IMPULSO y CANTIDAD DE MOVIMIENTO INTRODUCCIÓN De acuerdo a las leyes de Newto aplicados a partículas o a cuerpos rígidos sabemos que si sobre ua partícula o actúa fuerzas etoces su velocidad e los sistemas ierciales permaece ivariable, pero si cosideramos partículas e iteracció mutua que o está fijamete uidas como u cuerpo rígido, de modo que pueda teer movimieto relativo etre si, al cual llamaremos sistemas de partículas, tiee u puto comú llamado cetro de masa cuyo movimieto de traslació es represetativo del cojuto de partículas. Podemos asumir que la masa del sistema esta cocetrada e el cetro de masa y podemos tratar al sistema como si fuera ua úica partícula ubicada e el cetro de masa. La aplicació de la Seguda ley de Newto al cetro de masa os coduce a defiir la ley de la coservació de la catidad de movimieto lieal Si defiimos el cocepto de sistema aislado, comprediedo co ello el cojuto de partículas que iteractúa etre sí dode existe ua serie de magitudes relacioadas co las velocidades que o varía co el tiempo, como por ejemplo la catidad de movimieto del sistema. Este uevo efoque (vectorial) represeta u complemeto de la descripció eergética (escalar), vista e el capítulo de trabajo y eergía, y las leyes de Newto para el estudio de los problemas mecáicos. Este tercer modo de tratar problemas de diámica, solo os muestra como el hombre puede explicar ua gra catidad de feómeos aturales y darse cueta como la física o es ta compleja como muchos cosidera, es decir, o basta co querer apreder de memoria ua serie de formulas, es ecesario aalizar cuidadosamete los problemas para poder elegir el camio mas fácil para resolverlos. Gracias a esta ueva descripció se ha podido descubrir la existecia del úcleo del átomo, estudiar la formació de las diferetes etapas geológicas de la tierra, eviar ua ave espacial a la Lua, además de eteder problemas secillos como el patear u baló, etc.
IMPULSO Es ua catidad física vectorial que caracteriza la acció itegrada de ua fuerza e u itervalo de tiempo. El impulso causa u cambio de velocidad. V V La iteracció etre el pie y la pelota produce ua fuerza sobre la pelota e u tiempo. IMPULSO DE UNA UERZA CONSTANTE: Supogamos que ua fuerza costate actúa sobre la masa m durate u itervalo de tiempo, tal como se idica e la figura m v i v f Ua fuerza costate actuado sobre ua masa m durate u tiempo Δt, le cambia su catidad de movimieto Se defie el impulso de la fuerza como el producto de la fuerza por el itervalo de tiempo de iteracció: I El impulso tiee la misma direcció que la fuerza que la produce Sí graficamos la fuerza versus el tiempo, podemos observar que el área bajo la curva os proporcioa la magitud del impulso de la fuerza Impulso Area : e [Ns] Gráfica versus t
IMPULSO DE UNA UERZA CON MAGNITUD VARIABLE Si la magitud de ua fuerza varia co el tiempo tal como se observa e la figura La magitud del impulso recibido por la partícula e el itervalo de tiempo es igual al área bajo la curva de la gráfica versus t I m E esta ultima ecuació la fuerza m que aparece es la fuerza media que ha actuado sobre la partícula e el itervalo. El impulso tiee la misma orietació que la fuerza que la produce. IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Cuado se estudió la primera ley de Newto se estableció: que toda partícula que se mueve co velocidad costate o permaece e reposo e algú sistema de referecia iercial, permaecerá e dicho estado idefiidamete a meos que u agete extero le modifique su estado de movimieto. Esto es, si el sistema está aislado: Σ 0 Si se aplica ua fuerza costate a la partícula el efecto será el cambio de velocidad o aceleració costate I t ma I Δv I t m t mv ( v) V V
El impulso produce el cambio e la catidad m partícula v asociado al movimieto de la La ecuació aterior se escribe como I t mv mv I t p p p Se defie la Catidad de movimieto o mometum lieal de la partícula de masa m la catidad p mv e kg ms, dode m es ua propiedad del cuerpo y v depede del sistema de referecia P m v P m v La fuerza se puede escribir p p f i p Redefiiedo la seguda ley de Newto de la siguiete maera: El cambio e la catidad de movimieto de ua partícula co el tiempo es igual a la fuerza promedio que ha actuado sobre la partícula e el itervalo de tiempo m v p t p p t p p mv m p t α La primera ley de Newto se reiterpretaría como Toda partícula que se mueve co p costate o que permaezca e reposo co p 0, se matedrá e dicho estado e forma idefiida a meos que algú agete extero le modifique su estado iicial La catidad de movimieto permite difereciar etre dos partículas co masa distita que se mueve co la misma velocidad. Idetifica el estado de movimieto de la partícula
Toda fuerza que actúa sobre ua masa m, cambia su catidad de movimieto de p hasta p I t p p p Es decir; el impulso de la fuerza produce el cambio de la catidad de movimieto de la partícula. Esta última relació recibe el ombre teorema del impulso y la catidad de movimieto y os permite obteer el impulso que recibe la masa m si ecesidad de coocer la fuerza. SISTEMA DE PARTÍCULAS U sistema de partículas es u cojuto de partículas co algua característica comú que permita delimitarlo y e el que la posició y movimieto de ua partícula depede de la posició y movimieto de las demás. U sistema de partículas puede ser discreto o cotiúo. U sistema de partículas se reduce al movimieto de ua partícula utilizado el cocepto de cetro de masa U sistema de partículas se puede aislar co el fi de estudiar su movimieto. La elecció de las partículas que coforma el sistema es completamete arbitraria E el sistema S puede cosiderarse a las bolas, 4 y 37 y e el podemos aalizar el movimieto de dichas bolas cuado iteractúe co las bolas que esté fuera del sistema. Tambié se puede cosiderar otros sistemas como S formado por las bolas 7,8, 3, 37. UERZAS INTERNAS Y EXTERNAS Las iteraccioes etre las partículas se maifiesta a través de fuerzas que puede ser de cotacto, eléctricas, electromagéticas, gravitacioales, etc. Cuado las fuerzas de iteracció se produce detro del sistema dode se ecuetra las partículas se deomia fuerzas iteras. Siempre aparece e pares como acció y reacció lo que hace que su resultate sea cero, lo que hace que o cambie la catidad de movimieto del sistema. Las fuerzas exteras so las fuerzas etre partículas que se ecuetra fuera del sistema y partículas que se ecuetra detro del sistema. Como so fuerzas exteras al sistema cambia la catidad de movimieto del sistema.
SISTEMAS AISLADOS Y NO AISLADOS U sistema es aislado cuado o actúa sobre él fuerzas exteras. Las úicas iteraccioes so las que se da etre las partículas del sistema U sistema es o aislado cuado sobre el sistema actúa fuerzas exteras además de las iteras uerzas exteras 6 Partícula extera al sistema uerzas iteras y exteras CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE DOS PARTÍCULAS: La catidad de movimieto de u sistema de partículas es igual a la suma de la catidad de movimieto de cada partícula Dado u sistema de dos partículas de la figura se defie la catidad de movimieto del sistema como la suma de la catidad de movimieto de cada ua ellas p p + p Sistema aislado de dos partículas
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN DOS PARTÍCULAS SISTEMA DE Supogamos u sistema de dos partículas sujetas a su iteracció mutua, y a las fuerzas exteras ext. y ext. tal como se muestra e la figura: Observamos que la catidad de movimieto de cada partícula o es costate debido a las fuerzas que actúa sobre ellas, etoces os pregutamos la catidad de movimieto del sistema se matedrá costate? Para cotestar esta preguta aalicemos cada partícula por separado: p o es costate pues sobre m actúa la fuerza y ext. aplicado la seguda ley de Newto teemos: p + ext, aálogamete podemos decir que p o es costate pues sobre m actúa las fuerza y ext. + ext, p si sumamos estas dos ecuacioes y ordeamos adecuadamete: o p p + + ext, + ext, + ( p + p ) + + + ext, ext, por la tercera ley de Newto (ley de acció y reacció): + 0
etoces : ó ext, + ( p ext, p Ext + dode Ext es la fuerza extera resultate que actúa sobre el sistema Ext ext, + ext, p ) Es decir, el cambio e la catidad de movimieto del sistema co el tiempo es igual a la fuerza resultate extera que actúa sobre el sistema Ahora si la fuerza resultate extera es cero Ext ext, + ext, 0 etoces tedremos: p 0 p 0 esto sigifica que el cambio e la catidad de movimieto del sistema e el itervalo de tiempo es cero: p p + p cte Si la fuerza extera que actúa sobre el sistema es cero etoces su catidad de movimieto se matiee costate e todo mometo Resumiedo: Sí: Ext ext, + ext, 0 etoces p p + p cte Esta codició recibe el ombre del pricipio de coservació de la catidad de movimieto del sistema y podemos geeralizarla a u sistema coformado por varias partículas: Dado u sistema de partículas se defie la catidad de movimieto del sistema como: p p + p +... + p p i i
a) Si sobre el sistema actúa varias fuerzas exteras se cumple que: dode ext. j j es la suma de todas las fuerzas exteras al sistema y p b) Si la fuerza resultate extera que actúa sobre el sistema es cero el pricipio de coservació de la catidad de movimieto establece que: p i p i cte i p i i i I 0 0 p 0 es importate otar que las fuerzas iteras o cambia la catidad de movimieto del sistema de partículas.
CENTRO DE MASA Cuado se estudio e ciemática el movimieto bidimesioal se vio que todo cuerpo lazado al aire, bajo la ifluecia de la gravedad, describiría ua trayectoria parabólica y tomamos como ejemplo u proyectil, ua pelota, etc. Pero todos ellos fuero tratados como partículas putuales si dimesioes, pero la realidad es que todos estos cuerpos está coformados por muchas partículas. Por ejemplo si lazamos ua macuera al aire de la figura El cetro de masa de la macuera lazada al aire describe ua trayectoria parabólica U observador que se ecuetra lejos verá que ésta efectivamete describe ua trayectoria parabólica, pero qué verá el observador si se acerca más y ve detalladamete lo que sucede El observador dirá que cada masa e forma idividual o describe ua trayectoria parabólica, sio que está girado y moviédose caprichosamete, pero si embargo el puto marcado e la macuera si describe ua parábola, este puto particular del sistema recibe el ombre de Cetro de masa (CM) y se comporta como ua partícula putual de masa M + m. Ver figura El cetro de masa de la macuera se comporta como ua partícula putual de masa M+m
PROPIEDADES DEL CM. Hemos defiido el CM como u puto tal que si toda la masa del sistema estuviera cocetrada e él, el sistema se comportaría como ua partícula..- El CM permite reducir u sistema de partículas a ua sola partícula..- El CM de u sistema se mueve como u puto material cuya masa es la masa total del sistema, impulsado por las fuerzas exteriores. 3.- Todas las fuerzas exteriores al sistema se supoe aplicadas e su CM. La aceleració del CM coicide, pues, co la aceleració del sistema. 4.- La catidad de movimieto de u sistema es igual al producto de la masa del sistema por la velocidad de sus CM. 5.- Si las fuerzas que actúa sobre u sistema tiee ua resultate y u mometo ulos, el CM se mueve co movimieto rectilíeo y uiforme. Las fuerzas iteras o modifica el movimieto del CM. 6.- Si se toma el CM como orige de referecia, la catidad de movimieto del cojuto de partículas es siempre ula. 7.- El movimieto más geeral que puede teer u sistema se puede reducir a u movimieto de traslació de su CM más ua rotació alrededor de u eje que pasa por dicho puto. UBICACIÓN DEL CENTRO DE MASA Si se tiee u sistema de partículas la ubicació de su cetro de masa esta dado por: R CM m m m... m r r + r + + r ii i m + m +... + m m i i CM Sistema de varias partículas, su cetro de masa se deota por R CM
como m i es la masa total M del sistema esta ecuació se covierte: i dode r es el vector posició de la masa m i mii r R i CM M VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA El movimieto de cada ua de las partículas del sistema os advierte que el cetro de masa de la misma deberá estar moviédose tambié, si aalizamos ua de ellas, digamos la j-esima partícula, e u tiempo ésta deberá haberse desplazado r j, etoces el desplazamieto del CM e ese mismo itervalo de tiempo será: R CM m r i i i M si dividimos esta expresió por y hacemos que este itervalo de tiempo sea lo mas pequeño posible ( t 0 ) obtedremos: lim 0 R CM m i lim i M 0 r i esta es justamete la velocidad istatáea, etoces la velocidad del cetro de masa v CM queda determiada por: v CM m i v i i M v i es la velocidad istatáea de la i-esima partícula. La sumatoria que aparece e esta ultima expresió, es la catidad de movimieto p del sistema de partículas p m i i p por lo tato v CM M v i p i i Es decir, la velocidad del cetro de masa, es igual a la catidad de movimieto del sistema de partículas etre la masa total del sistema Esto os permite expresar la catidad de movimieto del sistema como: p M v CM
por el pricipio de coservació de la catidad de movimieto, si la fuerza resultate extera es cero etoces la catidad de movimieto de sistema se matiee costate por lo tato v CM deberá tambié permaecer costate, como si se tratase de ua partícula de masa M, esto cofirma ua vez mas que el cetro de masa se comporta como ua partícula putual de masa M y velocidad v CM. ACELERACIÓN DEL CENTRO DE MASA Si sobre el sistema de partículas actúa varias fuerzas exteras, hemos demostrado ates que: p dode Ext Ext j j exteras al sistema y p p i Mv CM i Combiado estas ecuacioes fialmete obteemos: a es la suma de todas las fuerzas p ( Mv CM ) v M CM Ext Ext. M a CM es decir la aceleració del cetro de masa es igual a la fuerza resultate extera que actúa sobre el sistema etre la masa M del sistema de partículas CM Ext M o equivaletemete: a CM ma i i M
IMPULSO DE UERZAS IMPULSIVAS So aquellas fuerzas que actúa durate u itervalo de tiempo muy pequeño ( 0 4 s ) y que tiee ua magitud promedio muy grades. La fuerza e la defiició del impulso I m Δt es ua fuerza media costate ya que la fuerza real que actúa durate el itervalo de tiempo pequeño es muy difícil de determiar I E la figura el pico represeta la fuerza impulsiva y el área bajo la curva del rectágulo equivale al impulso La fuerza impulsiva puede variar e módulo, direcció y setido, por lo que el grafico solo represeta la magitud de la fuerza impulsiva e fució del tiempo Ejemplo Ua pelotita de 0.5 kg se laza horizotalmete cotra ua pared co ua rapidez de 40 m/s. Si esta rebota co la misma rapidez, determie la fuerza promedio que la pared ejerce sobre la pelotita. El tiempo de iteracció pared-pelota es aproximadamete 0-3 s Solució: Determiemos la catidad de movimieto de la pelotita p m v Ates de chocar co la pared: P i (0,5 kg)( 40i m/s ) 0i Ns después de rebotar e la pared p f (0,5 kg)(40i m/s ) 0i Ns El cambio e la catidad de movimieto será : p p f p i 40i Ns La fuerza promedio que actuó sobre la pelotita es: p p/ 40i Ns / 0 3 s 40 000 i N Durate la colisió o solo a actuado la fuerza de la pared sobre m, tambié lo ha hecho el peso, pero si comparamos el peso co la fuerza impulsiva p otaremos Que esta solo represeta el 0,05% de p, por lo cual o ha sido cosiderado e el calculo.
COLISIONES ELÁSTICAS E INELÁSTICAS EN UNA DIMENSIÓN Supógase que dos masas m y m colisioa frotalmete, como se observa e la ver figura, durate la colisió aparece, por la tercera ley de Newto, la fuerza de iteracció etre ellas, las cuales so iguales y opuestas, estas fuerzas como ya se mecioo ates o cambia la catidad de movimieto de las masas Existe tres tipos de colisioes: I) Colisió elástica. E este tipo de colisió la eergía de las partículas imediatamete ates y después de la colisió permaece costate II) Colisió ielástica. E este tipo de colisió la eergía de las partículas o se matiee costate, parte de ella se pierde e forma de calor y e la deformació que sufre los cuerpos durate el choque. igura 9 Durate ua colisió ielástica, parte de la eergía ciética de las masas se covierte e calor III) Colisió completamete ielástica. Es cosiderada tambié ua colisió ielástica pero e este caso los cuerpos permaece uidos después del choque.
COLISION ELASTICA EN UNA DIMENSIÓN Supogamos dos partículas moviédose e la misma direcció tal como se idica e la figura 7.5 E la figura se idica las velocidades de las masas imediatamete ates y después de la colisió elástica Si coocemos sus velocidades ates de la colisió cuáles será sus velocidades imediatamete después del choque? Por ser ua colisió elástica su eergía se debe coservar, por lo tato: de aquí se obtiee m (v ) + m (v ) m (v ) + m (v ) m ((v ) (v ) ) m ((v ) (v ) ) por coservació de la catidad de movimieto p + p p + p como está e la misma direcció podemos elimiar el vector uitario î m v + m v m v + m v de aquí: m (v v ) m (v v ) dividiedo las ecuacioes (v v ) (v v ) o: (v v ) (v v ) la cual os idica que la velocidad relativa de acercamieto es igual y opuesta a la velocidad relativa de alejamieto Resolviedo las ecuacioes obteemos las velocidades después de la colisió: ' ( m m ) v ( m + m ) v m + v ( m ) + m ' m ( m m ) v v ( ) + v m ( ) + m m + m
COEICIENTE DE RESTITUCIÓN: Retomemos uevamete la ecuació y aalicemos la siguiete situació: (v v ) (v v ) Supogamos dos partículas moviédose ua al ecuetro de la otra co velocidades de 0 m/s y 30 m/s tal como se idica e la figura Si fijamos u observador e la partícula Qué verá este observador ates y después de la colisió? El observador e todo mometo asumirá que la partícula o se mueve respecto de él y que la partícula se le aproxima co ua rapidez de 40 m/s (ver figura) Velocidad de las partículas vistas por u observador fijo e la partícula además como la colisió es elástica, el observador co seguridad dirá que la eergía ciética de la partícula será la misma ates y después de la colisió es decir su velocidad o cambia, (ver figura) El etoces puede afirmar que la velocidad de acercamieto y la velocidad de alejamieto de la partícula so iguales y opuesta, es decir: v acercamieto v alejamieto Velocidad de alejamieto de la partícula vista por el 0bservador fijo e
Ahora qué vera el observador si la colisió es ielástica? La rapidez de alejamieto de la partícula medida por el observador es meor que la de acercamieto E este caso el observador vera que debido a la colisió se ha liberado calor y se ha producido ua deformació e ambas partículas, tal como se idica e la figura 5 E este caso el observador puede afirmar que la rapidez de acercamieto es mayor que la rapidez de alejamieto, es decir: v acercamieto > v alejamieto Por ultimo qué vera el observador si la colisió fuera completamete ielástica? E este caso el observador vera que la partícula queda uida a la partícula y ha perdido toda su eergía como cosecuecia de la colisió completamete ielástica, es decir: v alejamieto 0 E ua colisió completamete ielástica, para el observador ligado a la partícula, la partícula o se mueve Tegamos e cueta que la velocidad que mide el observador ligado a la partícula es la velocidad relativa de la partícula dos respecto de la partícula, etoces para u observador e tierra las ecuacioes correspodietes será:
Para ua colisió elástica: (v v ) (v v ) v' v' v v para ua colisió ielástica: (v v ) < (v v ) v ' v ' ó < v v y para ua colisió completamete ielástica: (v v ) 0 ó equivaletemete: v' v' v v Se defie el coeficiete de restitució como: ε v' v' v v el cual os permite aalizar que tipo de colisió se ha efectuado si ε la colisió es elástica si 0 < ε < la colisió es ielástica y si ε 0 la colisió es completamete ielástica 0