Arquitectur del Computdor ots de Teórico SISTEMAS DE UMERACIÓ. Itroducció E este cpítulo expodremos brevemete ( modo de repso) coceptos básicos sobre los sistems de umerció. o por secillo el tem dej de ser importte pues os permite comezr costumbrros los sistems de umerció utilizdos e computció, especilmete el birio y el hexdeciml, tre o trivil si teemos e cuet el "lstre" que sigific ños y ños de práctic co el sistem deciml exclusivmete. Podemos eteder u sistem de umerció como u cojuto de símbolos y u cojuto de regls de combició de dichos símbolos que permite represetr los úmeros eteros y/o frcciorios. Detro de los sistems de umerció posibles u cojuto importte, y destcdo, es el costituido por los sistems de umerció posicioles.. Sistems posicioles E estos sistems l represetció de u úmero se reliz medite u cojuto de símbolos y su posició reltiv detro de l expresió. Como ejemplo de u sistem posiciol podemos citr l Romo, e el cul es clro que l posició reltiv de los símbolos ifluye e l represetció. Ej.: VI correspode l 6 y IV l 4. Detro de los sistems posicioles está icluidos los que será objeto de uestro estudio: los sistems co bse..3 Sistems co bse E los sistems co bse u úmero culquier, se represet medite u poliomio de l form: dode i es u símbolo del sistem, l que llmmos dígito, y b es l bse. L bse es igul l ctidd de símbolos del sistem. otdo que los dígitos so l represetció e el sistem de los úmeros eteros meores que l bse, teemos que se cumple l codició b > i. - = b + +... b + - b +... L bse b l represetmos siempre, por coveció, e el sistem deciml (si l represetármos e el sistem del cul es bse su represetció serí, turlmete, ). Hbitulmete l represetció omite ls potecis de l bse y coloc u puto (o com) pr seprr l prte de potecis positivs de l prte co potecil egtivs, queddo:.... p Sistem deciml: El sistem de umerció utilizdo e l vid cotidi es el deciml, cuy bse es diez, utilizdo los coocidos diez símbolos,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Sistem birio: Es el sistem de bse e el cul los dos símbolos utilizdos so el y el, los que recibe el ombre de bit (biry digit). Istituto de Computció - Fcultd de Igeierí - UDELAR 5
Arquitectur del Computdor ots de Teórico Sistem Octl: Es el sistem de bse 8 e el cul se us los símbolos,,, 3, 4, 5, 6, 7. Sistem Hexdeciml: Es el sistem de bse 6 e el cul se us los símbolos,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. L bse del sistem e el que está represetdo u úmero se suele idicr co u subídice l fil del úmero y e los csos prticulres de bse (birio), bse 8 (octl), bse 6 (hexdeciml) co u subfijo co ls letrs b, o (ó q) y h respectivmete. E el cso de bse 6 tmbie se utiliz el prefijo x. Si o se idic d se sume bse. Ejemplos: = b = 3 + + + = 3 (deciml). =.b = 3 + + + + + =.75 (deciml) A F 6 = AFh = 6 + + 56 = xaf = 33 (deciml) Estudiremos cotiució los lgoritmos pr que, dd l represetció de u úmero e u ciert bse, podmos hllr l correspodiete represetció e otr bse dd..4 Coversió de bse de eteros uestro deseo es ddo u úmero etero e u bse B represetdo por = A B +... A B + se dese hllr su expresió e u bse b E defiitiv lo que buscmos es hllr los vlores de m, m-,..., Cso A: Coversió de u bse B u bse b usdo l ritmétic de l bse b (muy útil pr psr de culquier bse l bse ). L coversió se hce trvés del poliomio crcterístico, expresdo los símbolos A... A y l bse B e l bse b y evludo el poliomio, relizdo ls opercioes e l bse b. Ejemplo: Covertir AFh deciml. A Fh = 6 + 6 + 5 6 = 67 Cso B: Coversió de u bse B u bse b usdo l ritmétic de l bse B (muy útil pr psr de bse culquier bse) Istituto de Computció - Fcultd de Igeierí - UDELAR 6
Arquitectur del Computdor ots de Teórico Previmete otemos que: = b... = b = + + + - b Por lo que los vlores... so los restos de ls divisioes de etre b relizds e l ritmétic de l bse B. b b b Ejemplo: Covertir 653 birio. 653 36 63 8 4 5 653 = b Istituto de Computció - Fcultd de Igeierí - UDELAR 7
Arquitectur del Computdor ots de Teórico Ejemplo: Covertir 653 bse 5. 653 5 3 3 5 6 5 653 = 3 5 5 5 Los ejemplos vistos so siempre de deciml otr bse; si quisiérmos psr desde u bse b (b <> ) l bse b existe l posibilidd de hcer ls opercioes co l bse b o, por simplicidd, cmbir primero bse y luego de est l bse b..5 Coversió de úmeros co prte frcciori Se u úmero = e + f = b +...+ b + + - b - +... dode e y f so l prte eter y l prte frcciori respectivmete. L prte frcciori sigue siempre l prte eter e culquier bse. Por lo tto e puede covertirse igul que tes y f se covierte por seprdo Estudiremos etoces como covertir prtes frccioris. Se f = A - B - + A - B - +... e bse B f = - b - + - b - +... e bse b Cso A: Coversió de bse B u bse b usdo l ritmétic de l bse b (muy útil pr psr de culquier bse bse ) Se f = A - B - + A - B - +...+ A -m B -m lo que hgo es desrrollr el poliomio equivlete. Se P(x) = A - x + A - x +...+ A -m x m Si se clcul el vlor umérico de P(x) pr x = B - usdo ritmétic b obtedremos el vlor buscdo. Ejemplo : psr.3 8 bse deciml = 8 - + 8 - + 3 8-3 P(x) = 3 x 3 + x + x El vlor umérico pr x = será: 8 P(x) = 3 (.5) 3 + (.5) + (.5) =.748... Istituto de Computció - Fcultd de Igeierí - UDELAR 8
Arquitectur del Computdor ots de Teórico Cso B: Coversió de u bse B u bse b operdo co l ritmétic de l B (lo que l hce muy útil pr psr de bse culquier bse) Pr determir los coeficietes -, -, etc. pr l bse b se observ que cd uo de tles coeficietes es, e si mismo u etero. Primero se multiplic por b (co ritmétic B): b f = - + - b - +...+ -3 b - E dode, l prte eter de b f es -. A cotiució se rest - y se multiplic de uevo por b: b (b f - - ) = - + -3 b - +... determido sí -. Se sigue este proceso hst que se obteg ttos coeficietes como se desee. E el siguiete procedimieto puede ocurrir que el proceso o termie. Ejemplo: Covertir 653.6 bse (.6) =. - = (.) =.44 - = (.44) =.88-3 = (.88) =.76-4 = (.76) =.5-5 = 653 = b 653.6 =...b.6 Cso Prticulr bses 8 y 6 L bse 8 (octl) y l bse 6 (hexdeciml) tiee u ítim relció co l bse. Puesto que 8 = 3 cd dígito octl correspode 3 dígitos birios. El procedimieto etoces pr covertir u úmero birio e úmero octl es dividir e grupos de 3 bits prtir del puto birio y sigdo el dígito octl correspodiete cd grupo. Ejemplo: covertir. bse 8 {{{{{{{. 33.763 3 3 7 6 3 = 8 L coversió de bse 8 bse se hce l ivers, covirtiedo e birio cd dígito octl, sí: 73 8 es 7 8 = b 3 8 = b => 73 8 = b 8 = b El equivlete hexdeciml de u úmero birio se obtiee simplemete, dividiedo l primero e grupos de 4 bits. Istituto de Computció - Fcultd de Igeierí - UDELAR 9
Arquitectur del Computdor ots de Teórico Ejemplo : {{{{{{. = DB86.A3h D B 8 6 A 3 Aálogmete se reliz pr psr de hexdeciml birio. L tbl preset l combició biri equivlete cd uo de los símbolos del sistem hexdeciml. 8 9 A 3 B 4 C 5 D 6 E 7 F Tbl - Coversió birio hexdeciml. Istituto de Computció - Fcultd de Igeierí - UDELAR