegurar que la unción es continua en. Ejemplo: En la unción: ( ) 1 5 Y 8 7 6 5 4 1-4 - - -1-1 1 4 5 6 7 8 - X - -4 Página 5
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA I ( ) 5 II ( ) ( ) ( ) III ( ) ( ) En este caso la unción no es continua en. Como eiste el ite de la unción cuando tiende a, esta discontinuidad recibe el nombre de DISCONTINUIDAD EVITABLE. Para evitar esta discontinuidad, se redeine la unción haciendo coincidir el valor de la unción en con el valor del ite. ( ) 1 Ejemplo: En la unción: ( ) 6 7 4-6 > - -5 Página 6
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA I ( ) 5 II ( ) 5 ( ) 6 No eiste el ( ) En este caso la unción no es continua en -. Como no eiste el ite de la unción cuando tiende a -, esta discontinuidad recibe el nombre de DISCONTINUIDAD NO EVITABLE. Actividad. Representar las unciones, calcular los ites indicados analizar la continuidad. 1 a) ( ) ( ) - > 1 1 b) ( ) ( ) 1 5 > 1 c) ( ) ( ) 1 1 7 1 < d) ( ) 1 ( ) > 1 1 ENUNCIADOS DE TEOREMAS SOBRE EL CÁLCULO DE LÍMITES. Dados los números reales m n: 1) ( m n) ma n a ) n n a ) a a 4) Si K R eiste el ( ) entonces a Página 7
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA K a ( ) K ( ) 5) para a, a a a 6) Si eisten los ites: ( ) g( ) a entonces: a 6.1) [ ( ) g( ) ] ( ) g( ) a a a 6.) [ ( ) g( ) ] ( ) g( ) a a a 6.) ( ( ) g( ) ) ( ) g( ) a a a 6.4) a g ( ) ( ) a g a ( ) ( ) ; g a ( ) CÁLCULO DE LÍMITES. a) Ejemplo: 1 Aplicando sucevamente los teoremas precedentes resulta: 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) b) Ejemplo: Si reemplazamos por resulta una indeterminación del tipo. Para einar la indeterminación debemos actorizar el numerador ( eventualmente el denominador) de modo de poner en evidencia el actor responsable del. Dicho actor es ( ), a que al reemplazar por da cero. En general el ite es para tendiendo a a es de la orma ( a). Página 8
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Para actorizar el polinomios del numerador, hallamos la raíces de la ecuación: Aplicando la epreón que nos permite calcular la raíces, obtenemos: 1 1, ( ) ± ( ) 4 1 ( ) ± 4 1 Luego ( 1 )(. ) ( 1) 4 Actividad. Calcular los guientes ites a) 1 b) 4 c) 6 5 1 d) 1 9 e) 4 1 ) 1 18 4 g) 1 1 1 h) 1 1 1 6 i) 4 15 j) k) t 4 t t l) 4 4 4 Página 9
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA INCREMENTOS. Dada una unción por () podemos interesarnos en conocer la rapidez de variación de dicha unción en un punto dado de abscisa a. Si la gráica de la unción es la representada en la igura, a la abscisa a le corresponde una ordenada que indicamos como (a). (a ) ) () C ( a ) P Q O a a Si ahora queremos saber que pasa con la unción cuando nos corremos a la derecha o a la izquierda de a, debemos darle a la abscisa un incremento distinto de cero que llamaremos. Supongamos que el elegido sea la medida del segmento PQ. Pasamos de ese modo a un nuevo punto de abscisa a dado que, como a dijimos, la abscisa de un punto (en valor absoluto) mide la distancia entre dicho punto el origen de las coordenadas. La nueva ordenada será entonces (a): Cómo se modiicó la unción? Es evidente que el cambio que eperimentó () viene dado por la dierencia (a) (a). Precisamente a esa dierencia la llamamos incremento de la unción la mbolizamos con. Al cociente ( a ) ( a) se lo denomina Cociente Incremental. DEFINICION DE DERIVADA. Si aplicamos ite con al cociente incremental, se obtiene, eiste, un número llamado derivada de la unción en a, se mboliza ( a) ( a) ( a ) ( a) Página 1
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA decimos que la unción es derivable en el punto de abscisa a. Si lo es en todos los valores de su abscisa se obtiene la unción derivada, que en general se epresa: ( ) ( ) ( ) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. Una interpretación mu importante de la derivada es la que surge analizándola desde el punto de vista geométrico. Pero antes de avanzar en este tema vamos a precisar qué entendemos por recta tangente a una curva en un punto. En la igura hemos trazado una curva una secante a la misma que pasa por los puntos P C. C P C C Recta tangente Si dejamos ijo P tomamos nuevas ubicaciones para C de modo que C, C, etc. recorran la curva acercándose cada vez más a P, vemos que las sucevas secantes que pasan por PC, PC, etc., se aproiman a una poción ite que es la que deinimos como recta tangente a la curva en P. Luego volvemos al gráico en donde eplicamos la noción de derivada vemos que en el triángulo PQC Página 11
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA (a ) C θ (a) P ϕ Q ϕ θ O a a QC PQ tgθ Por lo tanto la derivada en el punto P es: ( a) tgθ Pero cuando, C recorre la curva acercándose a P de modo que las secantes se aproiman a la recta tangente ϕ es la inclinación de ésta última entonces θ ϕ ( a) tgθ tgθ tgϕ C P θ ϕ Luego la derivada en un punto se interpreta geométricamente como la pendiente m de la recta tangente en el punto conderado, endo la recta de ecuación: m n. REGLAS DE DERIVACION. El cálculo de derivada aplicando la deinición resulta en general mu complicado es mejor hallar reglas de derivación que convenientemente combinadas permiten derivar en una orma más práctica. Página 1
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA DERIVADA DE LA FUNCION CONSTANTE. Sea () c donde c R, luego ( ) ( ) ( ) c c Por lo tanto ( ) en la unción constante Y ( ) - () c O X La derivada de una constante es cero. Gráicamente corresponde a la pendiente de una recta paralela al eje. DERIVADA DE LA FUNCION IDENTIDAD. Sea (), luego ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 La derivada de la variable independiente es igual a uno. (Pendiente de la recta a 45 ) Sea ahora, ( ), luego ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Página 1
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Página 14 Sea ahora, ) (, luego ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) Podemos, inerir la guiente Regla de derivación: Si ( ) ( ) 1 n n n DERIVADA DE LA SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES. Sea () u() ± v() donde u u() v v() son dos unciones derivables. Luego ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v u v u v u ± ± m ( ) ( ) v u v u ± ± La derivada de una suma o dierencia de unciones derivables es la suma o dierencia de sus derivadas. Esta regla se puede etender ácilmente a un número inito de unciones. Ejemplo: Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v u v v u u ± ±
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA FÓRMULA PARA DERIVAR PRODUCTOS Y COCIENTES DE FUNCIONES. Sea () u() v() donde u u() v v() son dos unciones derivables. () u.v u.v Si se trata del producto de una constante por una unción entonces ( ) k q( ). ( ) k. q ( ) La derivada de una constante (k) por una unción es igual a la constante por la derivada de la unción. Para un cociente de dos unciones derivables debemos aplicar la órmula. ( ) u u. v u. v. v v TABLA DE DERIVADAS. 1.- ( u ± v) u ± v.- ( u v) u v u v u u v u v.- v v 4.- ( k ( ) ) k ( ) 5.- ( ) con C cte. n n1 C 6.- ( ) n. 7.- ( sen ) cos 8.- ( cos ) sen 1 ln 1.- ( e ) e 9.- ( ) Página 15
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Actividad. Hallar la unción derivada de a) ( ) b) ( ) 1 c) ( ) d) ( ) 4 e) ( ) ) ( ) 5 g) ( ) 5 h) ( ) 5 i) ( ) j) ( ) sen k) ( ) cos e l) ( ) e tg ln Página 16
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA APLICACIONES DE LA DERIVADA. Es importante recordar el concepto de derivada de una unción en un punto su interpretación geométrica. DEFINICIÓN: Se llama derivada de una unción continua en un punto al ite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. Es decir: La derivada de la unción () en se representa por ( ) de acuerdo con la deinición es: ( ) ( ) ( ) Este ite inito es un número. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: Sea () una unción continua que admite derivada en el punto de abscisa. A este valor le corresponde el punto P de la curva. Al valor de abscisa ( ) le corresponde el punto Q de la curva. Si se traza la recta PQ secante de la curva. ( ) Q () ( ) () ( ) P ϕ ( ) ( ) Observamos que: tg ϕ es decir, el cociente incremental es la pendiente de la recta secante PQ Página 17
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Cuando se hace más pequeño, el punto Q se aproima a P. Cuando la recta secante pasa a ser tangente en P determina el ángulo α (con el semieje potivo de las ). Q P α Por lo tanto, el ite del cociente incremental cuando,o sea la derivada en el punto de abscisa, es un número que mide la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P. PUNTOS CRÍTICOS: Se llaman así a aquellos puntos en que la derivada es cero o no está deinida. Ejemplos: Determinar los puntos críticos de la unción a) () - 6 9 Derivando se tiene: ( ) - 1 9 La derivada está deinida para todo. Hacemos ( ) - 1 9 Simpliicando tenemos: - 4 b b ac Resolviendo la ecuación de segundo grado: ± 4 a 4 ± 16 1 1 1 Página 18
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Por lo tanto ( ) se anula para 1 1, luego 1 son las abscisas de los puntos críticos de ( ). b) ( ) 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) La derivada no está deinida en 1; además se anula cuando el numerador es igual a cero, es decir: - ( - ) 1 Por lo tanto la unción tiene tres puntos críticos de abscisa: 1 ; ; 1. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS. () P Si ( ) > α es un ángulo agudo la unción es creciente α Si ( ) < α es un ángulo obtuso la unción es decreciente () P α Página 19
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Si la derivada de una unción en un punto es potiva, la unción es creciente en dicho punto; la derivada es negativa, la unción es decreciente. Ma rel ( ) () > () () < Si a la izquierda de un punto la derivada es potiva a la derecha es negativa, en ese punto eiste un Máimo relativo Si a la izquierda del punto crítico, la derivada es negativa a la derecha es potiva; en ese punto eiste un mínimo relativo. () < () > mín rel ( ) () Observación: Si en el punto en que la unción tiene un máimo relativo o un mínimo relativo eiste derivada, ésta debe ser cero; es decir, la tangente en dicho punto es horizontal. ( 1 ) m 1 ( ) m Página
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA ESTUDIO DE LA CONCAVIDAD La guiente igura muestra, en la parte a), la gráica de una unción, que admite derivadas sucevas, que es cóncava hacia abajo entre los puntos a d es cóncava hacia arriba entre los puntos d b. El gráico b) muestra en orma aproimada, la gráica de la unción derivada primera en c), también en orma aproimada, la gráica de la unción derivada segunda. P 1 a) P a c 1 d c b b) a c 1 d c b c) a c 1 d c b Vemos que en el intervalo en el que la curva es cóncava hacia abajo la unción derivada segunda es negativa, en el intervalo en que la curva es cóncava hacia arriba, la unción derivada segunda es potiva. El punto de la gráica en el que cambia el sentido de la concavidad se llama Punto de Inleión. Página 1
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Concluón: Si una unción tiene derivada segunda en un intervalo (a,b) Si "() >, entonces la gráica de () es cóncava hacia arriba. Si "() <, entonces la gráica de () es cóncava hacia abajo. Deinición: Diremos que el punto P(d,(d)) de la gráica de la unción es un Punto de Inleión eiste la recta tangente a la curva en P, en él cambia el sentido de la concavidad de la gráica. Técnica para realizar el estudio completo de una unción: 1º. Se determinan los valores críticos de la unción, o sea los puntos en los cuales (), o no eiste. º. Se determinan los valores críticos de (). O sea los puntos en los cuales "(), o no eiste. º. Se subdivide el dominio de la unción, en subintervalos, teniendo en cuenta los valores críticos de () de (). 4º. Se analiza el gno de la derivada primera de la unción en cada subintervalo, para determinar los intervalos de crecimiento de decrecimiento de la unción. 5º. Se determinan los máimos mínimos relativos de la unción. 6º. Se analiza el gno de la derivada segunda de la unción en cada subintervalo, para determinar la concavidad de la unción. 7º. Se determinan los puntos de inleión de la unción. 8º. Se graica en orma aproimada la unción. Ejemplo. Realizar el estudio completo de la unción: () 6 9 1 Hallamos la derivada primera de la unción: () 1 9 Igualamos a cero la derivada primera de la unción () 1 9 4 ± 16 1 los valores de son: 1 1 Página
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Hallamos la derivada segunda de la unción, la igualamos a cero calculamos los valores de las abscisas de los puntos críticos de (), para obtener los pobles puntos de inleión de (). () 6-1 () 6 1 Coneccionamos una tabla en la cual volcamos el estudio de los gnos de las derivadas primera segunda en los subintervalos en que dividimos el dominio de la unción las concluones que obtenemos. () () () Concluones ( -, 1) - La unción crece es cóncava hacia abajo 1 5 - Eiste un Máimo Relativo (1, ) - - La unción decrece es cóncava hacia abajo - Eiste un Punto de Inleión (,) - La unción decrece es cóncava hacia arriba 1 Eiste un Mínimo Relativo (, ) La unción crece es cóncava hacia arriba Graicamos en orma aproimada la unción. 5 Má P.I. 1 Mín 1 Página
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA ACTIVIDAD. Ejercicio 1: Hallar los puntos críticos de las guientes unciones: a) () - 5 6 b) () 4/ 4 1/ c) () d) () 4 4-9 Ejercicio : Realizar el estudio completo de las guientes unciones, determinando: los puntos críticos, intervalos de crecimiento decrecimiento, la concavidad los etremos relativos. Realizar la gráica aproimada de la unción. a) () 4 6 b) () - - 6 c) () 4 - - d) () 4 PROBLEMA DE APLICACIÓN. Con un rollo de alambre de 48 m. de longitud, se quiere construir junto a una pared un recinto cua supericie sea máima. Sup. rectángulo base altura S(, ) (1) Debemos construir una variable de acuerdo a las condiciones del problema. e están vinculadas de manera tal que podemos escribir una en unción de la otra. Página 4
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA De acuerdo con el problema será Reemplazando en (1) F( ) 4 4 48m 4 F( ) 4 Esta es la unción que debemos maimizar. F ( ) 4 Luego F ( ) 4 4m. Para demostrar que es un máimo, calculamos " F ( ) 1 < sólo eiste un Máimo corresponde a 4. 4 Por lo tanto, será 4 1 m. Supericie máima 4m 1m 88m Actividad. Problema 1- Resolver el problema anterior aprovechando el ángulo de una pared. Problema - Con 4 m. de alambre se quiere deitar una supericie rectangular. Cuáles deben ser las dimenones para que el área sea máima? Problema - Con una hoja de cartón de 54 cm. de lado se quiere construir una caja n tapa de base cuadrada capacidad máima. Calcular las dimenones que debe tener la caja. Problema 4- De todos los rectángulos de 5 cm de supericie. Cuál es el de menor perímetro? Problema 5- Sobre la orilla de un canal se neceta itar un terreno rectangular, alambrando los tres lados que no pertenecen a la orilla. Para construir el alambrado se deben utilizar 1.8 m. de alambre. Cuáles son las dimenones que debe tener el terreno para que su supericie sea máima? Problema 6- Entre todos los pares de números potivos cuo producto es 144, hallar dos cua suma sea máima. Página 5
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Problema 7: El momento lector de una viga mplemente apoada sometida a una carga uniormemente distribuida está dado por la epreón: M 1 q q ql q. Hallar el momento lector máimo su ubicación. q 1 Problema 8: De un tronco circular se ha de aserrar una viga de sección rectangular, de modo que para una longitud dada su restencia represente un máimo. RESISTENCIA: R cuadrado de la altura ancho sección transversal R h r. b Rta.: Restencia máima cuando b b o h Problema 9: Con una hoja de cartón de 8 cm. de largo 5 cm. de ancho, se quiere construir un caja rectangular n tapa, cortando los cuadrados de los vértices, como se indica en la igura levantando las aletas de los costados. Calcular las dimenones de la caja para que el volumen de la misma sea el máimo. Página 6
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA 5 cm 8 cm DIFERENCIALES: Supongamos que la unción () tiene derivada ( ) Deinimos el dierencial de el dierencial de que mbolizaremos d d respectivamente. Por deinición: d d ( ) d ( ) d es decir, el valor de d coincide con el incremento de el valor de d depende de la derivada de la unción en del incremento. Gráicamente resulta: Si por el punto P trazamos la recta tangente a la unción () A la prolongamos hasta la intersección de la vertical trazada por la abscisa ( ), Q tenemos el punto A. El d segmento AB d φ P () φ d B d Del gráico tg ϕ d Como φ es el ángulo de inclinación de la recta tangente a la unción, entonces d tg ϕ ( ) ( ) d d ( ) d Página 7
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA ACTIVIDAD Ejercicio 1: Hallar el d de: a) 5 b) sen ln Ejercicio : Utilizar dierenciales para estimar el incremento en el volumen de un cubo cuando sus lados cambian de 1 cm a 1,1 cm. Cuál es el incremento eacto del volumen? Ejercicio : En cuanto aumenta aproimadamente el volumen de una esera, su radio de 15 cm. se aumenta en mm.? Página 8