METODO DE EEMENTOS FINITOS El Método d Elmtos Ftos (MEF) s u método uméro ara rsolvr uaos dfrals or mdo d "aromaos dsrtas". A dfra dl método d dfras ftas (MDF), l ual la zoa d soluó s u outo d utos dsrtos, l método d lmtos ftos suo qu la zoa d soluó stá omusta d muhas subzoas trotadas, las qu s doma "lmtos ftos". Estos lmtos, los qu ud tomar formas smls (or mlo, lías, trágulos, rtágulos, arallídos) s sambla d dfrts maras ara rrstar la soluó sobr ua rgó ualqura. CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
CONCEPTOS BASICOS EN ANAISIS DE EEMENTOS FINITOS El aálss d lmtos ftos ara u roblma físo ud sr dsrto d la sgut forma: () El sstma físo s dvd srs d lmtos qu stá otados or u úmro dsrto d utos odals; st roso s doma "dsrtzaó". () Ua rsó matral s dsarrolla ara rlaoar las varabls odals d ada lmto. a matrz rsultat s oo omúmt omo matrz lmtal. Para u roblma dsrto, la matrz lmtal ud sr grada a artr d u aálss físo sml. Para roblmas otuos, la matrz lmtal s obt mdat u roso matmáto qu utlza téas varaoals o métodos d rsduos odrados. as matrs lmtals s omba o "sambla" ara formar u outo d uaos algbraas qu dsrb l sstma global. a matrz d ofts dl roblma global s oo omo la matrz global. El rodmto d sambl s ralza ara umlr odos d omatbldad la uó d lmtos. (4) Codos d bord so ororadas dtro d la matrz global. (5) El outo d uaos algbraas s rsulv mdat algú método matral aduado. CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
SOUCION A UN PROBEMA DISCRETO Cosdrmos l fluo d agua a través d u mdo oroso, stado staoaro. Est mdo oroso stá omusto d trs zoas d dfrt odutvdad hdráula, tal omo s mustra la fgura sgut. El agua s yta a ua tasa utara a través d uo d los trmos dl mdo oroso, mtras qu la arga hdráula s mat ostat, o ua valor gual a 5, l otro trmo. Utlmos l MEF ara dtrmar la dstrbuó d la arga hdráula dtro dl mdo oroso. Paso. Dsrtzar Mdo Poroso. Idtfaó Elmtos Ftos Númro Coos Nodals d Elmto Nodo Nodo 4 CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
SOUCION A UN PROBEMA DISCRETO Paso. Dtrmar Caratrístas d los Elmtos Cosdrmos u lmto aslado omo l qu s da la Fgura (lmto ). os valors dl fluo d agua subtrráa, Q, y la arga hdráula, h, so dfdas ada udo. Por ova vamos a asgar u sgo ostvo al fluo qu tra al lmto. El térmo dsoodo st roblma s la arga hdráula. la rlaó tr la arga hdráula y l fluo d agua subtrráa stá dada or la y d Dary. a uaó d Dary ara ada udo s ud srbr omo: Q Q A ( h ) h A ( h ) h dod, A y orrsod a la odutvdad hdráula, ára trasvrsal y logtud dl lmto, rstvamt. CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal SOUCION A UN PROBEMA DISCRETO Paso. Dtrmar Caratrístas d los Elmtos (ot.) as uaos atrors ud sr srtas forma matral omo: Q Q h h A A A A o forma matral omo: [ ] {} { } Q h C dod l suríd s utlza ara dar qu la uaó matral s srb ara l lmto. as omots d la matrz C so las sguts: A A A
SOUCION A UN PROBEMA DISCRETO Paso. Esamblar Euaos Elmtals. Dsués d samblar todas las uaos ara ada lmto, s obt u outo d uaos globals, l qu s ud srbr omo: 4 4 4 4 4 4 44 h h h h 4 Q Q Q Q 4 o forma quvalt, dod C s la "matrz global". [ C ] {} h { Q} El roso d sambl s dsarrolla d la sgut forma. Prmro s rsrb la uaó matral térmos d la umraó global. D sta mara, ara l lmto () s t: () () () () h h h h 4 Q Q () () CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
SOUCION A UN PROBEMA DISCRETO Paso. Esamblar Euaos Elmtals (ot.) Para l lmto () s t: () () () () h h h h 4 Q Q () () Para l lmto s t: h h h h 4 Q Q a matrz global s obt agrgado las otrbuos dsd todos los lmtos. a ombaó d las uaos ara los lmtos (), (), y da: () () () () () () () () h h h h 4 Q Q () () Q Q () Q Q () CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
SOUCION A UN PROBEMA DISCRETO Paso. Esamblar Euaos Elmtals (ot.) a ombaó d las uaos ara los lmtos (), (), y da: () () () () () () () () h h h h 4 Q Q () () Q Q () Q Q () S ororamos la otudad d fluos los odos tros, y, s t l odo : Q () () Q y l odo : Q () Q Co lo qu la uaó orgal s trasforma a: () () () () () () () () h h h h 4 Q Q () CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
SOUCION A UN PROBEMA DISCRETO Paso 4. Iororar Codos d Bord. E st aso s t dos odos d bord: l odo, Q, y l odo 4, h 4 5. a rmra odó d bord s luy forma sml l vtor dl lado drho: () () () () () () () () h h h h 4 Q a sguda odó d bord s srta ambado la uarta uaó dl sstma matral or la uaó: la qu s ud srbr omo: h 4 5 h h h h [ ] {} 5 4 CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
SOUCION A UN PROBEMA DISCRETO Paso 4. Iororar Codos d Bord (ot.) D sta mara s t: () () () () () () () () h h h h 4 5 Para rsrvar la smtría s ud rsrbr la uaó atror omo: () () () () () () () () h h h h 4 5 h 4 5 5 Paso 5. Rsolvr Sstma d Euaos Algbraas. a uaó atror ud sr rsulta forma drta mdat u método d soluó tradoal o forma drta mdat u método tratvo. CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
SOUCIÓN DE PROBEMAS CONTINUOS EN ESTADO ESTACIONARIO O PERMANENTE El rodmto d lmtos ftos dsrto l uto atror ud sr tddo forma sml ara trabaar o roblmas otuos. la tsó volura la dfó d ua mara más gral d formular las uaos matrals d lmtos. Esto ud sr dfdo a través d dos métodos dsttos: varaoals o rsduos odrados. Dsd l uto d vsta oraoal la formaó d las matrs lmtals bas al método d rsduos odrados s más útl or lo qu srá aalzada st urso. Cosdrmos u roblma otuo gobrado or ua uaó dfral dl to: () u f ua rgó R rodada or u bord o frotra B. ara obtr ua soluó aromada ara st roblma s db sgur trs taas o fass. E la rmra fas la fuó dsooda o varabl d stado u s aroma or ua fuó d ruba d la forma: u~ I N I C I dod N I so fuos d bas lalmt ddts, las qu s df sobr l domo d soluó, y C I so arámtros dsoodos qu srá dtrmados ostrormt. CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
SOUCIÓN DE PROBEMAS CONTINUOS EN ESTADO ESTACIONARIO O PERMANENTE Dbdo a qu la fuó atror s sólo ua aromaó, al substturla la uaó dfral s obtdrá u valor rsdual, s dr: ( u~ ) ε f El método d los rsduos odrados busa dtrmar los térmos dsoodos, C I, d tal forma qu l rror o valor rsdual d la uaó atror sa mímo. Esto últmo s osgu hado qu la tgral odrada dl rror ε sobr toda la rgó d aálss sa ula. E la sguda fas s dtfa las fuos d odraó lalmt ddts, W I, qu db umlr lo sgut: R W I ε dr R W I ( ( u~ ) f ) dr ara todo I,,, Ua vz qu s sfa ua forma fuoal ara las fuos d odraó, s mla la aromaó d u y s omba sta formaó o la uaó tgral atror ara obtr u outo d uaos smultáas, o valors ógtas, C I, I,,...,. Falmt, la trra taa s rsulv las uaos ara C I y obtr ua rrstaó aromada ara u. u~ I N I C I CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
SOUCIÓN DE PROBEMAS CONTINUOS EN ESTADO ESTACIONARIO O PERMANENTE MÉTODO DE COOCACIÓN PUNTUA E st método s sfa u outo d utos I l domo d soluó, Putos d Coloaó, y s sloa las fuos d odraó guals a la fuó d Dra: W D st modo s t: ( ), I,, I δ I, ( ) ε dr ε( ) I ε dr δ I I R W MÉTODO DE COOCACIÓN EN SUBDOMINIO R E st aso l domo d soluó s dvd subdomos, y las fuos d odraó s lg omo: RI WI, I,,, RI dod R I s rfr al subdomo sfado. CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
MÉTODO DE GAERIN E st aso las fuos d odraó s lg guals a las fuos d trolaó, s dr: W I N I. Co lo atror s t: o, N I ε dr R ( ( u ) f ) N ~ I dr ara todo I,,, R D los trs métodos atrors, l d Galr s l más aduado forma atural ara trabaar o lmtos ftos. Por sta razó ha sdo atado forma gral omo la mtodología bas ara l MEF. Paso El domo s subdvddo ua sr d lmtos y las fuos dsoodas so rrstadas sobr ua subrgó tía or la sgut fuó d ruba o aromada: u~ I N I u I dod N I so las fuos d trolaó dfdas ara l lmto, u I so los valors odals dsoodos, y s l úmro d odos l lmto. CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
MÉTODO DE GAERIN Paso a tgral odrada s ud sarar ua sr d subtgrals, ada ua d llas sobr l ára d u lmto dvdual, sto s: R N I ε dr R N I ε dr o atror rmt srbr la sgut uaó, la qu dsrb l omortamto u lmto dvdual: ( ( u ) f ) ~ N dr Q ara todo I,,, I I R E st uto, la tgral obtda mdat l método d Galr ot lmtos d lvado ord, los uals ud sr rdudos utlzado l Torma d Gr (tgraó or arts). D sta mara s dsmuy l ord d las uaos, lo qu rmt utlzar fuos d trolaó más smls. Paso ugo d habr aalzado las uaos dvduals (or lmtos) stas s ud ombar o samblar ara rar la uaó matral global y lugo ororar las odos d bord. CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE BASE os rodmtos ara formular las uaos d lmtos ftos or métodos varaoals o métodos d rsduals s basa l suusto qu la tgral sobr la rgó tra s ud rmlazar or la suma d tgrals sobr subrgos. Para asgurar qu st suusto s váldo y qu ustra soluó aromada ovrg a la soluó orrta al rfar la malla d lmtos ftos, las fuos d trolaó db umlr rtas odos: () E la trfas tr lmtos, la fuó dsooda u y ualqura d sus drvadas hasta u ord fror a la más alta drvada la tgral rsdual odrada db sr otua. Esto s doma odó d otudad. () a fuó d ruba u y sus drvadas db sr aas d rrstar ualqur valor ostat d u uado l tamaño d los lmtos s aroma a ro. Esto s doma l rqurmto d omlttud. CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
FUNCIONES DE BASE INEAES uˆ u~ m () N () u () ( ) u ( ) u a omaraó tr las uaos atrors mustra qu las fuos d bas stá dadas or: N () ( ) N () ( ) ara. CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal FUNCIONES DE BASE AGRANGE Fuos bas o d aromaó, t la sgut forma: () m N Estas fuos so los olomos d agrag d grado m. Como u mlo odmos osdrar l lmto d trs udos qu s mustra la fgura atror. E st aso m, d tal forma qu N, N, y N stá dados or: () ( ) ( ) ( ) ( ) N () ( ) ( ) ( ) ( ) N () ( ) ( ) ( ) ( ) N
EJEMPO: FUJO UNIDIMENSIONA EN UN MEDIO POROSO UNIFORME Cosdrmos u roblma sml d fluo ua dmsó u mdo oroso uform d udads d logtud. d, dod l oft s gual a. Suogamos admás qu las fuos d bord so d to Drhlt, dados or: Para st aálss subdvdamos la rgó m lmtos, y rodamos o los sguts asos. Paso : Costrur la fuó d bas o d aromaó y usar l rtro d Galr ara formar la tgral odrada rsdual. a fuó d aromaó ~ s ud srbr térmos d las fuos d bas globals y d los valors odals d : ~ () N () dod N orrsod a la fuó d trolaó l odo, s l úmro d odos d la malla d lmtos ftos. d ~ ε CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
EJEMPO: FUJO UNIDIMENSIONA EN UN MEDIO POROSO UNIFORME Paso : Alado l rtro d Galr y ostruydo la tgral rsdual d la forma: N ε,,, o d ~ N,,, Al alar l Torma d Gr (Itgraó or arts) a la uaó atror s obt: d ~ d ~ N,,, Dbdo al to d odó d bord, Drhlt, qu mo valors d los trmos d la malla ( y ) la sguda rsó ud sr lmada d la uaó atror. D sta forma, ara l rsto d los odos s obt la sgut rsó: d ~,,, CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
EJEMPO: FUJO UNIDIMENSIONA EN UN MEDIO POROSO UNIFORME Al substtur la aromaó ara la últma uaó s t:,,, Dbdo a qu las fuos d aromaó satsfa odos d otudad dtro d la malla s osbl srbr: m,,, dod y so las oordadas d los udos trmos dl lmto. D la uaó global atror odmos trar la uaó ara l lmto, la qu orrsod a:,,, o al rordarla s obt:,,, CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
EJEMPO: FUJO UNIDIMENSIONA EN UN MEDIO POROSO UNIFORME Cambado d oordadas globals a oordadas loals s obt:, a uaó atror rrsta ua fla () d ua uaó matral la qu s ua d las ógtas: C E ua otaó matral, s ud srbr omo: dod: [ C] {} [ C] C CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
EJEMPO: FUJO UNIDIMENSIONA EN UN MEDIO POROSO UNIFORME S utlzamos fuos d aromaó lals dl to: tmos qu: N N () ( ) () ( ) () () o atror rmt srbr: [ C] a uaó: [ C] {} dsrb las aratrístas d u lmto fto artular. A otuaó s db ralzar l sambl d la matrz global y falmt la ororaó d las odos d bord. CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
SOUCION DE PROBEMAS CONTINUOS TRANSIENTES O IMPERMANENTES a soluó d stado staoaro qu s rstó l mlo atror s d to líto. Cuado s osdra u roblma d fluo trast las uaos d stado s trasforma arabólas, y s saro ralzar dsrtzaos saals y tmorals. la aromaó l tmo ud sr ralzada a través d u squma d dfras ftas o d lmtos ftos. Cosdrmos l sgut roblma ua dmsó: κ α, t o las sguts odos als y d bord: (, ) (, t) (, t) Dbdo a qu s ua fuó qu dd dl sao y l tmo, la rrstarmos or mdo d ua fuó d aromaó dl to: ~ (, t) N ( ) ( t) CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
SOUCION DE PROBEMAS CONTINUOS TRANSIENTES O IMPERMANENTES S dsarrollamos los msmos asos qu ara l roblma staoaro o d régm rmat la uaó global s dl to: κ α N N d dt o C M d dt,,, dod C κ y M α N N CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal SOUCION DE PROBEMAS CONTINUOS TRANSIENTES O IMPERMANENTES a uaó:,,, dt d M C rrsta u sstma d uaos dfrals d rmr ord, l qu ud sr rsulto uméramt a través d u squma d dfras ftas d la forma sgut:,,, dt d M C θ θ dod θ s u fator d odraó, uyo valor s utra tr y. S rmlazamos la drvada tmoral or ua dfra dl to: t dt d θ los valors odals d l tmo θ s ud srbr omo: ( ) θ θ θ Susttuydo las aromaos atrors la uaó matral drvada a través d lmtos ftos s obt la sgut rsó ara l álulo d los valors odals d.
CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal SOUCION DE PROBEMAS CONTINUOS TRANSIENTES O IMPERMANENTES Ersó matral ara l álulo d los valors odals d : ( ) [ ] t M C θ θ a uaó atror orrsod a u sstma d uaos algbraas o matrals. dddo dl valor d θ s osbl drvar dfrts aromaos. Esquma Elíto. Est squma s obt s s fa θ : C t M t M Esquma Imlíto. Est squma s obt s s fa θ : t M t M C Esquma d Cra-Nolso. Est squma s obt s s fa θ /: C t M t M C Para ualqur squma d trolaó tmoral qu s utl, la soluó s obt utlzado odos als y d bord.
ANAISIS DE ESTABIIDAD Al rsolvr u roblma trast utlzado u squma uméro s saro asgurars d qu l roblma sa omutaoalmt stabl. Al gual qu ara los foqus d dfras ftas s osbl studar los ambos l Fator d Amlfaó. Para sto rsmos los squmas atrors forma matral omo: [ ] {} A [ B] {} a uaó atror ud sr srta forma rduda omo: {} [ A] [ B] {} [ G] {} dod [ G ] s oo omúmt omo la matrz d amlfaó. Dfamos l vtor d rror l tmo, omo: {} E {} P {} dod {} P orrsod a la soluó ata dl roblma l tmo. Dado qu la uaó matral orgal també s satsfha or la soluó ata, s osbl mostrar qu: {} E [ G] {} E Utlzado ormas omatbls ara la matrz y los vtors, así omo la dsgualdad d Shwartz, s obt: E G E CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
ANAISIS DE ESTABIIDAD a uaó atror rmt dtfar u rtro d stabldad, d tal mara qu los rrors uméros o rrá d ua traó a la sgut s s uml qu: G D sta mara, la stabldad d la soluó uméra ud sr asgurada s la orma d la matrz d amlfaó s mor qu la udad. Para ua matrz smétra, la orma más aroada s la d to stral o to : G ma λ dod λ dota los valors roos d la matrz G. D sta mara, l rtro d ovrga s l sgut: ma λ Para st aálss d stabldad osdrmos la stuaó d u roblma líto. CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
ANAISIS DE ESTABIIDAD - Esquma Elíto E st aso s ud srbr la sgut rsó matral: [ ] {} M ([ M ] t [ C] ) { } o atror ud sr rordado ara obtr qu: {} [ M ] ([ M ] t [ C] ) { } [ G] {} D tal mara qu: [ G] [ M ] ([ M ] t [ C] ) { } [] I t [ M ] [ C] dod [ I ] s la matrz dtdad. [] I [ G] t [ M ] [ C] Utlzado la orma d ua matrz s t: I G t M C Para stabldad s db tr: G El aálss d sta dsgualdad mustra qu s válda sólo ara alguos valors d t, lo qu ha qu l squma sa sólo odoalmt stabl. Al ralzar l msmo aálss ara los squmas Imlíto y Cra-Nolso s ud dmostrar qu ambos so odoalmt stabls. CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
EJEMPO: FUJO UNIDIMENSIONA EN UN MEDIO POROSO UNIFORME Para roóstos lustratvos osdrmos l roblma udmsoal o la gomtría dfda la fgura sgut: Cosdrmos qu la logtud d ada lmto s. as matrs lmtals ara st roblma so las sguts: y [ ] κ C κ N N N [ ] α M α N N N N N 6 CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
EJEMPO: FUJO UNIDIMENSIONA EN UN MEDIO POROSO UNIFORME Esamblado los trs lmtos ororado odos d bord Drhlt los udos y 4 ( y 4 ), la matrz global rsultat ud sr rduda a: d κ α 4 6 4 d dt dt dsd dod: κ [ C] 4 [ M ] α 6 Para obtr l rtro d stabldad dl squma líto, alulmos la matrz [ G ] dsd: dod, [ G] [ I] t [ M ] [ C] g g [ G] g g 4 CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal
EJEMPO: FUJO UNIDIMENSIONA EN UN MEDIO POROSO UNIFORME D sta mara, dod g g [ G] g g g g 8 κ t 5α ( ) g g κ t 5 α y ( ) A artr d los rsultados atrors s ud obtr los valors roos d la matrz G omo: λ 6 κ t α ( ) λ 6 κ t y 5 α ( ) Estos últmos rsultados os rmt srbr: ma λ λ lo qu os llva a la sgut odó d stabldad: 6 κ t α ( ) o ( ) α t κ CI7D Modlaó Numéra Igría Hdráula y Ambtal