Resolució N 2 Axiomas de Probabilidades Profesor: Ivá Rapaport Z Auxiliar: Abelio Jiméez G Ejercicios Resueltos 1 Cierta efermedad se trasmite e forma geética de los padres a los hijos, del siguiete modo: Si sólo el padre preseta la efermedad, el hijo tedrá probabilidad β de presetarla (β (0, 1)) Si sólo la madre preseta la efermedad, el hijo tedrá probabilidad α de presetarla (α (0, 1)) Si ambos padres la preseta, el hijo la presetará co probabilidad 1 Además, cada uo de los padres tiee probabilidad p de presetar la efermedad, e forma idepediete etre ellos (p (0, 1)) (a) Si u tipo está efermo, ¾Cuál es la probabilidad de que la efermedad le haya sido trasmitida sólo por la madre? (b) Si hay dos hermaos, y uo de ellos está efermo, ¾Cuál es la probabilidad de que el otro hermao tambié esté efermo? Solució (a) Deamos los siguietes evetos: M: sólo la madre está eferma F: sólo el padre está efermo A: ambos (padre y madre) está efermos H: hijo está efermo Segú la iformació del euciado se tiee lo siguiete: P (H M) = α P (H F ) = β P (H A) = 1 Además se sabe que se tiee que la probabilidad de que la madre esté eferma (que es distito a decir que sólo la madre está eferma) es p, al igual que el padre e forma idepediete 1
Así se tiee que P (M) = P (madre eferma y padre o efermo) = P (madre eferma) P (padre o efermo) esto último por idepedecia 1 Pero P (madre eferma) = p luego P (padre o efermo) = 1 p Aálogamete se tiee que P (M) = p (1 p) P (F ) = p (1 p) Bajo el mismo aálisis de idepedecia se tiee que Se os pide calcular P (M H) Se tiee que P (M H) = P (H M) P (M) P (H) Luego, lo úico que falta por calcular es P (H) Para ello, ocuparemos probabilidades totales P (H) = P (H M) P (M) + P (H F ) P (F ) + P (H A) P (A) Etoces se tiee P (H) = α p (1 p) + β p (1 p) + 1 p 2 Fialmete se tiee que: P (M H) = α p (1 p) α p (1 p) + β p (1 p) + p 2 1 Si bie o se ha visto idepedecia e cátedra, esta es ua aplicació secilla del cocepto (Nivel de eseñaza media) 2
(b) Se os pide calcular P (H 2 H 1 ) Sabemos que P (H 2 H 1 ) = P (H 1 H 2 ) P (H 1 ) pero de la parte (a) sabemos que P (H 1 ) = α p (1 p) + β p (1 p) + p 2 por otra parte, usado probabilidades totales, se tiee: P (H 1 H 2 ) = P (H 1 H 2 M) P (M) + P (H 1 H 2 F ) P (F ) + P (H 1 H 2 A) P (A) pero, por idepedecia P (H 1 H 2 M) = α 2 P (H 1 H 2 F ) = β 2 luego P (H 1 H 2 A) = 1 Fialmete se tiee: P (H 1 H 2 ) = α 2 p (1 p) + β 2 p (1 p) + p 2 P (H 2 H 1 ) = α2 p (1 p) + β 2 p (1 p) + p 2 α p (1 p) + β p (1 p) + p 2 2 Pedro quiere eviar ua carta a María La probabilidad de que Pedro escriba la carta es 08; la probabilidad de que el correo o la pierda es 09 y la probabilidad de que el cartero la etregue es 09 Si María o recibió la carta, ¾Cuál es la probabilidad codicioal de que Pedro o la haya escrito? Solució 3
Deamos los siguietes evetos: P e: Pedro escribió la carta C O : Correo o pierde la carta C A : Cartero etrega la carta M: María recibe la carta Es importate observar que se tiee ua serie de sucesos ecadeados, de modo que las probabilidades que se preseta debe ser cosideradas de la siguiete forma: P (P e) = 0, 8 P (C O P e) = 0, 9 P (C A C O P e) = 0, 9 Además, para que María reciba la carta, debe darse todo lo aterior, es decir Se os pide calcular P (P e C M C ) Por deició se tiee que M = P e C O C A P (P e C M C ) = P (P ec M C ) P (M C ) Observemos que, dado que M = P e C O C A, etoces M P e, lo que implica que P e C M C, es decir P e C M C = P e C, luego P (P e C M C ) = P (P ec ) P (M C ) Usado las propiedades coocidas y la caracterizació de M, se tiee que pero P (P e C M C ) = 1 P (P e) 1 P (M) = 1 0, 8 1 P (P e C O C A ) P (P e C O C A ) = P (C A P e C O ) P (P e C O ) = P (C A P e C O ) P (C O P e) P (P e) es decir P (P e C O C A ) = 0, 9 0, 9 0, 8 4
se tiee almete que P (P e C M C ) = 1 0, 8 1 0, 9 0, 9 0, 8 3 Ua jarra cotiee cuadrados e blaco Ua persoa saca al azar uo: si está e blaco, lo marca y luego lo repoe, repitiedo esto hasta sacar uo marcado que es cuado aliza Calcula para cada k {1,, + 1} la probabilidad de ocurrecia del suceso la persoa aliza e la k-ésima extracció Solució Deamos los siguietes evetos A k : hasta la extracció k-ésima ha salido cuadros blacos B k : e la extracció k-ésima sale u cuadro blaco C k : e la extracció k-ésima sale u cuadro marcado De esta maera, la relació que se puede establecer etre los evetos deidos so: B k = C C k C k = C k k 1 B j = C k A k 1 j=1 Además sabemos que, si ha salido i-1 cuadros blacos, etoces la probabilidad de sacar u cuadro blaco e la i extracció es: es decir: Aálogamete se tiee Por otra parte, se tiee que i + 1 P (B i A i 1 ) = i + 1 P (C i A i 1 ) = i 1 P (C k ) = P (C k A k 1 ) = P (C k A k 1 )P (A k 1 ) 5
es decir P (C k ) = k 1P (A k 1) De modo que el cálculo de P (C k ) se reduce a calcular P (A k 1 ) Observemos que Así se tiee que A j = B j A j 1 es decir P (A j ) = P (B j A j 1 ) = P (B j A j 1 ) P (A j 1 ) P (A j ) = j + 1 Segú la característica del experimeto, se tiee que Así se tiee que P (A 2 ) = 2 + 1 iductivamete, se puede probar que Así se tiee que Fialmete se tiee P (A 1 ) = 1 P (A 1 ) = 1 P (A j ) = P (A j 1 ) 1 =! j ( j)! ( 1)! 2 = 2 ( 2)! P (C k ) = k 1P (A k 1) = k 1! k 1 ( k + 1)! (k 1)! P (C k ) = k ( k + 1)! 6