Comsó Ecoómca paa Améca Lata y el Cabe (CEPAL Dvsó de Estadístcas y Poyeccoes Ecoómcas (DEPE Ceto de Poyeccoes Ecoómcas (CPE Modelo Clásco de Regesó Alguos Temas Complemetaos Chsta A. utado Navao Mayo, 6. Cteos Geeales paa la Seleccó de Modelos Sabemos que al cemeta el úmeo de vaables e u modelo, la suma de esduos al cuadado SCR ˆ ε ˆ' ε ˆ ε dsmuá, metas que el R aumetaá, peo al costo de pede gados de lbetad. Tato el R como SCR el eo estáda de los esduos, toma e cueta el tade-off ete la educcó e la SCR y la pédda de gados de lbetad. Ambos so los cteos más usados paa la compaacó de modelos. E geeal se ecomeda el uso de modelos smples, e base a dos cosdeacoes téccas:. La clusó de demasadas vaables tede a empeoa la pecsó de los coefcetes dvduales.. la pédda de gados de lbetad que esulta podía educ el pode de los test de hpótess paa los coefcetes. Po lo tato, la pobabldad de o echaza ua hpótess falsa (eo tpo II se cemeta a medda que los gados de lbetad se educe. Po ello que los modelos so más fácles de compede que los modelos complejos. Es po lo tato deseable desaolla cteos que pealce los modelos más gades peo que o vaya al extemo de sempe escoge el modelo smple. E años ecetes se ha popuesto vaos cteos de seleccó de modelos. Todos ellos se foma a pat de la suma de los eoes al cuadado (SCR multplcada po u facto de pealdad que depede de la complejdad del modelo, bajo la pemsa de que u modelo más complejo educá la SCR peo cemetaá la pealdad. Estos cteos etega así oto tpo de tade-off ete la bodad de ajuste de u modelo y la complejdad del msmo.
Estos cteos queda esumdos e la sguete tabla: Cteo SGMASQ AKAIKE (AIC PE ómula SCR SCR e SCR ( + GCV SCR Q SCR ( l( ( RICE SCWARS (BIC SIBATA SCR SCR SCR + Aae desaolló dos cteos. Uo coocdo como Eo de Pedccó to y el oto coocdo como cteo de fomacó de Aae (AIc. aa y Qu sugee oto pocedmeto, coocdo como cteo Q. Paa estos y demás cteos expuestos e la tabla, el objetvo es mmza los valoes obtedos, es dec, se elegá aquel modelo que mmce el o los cteos de seleccó utlzados. Nótese que la tabla ateo o cluye el R, dado que SGMASQ σ y el R está vesamete elacoados, po lo que u bajo SGMASQ mplca u alto R. El R es útl sólo paa detema la faccó de la vaacó e Y que es explcada po los X s. Idealmete os gustaía u modelo que tuvea bajos valoes paa todos los estadígafos, e elacó a u modelo alteatvo. Peo, aú cuado sea posble aea alguos de estos cteos paa uos SCR, y dados, tal odeameto caece de setdo poque los modelos dfee pecsamete e SCR, y. De hecho, es posble que bajo cetas
ccustacas u modelo se a supeo a oto de acuedo a u cteo, metas que lo cotao se cumpla co el oto cteo.. Matz de Coelacoes Dado que hay vaables explcatvas e el modelo, etoces tedemos ( coefcetes de coelacó smple ete paes de vaables, los cuales puede epesetase e ua Matz de Coelacoes R: L L L L R M M O M M M O M L L Dode j es el coefcete de coelacó ete la vaable y la vaable j, y mde la coelacó exstete ete ambas, metas que j, es el coefcete de coelacó ete las vaables y j, mateedo costate la flueca de. los coefcetes de coelacó de tpo j se deoma de ode ceo, metas que los coefcetes de coelacó de tpo j, se deoma de ode, poque toma e cueta la flueca de ota vaable adcoal. Co dos o más egesoes, las coelacoes pacales so elevates, dado que os pude ayuda a descub los evetuales efectos de algua vaable o cosdeada e el modelo, que puede esta fluyedo sobe los esultados de la egesó estmada. A pat de esta matz de coelacó, es posble obtee todo los coefcetes de coelacó de pme ode y supeo, los cuales puede sev, po ejemplo paa calcula sesgos de omsó de vaables. A modo de ejemplo, las coelacoes pacales de ode paa tes vaables explcatvas, de u modelo y ˆ β + ˆ β ˆ ˆ x + β x + βx, so las sguetes:.. E geeal,.
j. j j j. Cotbucó Icemetal o Magal de ua Vaable Cosdeemos el esultado de ua estmacó: Yˆ 5. +.766X.76X ( ˆ σ (.6 (.87 (.886 ( t (.8 (.96 (.6 ( p value (.8 (. (.6 R R.9988 g. l..9986, 58.88 Es posble ve que los coefcetes asocados a las vaables explcatvas so ambos estadístcamete sgfcatvos co base a las puebas t sepaadas. Además, la egesó como u todo també es sgfcatva, como lo muesta el test. Supogamos que toducmos de maea secuecal las vaables X y X. Esto es, pmeo egesoamos u modelo del tpo + ˆ Y β + βx y se evalúa su sgfcaca. A cotuacó se le agega la vaable X, paa ve s cotbuye de algua foma al modelo; es dec, s cotbuye a cemeta la suma explcada po la egesó de maea sgfcatva. El tema de la cotbucó magal de las vaables es muy mpotate e la páctca puesto que u vestgado puede o esta seguo de s se justfca agega uevas vaables al modelo, habedo ya otas e el msmo. E otas palabas, o se desea clu uevas vaables cuya cotbucó al SEC sea baja, así como tampoco se desea exclu vaables de u modelo cuya cotbucó a la SEC es alta. Qué cteos utlza paa decd e ambos casos? Supogamos que la estmacó del modelo de dos vaables geea los sguetes esultados: Yˆ.76.766X ( ˆ σ (.688 (. ( t (.759 ( 7.98 ( p value (.8 (. + R R.9978.9977, g. l. 597.5
Como es posble ve, el coefcete ˆβ de uevo modelo es claamete sgfcatvo. Además el test os etega u valo bastate alto, lo que sgfca que la egesó e su cojuto es sgfcatva. Supogamos que agegamos la vaable X, y obteemos el esultado de la egesó múltple cal. Etoces cuál es la cotbucó magal de X sabedo que X ya está e el modelo? Es esta cotbucó magal estadístcamete sgfcatva? Qué cteo os pemte toma ua decsó? Paa evalua la cotbucó cemetal o magal de X, después de cosdea la cotbucó de X, se pocede a calcula: ( SECN SEC A (( ( SEC N A ( ( SECN SEC A ( N A N A, SECN ( N N N ~ ( Dode N se efee al uevo modelo (cluyedo a la vaable X. Así, SEC N coespode a la suma de cuadados explcada de la ueva egesó, SEC A es la suma de cuadados explcada de la egesó ogal (sólo X, y N - A es el úmeo de uevos egesoes copoados a la egesó. Note que la expesó ateo puede educse a: ( RN RA ( N A ~ ( N A N ( R (, N N Luego, la vaable adcoal cluda cotbuá sgfcatvamete a la egesó, s C > *. Co especto a cuado copoa ua ueva vaable, la pueba o test ecé descta costtuye u método apopado y fomal paa decd s se debe agega o o ua vaable. E la páctca, los vestgadoes copoaá ua ueva vaable toda vez que ella eleve el R aumetaá s el valo del test t asocado a la vaable copoada es mayo que uo e valo absoluto. N
. Pueba de gualdad de dos coefcetes. Supogamos que teemos el sguete modelo: Y β X + ε β + β X + β X + β X + β X + ε y que se desea poba las sguetes hpótess: : β β : β β ó : β β : β β Como pocedemos? Bajo los supuestos del modelo clásco de egesó, es posble mosta que: t c ( ˆ β ˆ β ( β β ( ˆ β ˆ β ( ˆ β ˆ β ( β β ( ˆ β + va( ˆ β cov( ˆ β, ˆ ~ t( σ va β Po lo que s t c > t * se echaza la hpótess ula. 5. Mímos cuadados Restgdos: Pueba de pótess Sobe Restccoes Leales. A modo d ejemplo, cosdeemos el sguete modelo o leal e las vaables: β β Y β X X e Dode Y es el vel de poduccó e el secto ; X es la catdad de tabajo, y X es la catdad de captal. S lealzamos el modelo, obteemos: l ( Y β + β l( X + β ( X + ε l Ua hpótess teesate de poba co este modelo es la peseca de etoos costates a escala. Esto es β + β, paa poba esta ε hpótess, exste dos pocedmetos alteatvos: Test t: El pocedmeto más smple es estma la egesó s toma e cueta la estccó mpuesta po la hpótess ula β + β. A esta : estmacó se le llama egesó o estgda o mímos cuadados o estgdos. abedo estmado β y β po OLS, es posble ealza el test t: c t ( ˆ β + ˆ β ( β + β σ ( ˆ + ˆ β va ( ˆ β + ˆ β ( β + β ( ˆ β + va( ˆ β cov( ˆ β, ˆ β + β
t c ( ˆ β + ˆ β ( ˆ β ˆ β ( ˆ β + ˆ β ( ˆ β + va( ˆ β cov( ˆ β, ˆ ~ t( σ + va + β Dado que ˆ β + ˆ β bajo la hpótess ula. Test : u efoque más decto seía copoa la estccó dectamete e la ecuacó de egesó. Así, s hacemos ˆ β ˆ β, estmaemos: Dode Y X l l l ( Y β + ( β l( X + β l( X + ε ( Y β + l( X + β ( l( X l( X + ε ( Y l( X β + β ( l( X l( X + ε Y l X X β β + l + ε X es la azó poducto-empleo, y X X es la azó captal-tabajo. Medate este pocedmeto se gaatzaá que se cumple la hpótess ula ˆ β + ˆ β. Este pocedmeto se cooce como mímos cuadados estgdos, y puede se geealzado paa modelos co vaables explcatvas y más de ua estccó de gualdad leal. Así teemos que: ˆ, NR ˆ, R ε SCR egesó o estgda. ε SCR egesó estgda. m Númeo de estccoes leales. Númeo de paámetos e la egesó o estgda. Númeo de obsevacoes. Etoces, o e efoque matcal, ( SCR SCR R NR, SCRNR ( (( ε ' ε ( ε ' ε ( m ~ ( m R NR, ( ε ' ε NR m ~ ( m Debe obsevase que NR R R R y que SCRNR SCRR.
Test (global: el test ateo (e sus dos vesoes popocoa u método geeal paa el testeo de hpótess aceca de uo o más paámetos del modelo de egesó co paámetos: Y β + β X + β X + β X + K + β X + ε Podíamos po ejemplo, esta teesados e testea hpótess del tpo: : β β : β + β + β5 : β β β5 β 6 : β + β : β + β La estatega geeal es la sguete: º. Exste u modelo amplo, geeal: el modelo o estgdo. º. Exste u modelo más pequeño: el modelo estgdo, el cual se obtee a pat del modelo geeal mpoedo las estccoes establecdas e las hpótess ulas. º. Ambos modelos so estmados y se obtee los espectvos R R y R NR. º. El modelo o estgdo tee (- gados de lbetad, metas que el modelo estgdo tee m gados de lbetad, dode m es el úmeo de estccoes leales mpuestas po las hpótess ulas. 5º. Luego se calcula la azó dada po: * ( ε ' ε ε ' ε R NR, ε ' ε NR ( m ~ ( m 6º. S c es mayo que α,( m,, dode α,( m, es el cítco a u α% de sgfcaca, etoces se echaza las hpótess ulas. E cualque oto caso, estas o se echaza. * 6. pótess Geeales Ua vez estmado el vecto de paámetos OLS, β, el paso sguete es usa estas estmacoes paa testea cetas hpótess especto de los compoetes de dcho vecto. Po ejemplo, cosdeemos las sguetes hpótess:
. : β. Esta hpótess establece que la vaable depedete X o tee flueca sobe Y. Este es el típco test de sgfcaca dvdual.. : β β,. E este caso β, es ceto valo específco. S po ejemplo, s β coespode a la elastcdad peco, uo podía testea s esta elastcdad es -.. β + β. S los β s coespode a la elastcdad empleo y : captal, espectvamete, etoces esta hpótess está plateado etoos costates a escala e la fucó de poduccó. v. : β β, o : β β. La hpótess es que tato X como X tee el msmo coefcete. v. β : M. Establece la hpótess de que el cojuto completo β M de vaables depedetes o tee efecto sobe Y. e el fodo, se testea la sgfcaca de toda la elacó. Todos estos ejemplos, y otos más se ajusta pefectamete a la sguete estuctua leal. Rβ Φ Dode R es ua matz de ode q x, co q <, Φ es u vecto co q costates coocdas. Cada hpótess ula detema los elemetos elevates e R y Φ. Así:. [ K K ] R ; Φ ; q, dode va e la poscó - éssma del vecto.. R [ K β, K ] ; β, éssma del vecto.. [ K ] R ; Φ ; q. v. [ K ] R ; Φ ; q. R ; Φ ; q -. v. [ I ] Φ ; q, dode β, va e la poscó - La foma efcete de pocede es deva u pocedmeto de testeo o pueba de hpótess paa la hpótess geeal: : Rβ Φ Luego, s se asume que los εˆ tee ua dstbucó omal multvaada, etoces se puede demosta que:
( Rβ Φ ' R( X ' X R' ( Rβ Φ ( ~ ( q, ε ' ε NR El pocedmeto de testeo es que se echaza la hpótess Rβ Φ s el c es mayo que el de tabla a ua sgfcaca pedetemada. Ahoa podemos ve a qué aputa este pocedmeto e el caso específco de las hpótess ecé plateas. E alguas aplcacoes es a veces coveete eescb la expesó ateo como: ( Rβ Φ '( ˆ σ R( X ' X R' ( Rβ Φ ~ q, q q ( ˆ ˆ ε ' ε dode σ ( es el estmado OLS de σ.