REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NÚCLEO BARINAS Contnido: Intgral dfinida: (º) Aplicación: Longitud dl arco d una curva. Matmática II Scción F Smstr Lcdo Elizr Montoa En los problmas al (Tomados dl tto d Sánz Jorg. () Cálculo Intgral con funcions trascndnts tmpranas para cincias ingniría. Pág. - capítulo-.hallar la longitud d la curva dada, ntr los puntos indicados. + ; Dsd hasta Sol:/ 5. + ; 8 Dsd hasta Sol./ 9. ln ( sc ) ; Dsd Hasta π Sol. ln ( + ). ( + ) / ; Dsd hasta Sol.. ln ; Dsd hasta 8 Sol. + ln. sin ( ) ; Dsd hasta Sol. ln ( + ) ; Dsd hasta. ( ) Sol. / 7. ln(cos ) ; Dsd π Hasta π Sol. ln +. a cosh a ; catnaria, dsd hasta b Sol. a sinh b a. ; Dsd hasta Sol. + ln ( + ) 8. sc t ; Dsd Hasta π Sol. Lcdo. Elizr Montoa Aplicacions d la Intgral Dfinida Mao
Algunas solucions d los problmas ants mncionados: + dsd ) Encontrar la longitud dl arco formado por la curva ( ) / hasta d d du +. d du d º.-Calculmos la drivada d la función ( ) / u (por la / rgla d la cadna: la drivada d la función trna u, por la drivada d u +, d sta manra la función intrna ( ) d d d d d ( ) / d + ( ) / +. d ( + ). ( + ) ( + ) / ( + ) d º.-La longitud dl arco s la podmos calcular a través d: d / ( ( ) ) ( ) s + d + + d + + d + + d d () ( + ) d ( + ) d + + () (9 + ) unidads factorizando simplificando raics ) Encontrar la longitud dl arco formado por la curva ; dsd hasta º Calculamos la drivada d a qu los limits d intgración sugridos stán sobr l j. d d d d º Dtrminamos la longitud dl arco, dnotada por s, usando: d + s + d d d d + + + d + d d Esta intgral la podmos rsolvr por mdio d sustitución trigonomtrica o por tablas d rcurrncia Lcdo. Elizr Montoa Aplicacions d la Intgral Dfinida Mao
Método #. Por sustitución trigonométrica: + d + d sc d ( tan ) + ( )(t θ + sc θ sc θ an θ + ) θ Sustitundo los valors ants ncontrados simplificando pasamos a otra intgral: ( sc )( sc ) sc + d θ θ θ Esta intgral la atacarmos por la técnica d intgración por parts sc θ θ scθ sc θ θ d d uv vdu u scθ du scθ dv sc d v θ θ sc sc tan tan sc tan sc tan tan sc θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ aplicando idntidad trigonométrica ( ) sc d sc tan sc sc d sc tan sc θ θ θ θ θ θ θ θ θ trasnponindo trminos smjants al primr mimbro sc θ + sc θ scθ + scθ sumando trminos smjants dspjando lugo d calcular la intgral dl sgundo mimbro scθ. sc sc tan θ θ θ θ θ θ (scθ + tan θ ) (scθ + tan θ ) sc (sc + tan ) sc + sc. tan t scθ + ln t C ln sc tan C + θ θ (sc θ. + sc θ ) + + t θ θ θ + ln scθ + scθ + ln scθ + sc θ θ + scθ Lcdo. Elizr Montoa Aplicacions d la Intgral Dfinida Mao
Por razons trigonomtricas dl triangulo rctángulo adjunto tnmos: catto opusto catto adacnt + hipotnusa scθ catto adancnt Podmos rscribir la intgral n términos d las funcions originals scθ + ln scθ + + + + ln + sc θ + + + + ln Usando la cunta antrior: + d + + + + ln + + + + + ln + ln + +.. + + ln ln() + ln ( + ) + ln ( + ) + d ( ln ( ) ) unidads + + Método # : Implica buscar n la tabla d rcurrncia para la intgral d s + d.usando la fórmula gnral siguint: u a a + u du a + u + ln u + a + u S tin qu: Lcdo. Elizr Montoa Aplicacions d la Intgral Dfinida Mao
ln + d + + + a + + + ln + + + + ln + + + ln ln + + + + + + ln ( + ) ln + ln + ln ( + ) ln + ln ( + ) Nota: El método uno implica maor análisis, mintras qu l sgundo l studiant db buscar dntro d la tabla d rcurrncia la fórmula o torma a usar. Por sto cada studiant db tratar d hacr rsolvr muchos problmas, para construir l dominio adcuado sprado. ) Encontrar la longitud dl arco formado por la curva ln dsd hasta 8 d d d d º Dtrminamos la longitud dl arco, dnotada por s, usando: º Calculamos la drivada d ln ( ln ) 8 8 8 8 8 d + s + d d d d + + d + d 8 + Método # : Para rsolvr la intgral s d.usmos sustitución trigonométrica d sc + (tan θ ) + sc θ scθ d Figura -A Lcdo. Elizr Montoa Aplicacions d la Intgral Dfinida Mao
+ d La rscribimos asi: sc. θ sc. θ sc θ sc θ (tan + ) θ sc θ. + () La intgral dl primr sumando s sc θ. scθ scθ La intgral dl sgundo sumando s cosθ tan θ sinθ cosθ dicha intgral la podmos calcular: () cosθ sin θ.cosθ sinθ Por sustitución o cambio d variabl (cscθ cot θ ) csc θ cscθ cotθ t cscθ cotθ cscθ (cscθ cot θ ) (cscθ cot θ ) cscθ cot θ ( c sc θ ) csc θ cscθ cotθ ln t ln cscθ cotθ () t sustituimos () ( ) n ( ) + scθ d sc θ. + scθ + ln cscθ cotθ cscθ Por l triángulo rctángulo d la figura -A tnmos scθ + cosθ + cscθ sinθ cotθ Nos quda: + + + d + + ln + + ln Intgral indfinida qu usarmos para valuar intgral dfinida n l arco buscado: Lcdo. Elizr Montoa Aplicacions d la Intgral Dfinida Mao
8 8 + + s d + + ln + ln + ln 8 + ln + ln + ln ln ln + ln + ln + ln ua, 7ua Método # : Para rsolvr la intgral d la longitud dl arco Usmos intgrals por rducción o tablas qu dic así: s 8 + d a + u a + a + u du a + u a ln u u 8 8 + + + s d + ln ln ln 8 ln ln ln ln ln + ln + ln ln ln + ln ln ln ln ln ln ln() ln() + + + + + + + ln ua, ua 8) Encontrar la longitud dl arco d a π sc t n l intrvalo º Calculamos la drivada d: d d d t [ g g ] f d d d sc ( ) () ( ) sc d f ( t) f ( ) por l primr Torma fundamntal dl Cálculo d f ( ) d F( ) F ( ) f ( ) Lcdo. Elizr Montoa Aplicacions d la Intgral Dfinida Mao
º.-La longitud dl arco s la podmos calcular a través d: π / π / ( ) d π s + d + sc d d + sc d / π / sc d π / π / π s sc d tan tan tan ( ). Encontrar la longitud dl arco d sin ( ) ; dsd hasta º Calculamos la drivada d la función sin ( ) sin ( ). sin ( ) u d d d du du d d ( d ) d d ( ) º.-La longitud dl arco s la podmos calcular a través d: d s + d d d d + + + d Ralizando opracions d fraccions n la cantidad subradical, simplicando lugo nos quda: ( ) ( ) ( ) d d d d d d Ralizando ahora un cambio d variabls o sustitución d t asi d t d ( ) t d Dicha intgral la podmos hallar a través d sustitución trigonomtrica o por tablas t Método #.Por la técnica d sustitución trigonométrica tnmos Lcdo. Elizr Montoa Aplicacions d la Intgral Dfinida Mao
t hipotnusa Como sc θ cattoa adacnt t Scθ sc θ.tan θ. Hacmos t sc θ tan θ t scθ sc θ.(scθ + tan θ ) scθ tan scθ + θ ( ) otro cambio d variabls dw w ( scθ + ) ln w ln scθ + w dw ( scθ + sc θ ) Dvolvindo la sustitución trigonométrica nos quda: ln scθ + ln t + t t + + + t ln t t ln ln ln t + unidads Método # Usando tablas d rcurrncia tnmos: du + ln ln ln u u a C u a + + Coincidn las rspustas hchas por l análisis dl método antrior. ln + unidads t Lcdo. Elizr Montoa Aplicacions d la Intgral Dfinida Mao