CAPÍTULO 23 RESUMEN Energí potencil eléctric: L fuerz eléctric cusd por culquier conjunto de crgs es un fuerz conservtiv. El trbjo W relizdo por l fuerz eléctric sobre un prtícul con crg que se mueve en un cmpo eléctrico se represent por el cmbio en un función de energí potencil U. L energí potencil eléctric pr dos crgs puntules q y q 0 depende de su seprción r. L energí potencil eléctric pr un crg q 0 en presenci de un conjunto de crgs q 1, q 2, q 3 depende de l distnci de q 0 cd un de ls demás crgs. (Vénse los ejemplos 23.1 y 23.2.) 1 2 W Sb 5 U 2 U b (23.2) q 1 U 5 1 1 U 5 1 qq 0 4pP 0 r (23.9) q 2 (dos crgs puntules) r 1 U 5 q 0 4pP 0 1 q 1 1 q 2 1 q 3 1 r 1 r 2 r c 3 2 r 2 q 3 (23.10) 5 q 0 q i r 3 4pP 0 i r i q 0 (q 0 en presenci de otrs crgs puntules) q 0 q 1 q 2 q 3 4 pp 0 r 1 r 2 r 3 Potencil eléctrico: El potencil, denotdo por V, es energí potencil por unidd de crg. L diferenci de potencil entre dos puntos es igul l cntidd de trbjo que se requerirí pr trsldr un unidd de crg de prueb positiv entre esos puntos. El potencil V debido un cntidd de crg se clcul medinte un sum (si l crg es un conjunto de crgs puntules) o medinte integrción (si l crg es un distribución). (Vénse los ejemplos 23.3, 23.4, 23.5, 23.7, 23.11 y 23.12.) L diferenci de potencil entre dos puntos y b, tmbién llmd potencil de con respecto b, está ddo por l integrl de líne de E S. El potencil de un punto ddo se encuentr obteniendo primero E S y después resolviendo l integrl. (Vénse los ejemplos 23.6, 23.8, 23.9 y 23.10.) V 5 U 5 1 q q 0 4pP 0 r (23.14) (debido un crg puntul) q i V 5 U 5 1 q 0 4pP 0 i r i (23.15) (debido un conjunto de crgs puntules) V 5 1 dq 3 4pP 0 r (23.16) (debido un distribución de crg) b V 2 V b 5 3 E # S d S b l 5 3 E cos f dl (23.17) q 1 V 5 r 1 P 1 1 1 2 1 q 1 q 2 q 3 4 pp 0 r 1 r 2 r 3 q 2 r 2 q 3 r 3 Superficies equipotenciles: Un superficie equipotencil es quell en l que el potencil tiene el mismo vlor en cd punto. En el punto en que un líne de cmpo cruz un superficie equipotencil, mbs son perpendiculres. Cundo tods ls crgs están en reposo, l superficie de un conductor siempre es un superficie equipotencil y todos los puntos en el interior del conductor están l mismo potencil. Cundo un cvidd dentro de un conductor no contiene crg, tod l cvidd es un región equipotencil y no hy crg superficil en ningun prte de l superficie de l cvidd. Líne de cmpo eléctrico Corte trnsversl de un superficie equipotencil + Cálculo del cmpo eléctrico prtir del potencil eléctrico: Si se conoce el potencil V como función de ls coordends x, y y z, ls componentes del cmpo eléctrico E S en culquier punto están dds por ls derivds prciles de V. (Vénse los ejemplos 23.13 y 23.14.) E x 52 'V 'x E y 52 'V 'y E 521 S d^ 'V 'x 1 e^ 'V (form vectoril) 'y 1 k^ 'V E z 52 'V 'z (23.19) 'z 2 (23.20) 804
Pregunts pr nálisis 805 Términos clve energí potencil (eléctric), 781 potencil (eléctrico), 787 volt, 788 voltje, 788 electrón volt, 790 superficie equipotencil, 799 grdiente, 802 Respuest l pregunt de inicio de cpítulo? Un diferenci de potencil grnde y constnte V b se mntiene entre l herrmient de solddur () y los elementos metálicos por soldr (b). Del ejemplo 23.9 (sección 23.3), el cmpo eléctrico entre dos conductores seprdos por un distnci d tiene mgnitud E 5 V b >d. Entonces, d debe ser pequeñ pr que l mgnitud del cmpo E se suficientemente grnde como pr que ionice el gs entre los conductores y b (vése l sección 23.3) y produzc un rco trvés de este gs. Respuests ls pregunts de Evlúe su comprensión 23.1 Respuests: ) i), b) ii) Ls tres crgs q 1, q 2 y q 3 son positivs. De hí que l energí potencil eléctric totl U se positiv. Esto signific que se requerirí trbjo positivo pr llevr ls tres crgs del infinito ls posiciones que se indicn en l figur 21.14, y trbjo negtivo pr llevrls de regreso de ess posiciones l infinito. 23.2 Respuest: no Si V 5 0 en cierto punto, E S no tiene que ser igul cero en ese punto. Un ejemplo de esto es el punto c en ls figurs 21.23 y 23.14, pr el que hy un cmpo eléctrico en dirección 1x (vése el ejemplo 21.9 en l sección 21.5) un cundo V 5 0 (vése el ejemplo 23.4). Este resultdo no es sorprendente, y que V y E S son cntiddes muy diferentes: V es l cntidd de trbjo que se requiere pr llevr un crg unitri del infinito l punto en cuestión, mientrs que E S es l fuerz eléctric que ctú sobre un unidd de crg cundo lleg ese punto. 23.3 Respuest: no Si E S 5 0 en cierto punto, Vnotiene que ser igul cero en ese punto. Un ejemplo es el punto O en el centro del nillo con crg en ls figurs 21.24 y 23.21. Del ejemplo 21.10 (sección 21.5), el cmpo eléctrico es igul cero en O y que ls contribuciones de ls diferentes prtes del nillo se nuln por completo. Sin embrgo, del ejemplo 23.11, el potencil en O no es igul cero: este punto corresponde x 5 0, por lo que V 5 1 1/4pP 0 21Q/ 2. Este vlor de V corresponde l trbjo que se tendrí que efectur pr desplzr un unidd de crg de prueb positiv lo lrgo de un tryectori del infinito l punto O; no es igul cero porque el nillo con crg repele l crg de prueb, de mner que debe hcerse trbjo positivo pr llevr l crg de prueb en dirección del nillo. 23.4 Respuest: no Si ls crgs positivs en l figur 23.24 se sustituyern por crgs negtivs, y vicevers, ls superficies equipotenciles serín igules, pero el signo del potencil se invertirí. Por ejemplo, ls superficies en l figur 23.24b con potencil V 5130 V y V 5250 V tendrín potenciles V 5230 V y V 5150 V, respectivmente. 23.5 Respuest: iii) De ls ecuciones (23.19), ls componentes del cmpo eléctrico son E x 52'V/'x 5 B 1 Dy, E y 52'V/'y 5 3Cy 2 1 Dx y E z 52'V/'z 5 0. El vlor de A no tiene efecto, lo que signific que se puede sumr un constnte l potencil eléctrico en todos los puntos sin que cmbien E S o l diferenci de potencil entre dos puntos. El potencil no depende de z, por lo que l componente z de E S es igul cero. Observe que en el origen el cmpo eléctrico no es igul cero porque tiene un componente x distint de cero: E x 5 B, E y 5 0, E z 5 0. PROBLEMAS Pr ls tres signds por el profesor, visite www.msteringphysics.com Pregunts pr nálisis P23.1. Un estudinte preguntó: Como el potencil eléctrico siempre es proporcionl l energí potencil, por qué molestrse con el concepto de potencil? Qué responderí usted? P23.2. El potencil (en relción con un punto en el infinito) medi distnci entre dos crgs de igul mgnitud y signo opuesto es igul cero. Es posible trer un crg de prueb del infinito ese punto medio en form tl que no se efectúe trbjo en ningun prte del desplzmiento? Si es sí, describ cómo se puede logrr. Si no es posible, explique por qué. P23.3. Es posible tener un configurción de dos crgs puntules seprds por un distnci finit de mner que l energí potencil eléctric del rreglo se l mism que si ls dos crgs estuviern seprds por un distnci infinit? Por qué? Qué psrí si hubier tres crgs? Explique su rzonmiento. P23.4. Como el potencil puede tener culquier vlor que se desee en función de l elección del nivel de referenci de potencil cero, cómo sbe un voltímetro qué lectur hcer cundo se conect entre dos puntos? P23.5. Si E S es igul cero en todo lugr lo lrgo de ciert tryectori que vy del punto A l B, cuál es l diferenci de potencil entre esos dos puntos? Signific esto que E S es igul cero en todos los puntos lo lrgo de culquier tryectori de A B? Explique su respuest. P23.6. Si es igul cero trvés de ciert región del espcio, el potencil tmbién es necesrimente igul cero en es región? Por qué? Si no es sí, qué puede decirse cerc del potencil? P23.7. Si se efectú l integrl del cmpo eléctrico E S S # Figur 23.28 Pregunt dl pr un tryectori cerrd como l que se pre- P23.7. ci en l figur 23.28, l integrl siempre será igul cero, independientemente de l form de l tryectori dl S y de dónde se loclicen ls crgs en relción con ést. Explique por qué E S es sí. P23.8. L diferenci de potencil entre dos terminles de un bterí AA (de ls que se usn en ls linterns y los estéreos portátiles) es de 1.5 V. Si se colocn dos bterís AA extremo con extremo con l terminl positiv de un bterí en contcto con l terminl negtiv de l otr, cuál es l diferenci de potencil entre ls terminles en los extremos expuestos de l combinción? Qué ps si ls dos terminles positivs se tocn entre sí? Explique su rzonmiento. E S
806 CAPÍTULO 23 Potencil eléctrico P23.9. Es fácil producir un diferenci de potencil de vrios miles de volts entre el cuerpo de un person y el piso, frotndo los zptos sobre un lfombr de nilon. Cundo usted toc un perill metálic recibe un descrg moderd. Sin embrgo, es probble que el contcto con un líne eléctric de voltje comprble se mortl. A qué se debe l diferenci? P23.10. Si se conoce el potencil eléctrico en un solo punto, se puede determinr E S en ese punto? Si es sí, cómo? Si no es posible, por qué? P23.11. Como ls línes de cmpo eléctrics y ls superficies equipotenciles siempre son perpendiculres, dos superficies equipotenciles nunc se cruzn; si lo hiciern, l dirección de E S serí mbigu en los puntos de intersección. Pero dos superficies equipotenciles precen cruzrse en el centro de l figur 23.24c. Explique por qué no hy mbigüedd cerc de l dirección de en este cso prticulr. P23.12. El cmpo eléctrico debido un lámin muy grnde con crg es independiente de l distnci desde l lámin, unque los cmpos debidos ls crgs puntules individules en l lámin obedecen un ley del inverso del cudrdo. Por qué el cmpo de l lámin no es más débil con el umento de l distnci? P23.13. Es frecuente que se dig que si un punto A está un potencil más elevdo que un punto B, entonces A está en un potencil positivo y B en un potencil negtivo. Se concluye necesrimente que un punto en un potencil positivo está crgdo positivmente, o que un punto en un potencil negtivo está crgdo negtivmente? Ilustre sus respuests con ejemplos clros y sencillos. P23.14. Un esfer conductor v crgrse induciendo en ell poco poco crg positiv hst que l crg totl se Q. Se firm que el trbjo totl que se requiere pr tl efecto es proporcionl Q 2. Esto es correcto? Por qué? Un esfer conductor v crgrse induciendo en ell poco poco crg positiv hst que l crg totl se Q. Se firm que el trbjo totl que se requiere pr tl efecto es proporcionl Q 2. Esto es correcto? Por qué? P23.15. Tres pres de plcs prlels de metl (A, B y C) están conectds como se ilustr en l figur 23.29, y un bterí mntiene un potencil de 1.5 V trvés de b. Qué puede decirse cerc de l diferenci de potencil trvés de cd pr de plcs? Por qué? P23.16. Se coloc un esfer conductor entre dos plcs prlels E S Figur 23.29 Pregunt P23.15. con crg como ls que se ilustrn en l figur 23.2. El cmpo eléctrico dentro de l esfer, depende precismente de dónde se coloque l esfer entre ls plcs? Qué ps con el potencil eléctrico dentro de l esfer? Ls respuests ests pregunts dependen de si en l esfer hy o no un crg net? Explique su rzonmiento. P23.17. Un conductor con un crg net Q tiene un cvidd huec y vcí en su interior. El potencil vrí de un punto otro dentro del mteril del conductor? Qué sucede dentro de l cvidd? Cómo se compr el potencil en el interior de l cvidd con el potencil dentro del mteril del conductor? P23.18. Un líne de cd de lto voltje ce sobre un utomóvil, por lo que tod l crrocerí metálic del vehículo está un potencil de 10,000 V con respecto tierr. Qué les ps los ocupntes cundo ) están sentdos dentro del utomóvil, y b) slen de éste? Explique su rzonmiento. P23.19. Cundo se cerc un torment, los mrineros en ltmr en ocsiones observn un fenómeno llmdo fuego de Sn Elmo, que consiste en un resplndor zuloso en ls punts de los mástiles. Qué es lo que lo cus? Por qué ocurre en los extremos de los mástiles? Por qué es más pronuncido el efecto cundo los mástiles se encuentrn húmedos? (Sugerenci: considere que el gu de mr es un buen conductor de l electricidd.) P23.20. Un crg puntul positiv se coloc cerc de un plno conductor muy grnde. Un profesor de físic sever que el cmpo credo por est configurción es el mismo que el que se obtendrí si se retirr el plno y se colocr un crg puntul negtiv de igul mgnitud en l posición equivlente de un imgen en el espejo detrás de l posición inicil del plno. Es correcto esto? Por qué? (Sugerenci: estudie l figur 23.24b.) A B C b P23.21. En electrónic se costumbr definir el potencil de tierr (piense en l Tierr como en un conductor muy grnde) como igul cero. Esto es congruente con el hecho de que l Tierr tiene un crg eléctric net diferente de cero? (Consulte el ejercicio 21.32.) Ejercicios Sección 23.1 Energí potencil eléctric 23.1. Un crg puntul q 1 512.40 mc se mntiene estcionri en el origen. Un segund crg puntul q 2 524.30 mc se mueve del punto x 5 0.150 m, y 5 0, l punto x 5 0.250 m, y 5 0.250 m. Cuánto trbjo reliz l fuerz eléctric sobre q 2? 23.2. Un crg puntul q 1 se mntiene estcionri en el origen. Se coloc un segund crg q 2 en el punto, y l energí potencil eléctric del pr de crgs es 15.4 3 10 28 J. Cundo l segund crg se mueve l punto b, l fuerz eléctric sobre l crg reliz 21.9 3 10 28 J de trbjo. Cuál es l energí potencil eléctric del pr de crgs cundo l segund crg se encuentr en el punto b? 23.3. Energí del núcleo. Cuánto trbjo se necesit pr ensmblr un núcleo tómico que contiene tres protones (como el del Be) si se model como un triángulo equilátero de ldo 2.00 3 10 215 m con un protón en cd vértice? Supong que los protones prten desde muy lejos. 23.4. ) Cuánto trbjo se requiere pr empujr dos protones con much lentitud desde un seprción de 2.00 3 10 210 m (un distnci tómic común) 3.00 3 10 215 m (un distnci nucler común)? b) Si los dos protones se libern desde el reposo en l distnci más cercn del inciso ), con qué rpidez se moverán cundo lcncen su seprción originl? 23.5. Un esfer pequeñ de metl tiene un crg net de q 1 5 22.80 mc y se mntiene en posición estcionri por medio de soportes isldos. Un segund esfer metálic tmbién pequeñ con crg net de q 2 527.80 mc y ms de 1.50 g es proyectd Figur 23.30 Ejercicio 23.5. v 5 22.0 m/s q 2 q 1 0.800 m hci q 1. Cundo ls dos esfers están un distnci de 0.800 m un de otr, q 2 se mueve hci q 1 con un rpidez de 22.0 m>s (figur 23.30). Supong que ls dos esfers pueden considerrse como crgs puntules y que se ignor l fuerz de grvedd. ) Cuál es l rpidez de q 2 cundo ls esfers están 0.400 m un de l otr? b) Qué tn cerc de q 1 lleg l q 2? 23.6. Qué tn lejos de un crg puntul de 27.20 mc debe siturse un crg puntul de 12.30 mc pr que l energí potencil eléctric U del pr de crgs se 20.400 J? (Considere U igul cero cundo ls crgs tengn seprción infinit.) 23.7. Un crg puntul Q 514.60 mc se mntiene fij en el origen. Un segund crg q 511.20 mc con ms de 2.80 3 10 24 kg se coloc en el eje x, 0.250 m del origen. ) Cuál es l energí potencil eléctric U del pr de crgs? (Considere U igul cero cundo ls crgs tengn seprción infinit.) b) L segund crg puntul se liber del reposo. Cuál es su rpidez cundo su distnci l origen es i) 0.500 m; ii) 5.00 m; iii) 50.0 m? 23.8. Se colocn tres crgs puntules igules de 1.20 mc en ls esquins de un triángulo equilátero cuyos ldos miden 0.500 m de longitud. Cuál es l energí potencil del sistem? (Considere l energí potencil de ls tres crgs igul cero cundo se encuentren seprds por un distnci infinit.) 23.9. Un crg puntul q 1 5 4.00 nc está situd en el origen, y un segund crg puntul q 2 523.00 nc está en el eje x en x 5120.0 cm. Un tercer crg puntul q 3 5 2.00 nc se coloc sobre el eje x entre q 1 y q 2. (Considere l energí potencil de ls tres crgs igul cero cundo estén seprds por un distnci infinit.) ) Cuál es l
Ejercicios 807 energí potencil del sistem de tres crgs si q 3 se coloc en x 5 110.0 cm? b) Dónde debe siturse q 3 pr hcer que l energí potencil del sistem se igul cero? 23.10. Cutro electrones se loclizn en ls esquins de un cudrdo de 10.0 nm de ldo, con un prtícul lf en su prte medi. Cuánto trbjo se necesit hcer pr mover l prtícul lf l punto medio de uno de los ldos del cudrdo? 23.11. Tres crgs puntules que l principio están infinitmente lejds entre sí, se colocn en ls esquins de un triángulo equilátero con ldos d. Dos de ls crgs puntules son idéntics y tienen crg q. Si se requiere un trbjo neto igul cero pr situr ls tres crgs en ls esquins del triángulo, cuál debe ser el vlor de l tercer crg? 23.12. Dos protones son lnzdos por un celerdor ciclotrón directmente uno en dirección del otro con un rpidez de 1000 km>s, medid con respecto l Tierr. Encuentre l fuerz eléctric máxim que ejercerá cd protón sobre el otro. Sección 23.2 Potencil eléctrico 23.13. Un cmpo eléctrico uniforme está dirigido hci el este. El punto B está 2.00 m l oeste del punto A, el punto C está 2.00 m del punto A, y el punto D se locliz 2.00 m l sur de A. En cd punto, B, C y D, el potencil es myor, menor o igul l del punto A? Expong el rzonmiento que sustent sus respuests. 23.14. Se colocn crgs puntules idéntics q 515.00 mc en ls esquins opuests de un cudrdo. L longitud de cd ldo del cudrdo es de 0.200 m. Un crg puntul q 0 522.00 mc se sitú en un de ls esquins vcís. Cuánto trbjo sobre q 0 reliz l fuerz eléctric cundo q 0 se mueve l otr esquin vcí? 23.15. Un prtícul pequeñ tiene crg de 25.00 mc y ms de 2.00 3 10 24 kg. Se desplz desde el punto A, donde el potencil eléctrico es V A 51200 V, l punto B, donde el potencil eléctrico es V B 5 1800V. L fuerz eléctric es l únic que ctú sobre l prtícul, l cul tiene un rpidez de 5.00 m>s en el punto A. Cuál es su rpidez en el punto B? Se mueve más rápido o más lento en B que en A? Explique su respuest. 23.16. Un prtícul con crg de 14.20 nc está en un cmpo eléctrico uniforme E S dirigido hci l izquierd. Se liber desde el reposo y se mueve l izquierd; después de que se h desplzdo 6.00 cm, su energí cinétic es de 11.50 3 10 26 J. ) Qué trbjo relizó l fuerz eléctric? b) Cuál es el potencil del punto de inicio con respecto l punto finl? c) Cuál es l mgnitud de E S? 23.17. Un crg de 28.0 nc se coloc en un cmpo eléctrico uniforme que está dirigido verticlmente hci rrib y tiene un mgnitud de 4.00 3 10 4 V>m. Qué trbjo hce l fuerz eléctric cundo l crg se mueve ) 0.450 m l derech; b) 0.670 m hci rrib; c) 2.60 m con un ángulo de 45.0 hci bjo con respecto l horizontl? 23.18. Dos crgs puntules estcionris de 13.00 nc y 12.00 nc están seprds por un distnci de 50.0 cm. Se liber un electrón desde el reposo en un punto l mitd de cmino entre ls dos crgs y se mueve lo lrgo de l líne que ls conect. Cuál es l rpidez del electrón cundo está 10.0 cm de l crg de 13.00 nc? 23.19. Un crg puntul tiene un crg de 2.50 3 10 211 C. A qué distnci de l crg puntul el potencil eléctrico es de ) 90.0 V y b) 30.0 V? Considere el potencil igul cero un distnci infinit de l crg. 23.20. Dos crgs de igul mgnitud Q se mntienen seprds un distnci d. Considere sólo puntos sobre l líne que ps trvés de mbs crgs. ) Si ls dos crgs tienen el mismo signo, encuentre l ubicción de todos los puntos (si los hy) en los que i) el potencil (en relción con el infinito) es igul cero (en estos puntos, el cmpo eléctrico es cero?), y ii) el cmpo eléctrico es de cero (en estos puntos, el potencil es de cero?). b) Repit el inciso ) pr dos crgs que tienen signos opuestos. 23.21. Dos crgs puntules q 1 5 Figur 23.31 Ejercicio 23.21. 12.40 nc y q 2 526.50 nc están B seprds 0.100 m. El punto A está l mitd de l distnci entre ells; el punto B está 0.080 m de q 1 y 0.060 m de q 2 (figur 23.31). Considere el potencil eléctrico como cero en el infinito. 0.050 m 0.050 m q A Determine ) el potencil en el 1 q 2 punto A; b) el potencil en el punto B; c) el trbjo relizdo por el cmpo eléctrico sobre un crg de 2.50 nc que vij del punto B l punto A. 23.22. Dos crgs puntules positivs, cd un con mgnitud q, se encuentrn fijs sobre el eje y en los puntos y 51 y y 52. Considere el potencil igul cero un distnci infinit de ls crgs. ) Indique en un digrm l posición de ls crgs. b) Cuál es el potencil V 0 en el origen? c) Demuestre que el potencil en culquier punto sobre el eje x es V 5 1 2q 4pP 0 " 2 1 x 2 0.080 m 0.060 m (d) Elbore l gráfic del potencil sobre el eje x como función de x sobre el intervlo de x 524 x 514. e) Cuál es el potencil cundo x W? Explique por qué se obtiene este resultdo. 23.23. Un crg 1q se locliz en el punto x 5 0, y 52, y un crg negtiv 2q se encuentr en el punto x 5 0, y 51. ) Señle en un digrm ls posiciones de ls crgs. b) Obteng un expresión pr el potencil V en los puntos sobre el eje x como función de l coordend x. Considere V igul cero un distnci infinit de ls crgs. c) Elbore l gráfic de V en puntos sobre el eje x como función de x en el intervlo de x 524 x 514. d) Cuál es l respuest l inciso b) si ls dos crgs se intercmbin de mner que 1q esté en y 51 y 2q esté en y 52? 23.24. Considere l configurción de crgs descrit en el ejercicio 23.23. ) Obteng un expresión pr el potencil V en puntos sobre el eje y como función de l coordend y. Considere V igul cero un distnci infinit de ls crgs. b) Elbore l gráfic de V en puntos sobre el eje y como función de y en el intervlo de y 524 y 514. c) Demuestre que pr y W, el potencil en un punto sobre el eje y positivo está ddo por V 521 1/4pP 0 2 2q/y 2. d) Cuáles son ls respuests los incisos ) y c) si ls dos crgs se intercmbin de mner que 1q esté en y 51 y 2q esté en y 52? 23.25. Un crg positiv q está fij en el punto x 5 0, y 5 0, y un crg negtiv 22q se encuentr fij en el punto x 5, y 5 0. ) Señle ls posiciones de ls crgs en un digrm. b) Obteng un expresión pr el potencil V en puntos sobre el eje x como función de l coordend x. Considere V igul cero un distnci infinit de ls crgs. c) En qué posiciones sobre el eje xv5 0? d) Elbore l gráfic de V en puntos sobre el eje x como función de x en el intervlo de x 522 x 512. e) Cuál es l respuest pr el inciso b) cundo x W? Explique por qué se obtiene este resultdo. 23.26. Considere l configurción de crgs puntules descrit en el ejercicio 23.25. ) Obteng un expresión pr el potencil V en puntos sobre el eje y como función de l coordend y. Considere V igul cero un distnci infinit de ls crgs. b) En qué posiciones sobre el eje y, V 5 0? c) Elbore l gráfic de V en puntos sobre el eje y como función de y en el intervlo de y 522 y 512. d ) Cuál es l respuest pr el inciso ) cundo y W? Explique por qué se obtiene este resultdo. 23.27. Antes del dvenimiento de l electrónic de estdo sólido, en los prtos de rdio y otros dispositivos se usbn bulbos de vcío. Un tipo sencillo de bulbo de vcío conocido como diodo consiste en esenci en dos electrodos en el interior de un comprtimiento l lto vcío. Un electrodo, el cátodo, se mntiene tempertur elevd y
808 CAPÍTULO 23 Potencil eléctrico emite electrones desde su superficie. Entre el cátodo y el otro electrodo, conocido como ánodo, hy un diferenci de potencil de lgunos cientos de volts, con el ánodo en el potencil más lto. Supong que en un bulbo de vcío en prticulr el potencil del ánodo es 295 V myor que el del cátodo. Un electrón sle de l superficie del cátodo con rpidez inicil igul cero. Clcule su rpidez l incidir en el ánodo. 23.28. Aciert distnci de un crg puntul, el potencil y l mgnitud del cmpo eléctrico debido es crg son 4.98 V y 12.0 V>m, respectivmente. (Considere el potencil como cero en el infinito.) ) Cuál es l distnci l crg puntul? b) Cuál es l mgnitud de l crg? c) El cmpo eléctrico está dirigido hci l crg puntul o se lej de ést? 23.29. Un cmpo eléctrico uniforme tiene un mgnitud E y está dirigido en l dirección negtiv de x. L diferenci de potencil entre el punto (en x 5 0.60 m) y el punto b (en x 5 0.90 m) es 240 V. ) Cuál punto, o b, tiene el potencil más lto? b) Clcule el vlor de E. c) Un crg puntul negtiv q 520.200 mc se desplz de b. Clcule el trbjo relizdo por el cmpo eléctrico sobre l crg puntul. 23.30. Pr cd un de ls siguientes configurciones de dos crgs puntules, encuentre todos los puntos lo lrgo de l líne que ps trvés de mbs crgs pr ls que el potencil eléctrico V es igul cero (considere que V 5 0 un distnci infinit de ls crgs) y pr ls que el cmpo eléctrico E es cero: ) crgs 1Q y 12Q seprds por un distnci d, y b) crgs 2Q y 12Q seprds por un distnci d. c) Son V y E igules cero en los mismos lugres? Explique. 23.31. ) Un electrón se celer de 3.00 3 10 6 m>s 8.00 3 10 6 m>s. A trvés de qué diferenci de potencil debe psr el electrón pr que esto suced? b) A trvés de qué diferenci de potencil debe psr el electrón si h de disminuir su velocidd de 8.00 3 10 6 m>s hst detenerse? Sección 23.3 Cálculo del potencil eléctrico 23.32. Un crg eléctric totl de 3.50 nc está distribuid de mner uniforme sobre l superficie de un esfer de metl con rdio de 24.0 cm. Si el potencil es igul cero en un punto en el infinito, encuentre el vlor del potencil ls siguientes distncis desde el centro de l esfer: ) 48.0 cm; b) 24.0 cm; c) 12.0 cm. 23.33. Un nillo delgdo con crg uniforme tiene un rdio de 15.0 cm y crg totl de 124.0 nc. Se coloc un electrón sobre el eje del nillo un distnci de 30.0 cm de su centro y qued restringido permnecer sobre ese eje. Después se liber el electrón desde el reposo. ) Describ el movimiento posterior del electrón. b) Determine l rpidez del electrón cundo lcnz el centro del nillo. 23.34. Un líne infinitmente lrg de crg tiene densidd superficil de crg de 5.00 3 10 212 C>m. Un protón (ms de 1.67 3 10 227 kg, crg de 11.60 3 10 219 C) se locliz 18.0 cm de l líne y se mueve directmente hci ell con un rpidez de 1.50 3 10 3 m>s. ) Clcule l energí cinétic inicil del protón. b) A qué distnci de l líne de crg lleg el protón? (Sugerenci: vése el ejemplo 23.10.) 23.35. Un lmbre muy lrgo tiene un densidd linel de crg uniforme l. Se utiliz un voltímetro pr medir l diferenci de potencil y se encuentr que cundo un sensor del instrumento se coloc 2.50 cm del lmbre y el otro sensor se sitú 1.00 cm más lejos del lmbre, el prto lee 575 V. ) Cuál es el vlor de l? b) Si hor se coloc un sensor 3.50 cm del lmbre y el otro 1.00 cm más lejos, el voltímetro leerá 575 V? Si no es sí, l lectur estrá por encim o por debjo de 575 V? Por qué? c) Si se sitún mbos sensores 3.50 cm del lmbre pero 17.0 cm uno de otro, cuál será l lectur del voltímetro? 23.36. Un cilindro islnte muy lrgo de crg con rdio de 2.50 cm tiene un densidd linel uniforme de 15.0 nc>m. Si se coloc un sensor del voltímetro en l superficie, qué distnci de l superficie debe siturse el otro sensor pr que l lectur se de 175 V? 23.37. Un corz cilíndric islnte muy lrg con rdio de 6.00 cm tiene un densidd linel de crg de 8.50 mc>m distribuid de mner uniforme en su superficie exterior. Cuál serí l lectur del voltímetro si se conectr entre ) l superficie del cilindro y un punto 4.00 por rrib de l superficie, y b) l superficie y un punto 1.00 cm del eje centrl del cilindro? 23.38. Un nillo con diámetro de 8.00 cm está fijo en un lugr y tiene un crg de 15.00 mc distribuid de mner uniforme sobre su circunferenci. ) Cuánto trbjo se requiere pr desplzr un esfer diminut con crg de 13.00 mc y ms de 1.50 g desde un distnci muy lejn l centro del nillo? b) Es necesrio seguir un tryectori lo lrgo del eje del nillo? Por qué? c) Si l esfer se desplz ligermente del centro del nillo, qué hrí y cuál serí l velocidd máxim que lcnzrí? 23.39. Dos plcs de metl prlels, muy grndes, tienen densid- Figur 23.32 Ejercicio 23.39. des de crg de l mism mgnitud pero con signos opuestos (figur 23.32). Supong que están suficientemente cerc como pr ser x trtds como plcs ideles infinits. Si se consider el potencil b c d igul cero l izquierd de l superficie de l plc negtiv, elbore un gráfic del potencil como función de x. Incluy tods ls regiones de izquierd derech de ls plcs. 23.40. Dos plcs conductors prlels y grndes, que llevn crgs opuests de igul mgnitud, están seprds por un distnci de 2.20 cm. ) Si l densidd superficil de crg pr cd plc tiene un mgnitud de 47.0 nc>m 2, cuál es l mgnitud de E S en l región entre ls plcs? b) Cuál es l diferenci de potencil entre ls dos plcs? c) Si l seprción entre ls plcs se duplic mientrs l densidd superficil de crg se mntiene constnte en el vlor que se obtuvo en el inciso ), qué sucede con l mgnitud del cmpo eléctrico y l diferenci de potencil? 23.41. Dos plcs metálics, grndes y prlels tienen crgs opuests de igul mgnitud. Están seprds por un distnci de 45.0 mm, y l diferenci de potencil entre ells es de 360 V. ) Cuál es l mgnitud del cmpo eléctrico (el cul se supone uniforme) en l región entre ls plcs? b) Cuál es l mgnitud de l fuerz que ejerce este cmpo sobre un prtícul con crg de 12.40 nc? c) Utilice los resultdos del inciso b) pr clculr el trbjo relizdo por el cmpo sobre l prtícul conforme se desplz de l plc de myor potencil l de menor potencil. d) Compre el resultdo del inciso c) con el cmbio de energí potencil de l mism crg, clculdo prtir del potencil eléctrico. 23.42. ) Cuánt crg excedente debe colocrse en un esfer de cobre de 25.0 cm de diámetro de mner que el potencil de su centro, en relción con el infinito, se de 1.50 kv? b) Cuál es el potencil de l superficie de l esfer en relción con el infinito? 23.43. ) Demuestre que pr un corz esféric de rdio R, que tiene un crg q distribuid de mner uniforme sobre su superficie, V es igul que V pr un sólido conductor con rdio R y crg q. b) Se frot un globo infldo sobre un lfombr, con lo que dquiere un potencil que es 1560 V más bjo que su potencil ntes de hber sido crgdo. Si l crg está distribuid de mner uniforme sobre l superficie del globo y el rdio de éste es de 15 cm, cuál es l crg net en el globo? c) A l luz de su diferenci de potencil de 1200 V en relción con usted, piens que este globo es peligroso? Explique su respuest. 23.44. El cmpo eléctrico en l superficie de un esfer de cobre con crg, sólid y con rdio de 0.200 m es de 3800 N>C, dirigido hci el centro de l esfer. Cuál es el potencil en el centro de l esfer si se consider un potencil igul cero un distnci infinitmente grnde con respecto l esfer?
Problems 809 Sección 23.4 Superficies equipotenciles y Sección 23.5 Grdiente potencil 23.45. Se estblece un diferenci de potencil de 480 V entre plcs metálics grndes y prlels. El potencil de un plc es de 480 V, y el de l otr es 0 V. Ls plcs están seprds por d 5 1.70 cm. ) Elbore un digrm de ls superficies equipotenciles que correspondn 0, 120, 240, 360 y 480 V. b) En el digrm, indique ls línes de cmpo eléctrico. El digrm confirm que ls línes de cmpo y ls superficies equipotenciles son perpendiculres entre sí? 23.46. Un lámin muy grnde de plástico tiene un densidd de crg uniforme de 26.00 nc>m 2 en un cr. ) Conforme usted se lej de l lámin lo lrgo de un líne perpendiculr ell, el potencil se ument o disminuye? Cómo lo sbe, sin hcer cálculos? L respuest depende del lugr que elij como punto de referenci pr el potencil? b) Encuentre el espcimiento entre superficies equipotenciles que difieren en 1.00 V un de otr. Qué tipo de superficies son ésts? 23.47. En ciert región del espcio, el potencil eléctrico es V(x, y, z) 5 Axy 2 Bx 2 1 Cy, donde A, B y C son constntes positivs. ) Clcule ls componentes x, y y z del cmpo eléctrico. b) En qué puntos el cmpo eléctrico es igul cero? 23.48. El potencil debido un crg puntul Q en el origen se puede escribir como V 5 Q 4pP 0 r 5 ) Clcule E x, E y y E z utilizndo ls ecuciones (23.19). b) Demuestre que los resultdos del inciso ) concuerdn con l ecución (21.7) pr el cmpo eléctrico de un crg puntul. 23.49. Un esfer metálic con rdio r está poyd en un soporte islnte en el centro de un corz esféric, huec, metálic y con rdio r b. En l esfer interior hy un crg 1q y en l exterior otr 2q. ) Clcule el potencil V(r) pr i) r, r ; ii) r, r, r b ; iii) r. r b. (Sugerenci: el potencil neto es l sum de los potenciles debidos ls esfers individules.) Considere V igul cero cundo r es infinito. b) Demuestre que el potencil de l esfer interior con respecto l de l esfer exterior es V b 5 q 4pP 0 1 1 2 1 r r b 2 c) Utilice l ecución (23.23) y el resultdo del inciso ) pr mostrr que el cmpo eléctrico en culquier punto entre ls esfers tiene un mgnitud de 1 E 1 r 2 5 1 1/r 2 1/r b 2 r 2 d) Use l ecución (23.23) y el resultdo del inciso ) pr encontrr el cmpo eléctrico en un punto fuer de l esfer más grnde un distnci r del centro, donde r. r b. e) Supong que l crg en l esfer exterior no es 2q sino un crg negtiv de diferente mgnitud, por ejemplo, 2Q. Demuestre que ls respuests pr los incisos b) y c) son ls misms que ntes, pero l del inciso d) es distint. 23.50. Un esfer metálic con rdio r 5 1.20 cm está sostenid por un soporte islnte en el centro de un corz esféric, huec, metálic y con rdio r b 5 9.60 cm. En l esfer interior se coloc un crg 1q y en l exterior otr 2q. Se elige que l mgnitud de q se tl que hg que l diferenci de potencil entre ls esfers se de 500 V, con l esfer interior un potencil más elevdo. ) Use el resultdo del ejercicio 23.49b) pr clculr q. b) Con yud del resultdo del ejercicio 23.49), elbore un digrm de ls superficies equipotenciles que correspondn 500, 400, 300, 200, 100 y 0 V. c) En el digrm indique ls línes de cmpo eléctrico. Son perpendiculres entre sí ls línes de cmpo eléctrico y ls superficies equipotenciles? Cun- V b Q 4pP 0 "x 2 1 y 2 1 z 2 do l mgnitud de es máxim, ls superficies equipotenciles están más cercns? 23.51. Un cilindro muy grnde de 2.00 cm de rdio tiene un densidd de crg uniforme de 1.50 nc>m. ) Describ l form de ls superficies equipotenciles pr este cilindro. b) Tome el nivel de referenci de mner que el potencil cero se l superficie del cilindro, encuentre el rdio de ls superficies equipotenciles que tienen potenciles de 10.0 V, 20.0 V y 30.0 V. c) Están igulmente espcids ls superficies equipotenciles? Si no es sí, están más junts o seprds conforme r se increment? Problems E S 23.52. L figur 23.33 muestr el potencil de un distribución de crg como función de x. Elbore un gráfic del cmpo eléctrico E x sobre l región que se ilustr. Figur 23.33 Problem 23.52. V 23.53. Un prtícul con crg 17.60 nc está en un cmpo eléctrico uniforme dirigido l izquierd. Otr fuerz, demás de l eléctric, ctú sobre l prtícul de mner que cundo prte del reposo se desplz l derech. Después de hberse movido 8.00 cm, l fuerz dicionl h efectudo un trbjo de 6.50 3 10 25 J y l prtícul tiene un energí cinétic de 4.35 3 10 25 J. ) Qué trbjo relizó l fuerz eléctric? b) Cuál es el potencil del punto de inicio con respecto l del punto finl? c) Cuál es l mgnitud del cmpo eléctrico? 23.54. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, un único electrón gir lrededor de un solo protón en un círculo de rdio r. Supong que el protón permnece en reposo. ) Igulndo l fuerz eléctric con l ms del electrón multiplicd por su celerción, obteng un expresión pr l rpidez del electrón. b) Obteng un expresión pr l energí cinétic del electrón, y demuestre que su mgnitud es l mitd de l de l energí potencil eléctric. c) Obteng un expresión pr l energí totl, y evlúel con r 5 5.29 3 10 211 m. Exprese el resultdo numérico en joules y en electrón volts. 23.55. Un diodo de bulbo de vcío (vése el ejercicio 23.27) consiste en electrodos cilíndricos concéntricos, el cátodo negtivo y el ánodo positivo. A cus de l cumulción de crg cerc del cátodo, el potencil eléctrico entre los electrodos no es un función linel de l posición, ni siquier con geometrí pln, sino que está dd por V 1 x 2 5 Cx 4 / 3 donde x es l distnci desde el cátodo y C es un constnte, crcterístic de un diodo en prticulr y de ls condiciones de operción. Supong que l distnci entre el cátodo y el ánodo es de 13.0 mm y que l diferenci de potencil entre los electrodos es de 240 V. ) Determine el vlor de C. b) Obteng un fórmul pr el cmpo eléctrico entre los electrodos como función de x. c) Determine l fuerz sobre un electrón cundo éste se encuentre en el punto medio entre los electrodos. b x
810 CAPÍTULO 23 Potencil eléctrico 23.56. Dos esfers islntes Figur 23.34 Problem 23.56. idéntics con crgs opuests, cd un de 50.0 cm de diámetro V y con crg uniforme de mgnitud 175 mc, están colocds con b sus centros seprdos por un distnci de 1.00 m (figur 23.34). ) Si se conect un voltímetro entre los puntos más cercnos ( y b) sobre sus superficies, cuál será l lectur? b) Cuál punto, o b, está en el potencil más grnde? Cómo se puede sber esto sin hcer cálculos? 23.57. Cristl iónico. L figur Figur 23.35 Problem 23.57. 23.35 muestr ocho crgs puntules situds en ls esquins de 2q 1q un cubo con ldos de longitud d. Los vlores de ls crgs son 1q 2q y 2q, como se indic. Éste es un 1q modelo de un celd de un cristl cúbico iónico. Por ejemplo, en el cloruro de sodio (NCl) los iones d positivos son N 1 y los negtivos son Cl 2 1q 2q. ) Clcule l energí potencil U de est configurción. 2q d d 1q (Considere l energí potencil de ls ocho crgs igul cero cundo están seprds por un distnci infinit.) b) En el inciso ), se debe de hber encontrdo que U, 0. Explique l relción entre este resultdo y l observción de que tles cristles iónicos existen en l nturlez. 23.58. ) Clcule l energí potencil de un sistem de dos esfers pequeñs, un con crg de 2.00 mc y l otr con crg de 23.50 mc, con sus centros seprdos por un distnci de 0.250 m. Supong un energí potencil igul cero cundo ls crgs están seprds por un distnci infinit. b) Supong que un de ls esfers permnece en su lugr y l otr, con ms de 1.50 g, se lej de ell. Qué rpidez inicil mínim serí necesrio que tuvier l esfer en movimiento pr escpr por completo de l trcción de l esfer fij? (Pr escpr, l esfer en movimiento tendrí que lcnzr un rpidez de cero cundo hubier un distnci infinit entre ell y l esfer fij.) 23.59. El ion H 1 2. El ion H 1 2 está compuesto por dos protones, cd uno con crg 1e 5 1.60 3 10 219 C, y un electrón de crg 2e y ms 9.11 3 10 231 kg. L seprción entre los protones es de 1.07 3 10 210 m. Los protones y el electrón pueden ser trtdos como crgs puntules. ) Supong que el electrón se locliz en el punto medio entre los dos protones. Cuál es l energí potencil de l intercción entre el electrón y los dos protones? (No incluy l energí potencil debid l intercción entre los dos protones.) b) Supong que el electrón del inciso ) tiene un velocidd de mgnitud 1.50 3 10 6 m>s en un dirección lo lrgo de l bisectriz perpendiculr de l líne que conect los dos protones. Qué tn lejos del punto medio entre los dos protones se mueve el electrón? Como ls mss de los protones son mucho myores que l del electrón, los movimientos de los protones son muy lentos y se pueden ignorr. (Not: un descripción relist del movimiento del electrón requiere el uso de l mecánic cuántic, no l newtonin.) 23.60. Un esfer pequeñ con ms de 1.50 g cuelg de un cuerd entre dos plcs verticles prlels seprds por un distnci de 5.00 cm (figur 23.36). Ls plcs son islntes y tienen densiddes de crg superficil uniformes de 1s y 2s. L crg sobre l esfer es q 5 8.90 3 10 26 C. Cuál diferenci de potencil entre ls plcs ocsionrá que l cuerd formr un ángulo de 30.0 con respecto l verticl? Figur 23.36 Problem 23.60. 30.08 5.00 cm 23.61. Cilindros coxiles. Un cilindro metálico lrgo con rdio está poydo en un soporte islnte sobre el eje de un tubo metálico lrgo y hueco con rdio b. L crg positiv por unidd de longitud sobre el cilindro interior es igul l, y en el cilindro exterior hy un crg negtiv igul por unidd de longitud. ) Clcule el potencil V(r) pr i) r, ; ii), r, b; iii) r. b. (Sugerenci: el potencil neto es l sum de los potenciles debidos los conductores individules.) Considere V 5 0 en r 5 b. b) Demuestre que el potencil del cilindro interior con respecto l del exterior es V b 5 l b ln 2pP 0 c) Use l ecución (23.23) y el resultdo del inciso ) pr demostrr que el cmpo eléctrico en culquier punto entre los cilindros tiene mgnitud E 1 r 2 5 ln 1 b/ 2 d) Cuál es l diferenci de potencil entre los dos cilindros si el cilindro exterior no tiene crg net? 23.62. Un contdor Geiger detect rdiciones como ls prtículs lf utilizndo el hecho de que l rdición ioniz el ire lo lrgo de su tryectori. Un lmbre delgdo está sobre el eje de un cilindro de metl hueco y isldo de éste (figur 23.37). Entre el lmbre y el cilindro exterior se estblece un diferenci de potencil grnde, con el lmbre con el potencil más elevdo; esto produce un cmpo eléctrico intenso dirigido rdilmente hci fuer. Cundo un rdición ioniznte entr l prto, se ionizn lguns moléculs de ire. Los electrones libres producidos son celerdos por el cmpo eléctrico hci el lmbre y, en el cmino, ionizn muchs más moléculs de ire. Entonces se produce un pulso de corriente que puede detectrse medinte circuitos electrónicos propidos y convertirse en un clic udible. Supong que el rdio del lmbre centrl es de 145 mm y que el rdio del cilindro hueco es de 1.80 cm. Cuál es l diferenci de potencil entre el lmbre y el cilindro que produce un cmpo eléctrico de Figur 23.37 Problem 23.62. V + V b 1 r q Electrón libre Rdición Contdor
Problems 811 2.00 3 10 4 V>m un distnci de 1.20 cm del eje del lmbre? (El lmbre y el cilindro son muy lrgos en comprción con sus rdios, por lo que se plicn los resultdos del problem 23.61.) 23.63. Desvición en un TRC. Es frecuente que en los osciloscopios y monitores de computdor hy tubos de ryos ctódicos (TRC). En l figur 23.38 se proyect un electrón con rpidez inicil de 6.50 3 10 6 m>s lo lrgo del eje en el punto medio entre ls plcs de desvición de un tubo de ryos ctódicos. El cmpo eléctrico uniforme entre ls plcs tiene un mgnitud de 1.10 3 10 3 V>m y v hci rrib. ) Cuál es l fuerz (mgnitud y dirección) sobre el electrón cundo está entre ls plcs? b) Cuál es l celerción del electrón (mgnitud y dirección) cundo ctú sobre él l fuerz del inciso )? c) Qué tn lejos por debjo del eje se h movido el electrón cundo lcnz el finl de ls plcs? d) Con qué ángulo con respecto l eje se mueve cundo bndon ls plcs? e) A qué distnci por debjo del eje golperá l pntll fluorescente S? Figur 23.38 Problem 23.63. v 0 2.0 cm S Figur 23.39 Problem 23.65. 14.0 cm Flujo de ire 6.0 cm 12.0 cm + Fuente de poder 50.0 kv 23.64. Plcs de desvición de un osciloscopio. Ls plcs de desvición verticles de un osciloscopio estudintil común son un pr de cudrdos metálicos prlelos con crgs igules pero de signo contrrio. Ls dimensiones comunes miden proximdmente 3.0 cm por ldo, con un seprción de cerc de 5.0 mm. Ls plcs están suficientemente cerc, por lo que se puede ignorr l flexión en los extremos. En ests condiciones: ) Cuánt crg hy en cd plc, y b) qué tn fuerte es el cmpo eléctrico entre ls plcs? c) Si un electrón es lnzdo del reposo desde ls plcs negtivs, qué tn rápido se mueve cundo lcnz l plc positiv? 23.65. Los precipitdores electrostáticos se utilizn pr eliminr prtículs contminntes de humo, en prticulr en ls chimenes de ls plnts generdors de energí bse de crbón. Un form del precipitdor consiste en un cilindro metálico, verticl y hueco, con un lmbre delgdo isldo del cilindro, que recorre su eje (figur 23.39). Entre el lmbre y el cilindro exterior se estblece un diferenci de potencil elevd, con el lmbre en el menor potencil. Esto gener un cmpo eléctrico rdil intenso dirigido hci dentro. El cmpo cre un región de ire ionizdo cerc del lmbre. El humo entr l precipitdor por l bse, l ceniz y polvo cpturn electrones, y los contminntes con crg son celerdos por el cmpo eléctrico hci l pred del cilindro exterior. Supong que el rdio del lmbre centrl es 90.0 mm, el rdio del cilindro es de 14.0 cm, y se estblece un diferenci de potencil de 50.0 kv entre el lmbre y el cilindro. Tmbién supong que el lmbre y el cilindro son muy lrgos en comprción con el rdio del cilindro, por lo que se plicn los resultdos del problem 23.61. ) Cuál es l mgnitud del cmpo eléctrico en el punto medio entre el lmbre y l pred del cilindro? b) Qué mgnitud de crg debe tener un prtícul de ceniz de 30.0 mg si el cmpo eléctrico clculdo en el inciso ) debe ejercer un fuerz equivlente 10 veces el peso de l prtícul? 23.66. Un disco con rdio R tiene un densidd superficil de crg s. ) Si el disco se consider como un serie de nillos concéntricos, clcule el potencil eléctrico V en un punto sobre el eje del disco un distnci x del centro del disco. Supong que el potencil es igul cero en el infinito. (Sugerenci: use el resultdo del ejemplo 23.11 en l sección 23.3.) b) Clcule 2'V>'x. Demuestre que el resultdo concuerd con l expresión pr E x clculd en el ejemplo 21.12 (sección 21.5). 23.67. ) A prtir de l expresión pr E obtenid en el problem 22.40, encuentre ls expresiones pr el potencil eléctrico V como función de r, tnto dentro como fuer del cilindro. Se V 5 0 en l superficie del cilindro. En cd cso, exprese el resultdo en términos de l crg por unidd de longitud l de l distribución de crg. b) Elbore l gráfic de V y E como funciones de r, desde r 5 0 hst r 5 3R. 23.68. Ls prtículs lf (ms 5 6.7 3 10 227 kg, crg 5 12e) son proyectds directmente hci un lámin de oro. El núcleo del oro puede modelrse como un esfer de crg uniforme; supong que el oro no se mueve. ) Si el rdio del núcleo del oro es 5.6 3 10 215 m, cuál es l rpidez mínim que necesitn ls prtículs lf cundo están lejos de lcnzr l superficie del núcleo del oro? (Ignore los efectos reltivists.) b) Dé buens rzones físics de por qué se pueden ignorr los efectos de los electrones orbitles cundo l prtícul lf está i) fuer de ls órbits del electrón, y ii) dentro de ls órbits del electrón. 23.69. Pr el nillo de crg descrito en el ejemplo 23.11 (sección 23.3), integre l expresión pr E x obtenid en el ejemplo 21.10 (sección 21.5) pr clculr el potencil en el punto P sobre el eje del nillo. Supong que V 5 0 en el infinito. Compre el resultdo con el que se obtuvo en el ejemplo 23.11 por medio de l ecución (23.16). 23.70. Un vrill islnte delgd se dobl pr formr un rco semicirculr de rdio, y un crg eléctric totl Q está distribuid de mner uniforme lo lrgo de l vrill. Clcule el potencil en el centro de curvtur del rco si se supone que el potencil es igul cero en el infinito. 23.71. Autoenergí de un esfer de crg. Un esfer sólid de rdio R contiene un crg totl Q distribuid de mner uniforme en todo su volumen. Clcule l energí necesri pr ensmblr est crg por medio de trer crgs infinitesimles desde muy lejos. Est energí se llm utoenergí de l distribución de crg. (Sugerenci: después de ensmblr l crg q en un esfer de rdio r, cuánt energí se necesitrí gregr un corz esféric con espesor dr y crg dq? Después integre pr obtener l energí totl.) 23.72. ) A prtir de l expresión pr E obtenid en el ejemplo 22.9 (sección 22.4), encuentre l expresión pr el potencil eléctrico V como función de r tnto dentro como fuer de l esfer con crg uniforme. Supong que en el infinito V 5 0. b) Elbore un gráfic de V y E como funciones de r, desde r 5 0 r 5 3R. 23.73. Un esfer islnte sólid de rdio R tiene crg Q con distribución uniforme en todo su volumen. ) Utilice los resultdos del problem 23.72 pr encontrr l mgnitud de l diferenci de potencil entre l superficie de l esfer y su centro. b) Cuál tiene myor potencil, l superficie o el centro si, i) Q es positiv y ii) si Q es negtiv?
812 CAPÍTULO 23 Potencil eléctrico 23.74. Un corz esféric islnte con rdio interior de 25.0 cm y rdio exterior de 60.0 cm, tiene un crg de 1150.0 mc distribuid con uniformidd sobre su superficie extern (vése el ejercicio 23.43). El punto está en el centro de l corz, el punto b se encuentr en l superficie intern, y el punto c se locliz en l superficie exterior. ) Cuál será l lectur de un voltímetro si se conect entre los siguientes puntos: i) y b; ii) b y c; iii) c y el infinito; iv) y c? b) Cuál tiene myor potencil: i) o b; ii) b o c; iii) o c; c) Cuál de ls respuests cmbirí, si lgun lo hicier, si ls crgs fuern de 2150 mc? 23.75. El ejercicio 23.43 demuestr que fuer de un corz esféric con crg superficil uniforme, el potencil es el mismo que si tod l crg estuvier concentrd en un crg puntul situd en el centro de l esfer. ) Utilice este resultdo pr demostrr que pr dos corzs islntes con crg uniforme, l fuerz que ejercen un sobre l otr y su energí eléctric mutu son ls misms que si tod l crg se concentrr en sus centros. (Sugerenci: consulte l sección 12.6.) b) Este mismo resultdo se cumple pr esfers sólids islntes, con distribución de crg uniforme en todo su volumen? c) Es válido este mismo resultdo pr l fuerz entre dos corzs conductors con crg? Y entre dos conductores sólidos con crg? Explique su respuest. 23.76. Dos esfers de plástico, cd un con crg distribuid de mner uniforme en su interior, entrn en contcto inicilmente y luego se libern. Un esfer mide 60.0 cm de diámetro, tiene ms de 50.0 g y contiene 210.0 mc de crg. L otr esfer tiene un diámetro de 40.0 cm, ms de 150.0 g y contiene 230.0 mc de crg. Determine l celerción y l rpidez máxims que lcnz cd esfer (en relción con el punto fijo de su loclizción inicil en el espcio), suponiendo que no hy más fuerzs que ctúen sobre ells. (Sugerenci: ls crgs distribuids de mner uniforme se comportn como si estuviern concentrds en los centros de ls dos esfers.) 23.77. Use el cmpo eléctrico clculdo en el problem 22.43 pr determinr l diferenci de potencil entre l esfer conductor sólid y l delgd corz islnte. 23.78. Considere un esfer conductor sólid dentro de otr esfer conductor huec, con los rdios y crgs especificdos en el problem 22.42. Considere V 5 0 cundo r S `. Use el cmpo eléctrico clculdo en el problem 22.42 pr clculr el potencil V pr los siguientes vlores de r: ) r 5 c (en l superficie exterior de l esfer huec); b) r 5 b (en l superficie interior de l esfer huec); c) r 5 (en l superficie de l esfer sólid); d) r 5 0 (en el centro de l esfer sólid). 23.79. Un crg eléctric se encuentr distribuid de mner uniforme lo lrgo de un vrill delgd de longitud, con crg totl Q. Considere el potencil igul cero en el infinito. Determine el potencil en los siguientes puntos (figur 23.40): ) punto P, distnci x l derech de l brr, y b) punto R, distnci y rrib del extremo derecho de l vrill. c) En los incisos ) y b), qué se reduce el resultdo conforme x se vuelve mucho más grnde que? Figur 23.40 Problem 23.79. Q 23.80. ) Si un got de lluvi esféric de rdio 0.650 mm tiene un crg de 21.20 pc distribuid de mner uniforme en su volumen, cuál es el potencil en su superficie? (Considere el potencil igul cero un distnci infinit de l got.) b) Dos gots idéntics, cd un con el rdio y l crg especificdos en el inciso ), chocn y formn un got más grnde. Cuál es el rdio de est got más grnde, y cuál el potencil en su superficie, si su crg está distribuid de mner uniforme en su volumen? y R x P 23.81. Dos esfers de metl de diferentes tmños tienen crg de mner que el potencil eléctrico es el mismo en l superficie de cd un. L esfer A tiene un rdio tres veces myor que el de l esfer B. Sen Q A y Q B ls crgs en ls dos esfers, y E A y E B ls mgnitudes de los cmpos eléctricos en ls superficies de ls dos esfers. Cuáles son ) l rzón Q B >Q A y b) l rzón E B >E A? 23.82. Un prtícul lf con energí cinétic de 11.0 MeV colision de frente con un núcleo de plomo en reposo. Cuál es l distnci de l proximción máxim de ls dos prtículs? (Supong que el núcleo del plomo permnece estcionrio y que puede trtrse como un crg puntul. El número tómico del plomo es 82. L prtícul lf es un núcleo de helio, con número tómico 2.) 23.83. Un esfer de metl de rdio R 1 tiene un crg Q 1. Considere el potencil eléctrico igul cero un distnci infinit de l esfer. ) Cuáles son el cmpo eléctrico y el potencil eléctrico en l superficie de l esfer? Est esfer se conect hor con un lmbre conductor lrgo y delgdo con otr esfer de rdio R 2 que está lejd vrios metros de l primer. Antes de hcer l conexión, est segund esfer está descrgd. Después de lcnzr el equilibrio electrostático, indique cuáles son b) l crg totl en cd esfer; c) el potencil eléctrico en l superficie de cd esfer; d) el cmpo eléctrico en l superficie de cd esfer. Supong que l cntidd de crg en el lmbre es mucho menor que l crg en cd esfer. 23.84. Use l distribución de crg y el cmpo eléctrico clculdos en el problem 22.57. ) Demuestre que pr r $ R el potencil es idéntico l que produce un crg puntul Q. (Considere el potencil igul cero en el infinito.) b) Obteng un expresión pr el potencil eléctrico que se válid en l región r # R. 23.85. Fusión nucler en el Sol. L fuente de l energí del Sol es un secuenci de recciones nucleres que tienen lugr en su núcleo. L primer de ells implic l colisión de dos protones, que se funden pr formr un núcleo más pesdo y libern energí. Pr que ocurr este proceso, llmdo fusión nucler, los dos protones primero deben cercrse hst que sus superficies entren, esencilmente, en contcto. ) Supong que mbos protones se mueven con l mism rpidez y que colisionn de frente. Si el rdio del protón es 1.2 3 10 215 m, cuál es l rpidez mínim que permitirí que l fusión nucler ocurrier? L distribución de crg dentro de un protón tiene simetrí esféric, por lo que el cmpo eléctrico y el potencil fuer del protón son los mismos que si se trtr de un crg puntul. L ms del protón es 1.67 3 10 227 kg. b) Otr rección de fusión nucler que sucede en el núcleo del Sol implic un colisión entre dos núcleos de helio, cd uno de los cules tiene 2.99 veces l ms del protón, crg 12e y rdio de 1.7 3 10 215 m. Si se supone l mism geometrí de colisión que en el inciso ), cuál es l rpidez mínim que se requiere pr que teng lugr est rección de fusión si los núcleos deben proximrse un distnci de 3.5 3 10 215 m entre sus centros? Igul que pr el protón, l crg del núcleo de helio está distribuid de mner uniforme en todo su volumen. c) En l sección 18.3 se demostró que l energí cinétic trslcionl medi de un 3 prtícul con ms m en un gs tempertur bsolut T es 2kT, donde k es l constnte de Boltzmnn (que prece en el péndice F). Pr que dos protones con energí cinétic igul este vlor medio sen cpces de experimentr el proceso descrito en el inciso ), cuál es l tempertur bsolut que se requiere? Qué tempertur bsolut se requiere pr que dos núcleos de helio sen cpces de psr por el proceso que se describe en el inciso b)? (A ests temperturs, los átomos están ionizdos por completo, por lo que los núcleos y los electrones se mueven por seprdo.) d) L tempertur en el núcleo del Sol es proximdmente de 1.5 3 10 7 K. Cómo se compr ést con ls temperturs clculds en el inciso c)? Cómo es posible que ocurrn ls recciones descrits en los incisos ) y b) en el interior del Sol? (Sugerenci: consulte el nálisis de l distribución de rpidez moleculr en l sección 18.5.)
Problems de desfío 813 23.86. El potencil eléctrico V en ciert región del espcio está dd por donde A es un constnte. ) Obteng un expresión pr el cmpo eléctrico E S en culquier punto de est región. b) Se mide el trbjo relizdo por el cmpo cundo un crg de prueb de 1.50 mc se mueve del punto (x, y, z) 5 (0, 0, 0.250 m) l origen y result ser de 6.00 3 10 25 J. Determine A. c) Determine el cmpo eléctrico en el punto (0, 0, 0.250 m). d) Demuestre que en todo plno prlelo l plno xz, ls línes equipotenciles son círculos. e) Cuál es el rdio de l líne equipotencil que corresponde V 5 1280 V y y 5 2.00 m? 23.87. Fisión nucler. El núcleo inestble del urnio 236 se Figur 23.41 Problem 23.87. puede considerr un esfer con Q 5 192e crg uniforme con Q 5192 e y rdio R 5 7.4 3 10 215 m. En l fisión nucler, este núcleo se puede ANTES dividir en dos núcleos más pequeños, cd uno con l mitd de l Q 5 146e Q 5 146e crg y del volumen del núcleo originl del urnio 236. Ést es un de ls recciones que ocurrieron en l bomb nucler que se hi- DESPUÉS zo detonr en Hiroshim, Jpón, en gosto de 1945. ) Clcule los rdios de los dos núcleos hijos de crg 146e. b) En un modelo sencillo del proceso de fisión, inmeditmente después que el núcleo de urnio 236 h psdo por el proceso de fisión, los núcleos hijos están en reposo y pens en contcto, como se ilustr en l figur 23.41. Clcule l energí cinétic que cd uno de estos núcleos hijos tendrá cundo estén muy seprdos. c) En este modelo, l sum de ls energís cinétics de los dos núcleos hijos, clculds en el inciso b), es igul l energí liberd por l fisión del núcleo de urnio 236. Clcule l energí liberd por l fisión de 10.0 kg de urnio 236. L ms tómic del urnio 236 es 236 u, donde 1 u 5 1 unidd de ms tómic 5 1.66 3 10 224 kg. Exprese su respuest tnto en joules como en kilotones de TNT (1 kilotón de TNT liber 4.18 3 10 12 J l explotr). d) En términos de este modelo, nlice por qué un bomb tómic podrí llmrse tmbién bomb eléctric. Problems de desfío 23.88. En ciert región, existe un distribución de crg con simetrí esféric pero no uniforme. Es decir, l densidd volumétric de crg r(r) depende de l distnci r del centro de l distribución, pero no de los ángulos polres esféricos u y f. El potencil eléctrico V(r) debido est crg es V 1 r 2 5 c 0 V 1 x, y, z 2 5 A 1 x 2 2 3y 2 1 z 2 2 r 0 2 18P 0 B1 2 31 r 2 2 1 21 r 2 3 R pr r # pr r $ donde r 0 es un constnte con uniddes de C>m 3, y es un constnte en uniddes de metros. ) Obteng expresiones E S pr ls regiones r # y r $. [Sugerenci: utilice l ecución (23.23).] Explique por qué E S sólo tiene un componente rdil. b) Obteng un expresión pr r(r) en cd un de ls dos regiones r # y r $. [Sugerenci: utilice l ley de Guss pr dos corzs esférics, un de rdio r y otr de rdio r 1 dr. L crg contenid en l corz esféric infinitesiml de rdio dr es dq 5 4pr 2 r 1 r 2 dr. ] c) Demuestre que l crg net contenid en el volumen de un esfer de rdio myor o igul que es cero. [Sugerenci: integre ls expresiones obtenids en el inciso b) pr r(r) sobre un volumen esférico de rdio myor o igul que.] Este resultdo es congruente con el cmpo eléctrico pr r. que se clculó en el inciso )? 23.89. En los experimentos en que colisionn núcleos tómicos, suceden choques de frente como los descritos en el problem 23.82, pero son más comunes los que flln. Supong que l prtícul lf en el problem 23.82 no certó en el centro del núcleo de plomo, sino que tuvo cntidd de movimiento ngulr inicil distint de cero (con respecto l núcleo de plomo estcionrio) de mgnitud L 5 p 0 b, donde p 0 es l mgnitud de l cntidd de movimiento inicil de l prtícul lf y b 5 1.00 3 10 212 m. Cuál es l distnci de l máxim proximción? Repit el ejercicio pr b 5 1.00 3 10 213 m y b 5 1.00 3 10 214 m. 23.90. Un cilindro hueco, islnte, de predes delgds, rdio R y longitud L (como el tubo de crtón de un rollo de ppel snitrio) tiene crg Q distribuid de mner uniforme sobre su superficie. ) Clcule el potencil eléctrico en todos los puntos lo lrgo del eje del tubo. Como origen tome el centro del tubo, y el potencil cero en el infinito. b) Demuestre que si L V R, el resultdo del inciso ) se reduce l potencil sobre el eje de un nillo de crg de rdio R. (Vése el ejemplo 23.11 en l sección 23.3.) c) Utilice el resultdo del inciso ) pr determinr el cmpo eléctrico en todos los puntos lo lrgo del eje del tubo. 23.91. Experimento de l got de ceite de Millikn. L crg de un electrón fue medid por primer vez por el físico estdounidense Robert Millikn entre 1909 y 1913. En su experimento roció gots muy fins (lrededor de 10 24 mm de diámetro) de ceite en el espcio entre dos plcs prlels en posición horizontl seprds por un distnci d. Mntuvo un diferenci de potencil V AB entre ls plcs prlels, lo que ocsionó entre ells un cmpo eléctrico dirigido hci bjo. Alguns de ls gots de ceite dquirieron crg negtiv por efecto de l fricción o l ionizción del ire circundnte por medio de ryos x o rdictividd. Se observron ls gots con un microscopio. ) Demuestre que un got de ceite de rdio r que esté en reposo entre ls plcs seguirá en reposo si l mgnitud de l crg es q 5 4p 3 rr 3 gd donde r es l densidd del ceite. (Ignore l fuerz de flotbilidd del ire.) Al justr V AB pr mntener un got dd en reposo, es posible determinr l crg sobre ést, si se conoce su rdio. b) Ls gots de ceite ern demsido pequeñs como pr medir sus rdios en form direct. En vez de ello, Millikn determinó r recortndo el cmpo eléctrico y midiendo l rpidez terminl v t de l got l cer. (En l sección 5.3 se estudió el concepto de rpidez terminl.) L fuerz de l viscosidd F de un esfer de rdio r que se desplz con rpidez v trvés de un fluido con viscosidd h está dd por l ley de Stokes: F 5 6phrv. Cundo l got ce con velocidd v t, l fuerz de l viscosidd compens exctmente el peso w 5 mg de l got. Demuestre que l mgnitud de l crg sobre l got es d h 3 v 3 t q 5 18p V AB Å 2rg Dentro de los límites del error experimentl, cd un de los miles de gots que Millikn y sus colbordores midieron que tení un crg igul cierto múltiplo entero pequeño de un crg básic e. Es decir, encontrron gots con crgs 62e, 65e, etcéter, pero no vlores tles como 0.76e o 2.49e. Un got con crg 2e dquirí un electrón dicionl; si su crg er 22e, hbí dquirido dos electrones más, y sí sucesivmente. c) En el prto de Millikn pr este experimento, se observó que un got de ceite con crg cí 1.00 mm con rpidez constnte en 39.3 s si V AB 5 0. L mism got podí estr en reposo entre ls dos plcs seprds 1.00 mm si V AB 5 9.16 V. Cuántos electrones en exceso hbí dquirido l got, y cuál er su rdio? L viscosidd del ire es 1.81 3 10 25 N # s/m 2, y l densidd del ceite es de 824 kg>m 3. V AB
814 CAPÍTULO 23 Potencil eléctrico 23.92. Dos crgs puntules se desplzn hci l derech lo lrgo del eje x. L crg puntul 1 tiene crg de q 1 5 2.00 mc, ms m 1 5 6.00 3 10 5 kg y rpidez v 1. L crg puntul 2 se encuentr l derech de q 1 y tiene crg q 2 525.00 mc, ms m 2 5 3.00 3 10 25 kg, y rpidez v 2. En un instnte en prticulr, ls crgs están seprds por un distnci de 9.00 mm y su rpidez es, en cd cso, v 1 5 400 m>s y v 2 5 1300 m>s. Ls únics fuerzs que ctún sobre ls prtículs son ls que ejercen un sobre l otr. ) Determine l rpidez v cm del centro de ms del sistem. b) L energí reltiv E rel del sistem se define como l energí totl menos l energí cinétic portd por el movimiento del centro de ms: E rel 5 E 2 1 2 1 m 2 1 1 m 2 2 v cm donde E 5 1 2 m 1 v 2 1 1 1 2 m 2 v 2 2 1 q 1 q 2/4pP 0 r es l energí totl del sistem y r es l distnci entre ls crgs. Demuestre que E rel 5 1 2mv 2 1 q 1 q 2/4pP 0 r, donde m5m 1 m 2/ 1 m 1 1 m 2 2 se denomin l ms reducid del sistem, y v 5 v 2 2 v 1 es l rpidez reltiv de ls prtículs en movimiento. c) Pr los vlores numéricos ddos, clcule el vlor numérico de E rel. d) Con bse en el resultdo del inciso c), pr ls condiciones mencionds, indique si ls prtículs escprán un de l otr. Explique su respuest. e) Si ls prtículs escpn, cuál serí su rpidez finl reltiv cundo r S `? Si ls prtículs no escpn, cuál serí su distnci de máxim seprción? Es decir, cuál serí el vlor de r cundo v 5 0? f) Repit los incisos c) e) pr v 1 5 400 m>s y v 2 5 1800 m>s cundo l seprción es de 9.00 mm.