FÓRMULA DE CREDIBILIDAD PARA LA ESTIMACIÓN DE LAS CORRELACIONES ENTRE LÍNEAS DE NEGOCIO EN EL CÁLCULO DEL SCR DEL MÓDULO DE SUSCRIPCIÓN NO VIDA

Anales del Insttuto de Actuaros Españoles, 3ª época, 18, 2012/151-170 FÓRMULA DE CREDIBILIDAD PARA LA ESTIMACIÓN DE LAS CORRELACIONES ENTRE LÍNEAS DE NEGOCIO EN EL CÁLCULO DEL SCR DEL MÓDULO DE SUSCRIPCIÓN NO VIDA Lluís Bermúdez * y Anton Ferr Abstract Solvency captal requrement (SCR) based on Solvency II standard formula s manly gven by some e-establshed parameters. Some of these parameters defne the lnes of busness correlaton matrx. Ths work ams to advance n the applcaton of models that use specfc parameters based n the own experence of each entty. A credblty formula, based on a bayesan model, s oposed to estmate the correlaton coeffcents between two lnes of busness of the mplct varable for the emum and reserve rsk. The applcaton to the yearly aggregated data of the Spansh non-lfe nsurance market leads to encouragng the use of alternatve models as opposed to the standard formula. Keywords: Standard Model, Internal Model, Premum and Reserve rsk, Underwrtng rsk, Solvency II, Bayesan estmaton. Resumen El requermento de captal de solvenca (SCR) basado en el Modelo Estándar de la drectva Solvenca II vene determnado por una sere de parámetros que la opa drectva establece. Entre éstos, los valores que defnen la matrz de correlacones entre líneas de negoco. Este trabajo, con el objetvo de avanzar en la aplcacón de modelos que utlzen parámetros específcos basados en la experenca opa de cada entdad, opone una fórmula de credbldad, basada en un modelo bayesano, para la estmacón de los coefcentes de correlacón entre dos líneas de negoco de la varable mplícta para el resgo de mas y reservas. De la aplcacón de esta * Dpto. Matemátca Económca, Fnancera y Actuaral, RISC-IREA; Unverstat de Barcelona, Av. Dagonal, 690, 08034 Barcelona. Dpto. Econometría, Estadístca y Economía Española, RISC-IREA; Unverstat de Barcelona, Av. Dagonal, 690, 08034 Barcelona. E-mal: lbermudez@ub.edu (Lluís Bermúdez, autor para correspondenca), tonoferr@ub.edu Los autores agradecen las sugerencas del revsor/a y la ayuda recbda del oyecto del Mnstero de Economía y Compettvdad, ECO2012-35584. Este artículo ha sdo recbdo en versón revsada el 31 de octubre de 2012. 151

Fórmula de credbldad para la estmacón de las... Anales 2012/151-170 fórmula de credbldad a los datos agregados del conjunto del mercado español asegurador no vda se extraen conclusones que alentan el uso de modelos alternatvos a la fórmula estándar. Palabras clave: Modelo Estándar, Modelo Interno, Resgo de nsufcenca de mas y reservas, Solvenca II, Estmacón bayesana. 1. Introduccón La publcacón en el Offcal Journal of the European Unon de la Drectva 2009/138/EC del Parlamento Europero y del Consejo de 25 de Novembre de 2009 sobre el acceso y ejercco de la actvdad aseguradora y reaseguradora, tambén conocda como Solvenca II, marca el punto de partda ofcal en la puesta en marcha de meddas legslatvas de control de resgo en entdades aseguradoras. La Drectva está estructurada bajo el ncpo de los Tres Plares, que se corresponden con los requermentos cuanttatvos, los requermentos cualtatvos y la dscplna de mercado, respectvamente. El Plar I esenta un conjunto de normas que determnan los crteros para la obtencón de las necesdades de captal que una entdad debe mantener con un horzonte temporal anual, acordes al resgo asumdo por la entdad, que garantce un aceptable nvel de solvenca. El ncpal objetvo de los requstos económcos que establece la Drectva es cubrr las eventuales pérddas nesperadas que una entdad pudese sufrr como consecuenca de flutuacones nesperadas adversas en la snestraldad. Esta parte de las necesdades de captal es denomnada en la drectva como Solvency Captal Requrement (SCR). El SCR está acotado nferormente medante un umbral denomnado Mnmum Solvency Captal Requrement (MSCR), por debajo del cual una entdad no podría segur operando. La Drectva establece que el SCR debe ser obtendo medante un modelo que refleje el perfl de resgo de la entdad, y que sea adecuado atendendo a la naturaleza, escala y complejdad de los resgos asumdos por la msma. El modelo opuesto por el regulador es un conjunto de fórmulas y metodologías denomnado Modelo Estándar. No obstante, la Drectva establece que bajo certos requstos evos y autorzacón de la autordad compentente, el SCR pueda ser obtendo medante un Modelo Interno opuesto por la entdad aseguradora. El SCR, obtendo con cualquera de los modelos aceptados por el regulador, debe estar calbrado de tal forma que se corresponda con el valor en resgo (VaR) de los fondos opos de la 152

Llus Bermúdez y Anton Ferr Anales 2012/151-170 entdad, a un horzonte temporal anual, calculado con un nvel de confanza del 99,5%. El Modelo Estándar puede ser utlzado por las entdades utlzando los parámetros establecdos por el regulador como oxy de mercado, o puede ser adaptado al perfl de resgo opo de cada entdad medante la estmacón de parámetros específcos basados en la experenca hstórca de la entdad 1. Pueden exstr dversas razones por la que una entdad decda reestmar los parámetros esentados por el regulador. Una posble razón puede dervarse de que las oxy sobrevaloren el verdadero perfl de resgo de la entdad, lo que conducría a una estmacón mayor del SCR de la que se dervaría de los parámetros específcos de la entdad. Por otra parte, otra razón para la estmacón de parámetros específcos podría venr determnada por el hecho que la estructura de negoco de una compañía aseguradora no se adapte a la opuesta por el regulador en la fórmula estándar 2, por lo que deba estmar los parámetros necesaros para obtener el SCR correspondente ajustándose al opo modelo de negoco. Nuestro objetvo es analzar, para el caso en que se opte por utlzar el Modelo Estándar con parámetros específcos o ben por un Modelo Interno, cómo abordar la estmacón de aquellos parámetros, ajustados al perfl de resgo de la entdad y consstentes con el modelo, de los que la Drectva no oporcona estmadores n metodologías para su obtencón. Con la fnaldad de reducr la dmensón de este objetvo, en este trabajo, nos centraremos en la estmacón de las correlacones entre líneas de negoco del submódulo de resgo de mas y reservas pertenecente al módulo de resgo de suscrpcón no vda. El resto del trabajo se estructura de la sguente manera. La seccón 2 descrbe la utlzacón del modelo estándar con parámetros específcos para el submódulo de resgo de nsufcenca de mas y reservas. La seccón 3 esenta el modelo bayesano para la estmacón de los coefcentes de correlacón entre líneas de negoco. La seccón 4 detalla los datos utlzados en la seccón 5, que muestra los resultados de aplcar el modelo bayesano 1 Según el artículo 104, apartado 7, de la Drectva: Preva aobacón de las autordades de supervsón, en el cálculo de los módulos del resgo de suscrpcón del seguro de vda, del seguro dstnto del seguro de vda y del seguro de enfermedad, las emesas de seguros y reaseguros podrán susttur un subconjunto de parámetros de la fórmula estándar por parámetros específcos de la emesa de que se trate. 2 Según el artículo 110 de la Drectva, cuando el perfl de resgo de una emesa de seguros o de reaseguros se aparte sgnfcatvamente de las hpótess aplcadas en el cálculo de la fórmula estándar, las autordades de supervsón, medante decsón motvada, podrán exgr que dcha emesa susttuya un subconjunto de los parámetros utlzados para el cálculo de la fórmula estándar por parámetros específcos de dcha emesa. 153

Fórmula de credbldad para la estmacón de las... Anales 2012/151-170 opuesto para la estmacón de los coefcentes de correlacón entre líneas de negoco a la estmacón del SCR. Por últmo, la seccón 6 resume las ncpales conclusones obtendas. 2. Fórmula estándar con parámetros específcos para el resgo de nsufcenca de mas y reservas En este trabajo, nos basamos en el análss del SCR para el resgo de nsufcenca de mas y reservas que se derva del Modelo Estándar esentado en el qunto estudo de mpacto cuanttatvo (QIS-5) realzado en 2010 por el Commttee of European Insurance and Occupatonal Pensons (CEIOPS) 3. El SCR correspondente al resgo de mas y reservas es calculado en QIS-5 medante una fórmula cerrada, en adelante fórmula estándar, que depende de una medda de volumen, V, y de una aoxmacón del mean-value-at-rsk obtendo con un nvel de sgnfcacón del 99,5% a un horzonte temporal anual, asumendo una dstrbucón log-normal de la varable aleatora subyacente, : La exesón SCR = V. depende de un parámetro denomnado desvacón estándar combnada ( ). En la fórmula estándar, éste se obtene, en mer lugar, medante la agregacón de las correspondentes desvacón estándar de las mas y desvacón estándar de las reservas por línea de negoco, tenendo en cuenta la correlacón exstente entre éstas, dando lugar a lo que en QIS-5 se conoce como desvacón estándar por línea de negoco. Posterormente, medante la agregacón de éstas y tenendo en cuenta la correlacón exstente entre las líneas de negoco, se obtene la desvacón estándar combnada. Una compañía que etenda obtener el SCR correspondente al resgo de mas y reservas medante el uso de la fórmula estándar puede decdr entre utlzar los parámetros establecdos por el regulador como oxy, en la Tabla 1 y 2 se esentan los opuestos en QIS-5, o realzar estmacones de los parámetros dervadas de la opa experenca de su cartera. 3 Desde Enero 2011, EIOPA, European Insurance and Occupatonal Pensons Authorty. 154

Llus Bermúdez y Anton Ferr Anales 2012/151-170 Como hemos vsto, la fórmula estándar depende de la desvacón estándar correspondente a la varable aleatora que reesenta el resgo de mas por línea de negoco, la desvacón estándar de la varable aleatora que reesenta el resgo de reserva por línea de negoco, la correlacón entre las varables aleatoras que reesentan los resgos de mas y reservas por línea de negoco, y la correlacón entre los pares de varables aleatoras que reesentan conjuntamente el resgo de mas y reservas por línea de negoco. Por lo tanto, una entdad que decda estmar nuevos parámetros basados en su opa experenca debe, en mer lugar, defnr los estmadores necesaros para la obtencón de los parámetros correspondentes a las dstntas desvacones estándar y correlacones, y en segundo lugar, decdr la nformacón necesara y la metodología para realzar dchas estmacones. En la Drectva no se especfca cómo abordar la estmacón de los dstntos parámetros necesaros para el cálculo del SCR. Debemos recurrr a las especfcacones técncas de QIS-5 para obtener ndcacones sobre este aspecto. En la Seccón 2, subseccón 10ª (SCR.10), con el objetvo de revsar la calbracón de los oxys de mercado opuestos por el regulador, se anma a los partcpantes en este estudo de mpacto a calcular los parámetros específcos, basados en la experenca opa de cada entdad, necesaros para la utlzacón de la fórmula estándar. Para el caso que nos ocupa, el modulo de subscrpcón no vda, los parámetros de la fórmula estándar que pueden ser substtudos en este estudo de mpacto por parámetros específcos de cada entdad son las desvacones estándar de los resgos de mas y reservas. En la msma subseccón se oponen dversas metodologías para la estmacón de las desvacones estándar de las varables que reesentan los resgos de mas y de reservas. Los parametros específcos a utlzar en la fórmula estándar se dervan de un Modelo de Credbldad que consdera, por una parte, las oxys de mercado opuestas por el regulador ( m ) y, por otra parte, las estmacones que resultan de utlzar los datos de la entdad aseguradora ( e ) y cualquera de las dos metodologías opuestas. Los factores de credbldad (c) venen tambén edetermnados, pero en general dependen del número de observacones que han sdo consderadas para la obtencón de los parámetros específcos y de la línea de negoco consderada. Para cada línea de negoco, los parámetros específcos de las desvacones estándar ( ) se obtenen medante la fórmula de credbldad: 155

Fórmula de credbldad para la estmacón de las... Anales 2012/151-170 c 1 c. e m Sn embargo, para este estudo de mpacto, no se permten substtur los parámetros de la fórmula estándar correspondentes a las correlacones. Por esta razón, no se esentan metodologías n estmadores para obtener, por ejemplo, las correlacones entre líneas de negoco. En este trabajo, en la sguente seccón, oponemos una metodología para la estmacón de las correlacones entre líneas de negoco a partr de la experenca de cada entdad aseguradora para su utlzacón en el cálculo del SCR del submódulo de resgo de mas y reservas pertenecente al módulo de resgo de suscrpcón no vda cuando se opte, eva autorzacón del regulador competente, por el uso del Modelo estándar con parámetros específcos, o ben, por un Modelo Interno. Insados en el modelo de credbldad opuesto en las especfcacones técncas de QIS-5 para las desvacones estándar, planteamos un modelo de credbldad, basado en la metodología bayesana, para la estmacón de los coefcentes de correlacón entre dos líneas de negoco de la varable mplícta para el resgo de mas y reservas. Tabla 1 Desvacón Estándar (%) LoB Prmas Reservas I 10 9,5 II 7 10 III 17 14 IV 10 11 V 15 11 VI 21,5 19 VII 6,5 9 VIII 5 11 IX 13 15 X 17,5 20 XI 17 20 XII 16 20 Fuente:QIS-5 156

Llus Bermúdez y Anton Ferr Anales 2012/151-170 Tabla 2 Correlacones entre líneas de negoco I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII I 1 II 0,5 1 III 0,5 0,25 1 IV 0,25 0,25 0,25 1 V 0,5 0,25 0,25 0,25 1 VI 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 1 VII 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 1 VIII 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 1 IX 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 X 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 1 XI 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 1 XII 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 1 Fuente: QIS-5 3. Fórmula de credbldad para la estmacón del coefcente de correlacón entre dos líneas de negoco Como es ben conocdo, la metodología bayesana consttuye una forma más de aoxmarse a los modelos de credbldad (véase Gómez y Saraba, 2008). La dea de combnar, en nuestro caso, la nformacón del mercado con la nformacón de una entdad aseguradora medante una fórmula de credbldad puede realzarse a partr del paradgma bayesano. Esto es, combnando la nformacón del mercado (nformacón a or) con la nformacón de la entdad (nformacón muestral) medante el teorema de Bayes. En la metodología bayesana, alternatva a la estadístca frecuentsta o clásca, para la estmacón de parámetros se sguen los sguentes pasos. En mer lugar, dada una varable aleatora (Y) se especfca una dstrbucón de obabldad para los datos ( y ~ f ( ) ). A dferenca de la estadístca frecuentsta que consdera el parámetro como una constante, el parámetro se consdera una varable aleatora y, por tanto, se especfca una dstrbucón a or para éste ( ). En tercer lugar, se determna la dstrbucón conjunta o funcón de verosmltud ( f( y, ) ) y, aplcando el teorema de Bayes, se obtene la dstrbucón condconada del parámetro después de observar la muestra, conocda como dstrbucón a posteror ( y ). A partr de la dstrbucón a posteror podemos hacer nferenca y edccón sobre el parámetro. S tanto la dstrbucón a or como la dstrbucón a posteror pertenecen a una msma clase de dstrbucones, se obtenen fórmulas bayesanas de credbldad. 157

Fórmula de credbldad para la estmacón de las... Anales 2012/151-170 En nuestro caso, estamos nteresados en una fórmula de credbldad para el coefcente de correlacón entre dos varables aleatoras, X e Y. Para ello, tomamos el modelo bayesano opuesto por Fsher (1915) y reformulado más recentemente por Lee (1989). Sguendo la notacón de este últmo, defnmos ( x, y ) como un conjunto de n pares ordenados de observacones con x ( x1, x2,..., x n) e y ( y1, y2,..., y n). Se asume que los pares se dstrbuyen conjuntamente como una dstrbucón normal bvarante con valores esperados y, varanzas 2 2 X Y X Y y coefcente de correlacón ( x, y ). Además, el coefcente de correlacón muestral r se defne como: r n 1( x x)( y y) Sxy n 2 n 2 ( x x) ( y y) SxSy, 1 1 donde x y x y S x x S y y S x x y y n n n n n 1 1 2 2,, x ( ), y ( ), xy ( )( ). n n 1 1 1 Fsher (1915), tras una sere de tedosas substtucones, obtene dos resultados nteresantes para el opósto que persegumos. En mer lugar, utlzando dstrbucones a or estándar para,, 2 y 2 X Y X Y, y una vez aplcado el paradgma bayesano, se obtene una razonable aoxmacón para la dstrbucón a posteror de : p x, y p 1 1 n 1 2 2 donde p es su correspondente dstrbucón a or. Y en segundo lugar, substtuyendo tanh( ) y r tanh( z ), y después de otra aoxmacón, la varable aleatora se dstrbuye como una normal de r n 3 2 N meda z y varanza 1 : n 1 z,. n 158

Llus Bermúdez y Anton Ferr Anales 2012/151-170 Con la anteror substtucón, se consgue obtener una fórmula de credbldad para el coefcente de correlacón y, de este modo, combnar dferentes fuentes de nformacón. Por ejemplo, dado un coefcente de correlacón muestral a or r obtendo a partr de un conjunto de n pares observados, podemos actualzar nuestro conocmento sobre el coefcente de correlacón medante la nformacón ovenente de un segundo conjunto de n l pares observados con coefcente de correlacón muestral r l. En este caso, nos encontramos ante la stuacón descrta anterormente, de dstrbucones a or y a posteror de la msma clase. Concretamente, la dstrbucón a posteror para z es normal con meda: n n z r r 1 l 1 post tanh ( ) tanh ( l ) n nl n nl y varanza n 1 n l. A partr de z post, podemos obtener un estmador puntual para el coefcente de correlacón medante ˆ r tanh( z ). El estmador opuesto es post el resultado de combnar, medante una fórmula de credbldad, la nformacón a or, r, con la nformacón de la segunda muestra, r l. La combnacón lneal se establece medante una ponderacones, o factores de credbldad, que dependen del número de observacones de ambas muestras, n y n l. El resultado anteror es aplcable al caso que nos ocupa. En mer lugar, debemos defnr las varables aleatoras X e Y sobre las que etendemos calcular el coefcente de correlacón. Su defncón dependerá de la opcón escogda para el cálculo del SCR, según se opte por el uso del Modelo Estándar con parámetros específcos, o ben, por un Modelo Interno. En el mer supuesto, sguendo a Gsler (2009), la exesón analítca para puede ser dervada a partr de consderar una varable aleatora Z, que reesenta la varable aleatora mplícta en la fórmula estándar para el resgo de ma y reservas para una línea de negoco : post 159

Fórmula de credbldad para la estmacón de las... Anales 2012/151-170 Z X P Y R P R donde X reesenta el rato de snestraldad por línea de negoco, P es una medda del volumen de mas por línea de negoco, Y reesenta el rato de reservas por línea de negoco, y R es una medda del volumen de reservas por línea de negoco. En este caso, el objetvo sería la estmacón del coefcente de correlacón entre las varables Z y Z, sendo y j dos líneas de negoco dstntas. Para el supuesto en que se opte por un Modelo Interno, la defncón de las varables aleatoras sobre las que etendemos estmar el coefcente de correlacón dependerá de la opa estructura del modelo. Un Modelo Interno no necesaramente debe estar basado en una estructura modular de resgos en el sentdo que plantea Solvenca II. A pesar de ello, en este trabajo, se ha optado por mantener una estructura smlar a la del Modelo Estándar con la fnaldad de estmar un captal que sea comparable a aquél que se obtene del Modelo Estándar para el resgo de mas y reservas del módulo de suscrpcón no vda. Nuestra opuesta de Modelo Interno (Bermúdez et al., 2011, 2012a) es la sguente. Las edccones de las varables que conforman el resultado neto por línea de negoco son estmadas a través de un modelo de regresón lneal smple. A través de estas edccones son obtendas las edccones del resultado neto por línea de negoco. Posterormente, cada edccón del resultado neto por línea de negoco es agregada para obtener la edccón total del resultado neto. El SCR dervado del Modelo Interno es estmado como la dferenca entre el VaR obtendo con un nvel de confanza del 99,5%, y horzonte temporal anual, y el valor esperado de la edccón del resultado neto agregado, tras realzar una smulacón de la dstrbucón de obabldad de esta msma varable medante el uso de cópulas. En este Modelo Interno, las varables aleatoras sobre las que etendemos estmar el coefcente de correlacón, son pues las edccones del resultado neto por cada línea de negoco. En segundo lugar, debemos valorar las dos fuentes de nformacón que combnaremos en la fórmula de credbldad para la obtencón del coefcente de correlacón entre dos líneas de negoco. Por un lado, a partr de la experenca de snestraldad de cada entdad, recogda en una sere con nl pares observados, se calculará el coefcente de correlacón muestral, r l. j 160

Llus Bermúdez y Anton Ferr Anales 2012/151-170 Por otro lado, la nformacón a or será la aportada por el regulador a partr de la nformacón de mercado. El coefcente de correlacón muestral a or, r, puede tomarse, por ejemplo, como el correspondente coefcente de correlacón de la matrz de coefcentes de correlacón entre líneas de negoco opuesto en QIS-5. Para la aplcacón de la fórmula de credbldad descrta anterormente, tan sólo restará realzar alguna hpótess sobre el número de pares observados, n, a partr del cual el regulador ha determnado la nformacón de mercado. Como hemos vsto, esta nformacón es necesara para determnar la varabldad de la dstrbucón a or del modelo bayesano consderado. No obstante, según se opte por un Modelo Estándar con parámetros específcos o por un Modelo Interno, la combnacón de la nformacón de mercado con la nformacón empírca de cada entdad puede tener una nteretacón dstnta según la varable mplícta que utlcemos. En mer lugar, deberíamos conocer la naturaleza de la matrz de correlacones opuesta por el regulador para el uso en el Modelo Estándar (Tabla 2) y que reesenta la únca nformacón de mercado dsponble. Tal como se ndca en las especfcacones técncas de QIS-5 4, para la agregacón de los módulos de resgo ndvduales con la fnaldad de obtener el SCR, son aplcadas correlacones lneales. Sn embargo, no se especfca qué varable ímplcta ha sdo utlzada. Como ya hemos supuesto anterormente, podemos pensar que la varable mplícta de esta matrz de correlacones se corresponde con la varable opuesta por Gsler (2009). De este modo, s optamos por la utlzacón del Modelo Estándar con parámetros específcos, la nformacón de mercado y la nformacón empírca de cada entdad venen reesentadas por la msma varable mplícta. No ocurre lo msmo s utlzamos un Modelo Interno y la varable mplícta que acabamos de defnr para este caso. En este segundo escenaro, deberíamos tener en cuenta la posble dstnta naturaleza de las nformacones combnadas en la fórmula de credbldad. Antes de esentar la aplcacón áctca de este modelo, con datos reales, mostramos con un sencllo ejemplo cómo puede ser obtendo el coefcente de correlacón entre dos líneas de negoco a partr de la fórmula de credbldad esentada. Consderemos que el coefcente de correlacón muestral entre dos líneas de negoco opuesto por el regulador, a partr de la nformacón de mercado, es 4 QIS5 Techncal Specfcatons, Annex to Call for Advce from CEIOPS on QIS5, Secton 2, 1.11. 161

Fórmula de credbldad para la estmacón de las... Anales 2012/151-170 r 0,5. En este sencllo ejemplo, suponemos que la nformacón de mercado ha sdo obtenda medante una sere hstórca de los 10 últmos años, n 10. Por otro lado, la entdad aseguradora ha obtendo un coefcente de correlacón muestral de r l 0,16, a partr de una sere hstórca opa de los 11 últmos años, n l 11. Por lo tanto, aplcando la fórmula de credbldad esentada anterormente, sn más que substtur los cuatro valores aquí supuestos, se obtene: z post 10 1 11 1 tanh (0,5) tanh (0,16) 0,3461. 10 11 10 11 Y de ahí, el estmador puntual para el coefcente de correlacón entre las dos líneas de negoco resulta ˆ tanh(0,3461) 0,3329. 4. Datos A partr de la Memora Estadístca Anual de Entdades Aseguradoras publcada por la Dreccón General de Seguros y Fondos de Pensones (DGSFP) sobre balances y cuentas técncas del negoco no vda correspondentes al período 2000-2010 para el conjunto de entdades que operan en el mercado español, ha sdo extraída la nformacón necesara para el cálculo del requermento de captal de solvenca correspondente al submódulo de resgo nsufcenca de mas y reservas del negoco no vda. Los datos recogdos referdos al conjunto del mercado corresponden a la nformacón agregada de Socedades Anónmas, Mutuas, Mutualdades de Prevsón Socal y Reaseguradoras. Asmsmo, la nformacón publcada corresponde a los ramos actualmente vgentes en la normatva contable. Para efectuar el cálculo del requermento de captal de solvenca se ha tendo en cuenta las nueve meras líneas de negoco opuestas en QIS-5 5, (I) Responsabldad cvl de vehículos a motor, (II) Otro tpo de responsabldades dervadas de vehículos a motor, (III) Marna, avacón y transporte, (IV) Incendo, (V) Responsabldad cvl, (VI) Crédto y caucón, 5 Una descrpcón detallada de las defncones de cada línea de negoco puede ser consultada en QIS-5. 162

Llus Bermúdez y Anton Ferr Anales 2012/151-170 (VII) Defensa jurídca, (VIII) Asstenca, (IX) Dversos. Se descarta la consderacón de las líneas de negoco (X) Reaseguro no oporconal Inmuebles, (XI) Reaseguro no oporconal Daños y (XII) Reaseguro no oporconal Marna, avacón y transporte, dado que se consdera que pueden oducr una dstorsón en los resultados ya que al tratarse de nformacón de mercado agregada, obvamente exste una correlacón perfecta negatva entre estas tres líneas de negoco, que corresponden a volúmenes de reaseguro aceptado, y aquellas líneas de negoco que ceden volúmenes a reaseguro. La correspondenca entre los ramos esentados en la memora y las líneas de negoco opuestas en QIS-5 se ha realzado tenendo en cuenta la recomendacón que UNESPA (2007) realzó a las entdades partcpantes en QIS- 5. Para cada línea de negoco se consderan las sguentes varables: 1) Prmas suscrtas netas de reaseguro, 2) Snestraldad neta de reaseguro, 3) Gastos (ncluyendo, gastos de explotacón, gastos mputables a estacones y otros gastos) y 4) Provsones técncas (ncluyendo, ovsón de estacones pendentes de lqudacón, ovsón de estacones pendentes de declaracón y ovsón para gastos nternos de lqudacón de snestros). A modo de resumen, en la Tabla 3 se muestran algunos estadístcos descrptvos de las varables consderadas. Tabla 3 Estadístcos descrptvos (*) de las varables Prmas Netas, Snestraldad Neta, Gastos y Provsones técncas, por línea de negoco LoB I II III IV V VI VII VIII IX Prmas Netas de Reaseguro Mín. 4,21 2,85 0,19 2,45 0,48 0,17 0,08 0,30 0,93 Cuart. 1º 5,34 3,69 0,24 3,38 0,72 0,23 0,11 0,38 1,13 Medana 5,87 4,43 0,30 4,87 1,05 0,34 0,12 0,49 1,38 Promedo 5,75 4,15 0,31 4,69 1,00 0,33 0,13 0,50 1,41 Desv. 0,76 0,70 0,08 1,58 0,33 0,11 0,03 0,13 0,34 Cuart. 3º 6,30 4,68 0,39 5,89 1,28 0,42 0,16 0,63 1,67 Máx. 6,66 4,94 0,44 6,87 1,41 0,49 0,17 0,67 1,90 Snestraldad Neta de Reaseguro Mín. 3,57 2,12 0,15 1,70 0,45 0,12 0,05 0,22 0,38 Cuart. 1º 4,14 2,49 0,16 2,35 0,58 0,16 0,07 0,27 0,46 Medana 4,41 2,97 0,19 3,20 0,72 0,20 0,07 0,35 0,57 Promedo 4,34 2,91 0,21 3,09 0,71 0,43 0,07 0,36 0,57 Desv. 0,43 0,54 0,06 0,92 0,17 0,44 0,01 0,10 0,13 Cuart. 3º 4,71 3,40 0,25 3,88 0,89 0,55 0,08 0,45 0,67 Máx. 4,84 3,64 0,33 4,40 0,92 1,44 0,09 0,48 0,75 Gastos 163

Fórmula de credbldad para la estmacón de las... Anales 2012/151-170 Mín. 1,03 0,70 0,01 0,69 0,10-0,03 0,04 0,11 0,45 Cuart. 1º 1,22 0,82 0,02 0,88 0,12-0,00 0,05 0,13 0,50 Medana 1,33 0,96 0,04 1,14 0,17 0,03 0,05 0,16 0,56 Promedo 1,32 0,93 0,04 1,24 0,18 0,09 0,05 0,17 0,58 Desv. 0,17 0,14 0,02 0,43 0,06 0,14 0,00 0,04 0,10 Cuart. 3º 1,43 1,04 0,06 1,62 0,24 0,15 0,06 0,20 0,62 Máx. 1,63 1,10 0,08 1,84 0,26 0,35 0,07 0,23 0,76 Provsones Técncas Mín. 4,87 0,74 0,28 1,30 1,89 0,38 0,03 0,01 0,08 Cuart. 1º 5,31 0,91 0,31 1,82 2,72 0,49 0,05 0,01 0,10 Medana 6,18 1,04 0,42 2,43 3,55 0,55 0,05 0,02 0,14 Promedo 5,89 1,12 0,43 2,28 3,58 0,69 0,06 0,02 0,14 Desv. 0,68 0,29 0,12 0,56 1,10 0,35 0,02 0,01 0,04 Cuart. 3º 6,42 1,34 0,56 2,68 4,42 0,81 0,06 0,02 0,17 Máx. 6,67 1,59 0,59 2,96 5,11 1,62 0,12 0,06 0,21 Fuente: Propa / (*) Mles de mllones de euros 5. Resultados En mer lugar, con los datos descrtos en la seccón anteror, se han calculado los coefcentes de correlacón entre líneas de negoco tanto para las varables aleatoras mplíctas en la fórmula estándar como para las mplíctas en el Modelo Interno. La estmacón de estas correlacones empírcas ha sdo realzada medante el estmador habtual para el coefcente de correlacón lneal, el coefcente de correlacón de Pearson. En las Tablas 4 y 5, a efectos de comparar con las correlacones opuestas por el regulador (Tabla 2), se muestran las correlacones empírcas para cada caso. Una mera dferenca constatable es la esenca de correlacones empírcas negatvas. Éstas, de ser utlzadas, podrían amplar el efecto dversfcacón en la estmacón del SCR. Por otro lado, como consecuenca de la dstnta naturaleza de las varables mplíctas utlzadas en cada caso, exsten dferencas remarcables entre las correlacones empírcas de las Tablas 4 y 5. Como se comentó en la seccón 3, aunque desconocemos la varable mplícta de las correlacones opuestas por el regulador, consderamos que ésta concde con la opuesta por Gsler (2009) y, por tanto, con la utlzada para obtener las correlacones empírcas de la Tabla 4. 164

Llus Bermúdez y Anton Ferr Anales 2012/151-170 Tabla 4 Correlacones empírcas de la varable aleatora mplícta en la fórmula estándar I II III IV V VI VII VIII IX I 1 II 0,16 1 III 0,17 0,52 1 IV 0,71 0,04 0,27 1 V 0,81-0,05 0,13 0,65 1 VI -0,31-0,19-0,10-0,34-0,32 1 VII 0,54-0,12 0,09 0,31 0,48 0,00 1 VIII 0,22 0,07 0,31 0,01 0,23 0,09 0,82 1 IX -0,09-0,34-0,55 0,16-0,03-0,16-0,14-0,16 1 Fuente: Propa Tabla 5 Correlacones empírcas de la varable aleatora mplícta en el modelo nterno I II III IV V VI VII VIII IX I 1 II 0,73 1 III 0,47 0,55 1 IV 0,37 0,15 0,02 1 V -0,67-0,59-0,79-0,02 1 VI 0,29-0,02 0,60-0,09-0,73 1 VII 0,35-0,13 0,04 0,69-0,25 0,37 1 VIII 0,01 0,01 0,44-0,18 0,04-0,01-0,42 1 IX -0,07-0,20-0,62 0,17 0,25-0,25 0,26-0,66 1 Fuente: Propa En segundo lugar, en las Tablas 6, 7 y 8, se muestran las estmacones bayesanas de los coefcentes de correlacón, según el modelo opuesto en la seccón 3 y para el caso de la varable aleatora mplícta en la fórmula estándar, para tres hpótess dferentes sobre el número de pares/años observados, n, a partr del cual el regulador supuestamente ha obtendo la nformacón de mercado. Se han tomado n 20,10,5, respectvamente, para comobar el efecto de esta hpótess en las estmacones de las correlacones. Como puede aecarse, no se oducen grandes cambos en las estmacones cuando varíamos la hpótess sobre el número de pares/años observados por el regulador. Aunque no se muestran aquí, tambén se han calculado las respectvas correlacones bayesanas para el caso de la varable mplícta en el Modelo Interno. 165

Fórmula de credbldad para la estmacón de las... Anales 2012/151-170 Tabla 6 Correlacones bayesanas de la varable aleatora mplícta en la fórmula estándar, n = 20 ; n l =11 I II III IV V VI VII VIII IX I 1 II 0,39 1 III 0,39 0,35 1 IV 0,44 0,18 0,26 1 V 0,64 0,15 0,21 0,41 1 VI 0,05 0,10 0,13 0,04 0,23 1 VII 0,52 0,30 0,20 0,27 0,49 0,34 1 VIII 0,24 0,36 0,44 0,34 0,24 0,20 0,52 1 IX 0,31 0,23 0,13 0,39 0,33 0,29 0,30 0,20 1 Fuente: Propa Tabla 7 Correlacones bayesanas de la varable aleatora mplícta en la fórmula estándar, n = 10 ; n l =11 I II III IV V VI VII VIII IX I 1 II 0,33 1 III 0,34 0,40 1 IV 0,52 0,14 0,26 1 V 0,69 0,10 0,19 0,48 1 VI -0,05 0,02 0,07-0,06 0,09 1 VII 0,52 0,20 0,17 0,28 0,49 0,26 1 VIII 0,24 0,29 0,41 0,26 0,24 0,17 0,63 1 IX 0,21 0,08-0,06 0,33 0,24 0,17 0,19 0,17 1 Fuente: Propa Tabla 8 Correlacones bayesanas de la varable aleatora mplícta en la fórmula estándar, n = 5 ; n l =11 I II III IV V VI VII VIII IX I 1 II 0,28 1 III 0,28 0,44 1 IV 0,59 0,10 0,26 1 V 0,74 0,05 0,17 0,54 1 VI -0,14-0,05 0,01-0,16-0,06 1 VII 0,53 0,09 0,14 0,29 0,48 0,17 1 VIII 0,23 0,22 0,38 0,18 0,24 0,14 0,71 1 IX 0,11-0,07-0,25 0,27 0,15 0,06 0,08 0,06 1 Fuente: Propa Fnalmente, con el objetvo de comobar el posble mpacto de la utlzacón de las dferentes correlacones consderadas en la estmacón del SCR, en la Tabla 9 se muestran los SCR obtendos en cada caso. En el Modelo Interno, para la agregacón de los resultados netos por línea de negoco, se ha utlzado la cópula gaussana. En Bermúdez et al. (2011, 2012a) se encuentra una detallada explcacón sobre la obtencón del SCR en ambos modelos. Por otro lado, en Ferr et al. (2012) y Bermúdez et al. 166

Llus Bermúdez y Anton Ferr Anales 2012/151-170 (2012b) se analza la obtencón del SCR bajo un Modelo Interno como medda de resgo y las lmtacones que se dervan. Como puede aecarse, la estmacón del SCR puede varar de manera sgnfcatva según la matrz de correlacones que se consdere. Tabla 9 SCR dervado de la fórmula estándar y del modelo nterno con dstntas matrces de correlacón Matrz de correlacón Empírca Bayesana Bayesana Bayesana n = 5 ; n l =11 n = 10 ; n l =11 n = 20 ; n l =11 QIS-5 Fórmula estándar 6,02 6,31 6,43 6,53 6,65 Modelo nterno 5,96 6,57 6,92 7,36 8,07 Fuente: Propa Para los dos modelos, el menor SCR se obtene con la matrz de correlacones empírca. A medda que se ncorpora la nformacón de la matrz de correlacones opuesta por el regulador, el SCR aumenta hasta alcanzar el máxmo cuando exclusvamente utlzamos las correlacones opuestas por el regulador en QIS-5. La varacón en el SCR es mayor en el Modelo Interno que en la fórmula estándar. Este resultado, de un lado, es el resultado de combnar datos de dstnta naturaleza en la estmacón de las correlacones en el Modelo Interno. Como ya se ha comentado, las correlacones empírcas en este modelo lo son de una varable aleatora mplícta dferente a la que se supone para la fórmula estándar y, por tanto, para la matrz de correlacones de QIS-5. Por otro lado, la varable aleatora mplícta para el Modelo nterno, las edccones del resultado neto por línea de negoco, esenta, para estos datos, unas desvacones empírcas mayores que las opuestas por el regulador para la varable mplícta de la fórmula estándar. 6. Conclusones En Ferr et al. (2011) se realzó una estmacón del requermento de captal correspondente al resgo de suscrpcón no vda para el ejercco 2010 para el conjunto del mercado español asegurador no vda y un análss de sensbldad del SCR correspondente al resgo de suscrpcón en el negoco de no vda frente a cambos en la matrz de correlacones entre líneas de negoco. Y se concluyó que el SCR de este submódulo tene una gran sensbldad a los parámetros de los que depende el modelo y, en especal, a la matrz de correlacones entre líneas de negoco. Por esta y otras razones, se concluía que las entdades de seguro tenen sufcentes ncentvos para utlzar modelos alternatvos al Modelo Estándar y avanzar en modelos para el cálculo del requermento de captal de solvenca, ben a través de un 167

Fórmula de credbldad para la estmacón de las... Anales 2012/151-170 Modelo Estándar con parámetros específcos, o ben a través de un Modelo Interno, parcal o completo, con la fnaldad de ajustar el requermento al perfl de la entdad. Sn embargo, para avanzar en esta dreccón es necesara la estmacón de los parámetros nherentes a cada modelo en base, por ejemplo, a la experenca de snestraldad de cada entdad. En este artículo, nsados por la metodología opuesta en las especfcacones técncas de QIS-5 para la estmacón, como parámetros específcos de la fórmula estándar, de las desvacones del resgo de mas y reservas, oponemos una fórmula de credbldad para la estmacón de los coefcentes de correlacón entre dos líneas de negoco de la varable mplícta para el resgo de mas y reservas. Para ello, hacemos uso de un modelo bayesano para la estmacón de coefcentes de correlacón. La fórmula de credbldad opuesta combna la nformacón del mercado (nformacón a or) con la nformacón de la entdad medante el teorema de Bayes. Para su utlzacón tan sólo es necesaro contar, por un lado, con el coefcente de correlacón muestral del mercado, en nuestro caso obtendo a partr de la matrz de correlacones de QIS-5, y el coefcente de correlacón muestral obtendo a partr de la opa experenca de la entdad. Por otro lado, es necesaro conocer el número de observacones (o años) de los que se han extraído los anterores coefcentes de correlacón muestrales. Con esta fórmula de credbldad, pueden estmarse los coefcentes de correlacón entre líneas de negoco para su aplcacón tanto en la fórmula estándar, cuando ésta se utlza con parámetros específcos de la entdad, como en un Modelo Interno. Úncamente deben defnrse, en cada caso, las varables aleatoras mplíctas de cada modelo sobre las que calculamos los coefcentes de correlacón. De la aplcacón de esta fórmula de credbldad a los datos agregados del conjunto del mercado español asegurador no vda, se extraen las sguentes conclusones. En mer lugar, los coefcentes de correlacón empírcos entre dos líneas de negoco pueden ser sustancalmente dstntos de aquellos opuestos por el regulador. En segundo lugar, la utlzacón de una fórmula de credbldad que combna la nformacón de mercado con la nformacón de cada entdad oporcona unos coefcentes de correlacón ntermedos. Fnalmente, la estmacón del SCR puede varar de manera sgnfcatva según la matrz de correlacones que se consdere. La fórmula de credbldad opuesta no está exenta de lmtacones. Éstas pueden ser dvddas en dos grupos. De un lado, las lmtacones relatvas al 168

Llus Bermúdez y Anton Ferr Anales 2012/151-170 modelo bayesano utlzado y, por otro lado, las relatvas a la aplcacón de éste al caso que nos ocupa. Entre las meras, destacamos la hpótess de normaldad sobre la que se sustenta el modelo y las aoxmacones que se deben adoptar para consegur una fórmula de credbldad cerrada. Respecto al segundo grupo de lmtacones, destacar que éstas se orgnan por el desconocmento sobre dos aspectos de la nformacón de mercado opuesta por el regulador, en mer lugar, la varable aleatora mplícta en la matrz de correlacones de QIS-5 y, en segundo lugar, el número de observacones (o años) a partr de los que se han obtendo los coefcentes de correlacón de dcha matrz. Ambos aspectos son necesaros para una óptma aplcacón de la fórmula de credbldad opuesta. Con el objetvo de superar estas lmtacones, nuevos esfuerzos nvestgadores deberían ser abordados. Por una parte, la utlzacón de otros modelos bayesanos y de técncas de smulacón MCMC pueden ayudar a salvar las lmtacones teórcas del modelo bayesano consderado. Por otra parte, a medda que se conozcan más detalles sobre la fórmula estándar y sus parámetros en las meddas de nvel 2 comuntaras, es de esperar que se clarfquen los aspectos relaconados con la matrz de correlacones que opone el regulador como benchmark de mercado. Referencas Bermúdez, L., Ferr, A. y M. Gullén (2011). A correlaton senstvty analyss of non lfe underwrtng rsk n solvency captal requrement estmaton. XREAP No. 2011 12. http://ssrn.com/abstract=1922794 Bermúdez, L., Ferr, A. y M. Gullén (2012a). A correlaton senstvty analyss of non lfe underwrtng rsk n solvency captal requrement estmaton. ASTIN bulletn. Pendente de publcacón. Bermúdez, L., Ferr, A. y M. Gullén (2012b). On the use of Rsk Measures n Solvency Captal Estmaton. Internatonal Journal of Busness Contnuty and Rsk Management. Pendente de publcacón. Commttee of European Insurance and Occupatonal Pensons Supervsors, CEIOPS (2010). 5th Quanttatve Impact Study, Techncal Specfcatons. https://eopa.europa.eu/fleadmn/tx_dam/fles/consultatons/qis/qis5/qis5 -techncal_specfcatons_20100706.pdf (consultado 30/10/2012) Drectva 2009/138/EC del Parlamento Europeo y del Consejo de 25 de Novembre de 2009 sobre el acceso y ejercco de la actvdad aseguradora y reaseguradora. 169

Fórmula de credbldad para la estmacón de las... Anales 2012/151-170 http://eurlex.europa.eu/lexurserv/lexurserv.do?ur=oj:l:2009:335:0001:0155:es :PDF (consultado 30/10/2012) Ferr, A., Bermúdez, L. y M. Alcañz (2011). Análss de sensbldad a las correlacones entre líneas de negoco del SCR del módulo de suscrpcón no vda basado en la fórmula estándar. Anales del Insttuto de Actuaros, 75-90. Ferr, A., Gullén, M. y Bermúdez, L. (2012). Solvency captal estmaton and rsk measures. Lecture Notes n Busness Informaton Processng, 115, 34-43. Fsher, R.A. (1915). Frequency dstrbutons of the values of the correlaton coeffcents n sample of ndefntely large populaton. Bometrka, 10, 507-521. Gsler, A. (2009). The Insurance Rsk n the SST and n Solvency II: Modellng and parameter estmaton. ASTIN Colloquum n Helsnk. Gómez-Dénz, E. y J.M. Saraba (2008). Teoría de la Credbldad: Desarrollo y Aplcacones en Prmas de Seguros y Resgos Operaconales. Fundacón Mapfre. Madrd (España). Lee, P.M. (1989). Bayesan Statstcs: An Introducton. Oxford Unversty Press. New York (EEUU). UNESPA (2007). El Modelo Español de Solvenca paso a paso. http://www.unespa.es/adjuntos/fchero_2590_20080227.pdf (consultado 30/10/2012) 170