NÚMEROS COMPLEJOS 0.- INTRODUCCIÓN Represetareos por reales: el cojuto de todos los pares ordeados Dicho cojuto se deoia plao cartesiao. xy, : xy, x, y de úeros Recuerda que sabeos suar pares ordeados de úeros reales y ultiplicar u úero real por u par ordeado: x, y x, y x x, y y 1 1 1 1 kx, ykx, ky co k 1.- CONSTRUCCIÓN 1 A los pares de úeros reales xy, los llaareos úeros coplejos, cuado e esteos cosiderado las siguietes operacioes: sua: x, yx', y' xx', y y' producto: x, yx', y' xx' yy', xy' yx' (proceso de costrucció de Hailto). Suele decirse que el úero coplejo xy, está escrito e fora cartesiaa. Los úeros reales x e y, coo partes del úero coplejo xy,, recibe los siguietes obres: x parte real y parte iagiaria El cojuto de los úeros coplejos se represeta por : xy,,, y tiee estructura de cuerpo coutativo (igual que el cojuto de los úeros reales). Propiedad: Todo úero real es uúero coplejo (de parte iagiaria cero), es decir, 1 Geeralete se coieza defiiedo i 1, y después los úeros coplejos. Esto tiee u pequeño problea: Dóde está el error? 1 i i i 1 1 1 1 1 1 Cipri Núeros coplejos 1
Por tato, hareos la siguiete idetificació: x so los coplejos de parte iagiaria cero). eje iagiario,0 x (es decir, los úeros reales Existe uúero coplejo especialete iportate que represetareos por i, que se deoia uidad iagiaria: i 0,1 i 1, 0 1. y que verifica: Coo cosecuecia de lo aterior, todo úero coplejo se puede escribir e la fora x, y x,0 0,1 y,0 x iy y que se deoia fora bióica del úero coplejo x, y. Igualdad: z x iy x x z1 z z x iy y y 1 1 1 1 1 Represetació cartesiaa o gráfica (diagraa de Argad ): A cada úero coplejo za ib le asociaos u (úico) puto del plao cartesiao, que se deoia afijo de z. z aib P a, b b zaib a eje real Represetació vectorial: Uiedo el orige O co el puto P, afijo del úero coplejo z a ib, obteeos el vector OP asociado al úero coplejo z. zaibop b z aib OP a Cojugado: z xiy z xiy Opuesto: z x iy z x iyx iy Iterpretacioes geoétricas z y z so siétricos respecto del eje real z y z está relacioados por u giro de 180º E realidad fue Hailto el priero que represetó los úeros coplejos coo putos del plao. Departaeto de Mateáticas
180º z aib b z aib a z aib.- EXPRESIONES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Fora cartesiaa: z a, b Fora bióica: z a ib r OP Fora polar: OX, OP z r b r a z aib Fora trigooétrica: z rcos ise Paso de ua a otra fora: De bióica a polar r x y z xiy z r dode 90º arctg y x 180º arctg y x arctg y x 180º 0º 180º arctg y 360º arctg y x x 70º De polar a bióica Cipri Núeros coplejos 3
z r z x iy co Igualdad e fora polar: r s r s k co k x rcos y r se 3.- OPERACIONES EN FORMA BINÓMICA z x iy z x iy 1 1 1 Sua: z z x x iy y 1 1 1 Propiedades de la sua: z z z z z z (1) Asociativa: 1 3 1 3 () Coutativa: z1 z z z1 (3) Existecia de eleeto eutro: 0 0i 0 (4) Existecia de eleeto opuesto: z x iy z x iy z 0 z z x iy z x iy 1 1 1 Resta: z z x. x iy y 1 1 1 z x iy z x iy 1 1 1 Multiplicació: z z x x y y ix y y x 1 1 1 1 1 Propiedades de la ultiplicació: z z z z z z (5) Asociativa: 1 3 1 3 (6) Coutativa: z1 z z z1 (7) Existecia de eleeto eutro: 11i0z1 z (8) Existecia de eleeto iverso: 1 x y z xiy 0 i z x y x y (9) Distributiva de la ultiplicació respecto de la sua: z z z z z z z 1 3 1 1 3 Por cuplir las propiedades ateriores se dice que es u cuerpo coutativo:,, cuerpo coutativo de los úeros coplejos Departaeto de Mateáticas 4
Divisió: z1 x1 iy1, z x iy z x iy 1 x iy x iy x iy z x iy x iy x y 1 1 1 1 Poteciació: Igual que siepre. z zz... z co veces 0 z 1 siepre que z 0 1 z siepre que z 0 z Se usa la fórula del bioio de Newto: k 0 k! dode ý 0! 1. k k! k! k x iy x iy k 4.- OPERACIONES EN FORMA POLAR z r w s Multiplicació: z w r s Divisió: z r z r w s w s Poteciació: z r z r r Fórula de De Moivre: r r cos ise Radicació: Se llaa raíz ésia,, del úero coplejo z, y la represetaos por z, a cualquier úero coplejo w tal que w z: z ww z E fora polar teeos: r r dode k, k 0,1,... 1 Todos los úeros coplejos tiee exactaete raíces distitas, cuyos afijos fora u ágoo regular. Cipri Núeros coplejos 5
Ua propiedad 3 sobre los radicales coplejos: r s r s Raíces cuadradas de 1: 1 1 180º 1 1 1 1 180º 0 360º 90º 180º 1 360º 70º i i Coo cosecuecia, ya podeos trabajar de fora rigurosa co expresioes de la fora x co x : Potecia de expoete fraccioario: Defiició: z z Propiedad: x x 1 x 1 xi z z z 5.- OPERACIONES EN FORMA TRIGONOMÉTRICA Multiplicació: z rcos ise z w r s cos ise w scos ise Divisió: z r cos ise z r cos i se w s cos ise 0 w s Poteciació: Fórula de De Moivre: cos se r i r cosise 6.- FORMA EXPONENCIAL Y OPERACIONES Si z x iy defiios z e por 3 Co la que ya puedes ver dóde está el error del pricipio de la uidad. Hay que teer cuidado co esta propiedad, ya que e ella se ha hecho ua elecció distita del argueto de uúero coplejo de la dada ateriorete. Departaeto de Mateáticas 6
zw z w Propiedad: e e e z, w i Fórula de Euler: e cos ise z x e e cos y ise y Coo cosecuecia de lo aterior, podeos escribir uúero coplejo z r coo sigue i z re y que se deoia fora expoecial del úero coplejo z. Operacioes e fora expoecial: Producto: z re i1 1 1 i re z zz 1 1 rre i 1 Divisió: Poteciació: i1 z1 re 1 z1 r1 i e z re 0 z r z re z r e i i i 1 Usado la fora expoecial la fórula de De Moivre se escribe: e i e i 7.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Propiedad de cojugació: Sea es ua raíz de px, etoces z tabié es raíz. p x u polioio co coeficietes reales. Si z Teorea Fudaetal del Álgebra: Todo polioio de grado, co coeficietes reales o coplejos, tiee raíces. 8.- GEOMETRÍA CON NÚMEROS COMPLEJOS 8.1.- La sua de coplejos traslada figuras Dado u coplejo wa bi, la sua de cualquier otro coplejo z x iy co w es u coplejo z' xaiy b cuyo afijo es el trasladado de z por la traslació defiida por w. Cipri Núeros coplejos 7
8..- El producto por coplejos de ódulo uidad gira figuras Si ultiplicaos u coplejo cualquiera z r por otro w 1 de ódulo uidad, obteeos u coplejo z' wz 1r r co el iso ódulo y girado u águlo. 8.3.- El producto por úeros reales positivos dilata o cotrae figuras Si ultiplicaos u coplejo cualquiera z por uúero real k 0, obteeos u coplejo wkz kr co el iso argueto del dado y ás alejado o ás cercao al orige segú sea k 1 o k 1. 8.4.- El producto de coplejos gira y dilata figuras Dado uúero coplejo w r, el producto de u coplejo cualquiera z s co w es u coplejo z' wz rs cuyo afijo es el girado del afijo de w u águlo y, a la vez, dilatado segú el valor del ódulo del coplejo z. r Departaeto de Mateáticas 8