RESOLUIÓ DE TRINGLES Pàgin 03 REFLEXION I RESOL Prolem Per lulr l ltur d un rre, podem seguir el proediment que utilitzà Tles de Milet per tror l ltur d un piràmide d Egipte: omprr-ne l omr m l d un vr vertil l longitud de l qul ens és onegud. Fes-o seguint quest mètode i sent que: l vr f m, l omr de l vr f 37 m, l omr de l rre f 5 m. Per soluionr quest prolem uràs utilitzt l semlnç de dos tringles. 37 5 5 37 6,65 m m 5 m L ltur del árol es de 6,65 m. 37 m Prolem ernt onei l distàni què es tro de l rre i els ngles i, i vol lulr l distàni què es tro de rme ì ì Ddes: 63 m; o ; 3 o Per resoldre el prolem, primer relitz un diui esl : 000 ( m mm). Després, mesur l longitud del segment i, desfent l esl, otindràs l distàni què ernt es tro de rme. mm Desiendo l esl: m 63 m 3 ì ì
Prolem 3 nàlogment pots resoldre quest ltre prolem: ernt veu des de s s el stell i l di. onei les distànies mdós llos, j que n fet el mí peu moltes vegdes; i vol desorir l distàni del stell l di. Per fer-o, prèviment, de mesurr l ngle ì. Ddes: 00 m; ì 700 m; 0 o. Utilitz r l esl :0 000 (00 m m). 00 m m 00 m m 700 m 7 m,7 m ò 70 m 700 m 7 m 0 00 m m NOT: El triángulo está onstruido l 50% de su tmño. Prolem lul, plint-i el teorem de Pitàgores: ) Els ostts iguls d un tringle retngle isòseles l ipotenus del qul f. ) L ltur d un tringle equilàter de ostt. Fes tots els àluls mntenint els rdils. Hs d rrir les soluions següents: y 3 y
UNITT ) + ) y + ( ) y y Pàgin 0. lul tg sent que sin 0,39. Fes-o, tmé, m luldor. os (sen ) 0,39 0,9 sen tg 0, os on luldor: s ß 0,39 t { Ÿ ««} 3 3. lul os sent que tg,. Fes-o, tmé, m luldor. s + s/, Resolviendo el sistem se otiene s 0,79 y 0,6. on luldor: s t, { Ÿ\ \ } Pàgin 05. Sent que l ngle està en el n qudrnt (90 <<0) i sin 0,6, lul os i tg. 0,6 t os 0,6 0,7 0,6 tg 0,79 0,7. Sent que l ngle està en el 3r qudrnt (0 <<70) i os 0,3, lul sin i tg. s 0,3 t sen (0,3) 0,56 0,56 tg 0,67 0,3 3
3. Sent que l ngle està en el t qudrnt (70 <<360) i tg 0,9, lul sin i os. s t 0,9 s/ 0,9 El sistem tiene dos soluiones: s + s 0,6; 0,7 s 0,6; 0,7 Teniendo en uent dónde está el ángulo, l soluión es l primer: sen 0,6, os 0,7. omplet l qudern l tul següent i mpli-l per ls ngles 0, 5, 0, 70, 300, 35, 330 i 360. 0 30 5 60 90 0 35 50 0 sin 0 / / 3/ os 3/ 0 tg 0 3/3 jud t de l representió dels ngles en un irumferèni goniomètri. 0 30 5 60 90 0 35 50 0 sin 0 / / 3/ 3/ / / 0 os 3/ / / 0 / / 3/ tg 0 3/3 3 3 3/3 0 0 5 0 70 300 35 330 360 sin / / 3/ 3/ / / 0 os 3/ / / 0 / / 3/ tg 3/3 3 3 3/3 0 Pàgin 06. Tro les rons trigonomètriques de l ngle 397º: ) Otenint l epressió de l ngle l intervl [0, 360). ) Otenint l epressió de l ngle l intervl ( 0, 0]. ) Diretment m l luldor. ) 397 6 360 + 37 ) 397 7 360 3 sen 397 sen 37 0, sen 397 sen ( 3) 0, os 397 os 37 0,5 os 397 os ( 3) 0,5 tg 397 tg 37,5 tg 397 tg ( 3),5
UNITT. Pss dsun dels ngles següents l intervl [0º, 360º) i l intervl ( 0, 0]: ) 396 ) 9 ) 65 d) 3 95 e) 7 6 f ) 90 Se trt de epresr el ángulo de l siguiente form: k o k, donde k Ì 0 ) 396 396 360 36 ) 9 9 360 3 ) 65 65 360 5 5 360 75 d) 3 95 3 95 0 360 95 95 360 65 e) 7 6 7 6 360 5 f) 90 90 5 360 0 undo emos, por ejemplo, 7 6 7 6 360, por qué tommos? Porque, previmente, emos relizdo l división 7 6 / 360 { }. Es el oiente entero. Pàgin 07 LLENGUTGE MTEMÀTI. Digues el vlor de les següents rons trigonomètriques sense demnr-o l luldor. Després, omprov-o m l seu jud: ) sin(37 Ò 360 30) ) os( 5 Ò 360 + 0) ) tg( Ò 360 35) d) os(7 Ò 0 + 35) ) sen (37 360 30) sen ( 30) sen 30 ) os ( 5 360 + 0) os (0) ) tg ( 360 35) tg ( 35) tg 35 d) os (7 0 + 35) os ( 0 0 + 35) os ( 360 5) os ( 5) os 5. Repeti m l luldor quests àluls: st P 0 { } st P 0 { } Epli els resultts. om és possile que dig que l ngle l tngent del qul vl 00 és 90º si 90º no té tngent? Es un ángulo que difiere de 90 un ntidd tn pequeñ que, pesr de ls mus ifrs que l luldor mnej, l redonderlo d 90. 5
Pàgin 09. lul les rons trigonomètriques de 55º, 5º, 5º, 5º, 35º, 305º i 35º prtir de les rons trigonomètriques de 35º: sin 35 0,57; os 35 0,; tg 35 0,70 55 90 35 ò 55 y 35 son omplementrios. sen 55 os 35 0, os 55 sen 55 0,57 ( Tmién tg 55,3 tg 35 0,70 sen 55 0, tg 55,3 os 55 0,57 ) 5 90 + 35 sen 5 os 35 0, os 5 sen 35 0,57 tg 5,3 tg 35 0,70 5 35 5 0 35 ò 5 y 35 son suplementrios. sen 5 sen 35 0,57 os 5 os 35 0, tg 5 tg 35 0,70 5 35 5 0 + 35 sen 5 sen 35 0,57 os 5 os 35 0, tg 5 tg 35 0,70 5 35 35 70 35 sen 35 os 35 0, os 35 sen 35 0,57 sen 35 os 35 tg 35,3 os 35 sen 35 tg 35 0,70 35 35 6
UNITT 305 70 + 35 sen 305 os 35 0, os 305 sen 35 0,57 sen 305 os 35 tg 305,3 os 305 sen 35 tg 35 305 35 35 360 35 ( 35) sen 35 sen 35 0,57 os 35 os 35 0, sen 35 sen 35 tg 35 tg 35 0,70 os 35 os 35 35 35. Desori les rons trigonomètriques de 35º, 56º i 3º, utilitznt l luldor només per tror rons trigonomètriques d ngles ompresos entre 0º i 90º. 35 360 sen 35 sen 0,039 os 35 os 0,999 tg 35 (*) tg 0,039 (*) sen 35 sen tg 35 tg os 35 os 56 0 sen 56 sen 0,067 os 56 os 0,935 tg 0,5 OTR FORM DE RESOLVERLO: 56 90 + 66 sen 56 os 66 0,067 os 56 sen 66 0,935 tg 56 0,5 tg 66,60 3 360 sen 3 sen 0,3090 os 3 os 0,95 tg 3 tg 0,39 7
3. Diui, sore l irumferèni goniomètri, ngles que omplisquen les ondiions següents i estim, en d s, el vlor de les restnts rons trigonomètriques: ) sin, 3 tg > 0 ) os, > 90 ) tg, os < 0 d) tg, os < 0 ) sen / < 0 tg > 0 sen / os 0,6 os < 0 é3. er udrnte tg 0,5 ) os 3/ > 90º sen 0,66 os 3/ é. udrnte tg 0, ) tg < 0 os < 0 sen 0,7 os 0,7 sen > 0 é. udrnte tg d) tg > 0 os < 0 sen 0,9 os 0,5 sen < 0 é3. er udrnte tg Pàgin. Les propostes següents estn referides tringles retngles que, en tots els sos, es designen per, sent l ngle rete. ) Ddes: 3 m, 57. lul. ) Ddes: 3 m, 57. lul. ) Ddes: 50 m, 30 m. lul i. d) Ddes: 35 m, 3. lul. e) Ddes: 35 m, 3. lul. ) os os 7,3 m ) sen sen 6, m
UNITT ) + 396,69 m tg 0, 39 3' 57'' d) tg 56,0 m tg e) sen 66,05 m sen. Per determinr l ltur d un pl ens n em llunyt 7 m de l se i em mesurt l ngle que form l visul l punt més lt m l oritzontl. Hem otingut un vlor de 0º. Qunt mesur el pl? tg 0 7 7 tg 0 5,7 m 0 7 m 3. Tro l àre d quest qudrilàter. Suggeriment: prti-lo en dos tringles. 6 m 3 m 0 7 m 9 m 9 3 sen 0 3 97,3 m 7 6 sen 0,67 m 3 m 0 9 m 6 m El áre es l sum de y :,0 m 7 m 9
Pàgin 3. En un tringle oneiem 6, 7 m i 3 m. lul l longitud del ostt. H 7 os 6 6,3 m H 7 sen 6 59, m H H 9,75 m H + H 6,3 m + 9,75 m 5, m 7 m 6 H 3 m. En un tringle MNP oneiem M 3, N 3 i NP 7 m. lul MP. PH sen 3 PH 7 sen 3 3,05 m 7 PH PH 3,05 sen 3 MP 60,9 m MP sen 3 sen 3 M P 7 m 3 3 H N 3. En un tringle oneiem 0 m, 33 m i 53. lul l longitud del ostt. H os 53,0 m 0 m? 53 H 33 m H sen 53 5,97 m H H 0,96 m H + H 6,35 m. Estem, mesurem l ngle dvll el que es veu l edifii (º), ens n llunyem 0 m i tornem mesurr l ngle (35º). Quin és l ltur de l edifii i quin distàni ens en troem? Oserv l il lustrió: 35 0 m 0
UNITT tg d tg d tg 35 (d + 0)tg 35 d + 0 0 tg 35 d tg (d + 0) tg 35 d 39,90 m tg tg 35 d tg 5,97 m L ltur es 5,97 m. L primer distni es 39,90 m, y or, después de lejrnos 0 m, estmos 79,90 m. Pàgin sig o-. Repeti l demostrió nterior en el s que tús. Tin en ompte que: sin (0 ) sin H (0 ) H sen sen sen sen (0 ) sen sen sen sen sen. Demostr, detlldment, snt-te en l demostrió nterior, l relió següent: sin sin Lo demostrmos pr ángulo gudo. (Si fuese un ángulo otuso rzonrímos omo en el ejeriio nterior). Trzmos l ltur desde el vértie. sí, los triángulos otenidos H y H son retángulos.
H Por tnto, tenemos: sen sen sen sen sen sen sen sen Pàgin 5 3. Resol el mtei prolem nterior ( m, 30) prenent per els vlors següents:,5 m, m, 3 m, m. Justifi gràfiment per què s otenen, segons els sos, p soluió, un soluió o dues soluions.,5 m,5 0,5 sen, ) 3 sen sen sen sen 30,5 30 m,5 m Imposile, pues sen é [, ] siempre! No tiene soluión. on est medid,,5 m, el ldo nun podrí tor l ldo.
UNITT m sen 0,5 sen 90 sen sen sen 30 m 30 m Se otiene un úni soluión. 3 m 3 0,5 sen 0, 6 ) sen sen 30 3 ' 37," 3 ',9" 3 m 30 m 3 m Ls dos soluiones son válids, pues en ningún so ourre que + > 0. m sen 0,5 sen 0,5 sen 30 30 Un soluión válid. 50 m 30 m L soluión 50 no es válid, pues, en tl so, serí + 0. Imposile! 3
Pàgin 7. Resol els tringles següents: ) m; 6 m; 0 m ) m; 7 m; 0 ) m; 6 m; 5 m d) m; 3 m; 05 e) m; 5 i 60 f) 5 m; 35 ) + os 6 + 0 6 0 os 56 + 00 30 os 56 + 00 os 0,665 30 30' 33" m 6 m 0 m + os 56 + 00 0 os + 00 56 os 0,05 0 9 5' 57,5" + + 0 0 3 37' 9,5" ) + os 7 + 7 os 0 9 + 35,9 97,06 7, m 7 sen sen sen 7 sen 0 sen 0,6 7, 7, sen 0 m 5 7',3" 6 5' 5,7" No válid 0 7 m (L soluión no es válid, pues + > 0). 0 ( + ) 5' 5,7"
UNITT ) + os 6 36 + 5 6 5 os 36 + 5 6 os 0,05 60 9 5' 57,5" + os 36 6 + 5 5 os 6 + 5 36 os 0,665 0 30' 33" 0 ( + ) 3 37' 9,5" (NOT: ompárese on el prtdo ). Son triángulos semejntes). 6 m 5 m m d) + os 6 + 9 3 os 05 3, 5,59 m sen sen 5,59 sen 05 sen sen 05 sen 0,69 5,59 3 m 05 m (L soluión no es válid, pues + > 0). 0 ( + ) 3 6' 3,7" e) 0 ( + ) 75 sen sen sen 75 3 3' 5,3" 36 6' 3,7" sen 5 sen 5,93 m sen 75 sen sen sen 75 No válid sen 60 sen 60 sen 75 3,59 m 5
f) 0 ( + ) 0 5 sen sen sen 0 sen 35 5 sen 35 3,05 m sen 0 omo 3,05 m 5. Les ses d un trpezi fn 7 m i 0 m, i un dels ostts, 7 m. L ngle que formen les retes sore les quls es troen els ostts prl lels és de 3º. lul l mesur de l ltre ostt i l àre del trpezi. Los triángulos P y DP son semejntes, luego: P 0 + 7 7 0 ( + 7) 0 7 3 plindo el teorem del oseno en el triángulo P tenemos: + y y os 3 0 0 + y 0y os 3 0 y 6,96y y 0 m 7 m y 0 No válido y 6,96 m z 7 m De nuevo, por semejnz de triángulos, tenemos: D D 0 7 DP 0 (z + 6,96) 7 6,96 P 6,96 z + 6,96 0z,7 z,7 m mide el otro ldo, D, del trpeio. omo PD es un triángulo isóseles donde sí: z D P 7 m, entones: D 3 sen 3 ò z sen 3,7 sen 3 6,9 + 7 + 0 Áre D 6,9,93 m 6
UNITT 6. Un viell demn uili i dues estions de ràdio en reen els senyls, i, que disten entre si 50 km. Des de les estions es mesuren els ngles següents: 6 i 53. quin distàni de d estió es tro el vi- ì ì ell? 0 6 53 6 50 km 53 sen 50 sen 6 sen sen sen sen 36, km 50 sen 53 sen sen sen sen sen 0, km 7. Per tror l ltur d un glous, relitzem els mesurments indits l figur. Qunt dist el glous del punt? Qunt, del punt? quin ltur es tro el glous? 63 G 90 H 75 7 0 m H 90 75 7 63 0 m ì G 0 7 63 5 0 0 sen 63 5, m dist el gloo del punto. sen 63 sen 5 sen 5 0 0 sen 7 6,9 m dist el gloo del punto. sen 7 sen 5 sen 5 sen 75 5, sen 75,3 m es l ltur del gloo. 5, 7
Pàgin EXERIIS I PROLEMES PROPOSTS PER PRTIR Relió entre rons trigonomètriques lul l rest de rons trigonomètriques de l ngle (0 < < 90) utilitznt les relions fonmentls: 3 3 ) sin ) os ) tg 3 d) sin e) os 0,7 f) tg 3 ) sen + os 3 + os os 3 ( ) os sen 3/ tg os / 3 ) sen + sen ( ) sen / tg / ) + tg 3 ) 7 + ( os os os sen d) os ( ( 7 7 ) 3 ) os os os 7 7 3 3 sen 7 7 7 os 55 os 6 55 3/ 3 55 tg 55/ 55 e) sen (0,7) sen 0,6 sen 0,69 0,69 tg 0,96 0,7 7 7
UNITT f) + 3 os os os 0 0 sen 9 3 sen 0 0 0 3 0 0 0 0 Sent que l ngle és otús, omplet l tul següent: sin os tg 0,9 0,5 0, 0, 0,75 sin os tg 0,9 0,6 0,99 0,6 0,5 0,96 0,39 0, 0, 0, 0,7 0,,36 0,75,5 0,75 0,57 ) ) ) d) e) f) ) sen + os 0,9 + os os 0,9 os 0,536 os 0,39 7 otuso os < 0 tg sen,36 os (Se podrín lulr diretmente on l luldor sen 0,9, teniendo en uent que el ángulo está en el segundo udrnte). ) + tg + 0,565 os 0,6 os 0, os os tg sen sen tg os ( 0,75) ( 0,) 0,6 os ) sen os 0,0 0,956 sen 0,99 tg sen 0,99,5 os 0, d) sen os 0,6 0,36 sen 0,6 tg sen 0,6 0,75 os 0, (NOT: es el mismo ángulo que el del prtdo )). e) os sen 0,5 0,75 os 0,7 tg sen 0,5 0,57 os 0,7 9
f) + tg + 6 os 0,059 os 0, os sen tg os ( ) ( 0,) 0,96 3 Trod l rest de rons trigonomètriques de : ) sin /5 < 70 ) os /3 tg < 0 ) tg 3 < 0 sen < 0 ) sen < 0 é 3. er udrnte os < 0 < 70 tg > 0 os sen 6 9 3 os 5 5 5 /5 tg sen os 3/5 3 ) os > 0 tg < 0 sen < 0 é. udrnte sen os 5 5 sen 9 9 3 5 tg sen os ) tg < 0 < 0 é. udrnte sen > 0 os < 0 tg + 9 + 0 os os os 0 0 0 sen os 0 0 tg sen tg os ( 3) ( ) 3 0 0 Epress om un ngle del primer qudrnt: ) sin 50 ) os 35 ) tg 0 d) os 5 e) sin 35 f ) tg 0 g) tg 30 )os 00 i) sin 90 ) 50 0 30 sen 50 sen 30 ) 35 0 5 os 35 os 5 ) 0 0 + 30 sen 0 sen 30 tg 0 os 0 os 30 tg 30 d) 55 70 5 os 55 sen 5 0
UNITT e) 35 360 5 sen 35 sen 5 f ) 0 0 60 sen 0 sen 60 tg 0 os 0 os 60 tg 60 ( sen 0 os 30 Tmién 0 90 + 30 tg 0 os 0 sen 30 tg 30 ) g) 30 360 0 sen 30 sen 0 tg 30 os 30 os 0 tg 0 ) 00 0 + 0 os 00 os 0 i) 90 70 + 0 sen 90 os 0 (Tmién 90 360 70 sen 90 sen 70) 5 Si sin 0,35 i < 90, tro: ) sin (0 ) )sin ( + 90) ) sin (0 + ) d) sin (360 ) e) sin (90 ) f) sin (360 + ) ) sen (0 ) sen 0,35 ) sen ( + 90) os sen + os os 0,35 0,775 ò os 0,9 sen ( + 90) os 0,9 ) sen (0 + ) sen 0,35 d) sen (360 ) sen 0,35 e) sen (90 ) os 0,9 (luldo en el prtdo )) f) sen (360 + ) sen 0,35 6 Si tg /3 i 0 < < 90, resol: ) sin ) os ) tg (90 ) d) sin (0 ) e) os (0 + ) f) tg (360 ) ) tg sen sen tg os os os tg + 3 + os 9 9 3 os 9 3 3 3 3 3 3 3 sen tg os 3 3 3 3
) luldo en el prtdo nterior: os 3 3 3 ) tg (90 ) sen (90 ) os os (90 ) sen d) sen (0 ) sen 3 3 3 e) os (0 + ) os 3 3 3 f) tg (360 ) sen (360 ) sen tg os (360 ) os 3 7 Tro m l luldor l ngle : ) sin 0,75 < 70 ) os 0,37 > 0 ) tg,3 sin < 0 d) os 0,3 sin < 0 ) on l luldor 35' 5" é. udrnte sen < 0 omo dee ser é 3. er udrnte < 70 Luego 0 + 35' 5" 35' 5" ) on l luldor: ' 56,3" os < 0 > 0 é 3. er udrnte 360 ' 56,3" 7' 3,7" ) tg,3 > 0 sen < 0 os < 0 é 3. er udrnte on l luldor: tg,3 5 ' 7,39" 0 + 5 ' 7,39" 3 ' 7,"
UNITT d) os 0,3 > 0 sen < 0 é. udrnte on l luldor: os 0,3 76 ' 0,5" 76 ' 0,5" 3 7' 9,6" Resoluió de tringles retngles Resol els següents tringles retngles ( 90) tront l mesur de tots els elements desoneguts: ) 5 m, m. Tro,,. ) 3 m, 37. Tro,,. ) 7 m, 5. Tro,,. d) 5, km, 7. Tro,,. ) + 5 + 69 3 m 5 tg 0,6 37',5 90 67 ',5" m 5 m ) 90 37 53 3 3 sen 7,5 m sen 37 3 3 tg 57,06 m tg 37 37 3 m ) 90 5 3 7 7 os 3, m os 5 tg 7 tg 5, m 7 5 7 m 3
d) 90 7 9 sen 5, sen 7 5, km 5, os 5, os 7,9 km 5, 5, km 7 9 Si volem que un int trnsportdor de 5 metres eleve l àrreg fins un ltur de 5 metres, quin ngle s urà d inlinr l int? 5 sen 0,6 36 5',6" 5 5 m 5 m 0 Un esl de m està reolzd en un pret formnt un ngle de 50º m el sòl. Tro l ltur l qul rri i l distàni que en sepr l se de l pret. m 50 d sen 50,53 m d os 50 d,9 m El ostt d un rome mesur m i l ngle menor és de 3º. Qunt mesuren les digonls del rome? m 9 y 3 sen 9 os 3 y y sen 9,6 m d 5, m os 9 7,6 m D 5, m
UNITT lul l projeió del segment 5 m sore l ret r en els sos següents: ) 7 ) 50 r ' ' ) 5 d) 90 '' ) os '' 5 os 7,6 m ) '' 5 os 5 9,6 m ) '' 5 os 5,9 m d) '' 5 os 90 0 m 3 ) Tro l ltur orresponent l ostt en dsun dels tringles següents: I II III m 7 m 5 m 3 3 m 5 m m ) Tro l àre de d tringle. ) I) sen 7 7,9 m II) sen 3 5 3,5 m III) sen 3, m 7,9 ) I) 7,7 m 5 3,5 II) 99,3 m, III),5 m En el tringle, D és l ltur reltiv l ostt. m les ddes de l figur, tro els ngles del tringle. 3 m m D, m En En ì D: sen ' 37''; D 90 ' 3'' 3 ì D : tg 5 7' ''; D 6 3' '', Ángulos: 3' 35''; ' 37''; 5 7' '' 5
5 Des d un punt P eterior un irumferèni de 0 m de rdi, es tren les tngents quest irumferèni que formen entre si un ngle de 0º. lul l distàni de P dsun dels punts de tngèni. 0 m O 0 P En OP 0 : tg 0 P P 7,7 m Distni de P d uno de los puntos de tngeni: 7,7 m Pàgin 3 Teorem dels sinus 6 lul i en el tringle en què: 55, 0, 5 m. 50 0 5 m 0 (55 + 0) 5 5,33 m sen sen sen 55 sen 5 sen 5 9,6 m sen sen 0 sen 5 7 Tro l ngle i el ostt en el tringle en què: 50, 3 m, m. 3 sen sen sen 50 sen 3 m sen 50 sen 3 50 m 0 ( + ) 93 9' 5'' 3 sen 93 9' 5'' sen sen sen 50 9,9 m 36 50' 6 '' (Tiene que ser < ) 6
UNITT Resol els tringles següents: ) 35 7 m ) 05 30 m m ) 7 sen 35 0 (35 + ) 03; 0 m sen sen sen 03 sen 7 sen,67 m sen sen 03 sen 05 ) sen 35 5' 9''; 39 3' 5'' sen sen 30 sen 30 sen 39 3' 5'' 9,79 m sen sen 05 9 Dos mis situts en dos punts, i, que disten 500 m, veuen l torre d un esglési,, dvll els ngles 0 i 55. Quin distàni i ì ì entre d un d ells i l esglési? 0 (0 + 55) 5 0 55 500 m sen 0 sen 55 500 sen 5 3,6 m 500 sen 5, m L distni de l iglesi es de, m, y l de l iglesi, 3,6 m. Teorem del osinus 0 lul en el tringle, en què:, 7, m, 5,3 m. 5,3 m 7, m + os 7, + 5,3 7, 5,3 os 0, m Tro els ngles del tringle en què m, m, 35 m. m m 35 m + 35 35 os + 35 os 5 3' '' 35 + 35 + 35 35 os os 3 7' '' 35 0 ( + ) 7' 5'' 7
Resol els tringles següents: ) 3 m 7 m 0 ) 5 m 57 m 65 ) 3 m m 3 m ) 3 +7 3 7 os 0,9 m 7 3 +,9 3,9 os 9 56' '' 0 ( + ) 0 3' 5'' ) 5 + 57 5 57 os 65 79,7 m 57 5 + 79,7 5 79,7 os 0 ' 5'' 0 ( + ) 7 ' 55'' ) 3 + 3 3 os 3 + 3 3 3 os 0 ( + ) 33 0' 35'' 30 0' 9'' 7 ' 56'' 3 Des de l port de m s,, veig el inem,, que es tro 0 m, i el ì quios, K, que està 5 m, dvll un ngle K 0. Quin distàni i entre el inem i el quios? 0 m 0 5 m K 0 +5 0 5 os 0 77, m es l distni entre el ine y el kiosko. Resoluió de tringles qulssevol Resol els tringles següents: ) 00 m 7 63 ) 7 m 70 35 ) 70 m 55 m 73 d) m 00 m 0 e) 5 m 30 m 0 m f) 00 m 5 m 50 m g) 5 m 9 m 30 ) 6 m m 57
UNITT ) 0 ( + ) 70 sen sen 00 sen 70 sen 7 00 sen 7 77,3 m sen 70 00 00 sen 63 9, m sen 70 sen 63 sen 70 ) 0 ( + ) 75 7 7 sen 70 6,5 m sen 75 sen 70 sen 75 7 7 sen 35 0,09 m sen 75 sen 35 sen 75 ) 70 + 55 70 55 os 73 5 673,7 75,3 m 70 55 + 75,3 55 75,3 os os 55 + 75,3 70 0,5 6 3' 9," 55 75,3 0 ( + ) 6' 0,6" d) + 00 00 os 0 79,6 m + os os + os,6 + 00,6 00 0,969 ' 5,5" 0 ( + ) 37 5' 55,5" e) + os os + 30 + 0 5 0,7 3 37' 9," 30 0 os + 5 + 0 30 0,665 30' 33" 5 0 0 ( + ) 9 5' 57,6" f) os + 5 + 50 00 0,9 3 39' 3," 5 50 os + 00 + 50 5 0,0575 93 7' 6,7" 00 50 0 ( + ) 5 ' 3,9" 9
5 g) 9 9 sen 30 sen 0,596 sen 30 sen 5 7 ' 6," 5 3' 3," L soluión no es válid, pues + > 0. 0 ( + ) 3' 3," 5 5 sen 7,5 m sen 30 sen sen 30 ) 6 6 sen 57 sen 0,690 sen 57 sen 3 5' 35,7" ',3" L soluión no es válid, pues + > 0. 0 ( + ) ',3" sen 9,5 m sen 57 sen sen 57 PER RESOLDRE 5 Un estàtu de,5 m d ltur està ol lod sore un peny. Des d un punt del sòl es veu l peny dvll un ngle de 5º i l estàtu, dvll un ngle de 0º. lul l ltur de l peny. tg 5 y y,5 + tg 55 y y tg 5,5 + tg 55,5 + tg 5 tg 55,5 tg 5 tg 55,5 tg 5 + tg 5 0,5 m (el pedestl) tg 55 tg 5,5 m 0 5 y 30
UNITT 6 Un vió vol entre dues iutts, i, que disten 0 km. Les visuls des de l vió i formen ngles de 9º i 3º m l oritzontl, respetivment. quin ltitud es tro l vió? V (vión) 9 0 km 3 tg 9 tg 9 tg 3 0 0 tg 3 tg 3 tg 9 0 tg 3 tg 3 0 tg 3 tg 9 tg 9 tg 3 0 tg 3 tg 9 7, km tg 3 + tg 9 7 Tro el ostt de l otògon insrit i de l otògon irumsrit en un irumferèni de rdi 5 m. 360 5 5 m l 30' 5 sen 30',9 m 5 Ldo del otógono insrito: l 3, m 5 30' y tg 30' y,07 m 5 Ldo del otógono irunsrito: l', m 5 m y l' 3
lul els ostts i els ngles del tringle. 7 m 50 3 m D En el tringle retngle D, tro i D. D, tro, sps que + + 0. En D: 3 3 os 50,7 m os 50 D tg 50 D 3 tg 50 3,6 m 3 En D : D 3,6 sen 0,53 30 56' 59" 7 7 D os D 7 os 6 m 7 sí, y tenemos: 50 7 m 0 ( + ) 99 3' " 30 56' 59" D + D 9 m,7 m i D. Per tror 9 En un irumferèni de rdi 6 m trem un ord 3 m del entre. ì Tro l ngle O. P El tringle O és isòseles. O P 3 m 6 m O OP 3 m O 6 m ì OP 90 ì 3 ì os PO PO 60 6 ì ì O PO 60 0 3
UNITT 30 Per lolitzr un emissor lndestin, dos reeptors, i, que disten entre si 0 km, orienten les ntenes p l punt on es tro l emissor. questes direions formen m ngles de 0º i 65º. quin distàni de i es tro l emissor? E 0 0 km 65 E 0 ( + ) 75 plindo el teorem de los senos: sen 0 sen 65 0 0 sen 0 sen 75 sen 75 6,65 km dist de. 0 0 sen 65 sen 75 sen 75 9,3 km dist de. 3 En un entrenment de futol es ol lo l pilot en un punt situt 5 m i m de d un dels pls de l porteri, l mplàri de l qul és de 7 m. Dvll quin ngle es veu l porteri des d quest punt? (porterí) 7 m 5 m m (lón) plindo el teorem del oseno: + os os + + 5 7 0,5 60 5 33
Pàgin 3 lul l àre i les longituds dels ostt i de l ltr digonl: ì D ì 50. lul els ostts del tringle D i l seu àre. Per tror l ltr digonl, onsider el tringle D. 50 0 m D Los dos triángulos en que l digonl divide l prlelogrmo son igules. Luego strá resolver uno de ellos pr lulr los ldos: 50 m 0 0 ( + ) 0 sen 50 sen 50 sen 0 sen 0,7 m sen 0 sen 0 sen 0 sen 0 6,6 m sí: D 6,6 m D,7 m Pr lulr el áre del triángulo : sen 50 sen 50 sen 50 6,6 sen 50 Áre 5,5 m El áre del prlelogrmo será: Áre D Áre 5,5 9 m Pr lulr l otr digonl, onsideremos el triángulo D: plindo el teorem del oseno: D 6,6 +,7 6,6,7 os 70 93, D 3,9 m 50 + 0 70 6,6 m 70,7 m D 3
UNITT 33 Dos viells ien d un port m rums diferents que formen un ngle de 7º. El primer n i les 0 del mtí m un veloitt de 7 nus, i el segon n i les 30 min, m un veloitt de 6 nus. Si l st dels equips de ràdio és de 50 km, podrn posr-se en ontte les 3 de l vesprd? (Nu mill / or; mill 50 m). P 7 L distni que reorre d uno en ese tiempo es: ro P 7 50 m/ 5 57 50 m ro P 6 50 m/ 3,5 6 350 m Neesrimente, > P y > P, luego: > 6 350 m omo el lne de sus equipos de rdio es 50 000 m, no podrán ponerse en ontto. (NOT: Puede lulrse on el teorem del oseno 9 3,7 m). 3 En un retngle D de ostts m i m, es trç des de un perpendiulr l digonl, i, des de D, un ltr perpendiulr l mtei digonl. Siguen M i N els punts on questes perpendiulrs tllen l digonl. Tro l longitud del segment MN. D N m M m En el tringle, tro. En el tringle M, tro M. Tin en ompte que: MN M Los triángulos ND y M son igules, luego N M omo MN N M, entones: MN M Por tnto, st on lulr en el triángulo y M en el triángulo M. 35
En : + 0 (por el teorem de Pitágors) lulmos En M : tg,5 56 ' 35," (en ): M os M os (56 ' 35,"), m Por último: MN M,, 5,6 m, m 35 Tro l ltur de l rre QR de peu inessile i més i que el punt d oservió, m les ddes de l figur. Q 30 0 R P 50 m P' Llmemos e y ls medids de l ltur de ls dos prtes en que qued dividid l torre según l figur dd; y llmemos z l distni de P l torre. Q y R z 30 0 P 50 m P' tg z tg z tg 30 (z + 50) tg 30 z + 50 z tg (z + 50) tg 30 50 tg 30 z tg z tg 30 + 50 tg 30 z 5,3 m tg tg 30 Sustituyendo en z tg 5,3 tg 60, m y Pr lulr y: tg 0 y z tg 0 5,3 tg 0 9,7 m z Luego: QR + y 79, m mide l ltur de l torre. 36
UNITT 36 lul l ltur de QR, el peu del qul és inessile i més lt que el punt on es tro l oservdor, m les ddes de l figur. Q R P 3 P' 50 m Llmemos l distni del punto más lto l líne orizontl del oservdor; y, l distni de l se de l torre l mism líne; y z, l distni R'P, omo se indi en l figur. tg ( + ) tg 0 z tg 0 z tg 3 (z + 50) tg 3 z + 50 50 tg 3 z tg 0 (z + 50) tg 3 z 5, tg 0 tg 3 Sustituyendo en z tg 0 5, tg 0,37 m Pr lulr y: y tg y z tg z Q 5, tg 7, m Por tnto: QR y 7,97 m mide l ltur de l torre. y R R' z P 3 50 m P' QÜESTIONS TEÒRIQUES 37 Epli si les igultts següents referides l tringle són vertderes o flses: ) ) os sin 3) ) sin 5) tg tg 6) tg 7) sin os 0 ) os 9) 0) sin ) sin tg tg sin os ) os 37
) Verdder, pues sen ) Verdder, pues os os 3) Fls, pues tg tg ) Fls, pues sen sen 5) Verdder, pues tg tg 6) Verdder, pues tg tg 7) Verdder, pues sen os 0 ) Verdder, pues os 9) Fls, pues tg tg sen sen 0) Verdder, pues sen + os omo os sen os sen ) Fls, pues sen os (porque? ) sen / ) Verdder, pues os / 3 Prov que en un tringle qulsevol es verifi: R sin sin sin R és el rdi de l irumferèni irumsrit. Trç el diàmetre des d un dels vèrtes del tringle. pli el teorem dels sinus en els tringles i '. ' O plimos el teorem de los senos en los triángulos y ': En sen sen sen ' En ' sen ' sen ' 3
UNITT Suede que: ' (ángulos insritos en un irunfereni que rn el mismo ro) ' R ' 90 (medid de ángulos insritos en un irunfereni) R R L iguldd qued: R sen sen 90 sen Por último, sustituyendo en l primer epresión, se otiene el resultdo: R sen sen sen 39 Prov que només i un tringle m questes ddes: 3 m,,5 m, 60 Hi p tringle m questes ddes?: 35, 3 m, 3 m + os,5 ( ) + os 60 3,5 3 + 3 3 + 0,75 0 3,5 m 3 ± 3 3 3 m 60 3 m L euión de segundo grdo solo tiene un ríz. Solo y un soluión. (NOT: Tmién se pueden estudir ls dos soluiones que slen pr on el teorem del seno y ver que un de ells no es válid, pues quedrí + > 0). Podemos resolverlo on el teorem del oseno, omo ntes, o on el teorem del seno. Resolvemos este prtdo on el segundo método meniondo: 3 3 sen sen sen sen 35 3 sen 35 sen 3 sen 35 90 Pero: + 35 + 90 > 0 Imposile! Luego l soluión no es válid y, por tnto, onluimos que no y ningún triángulo on esos dtos. 39
Pàgin 5 PER PROFUNDIR-HI 0 Dues vies de tren d, m d mple es reuen i formen un rome. Si un ngle de tll és de 0º, qunt vldrà el ostt del rome?,, sen 0 l, m l sen 0, m 0 l 0 Per tror l distàni entre dos punts inessiles i, fiem dos punts i D tls que D 300 m, i mesurem els ngles següents: ì ì D 5 D 0 ì D ì 6 3 D 5 3 0 300 m 6 lul. Si onoiésemos y, podrímos llr. lulemos, pues, y : on el teorem del oseno en En el triángulo D: 0 65 6 69 Por el teorem del seno: 300 sen 69 D 300 sen 65 9, m sen 65 sen 69 65 6 300 m En el triángulo D: D 0 7 300 m 0 0 7 6 Por el teorem del seno: 300 sen 6 sen 0 300 sen 0,0 m sen 6 0
UNITT Podemos entrrnos y en el triángulo y plir el teorem del oseno: 9, +,0 9,,0 os 3 636,09 56,96 m 9, m 3,0 m En un erle de 5 m de rdi, tro l àre ompres entre un ord de 0 m de longitud i el diàmetre prl lel ell. I 0 m II III 5 m Podemos dividir l zon somred en tres, de form que: I III setores irulres de ángulo desonoido. II triángulo isóseles de ldos igules 5 m y de ldo desigul 0 m. En II: lulemos l ltur desde : 5 + 0 5 0, m sí: Áre II se Ò ltur 0,, m lulemos el ángulo (el ángulo desigul) plindo el teorem del oseno: 0 5 + 5 5 5 os os 5 + 5 0 0, ) 3 37',3" 5 5 En I: onoido podemos lulr fáilmente: 0 ',9" Y, on esto, el áre: Áre I π r π 5 9,6 m 360 360 Por último, el áre pedid será: T Áre II + Áre I, + 9,6 T 30,0 m
3 Dues irumferènies són tngents eteriorment i els rdis fn 9 m i m. Tro l ngle,, que formen les tngents omunes. O' 9 O P Els rdis formen m les tngents dos tringles retngles. om que OP +, tenim: sin y sin 9 + 7 + lul i després. OP + sen + O'P 9 + + + 7 + sen 9 7 + 9 (7 + ) 9 ( + ) + 7 + 6 36 9 3 5 6, m Sustituyendo por su vlor: sen + + 6, 0, 0,36 37',5" sí: 5 ' 3" UTOVLUIÓ. D un tringle retngle oneiem l ipotenus m i el tet 7 m. Tro n els ngles guts. m 7 sen 35 ' 7 '' 90 5 ' 53'' 7 m
UNITT. Epress m un ngle del primer qudrt les rons trigonomètriques dels ngles següents: 5, 07, 3, 56 sen 5 sen (0 6) sen 6 os 5 os 6 tg 5 tg 6 sen 07 sen (0 + 7) sen 7 os 07 os 7 tg 07 tg 7 sen 3 sen (360 ) sen os 3 os tg 3 tg sen 56 sen (360 6 + 96) sen 96 sen (360 6) sen 6 os 56 os 6 tg 56 tg 6 3. Si sin /5 i > 90, lul sense tror l ngle : ) os ) tg ) sin (0 + ) d) os (90 + ) e)tg (0 ) f) sin (90 + ) ) os sen os 6 os 9 3 os ± 5 5 5 3 os 5 /5 ) tg 3/5 3 ) sen (0 + ) sen 5 d) os (90 + ) sen e) tg (0 ) tg 3 f) sen (90 + ) os. Si tg 3,5, tro m jud de l luldor, epress-o om un ngle de l intervl [0, π) i otín-ne el sinus i el osinus. st3.5 ± { \ } Hy dos soluiones: sen 0,96; os 0,7 sen 0,96; os 0,7 5 56' 3'' 05 56' 3'' 3 5 5 3
5. lul l àre del tringle. 0 m 3 m 3 m 0 m ltur: sen 0 sen 9,39 m 0 3 9,39 Áre 50, m 6. Dlt d un edifii en onstruió i un gru de m. Des d un punt del sòl es veu el punt més lt de l gru dvll un ngle de 50º respete l oritzontlitt i el punt més lt de l edifii dvll un ngle de 0º m l oritzontlitt. lul l ltur de l edifii. m 0 50 tg 0 + tg 50 tg 50 tg 0,3 m tg 50 tg 0,3 tg 0 9,5 m L ltur del edifiio es 9,5 m. tg0 tg 50 + tg 0 7. Resol el tringle en quests sos: ) 9 m, 33 m, ) 5 m, m, 30 ) on el teorem del oseno, llmos : 9 + 33 9 33 os 60,9 9 m 33 m,7 m Del mismo modo, llmos : 33 9 +,7 9,7 os os 0,5 97 9' 0 ( + ) 3 5'
UNITT ) Hllmos on el teorem de los senos: 30 5 5 m sen sen sen sen 30 sen m 0,6 Hy dos soluiones: 59' 9'' 37 0' 5'' 07 0' 5'' 59' 9'' sen 30 sen 07 0' 5'',0 m,9 m sen 30 sen 59' 9''. Dos mis estn en un pltj 50 m de distàni i en el mtei pl vertil que un milot que es tro volnt entre mdós. En un moment dont, un l veu m un ngle d elevió de 50º i l ltre m un ngle de 3º. Quin distàni i de d un d ells l milot? 0 (50 + 3) 9 50 9 50 m 3 Hllmos y on el teorem de los senos: sen 50 sen sen 50 sen 9,9 m 50 9, m sen sen sen 3 sen 9 Ls distnis de d uno l omet son,9 m y 9, m, respetivmente. 9. Els ostts d un prl lelogrm mesuren m i 3 m i formen un ngle de 5º. Tro n l longitud de l digonl mjor. 0 5 d lulmos d plindo el teorem del oseno: 5 m d + 3 3 os 057, 3 m d 5,36 m es l medid de l digonl. 5