. Propiedades de los estimadores.. Eficiecia relativa. Defiició: Dados dos estimadores isesgados, ˆ y ˆ, de u parámetro, co variazas V ( ˆ ) y V ( ˆ ), etoces la eficiecia (eff) de ˆ respecto a ˆ, se defie como la razó eff( ˆ, ˆ ) V ( ˆ ) V ( ˆ ). Si eff( ˆ, ˆ ) > etoces se prefiere al estimador ˆ, mietras que si eff( ˆ, ˆ ) < etoces se prefiere al estimador ˆ ; ya que estamos iteresados e teer el estimador de meor variaza. Ejemplo. Como e u ejercicio aterior, cosideramos ua muestra aleatoria de tamaño tres de ua distribució expoecial co media, la cual establece que ˆ Y, ˆ (Y + Y )/, ˆ 3 (Y + Y )/3 y ˆ 5 Ȳ so estimadores isesgados de. Ecuetre la eficiecia de ˆ respecto a ˆ 5, de ˆ e relació co ˆ 5 y de ˆ 3 respecto a ˆ 5. Solució. Como calculamos e u ejercicio aterior las variazas, etoces las eficiecias pedidas so: eff( ˆ, ˆ 5 ) 3 3. Como la eficiecia da meor que, etoces ˆ 5 es mas eficiete que ˆ. eff( ˆ, ˆ 5 ) 3 3. Nuevamete, como la eficiecia es meor que, etoces ˆ 5 es mas eficiete que ˆ. eff( ˆ 3, ˆ 5 ) 3 5 5. 3 Otra vez, se obtiee que ˆ 5 es el estimador más eficiete. Ejemplo. Supoga que Y, Y,..., Y deota ua muestra aleatoria de ua distribució uiforme e el itervalo (, + ). Sea
ˆ Ȳ y ˆ Y () +. a Demuestre que ˆ y ˆ so estimadores isesgados de. b Ecuetre la eficiecia de ˆ respecto a ˆ. Solució. a) Primero mostremos que ambos estimadores so isesgados, es decir, que E[ˆ]. [ E[ ˆ ] E Ȳ ] [ ] E Y i E[Y i ] Ahora, E[Y i ] + + +, por lo tato E[ ˆ ] ( + ). Por lo tato, ˆ es isesgado. Para estudiar ˆ ecesitamos la desidad de Y (). La fució de distribució es F (y) P (Y y) y dt y. Por lo tato la desidad será f Y() (y) [F (y)] f(y) [y ]. Ahora calculemos el valor esperado del máximo E[Y () ] + y(y ) dy Si realizamos el cambio de variable t y, etoces os queda (t + )t dt t dt + t dt t+ + + t + +. Por lo tato [ E[ ˆ ] E Y () ]. +
3 Co lo que se demuestre que uestro segudo estimador tambié es isesgado. b) Para calcular la eficiecia, ecesitamos las variazas de ambos estimadores. Para ello asumiremos que la muestra es idepediete. ( ) V ( ˆ ) V (Ȳ /) V Y i V (Y i ). Y V (Y i ) ( + ), por lo que queda V ( ˆ ). Por otro lado es claro que V ( ˆ ) V (Y () ), etoces debemos calcular E[Y + E[Y() ] y (y ) dy () ]. (t + ) t dt + + + +. Luego V (Y () ) E[Y () ] E[Y ()] + + ( + + + ) + + + + + + ( + ) ( + ) ( + ). Fialmete, etoces eff( ˆ, ˆ ) V ( ˆ ) V ( ˆ ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )... Cosistecia. Defiició: Se dice que ˆ es u estimador cosistete de si, para cualquier úmero positivo ε, o lím P ( ˆ ε) lím P ( ˆ ε).
4 Teorema: U estimador isesgado ˆ de costituye u estimador cosistete de si lím V ( ˆ ). Ejemplo. Supoga que Y, Y,..., Y deota ua muestra aleatoria de ua distribució uiforme e el itervalo (, + ). Sea ˆ Ȳ y ˆ Y () +. Demuestre que ˆ y ˆ so estimadores cosistetes de. Solució. Como ya teemos las variazas de ambos estimadores, calculemos sus límites para demostrar que so cosistetes lím V ( ˆ ) lím. y lím V ( ˆ ) lím ( + ) ( + ). Por lo tato ambos estimadores so cosistetes..3. Suficiecia. Defiició: Sea Y, Y,..., Y ua muestra aleatoria de ua distribució de probabilidad co u parámetro cuyo valor se descooce. Se dice que el estadístico U g(y, Y,..., Y ) es suficiete para si la distribució codicioal de Y, Y,..., Y, dado U, o depede de. Defiició: Sea y, y,..., y observacioes muestrales tomadas de las variables aleatorias correspodietes Y, Y,..., Y, cuya distribució depede u parametro. Si Y, Y,..., Y so variables discretas, la verosimilitud de la muestra, L(y, y,..., y ), se defie como la probabilidad cojuta de y, y,..., y. Si Y, Y,..., Y so variables aleatorias cotiuas, la verosimilitud L(y, y,..., y ) se defie como la desidad cojuta evaluada e y, y,..., y. Teorema: Si U es u estadístico basado e la muestra aleatoria Y, Y,..., Y, etoces U es u estadístico suficiete para la estimació del parámetro si y sólo si la verosimilitud L() L(y, y,..., y ) se puede factorizar e dos fucioes o egativas L(y, y,..., y ) g(u, )h(y, y,..., y )
5 dode g(u, ) es ua fució de u y, mietras que h(y, y,..., y ) o es fució de. Ejemplo. Sea Y, Y,..., Y ua muestra aleatoria de ua distribució de Poisso co parámetro λ. Demuestre mediate codicioamieto que Y i es suficiete para λ. Solució. La verosimilitud o es mas que L(y, y,..., y λ) p(y, y,..., y λ) p(y λ)p(y λ)...p(y λ) λy e λ y! λ y e λ y!... λy e λ y! λ y e λ. yi! Etoces, tomado g( y, λ) λ y e λ, y h(y, y,..., y ) y, etoces por el teorema aterior, etoces ˆλ y i es u estimador suficiete para λ. Ejemplo. Si Y, Y,..., Y deota variables aleatorias idepedietes, que tiee ua distribució idética que perteece a la familia de distribucioes tipo potecia co parámetros α y, etoces, si α, >, { y α α f(y α, ) α, y, e otro puto Si se cooce el valor de, demuestre que Solució. La verosimilitud para α y es Y i es suficiete para α. L(y, y,..., y α) f(y, y,..., y α) f(y α)f(y α)...f(y α) y α α α yα α α ( ) α α...yα α α yi α. Ahora si se toma g( y i, α) ( y i ) α α α y h(y, y,..., y ), etoces se tiee que Y i es u estimador suficiete para α.