Unidad. Funciones.Continuidad TEMA FUNCIONES UNCIONES. CONTINUIDAD ONTINUIDAD.. Definición de Continuidad. Tipos de discontinuidades 3. Continuidad de las funciones elementales. Operaciones con funciones continuas 4. Teoremas de continuidad 4.. Teorema de conservación del gno 4.. Teorema de Bolzano 4.3. Teorema de Darbou Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE) 7
Unidad. Funciones.Continuidad Conteto con la P.A.U. En muchos de los eámenes de la PAU aparecen cuestiones donde tenemos que aplicar el teorema de Bolzano. La forma de plantearnos el problema en el eamen varía: Nos dan una ecuación y nos piden demostrar que eiste al menos una solución (pueden darnos o no un intervalo) para tal ecuación Nos dan una función y nos piden demostrar que esa función toma un valor determinado (pueden darnos o no un intervalo) Nos dan dos funciones f() y g(), nos piden demostrar que estas funciones se cortan (pueden darnos o no un intervalo), es decir f()g(). Todos estos problemas se resuelven operando con las igualdades de forma que obtengamos una de la forma F(), a dicha función, F(), tendremos que aplicar Bolzano, bien en el intervalo que nos dan o buscar nosotros el intervalo. En alguna de estas cuestiones se nos pide demostrar que la solución es única, para lo cual debemos demostrar que en ese intervalo la función es sólo creciente o decreciente, para lo cual necetamos la derivada de la función y aplicar su relación con el crecimiento que veremos en el tema 4. Otro problema típico de selectividad es el estudio de la continuidad y derivabilidad de una función (generalmente definida a trozos o un valor absoluto), o bien determinar el valor de unos parámetros para que la función sea continua o derivable. En este tema veremos cómo estudiar la continuidad de tales funciones, la derivabilidad se verá en el tema guiente. 8 José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com)
Unidad. Funciones.Continuidad. Definición de Continuidad Veamos la definición de la continuidad: Definición: una función f() es continua en un punto en dicho punto se cumplen las guientes tres condiciones:. Eiste lim f ( ). La función definida en, es decir Dom(f()) 3. Los dos valores anteriores coinciden: lim f ( ) f( ). Ejemplo: ) Dom(f())(-,3) [5, ) Continua en todos los puntos del dominio menos en a) -3 lim f ( ) 3 f(3) 3 b) lim f ( ) no eiste pues los límites laterales son distintos c) 5 lim f ( ) no eiste pues no eiste el límite por la izquierda 5 ) Dom(g())(-,) (,] (,3) (3, ) Continua en todos los puntos del dominio menos en a) lim g( ) no eiste pues los límites laterales son distintos b) lim g( ) no eiste pues no eiste el límite por la derecha c) lim g( ) no eiste pues no eiste el límite por la izquierda d) 3 lim g( ) 3 pero 3 Dom(g()) Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE) 9
Unidad. Funciones.Continuidad Definición: una función f() es continua en un intervalo (a,b) en todos los puntos del intervalo es continua. Esto ocurre cuando al dibujar la gráfica no levantamos el boli de la hoja para dibujarla En el ejemplo anterior f() continua en (-,-3), (-3,), (,3) y (5, ). La función g() en (-,), (,), (,3) y (3, ).. Tipos de discontinuidades Definición: una función f() es discontinua en un punto no es continua en dicho punto. Eisten dos tipos de discontinuidades: a) Discontinuidad evitable b) Discontinuidad no evitable Discontinuidad evitable: una función f() presenta una discontinuidad evitable en el punto se cumple las guientes condiciones:. El límite de la función en eiste,. O el límite no coincide con f( ) o bien la función no definida en (es decir dom(f()) Ejemplos: ) lim f ( ) 4 f (). Esta discontinuidad se evita redefiniendo la función en, haciendo que en este punto la función tome el mismo valor que el límite es decir f()4 4 Así la función f() 4 es continua pues lim f ( ) 4 f () 3 José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com)
Unidad. Funciones.Continuidad ) lim g( ) pero Don(g()). Esta discontinuidad se evitaría redefinimos la e función tal que en esta valga lo mismo que el límite: g() / Discontinuidad no evitable: son las que cumplen que el límite en el punto o no eiste o es infinito. Pueden ser a su vez de tipos: ) Salto finito en : los límites laterales no coinciden lim f ( ) lim f ( ) ) Salto infinito en : cuando los dos límites laterales en o al menos uno de ellos es o -. Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE) 3
Unidad. Funciones.Continuidad 3. Continuidad de las funciones elementales. Operaciones con funciones continuas. Las funciones elementales por lo general son continuas en todos los puntos del dominio. Las discontinuidades más importantes aparecen en funciones definidas a trozos (discontinuidades evitables o de salto finito), y en funciones con denominador en el valor donde se anula éste (discontinuidad de salto infinito). Operaciones de funciones continuas: sean f() y g() funciones continuas en ) La función suma y resta (f ± g)() continua en ) La función producto (f g)() continua en 3) La función divión (f/g)() continua en g( ) 4) Si g() continua en y f() continua en g( ) entonces la función compuesta (f g)() continua en. 4. Teoremas de Continuidad 4.. Teorema de conservación del gno Teorema de conservación del gno: sea una función f() continua en el punto y tal que f( ), se cumple que en un entorno del punto la función conserva el gno, es decir f( )> en un entorno de la función potiva, y f( )< en un entorno de la función es negativa. 4. Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano: una función f() es continua en un intervalo [a,b] tal que f(a) y f(b) tienen distinto gno (f(a) f(b)<), entonces eiste al menos un punto c (a,b) tal que f(c). 3 José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com)
Unidad. Funciones.Continuidad Veámoslo gráficamente: a c b a c c c 3 b Vemos que el teorema de Bolzano nos asegura al menos una valor c tal que f(c), pero como vemos puede ocurrir que no sea única. Para asegurar que sólo es única debemos además de aplicar Bolzano ver que la función en el intervalo (a,b) es empre creciente o empre decreciente Ejercicio: encontrar un intervalo donde la función f() decir f( ) corte al eje, es Tenemos que la función es continua en R-{3}. Busquemos un intervalo (que no contenga 3) tal que el gno de sus etremos sea diferente. f() /3> f()-/< Así la función f() cumple Bolzano en [,]: - es continua en este intervalo - f() f()< Luego c (,) : f(c). Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE) 33
Unidad. Funciones.Continuidad Veamos la función: 4.3 Teorema de Darbou El teorema de Darbou es un corolario del teorema de Bolzano: Teorema de Darbou: sea f() una función continua en un intervalo [a,b] se cumple que para todo valor M [f(a), f(b)] eiste un valor c (a,b) tal que f(c)m. Demostración: sea g()f()-m, que será continua en [a,b] por las propiedades de la continuidad, y tal que g(a) g(b)< luego g() cumple Bolzano y por tanto eiste al menos un valor c: g(c)f(c)-m f(c)m. f(b) Mf(c) f(a) a c b Ejercicio: Decir un intervalo de donde la función f() -3 valga 5. Esta función es continua en R, luego podemos aplicar el teorema de Darbou. Tenemos que buscar un intervalo [a,b] tal que 5 comprendido entre f(a) y f(b). Sea [,3] se cumple f()3 y f(3)9 luego como 5 (f(),f(3)) eiste c (,3) tal que f(c)5. Si bien podemos hacer este problema aplicando Bolzano: Si f()5 entonces -35 --. Llamando g() --, veamos que cumple Bolzano en [,3]: - Es continua en este intervalo - g()-, g(3)4, luego g() g(3)< Eiste c (,3) donde g(c), y por tanto f(c)-5, y por tanto f(c)5 34 José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com)
Unidad. Funciones.Continuidad Ejercicios ) Estudia la continuidad de las guientes funciones 5 a) f() 5 El valor absoluto puede dividirse en dos partes: cuando lo que está dentro del valor es negativo este cambia de gno, y es potivo no se cambia. f() 5 < 6 5 5 5 > 4 < > lim f ( ) 4 o lim f ( ) o lim f ( ) 6 o f() es por tanto continua en R-{} b) g() no eiste, discontinuidad de salto finito > Es una función definida a trozos, donde cada uno de ellos es un polinomio, que son continuos en R; De esta forma en el único punto que tenemos que estudiar la continuidad es en, donde f() cambia de epreón analítica: lim 3 lim g( ) 3 f(). lim 3 Luego g() continua en R. Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE) 35
Unidad. Funciones.Continuidad c) h() 9 3 6 3 3 Es una función a trozos, uno de ellos es una fracción algebraica, así que en los puntos donde se anule el denominador puede no ser continua. Como coincide el punto donde se anula el denominador con el cambio de epreón analítica (3) sólo hay que estudiar la continuidad en este punto. 9 limh( ) lim 3 3 3 La función h() es continua en R ( 3)( 3) lim lim( 3) 6f(3)6 3 ( 3) 3 d) l() 3 > Es una función definida a trozos, donde cada uno de ellos es un polinomio, así que el único punto donde hay que estudiar la continuidad es en -, donde cambia de epreón analítica: lim l( ) salto finito. lim l( ) 3 lim l( ) lim 3 De esta forma l() continua en R-{-}. No eiste, luego no es continua en -, de ) Calcula el valor de k para que las guientes funciones sean continuas en todo R a) f() sen(3) k cos() π / > π / Es una función definida a trozos, cada uno de ellos son epreones trigonométricas, continuas en R, luego el único punto donde puede presentar discontinuidad es en π/, donde la función cambia de epreón analítica. Veamos f() es continua en π/ lim f ( ) lim k cos() k ` π π lim f ( ) π lim f ( ) lim sen(3) π π El límite eiste los límites laterales son iguales, esto ocurre k. Además la segunda condición k se cumple f(π/)-. De esta forma la función es continua en R k 36 José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com)
Unidad. Funciones.Continuidad Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE) 37 b) g() k Es una función definida a trozos, uno de ellos es una fracción algebraica que puede no ser continua en los puntos donde se anual el denominador (). Como este punto coincide con el punto donde la función cambia de epreón analítica es el único punto donde tenemos que estudiar la continuidad de g(). 4 lim 4 lim 4 lim ) ( lim g el límite no eiste, así que indiferentemente del valor de k la función g() no es continua en c) k() > < 3 k Como definido para valores negativos (<) es equivalente a sustituir por : k() > < 3 k Es una función definida a trozos, cada uno de ellos son polinomios y por tanto continuas en R, luego el único punto donde puede presentar discontinuidad es en, donde la función cambia de epreón analítica. 3 lim lim ) ( lim k Para que sea continua ha de cumplir que k() ) ( lim k. Por tanto k() será continua k()k k e) > 3 4 3 3 ) ( k m Es una función definida a trozos, cada uno de ellos son fracciones algebraicas, que pueden no ser continuas en los puntos donde se anulan el denominador. En la primera de ellas ocurre en, pero como esa epreón analítica sólo para >3, nuca tomará
Unidad. Funciones.Continuidad ese valor. La segunda se anula para 4, pero como la epreón definida para 3 nunca tomará ese valor. Así que sólo hay que estudiar la continuidad en 3, donde la función cambia de epreón analítica: 3 lim k 6 k 3 limm( ) 4 El límite eiste k7. Además con este valor 3 lim 3 m(3) y por tanto continua en 3 y en todo R. 3) Hallar el dominio y la continuidad de las guientes funciones: a) f() -65 El dominio de la función f() -65 y su continuidad es todo R, ya que el valor absoluto de f() es continuo en los mismos puntos en los que sea continua la función -65, que es un polinomio. b) g ( ) 4 4. El dominio de una raíz cuadrada son todos los puntos donde el radicando es potivo o cero. Como g() definida a partir de suma de tres funciones, el dominio será la intersección de los tres dominios. Veamos uno a uno por separado: 4 Dom[-4, ) 4 Dom(-,4] DomR Dom(g()) [-4, ) (-,4] R[-4,4] En los puntos del dominio la función es continua, pues el límite de la función coincide con el valor en el punto. 4) Determinar los parámetros a y b para que la guiente función sean continua en todo R e f ( ) a b < ln( ) Es una función definida a trozos, y cada trozo es continua en su dominio de definición, pues el único que no es continua en todo R es ln( ), pero como definida para en este intervalo es continua. Tendremos que ver la continuidad en y para asegurar que la función f() continua en todo R. 38 José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com)
Unidad. Funciones.Continuidad Continuidad en lim f ( ) lim e lim f ( ) lim f ( ) a b b lim El límite eiste b, además para este valor de b f() y por tanto la función será continua Continuidad en lim f ( ) lim( ln( )) lim f ( ) El límite eiste a, además lim f ( ) lim a a para este valor de a f(a) y por tanto la función será continua Si a y b la función será continua en R 5) Sean las funciones f() continuidad de fg, f g, f/g [,) [, ) y g() Estudiemos la continuidad de las funciones f() y g() [,) estudiar la [, ) Fácilmente se puede comprobar que f() continua en todo dominio de definición [, ), y g() continua en todos los puntos de definición menos en donde los límites laterales no coinciden, es decir en [,) (, ). a) (fg)() por las propiedades de continuidad será continua en [, ) ( [,) (, )) [,) (, ) b) (f g)() por las propiedades de continuidad será continua en [, ) ( [,) (, )) [,) (, ) c) (f/g)() por las propiedades de continuidad será continua en [, ) ( [,) (, )) [,) (, ) ya que g() no se anula para ningún valor de 6) Hallar las discontinuidades y clafícalas en las guientes funciones a) f() 4 Será continua en R menos en los puntos donde se anula el denominador es decir y, por tanto, Dom(f()). Veamos el límite en estos puntos para discernir el tipo de discontinuidad. Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE) 39
Unidad. Funciones.Continuidad 4 4 lim 4 4 En lim inf salto inito en 4 4 lim En lim 4 ( )( ) lim ( ) 4 evitable b) g( ) e > Tanto - como e - son continuas para todo R, luego la única poble discontinuidad puede ocurrir en. lim g( ) lim e lim g( ) lim g( ) lim Discontinuidad de salto finito. c) f ( ) e lim f ( ) lime f () Evitable 7) Estudiar continuidad de f() ln( ) sen( π) f ( ) < < < 4 4 Función definida a trozos y en cada uno de ellos la función es continua en su dominio de definición (ln(-) es continua <). Veamos la continuidad en los puntos donde cambia la epreón analítica: En - lim lim f ( ) sen( π ) f ( ) lim f ( ) ln( ) Discontinua de salto finito En En 4 lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) sen( ) π lim f ( ) 6 4 4 lim f ( ) 4 lim f ( ) 4 Continua en Discontinua de salto finito 4 José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com)
Unidad. Funciones.Continuidad 8) Demuestra: a) sen()cos() tiene solución en [-π,π]: Definimos f() sen()cos()- tal que a) es continua en R y por tanto en [-π,π]. b) f(-π)-π>, f(π)-π<. De esta forma cumple Bolzano c (-π,π): f(c), es decir la ecuación solución en este entorno. b) 3sen()e - cos() en algún valor de. Definimos f()e - cos()-3sen() tal que a) es continua en R. b) Tomamos el intervalo [,π/] f()> f(π/)-3<. Cumple Bolzano c (,π/): f(c), es decir la ecuación solución en este entorno. 9) La función cotg() tiene distintos gnos en los etremos de los intervalos [3π/4, 5π/4] y n embargo no corta el eje. Entonces contradice esto Bolzano? No contradice Bolzano pues cotag() no es continua en π [3π/4, 5π/4] ). Demostrar f() 3-8 corta al eje OX en (,). se puede decir lo mismo de? f() cumple: a) continua en (,) b) f()>, f()-6< Luego cumple Bolzano c (,): f(c) No podemos decir lo mismo de 3, pues en (,) no es continua. ) Sea f() una función que cumple f(-)< y f()> Es empre cierto que eiste un valor c en (-,) tal que f(c) Si f() es continua en el intervalo [-,] podemos asegurar que se cumple dicha afirmación (por el teorema de Bolzano). Sino no es así no podemos asegurar tal afirmación. Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE) 4
Unidad. Funciones.Continuidad ) Estudiar el dominio y discontinuidad de f()ln(()/ ) Pasos: ) Dominio de ()/ R-{} ) Al ser un logaritmo ()/ >: Como empre potivo tenemos que ver cuándo ()>, esto ocurre en el intervalo (-, ) - - De esta forma el dominio será (-, ) menos el punto Dom(f())(,-) (, ). En todos los puntos del dominio la función es continua pues el límite eiste y coincide con el valor de la función en el punto. 3) Hallar a y b para que f() cumpla Bolzano en [-π,π]. Hallar c que cumple Bolzano cos( ) f ( ) a b π < < π Para que cumpla Bolzano tenemos que obligar a la función a que sea continua en [-π,π], y por tanto en y En : En : lim f ( ) cos() lim f ( ) lim f ( ) a a lim f ( ) lim f lim ( ) b f ( ) b 4 José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com) a b Si a y b la función es continua en [-π,π], vamos ahora que cumple la segunda condición: f(-π)-< f(π)/π> Luego cumple Bolzano c (-π,π): f(c) Busquemos el valor c: a) Veamos c [-π,] cos(c) c-π/ b) Veamos c [,] no solución c) Veamos c [,π] / no solución
Unidad. Funciones.Continuidad 4) Demuestra la ecuación π e tiene solución en (,), lo cumple también φ e? a) π e solución en (,) definimos f()π -e, se cumple: a) continua en [,] b) además f()-e< y f()π-e> Al cumplir Bolzano c: (,): f(c), y por tanto la ecuación tiene solución en (,) b) φ e solución en (,) definimos f() φ -e, se cumple: a) continua en [,] b) pero f()-e< y f() φ-e< Luego no cumple Bolzano y no podemos asegurar que corte el eje OX. Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE) 43
Unidad. Funciones.Continuidad Ejercicios de la P.A.U. Junio de 4.Prueba A C-: Demuéstrese que las gráficas de las funciones f()e y g() se cortan en un punto > Si se cortan f()g(). Definimos h()f()-g()e -/. Si h() entonces f()g() y las funciones se cortarán. Veamos que cumple Bolzano y por tanto h(): a) es continua para > (no se anula el denominador). b) busquemos un intervalo donde cumpla Bolzano, por ejemplo [.,]: h(.)e. -< ; h()e-> Luego cumple Bolzano c (.,): h(c), y por tanto f(c)g(c) cortándose en c estas dos funciones Junio de 5. Prueba B C-3.- Estúdiese, según los valores de los números reales α y β, la continuidad de la función f definida por f α ) e β ( /. α La función / es continua en R-{}, pues e / nunca se anula. El único problema e es en, al anularse el denominador del eponente. Por otro lado en la función cambia de epreón analítica, luego es el único punto donde tenemos que estudiar la continuidad: Continua en lim f ( ) f () β α α lim α α / / lim f ( ) lim ( ind ) e e / e e / α α lim / / e e que eista el límite α. Si α lim f ( ). α α Para Por otro lado para ser continua f() lim f ( ) β Luego β y α la función será continua en y por tanto en todo R 44 José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com)
Unidad. Funciones.Continuidad Septiembre de 6. Prueba A PR. b) Pruébese que la ecuación 3 e tiene alguna solución en (,] Definamos la función f()3-e, demostramos que f() en (-,] entonces se cumplirá la ecuación. Para esto apliquemos Bolzano: a) f() es continua en R y por tanto continua en todo intervalo b) busquemos el intervalo [a,b] comprendido en (,] y tal que f(a) f(b)<. Por ejemplo [.5, ]: f()3-e<, f(.5).5-e.5 >. Así f() cumplirá Bolzano en [.5, ] y por tanto eiste al menos un valor c (.5,), y por tanto en (-,] tal que f(c), y por tanto se cumple la ecuación. Junio de 7.Prueba A C-4. Demostrar que las curva f()sen() y g()/ se cortan en algún punto del intervalo (π, 5π/) Si f() y g() se cortan en algún punto f()g() sen()/. Para poder aplicar Bolzano pasamos / al otro miembro sen ( ). De esta forma resolver la 443 ecuación es lo mimos que ver que h(). h( ) Apliquemos Bolzano a h() en el intervalo marcado (π,5π/): a) Continua en [π,5π/] ya que h() continua en todos los reales menos en el, y [π,5π/]. b) h(π)sen(π)-/(π)-/(π)<, h(5π/)sen(5π/)-/(5π/)-/(5π)> Luego cumple Bolzano, y por tanto eiste un punto c (π,5π/) tal que h(c), y por tanto en este punto se cumple la igualdad f(c)g(c), cortándose las dos gráficas Junio de 7.Prueba B PR- (b) Demostrar que eiste algún número real c tal que ce -c 4. Si modificamos la igualdad 4 e 43 4 tendremos que la ecuación solución f ( ) eiste un punto c tal que f(),es decir podemos aplica Bolzano: a) Continua en R, luego podemos tomar cualquier intervalo para aplicar Bolzano b) busquemos el intervalo f()-4<. Si tomamos 4, como e - empre potivo se obtenemos el otro etremo del intervalo: f(4)4e -4-4>. Luego cumple Bolzano en [.4] y por tanto eiste c (,4) tal que f(c), y entonces ce -c 4 solución en (,4). Apuntes de Matemáticas II (ºBachillerato) para preparar el eamen de la PAU (LOE) 45
Unidad. Funciones.Continuidad C. Hallar a y b para que f() continua en todo R a ln( ) > f ( ) b sen( π) < sen (π) La función ln() es continua > y es continua en <, pues no toma el valor. De esta forma cada trozo de la función son continuas en los dominios de definición. Por esta razón sólo hay que estudiar la continuidad en Continuidad en. Será continua lim f ( ) f () lim f ( ) (*) π lim f ( ) el límite eiste aπ y valdrá lim f ( ) π lim f ( ) (*) a (*) calcularemos estos límites en el tema 4 (Teorema de L Hopital) f()b, como lim f ( ) f () bπ De esta forma aπ y bπ la función continua en y por tanto en todo R. 46 José L. Lorente Aragón (lorentejl@gmail.com)