8 CAPÍTULO : ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y SISTEMAS LINEALES0.. ECUACIONES DE º GRADO H ecuciones de segundo grdo que sbes resolver. En este cpítulo vmos profundizr prender resolver este tipo de ecuciones. Por ejemplo, el siguiente problem sbes resolverlo: Actividdes resuelts Se ument el ldo de un bldos cudrd en cm su áre h queddo multiplicd por, Qué ldo tení l bldos? Plntemos l ecución: ( + ) = Est ecución si sbes resolverl! + =, luego el ldo es de cm. H otr solución, =, que no tiene sentido como ldo de un cudrdo. Vmos estudir de form ordend ests ecuciones... Concepto de ecución de º grdo Un ecución de segundo grdo es un ecución polinómic en l que l mor potenci de l incógnit es. Ls ecuciones de segundo grdo se pueden escribir de l form: + b + c = 0 donde, b c son números reles, con 0. Ejemplo : Son ecuciones de º grdo + = 0; + + = 0; 9 = 0. Ejemplo : Los coeficientes de ls ecuciones de º grdo son números reles, por lo tnto pueden ser frcciones o ríces. Por ejemplo: 0 ; 0 ;, +, + 0, = 0; 0.. Indic si son ecuciones de segundo grdo ls siguientes ecuciones: ) 8 0 c) 8 9 = 0 e) 0 b) = 0 d) 8, = 0 f) 0. En ls siguientes ecuciones de segundo grdo, indic quiénes son, b c. ) + 9 = 0 b) + = 0 c) = 0 d) 8 + = 0.. Resolución de ecuciones de º grdo complets Se llm ecución de segundo grdo complet quell que tiene vlores distintos de cero pr, b c. Pr resolver ls ecuciones de segundo grdo complets, usremos l fórmul: b b c Est fórmul nos permite clculr ls dos soluciones de nuestr ecución. Llmremos discriminnte l prte de l fórmul que está en el interior de l ríz: = b c Actividdes resuelts Resuelve l ecución de segundo grdo + 6 = 0 Primero debemos sber quiénes son, b c: = ; b = ; c = 6 Sustituendo estos vlores en nuestr fórmul, obtenemos: b b c 6 Por lo tnto, nuestrs dos soluciones son: ; En efecto, + 6 = 9 + 6 = 0, + 6 = 0 + 6 = 0, luego son soluciones de l ecución. Mtemátics orientds ls enseñnzs plicds. º A ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF
9. Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo complets: ) + 0 = 0 b) + = 0 c) 9 + 6 = 0 d) = 0.. Número de soluciones de un ecución de º grdo complet Antes hemos definido lo que er el discriminnte, te cuerds? = b c Pr sber cuánts soluciones tiene un ecución de º grdo, nos vmos fijr en el signo del discriminnte. Si = b c > 0, l ecución tiene dos soluciones reles distints. Si = b c = 0, l ecución tiene dos soluciones reles igules, (un solución doble). Si = b c < 0, l ecución no tiene solución. L ecución = 0 tiene como discriminnte: = b c = () () = 6 + 0 = 6 > 0 Por lo tnto, l ecución dd tiene soluciones reles distints,. (Comprobción: = 0 = 0 () () = + = 0). b) L ecución + = 0 tiene como discriminnte: = b c = () = = 0 Por lo tnto, l ecución tiene dos soluciones reles igules. Se puede escribir como: + = ( ) = 0, que tiene l solución doble =. c) L ecución + + 8 = 0 tiene como discriminnte = b c = () (8) = 9 = < 0 Por lo tnto, l ecución no tiene solución rel. Ningún número rel verific l ecución.. Averigu cuánts soluciones tienen ls siguientes ecuciones de º grdo: ) + + = 0 b) 6 + 9 = 0 c) 6 = 0 d) + = 0.. Resolución de ecuciones de º grdo incomplets Llmmos ecución de º grdo incomplet quell ecución de segundo grdo en l que el coeficiente b vle 0 (flt b), o el coeficiente c vle 0 (flt c). L ecución de º grdo 8 = 0 es incomplet porque el coeficiente b = 0, es decir, flt b. L ecución de º grdo = 0 es incomplet porque no tiene c, es decir, c = 0. Ls ecuciones de º grdo incomplets se resuelven de un mner u otr dependiendo del tipo que sen. Si el coeficiente b = 0: Despejmos l incógnit normlmente, como hcímos en ls ecuciones de primer grdo: + c = 0 c c c = c Si el coeficiente c = 0: Scmos fctor común: + b = 0 ( + b) = 0. Pr que el producto de dos fctores vlg cero, uno de los fctores debe vler cero. b Por tnto = 0, o + b = 0 = b En l ecución 8 = 0 flt l b. Pr resolverl despejmos l incógnit, es decir, : 8 = 0 = 8 = 8/ = 9 Un vez que llegmos quí, nos flt quitr ese cudrdo que llev nuestr incógnit. Pr ello, hremos l ríz cudrd en los miembros de l ecución: 9 Así hemos obtenido ls dos soluciones de nuestr ecución,. En efecto, 8 = 9 8 = 0, () 8 = 9 8 = 0 Resumen Si b = 0, + c = 0, despejmos l incógnit: c. Si c = 0, + b = 0, scmos fctor común: b = 0. Mtemátics orientds ls enseñnzs plicds. º A ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF
60 En l ecución = 0 flt l c. Pr resolverl, scmos fctor común: = 0 ( ) = 0 Un vez que llegmos quí, tenemos dos opciones ) = 0 = 0. ) = 0 =. Así hemos obtenido ls dos soluciones de l ecución = 0 = Un ecución de segundo grdo incomplet tmbién se puede resolver utilizndo l fórmul de ls complets pero es un proceso más lento es más fácil equivocrse. Actividdes resuelts Resuelve l ecución de º grdo = 0: Solución: Se trt de un ecución de º grdo incomplet donde flt l b. Por lo tnto, despejmos l incógnit = 0 = = / = 6 6. Ls ríces son. Resuelve l ecución de º grdo + = 0: Solución: Se trt de un ecución de º grdo incomplet donde flt l c. Por lo tnto, scmos fctor común: + = 0 ( + ) = 0 obtenemos ls dos soluciones: = 0 + = 0 =.. Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo incomplets: ) + 6 = 0 b) = 0 c) = 0 d) + = 0 e) 9 = 0 f) 0 = 0.. Sum producto de ríces Si en un ecución de segundo grdo: + b + c = 0, con =, conocemos sus soluciones: sbemos que podemos escribir l ecución de form fctorizd: ( ) ( ) = 0 Hcemos operciones: + = 0 ( + ) + = 0, por lo que el coeficiente c es igul l producto de ls soluciones l sum de ls soluciones es igul l opuesto del coeficiente b, es decir, b. = c; + = b. Si l ecución es + b + c = 0, dividiendo por, tenemos un de coeficiente =, obtenemos que: c b = ; + = Est propiedd nos permite, en ocsiones, resolver mentlmente lguns ecuciones de segundo grdo. Actividdes resuelts Resuelve mentlmente l ecución + 6 = 0. Buscmos, mentlmente dos números cuo producto se 6 cu sum se. En efecto, = 6, + =, luego ls soluciones de l ecución son. Resuelve mentlmente l ecución 6 + 9 = 0. El producto debe ser 9. Probmos con como solución, en efecto + = 6. Ls soluciones son l ríz doble. Resuelve mentlmente l ecución = 0. Ls soluciones son, pues su producto es su sum. Resuelve mentlmente l ecución + = 0. Ls soluciones son, pues su producto es su sum. 6. Resuelve mentlmente ls siguientes ecuciones de º grdo: ) + 6 = 0 b) + 8 = 0 c) = 0 d) 9 + 0 = 0 e) = 0 f) = 0. Escribe un ecución de segundo grdo cus soluciones sen. 8. El perímetro de un rectángulo mide 6 cm su áre cm. Clcul sus dimensiones. 9. Si es un solución de + = 0, cuánto vle? Mtemátics orientds ls enseñnzs plicds. º A ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF
6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Concepto de sistem de ecuciones lineles Un sistem de ecuciones lineles con dos incógnits se puede epresr de l form: b c ' b' c' Donde, b, ' b' son números reles que se denominn coeficientes c c' tmbién son números reles llmdos términos independientes. Llmmos solución del sistem l pr de vlores (, ) que stisfcen ls dos ecuciones del sistem. Se dice que dos sistems de ecuciones son equivlentes, cundo tienen l mism solución. Son sistems de ecuciones lineles, por ejemplo: ; ; ; 0 No es un sistem linel porque tiene términos en. 8 9 Tmpoco lo es porque tiene un término en. 8 9 0. Rzon si son o no sistems de ecuciones lineles los siguientes sistems: ) 6 b) c) d).. Clsificción de sistems de ecuciones En un sistem de ecuciones lineles con dos incógnits, cd un de ls ecuciones represent un rect en el plno. Ests rects pueden estr posicionds entre sí de tres mners distints, lo que nos udrá clsificr nuestro sistem en: ) Comptible determindo: el sistem tiene un únic solución, por lo que ls rects son SECANTES, se cortn en un punto. ) Comptible indetermindo: el sistem tiene infinits soluciones, por lo que ls rects son COINCIDENTES. ) Incomptible: el sistem no tiene solución, por lo que ls rects son PARALELAS. Comptible determindo Comptible indetermindo Incomptible Rects secntes Rects coincidentes Rects prlels Mtemátics orientds ls enseñnzs plicds. º A ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF
6 Actividdes resuelts Añde un ecución = pr que el sistem resultnte se: ) Comptible determindo b) Incomptible c) Comptible indetermindo Solución: ) Pr que el sistem se comptible determindo, ñdiremos un ecución que no teng los mismos coeficientes que l que nos dn. Por ejemplo, + =. b) Pr que se incomptible, los coeficientes de ls incógnits tienen que ser los mismos (o proporcionles) pero tener diferente término independiente. Por ejemplo =, (o = 0). c) Pr que se comptible indetermindo, pondremos un ecución proporcionl l que tenemos. Por ejemplo =.. Represent los siguientes sistems clsifíclos: ) b) c) 6 6.. Resolución de sistems por el método de sustitución El método de sustitución consiste en despejr un incógnit de un de ls ecuciones del sistem sustituir l epresión obtenid en l otr ecución. Así, obtenemos un ecución de primer grdo en l que podemos clculr l incógnit despejd. Con el vlor obtenido, obtenemos el vlor de l otr incógnit. Vmos resolver el sistem por el método de sustitución: Despejmos de l segund ecución: lo sustituimos en l primer: ( ) = 6 = = 6 = = ( )/( ) = Con el vlor obtenido de, clculmos l : = = =. Solución: Mtemátics orientds ls enseñnzs plicds. º A ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF
Mtemátics orientds ls enseñnzs plicds. º A ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF 6. Resuelve los siguientes sistems por el método de sustitución: ) b) 0 c) 0.. Resolución de sistems por el método de igulción El método de igulción consiste en despejr l mism incógnit de ls dos ecuciones que formn el sistem e igulr los resultdos obtenidos. Así, obtenemos un ecución de primer grdo en l que podremos clculr l incógnit despejd. Con el vlor obtenido, clculmos el vlor de l otr incógnit. Vmos resolver el sistem por el método de igulción: Despejmos l mism incógnit de ls dos ecuciones que formn el sistem: Igulmos hor los resultdos obtenidos resolvemos l ecución resultnte: 6 6 ) ( Con el vlor obtenido de, clculmos l : = = () = Solución:. Resuelve los siguientes sistems por el método de igulción: ) b) c).. Resolución de sistems por el método de reducción El método de reducción consiste en eliminr un de ls incógnits sumndo ls dos ecuciones. Pr ello se multiplicn un o mbs ecuciones por un número de modo que los coeficientes de o sen igules pero de signo contrrio. Vmos resolver el sistem por el método de reducción: Multiplicmos l segund ecución por - pr que los coeficientes de l sen igules pero de signo contrrio summos ls ecuciones obtenids: ) ( 6 summos = = ( )/( ) = Con el vlor obtenido de, clculmos l : = = + = = / = Solución:. Resuelve los siguientes sistems por el método de reducción: ) b) c) 0
6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.. Resolución de problems medinte ecuciones de º grdo Pr resolver problems por medio de ecuciones de º grdo, primero tendremos que psr lenguje lgebrico el enuncido del problem luego resolverlo siguiendo los siguientes psos:.- Comprender el enuncido.- Identificr l incógnit.- Trducir el enuncido l lenguje lgebrico.- Plnter l ecución resolverl.- Comprobr l solución obtenid Actividdes resuelts Vmos resolver el siguiente problem: Cuál es el número nturl cuo quíntuplo umentdo en 6 es igul su cudrdo? Un vez comprendido el enuncido, identificmos l incógnit, que en este cso, es el número que estmos buscndo..- Número buscdo =.- Trducimos hor el problem l lenguje lgebrico: + 6 =.- Resolvemos l ecución: + 6 = 6 = 0 b b c ( ) ( ) ( 6) 9 6 ; Solución: Como el enuncido dice número nturl el número buscdo es el 6..- Comprobción: En efecto 6 + 6 = 6 = 6.. Qué número multiplicdo por es 0 uniddes menor que su cudrdo? 6. Clcul tres números consecutivos tles que l sum de sus cudrdos se 6.. El triple del cudrdo de un número umentdo en su duplo es 8. Cuál es el número? 8. Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 0 cm l bse mide cm, clcul los ldos del triángulo su áre... Resolución de problems medinte sistems de ecuciones Pr resolver problems por medio de sistems de ecuciones, primero tendremos que psr lenguje lgebrico el enuncido del problem luego resolverlo siguiendo los siguientes psos:.- Comprender el enuncido.- Identificr ls incógnits.- Trducir el enuncido l lenguje lgebrico.- Plnter el sistem resolverlo.- Comprobr l solución obtenid Actividdes resuelts Vmos resolver el siguiente problem: L sum de ls eddes de un pdre su hijo es 9 su diferenci. Cuál es l edd de cd uno? Un vez comprendido el enuncido, identificmos ls incógnits que, en este cso, son l edd del pdre el hijo.- Edd del pdre = Edd del hijo =.- Psmos el enuncido lenguje lgebrico: L sum de sus eddes es 9: + = 9 Y su diferenci : =.- Plntemos el sistem lo resolvemos por el método que nos resulte más sencillo. En este cso, lo hcemos por reducción: 9 summos = 6 = 6/ = + = 9 + = 9 = 9 =. Solución: El pdre tiene ños el hijo tiene ños..- Comprobción: En efecto, l sum de ls eddes es + = 9 l diferenci es =. Mtemátics orientds ls enseñnzs plicds. º A ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF
6 9. L sum de ls eddes de Rquel Luis son 6 ños. L edd de Luis más cutro veces l edd de Rquel es igul 0. Qué edd tienen cd uno? 0. L sum de ls eddes de Mrí Alberto es ños. Dentro de 8 ños, l edd de Alberto será dos veces l edd de Mrí. Qué edd tiene cd uno en l ctulidd?. Encuentr dos números cu diferenci se su sum se. RESUMEN Ejemplos Ecución de segundo grdo Resolución de ecuciones de º grdo complets Es un ecución lgebric en l que l mor potenci de l incógnit es. Tiene l form: + b + c = 0, donde, b c son números reles, con 0. Se us l fórmul: b b c + + 8 = 0 + 6 = 0: 6 =, = Discriminnte = b c = () 6 = = Número de soluciones de un ecución de º grdo Resolución de ecuciones de º grdo incomplets Sum producto de ríces Si = b c > 0, tiene dos soluciones reles distints Si = b c = 0, tiene un solución doble. Si = b c < 0, l ecución no tiene solución Si b = 0, + c = 0, despejmos l incógnit: Si c = 0, + b = 0: = 0 b Sistem de ecuciones lineles b c ' b' c' c. = 0: =6 > 0, tiene dos soluciones. + = 0: = 0, tiene un ríz doble: =. + + 8 = 0: =. No tiene solución rel 8 = 0: 9 = 0 ( ) = 0 = 0; =. c b = ; + = + 6 = 0 = ; = Clsificción Métodos de resolución Comptible determindo: Un únic solución, el punto de intersección. Ls rects son secntes: Comptible indetermindo: Infinits soluciones, por lo que ls rects son coincidentes: 6 6 Incomptible: No tiene solución, ls rects son prlels: 6 Sustitución: despejr un incógnit sustituir en l otr ecución. Igulción: despejr l mism incógnit de ls dos ecuciones. Reducción: sumr ls dos ecuciones, multiplicándols por números decudos. Mtemátics orientds ls enseñnzs plicds. º A ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF
66 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Ecuciones de segundo grdo. Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo ) 6 8 = 0 b) ( + ) = 6 c) = 0 d) ( + ) ( + ) = e) ( ) + ( ) = f) ( ) 6( + ) = 8 g) ( + ) ( ) = h) ( + ) = 68 i) 6( + ) ( ) =. Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo con denomindores: ) 0 d) b) e) 8 9 0 6 0 c) 6 0 f). Resuelve mentlmente ls siguientes ecuciones de º grdo: ) + 0 = 0 b) ( + ) = 0 c) = 0 d) 0 = 0 e) + 0 = 0 f) + + 0 = 0 g) + 6 = 0 h) 6 = 0 i) + 6 = 0. Fctoriz ls ecuciones del problem nterior. Así, si ls soluciones son, escribe: + 0 = 0 ( ) ( ) = 0. Observ que si el coeficiente de fuese distinto de los fctores tienen que estr multiplicdos por dicho coeficiente.. Cundo el coeficiente b es pr (b = B), puedes simplificr l fórmul: b b c B B c B B c B B c Así pr resolver 6 + 8 = 0 bst decir 98, luego sus soluciones son. Utiliz es epresión pr resolver: ) 8 = 0 b) 0 + = 0 c) + + = 0 6. Resuelve mentlmente ls ecuciones siguientes, luego desrroll ls epresiones utiliz l fórmul generl pr volver resolverls. ) ( ) ( 6) = 0 b) ( + ) ( ) = 0 c) ( 9) ( ) = 0 d) ( ) ( + ) = 0 e) ( + ) ( ) = 0 f) ( ) ( + 6) = 0. Determin el número de soluciones reles que tienen ls siguientes ecuciones de segundo grdo clculndo su discrimínte, luego resuélvels. ) + = 0 b) + = 0 c) + + 0 = 0 d) + = 0 e) 6 = 0 f) + 8 6 = 0 8. Escribe tres ecuciones de segundo grdo que no tengn ningun solución rel. Aud: Utiliz el discriminnte. 9. Escribe tres ecuciones de segundo grdo que tengn un solución doble. 0. Escribe tres ecuciones de segundo grdo que tengn dos soluciones reles distints.. Podrís escribir un ecución de segundo grdo con únicmente un solución rel que no fuese doble? Mtemátics orientds ls enseñnzs plicds. º A ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF
6 Sistems lineles de ecuciones. Resuelve los siguientes sistems por el método de sustitución: ) b) c) 6. Resuelve los siguientes sistems por el método de igulción: ) b) c) 9 0 8. Resuelve los siguientes sistems por el método de reducción: ) b) c) 9 6. Resuelve de form gráfic los siguientes sistems ) b) 6 c) 9 9 6. Resuelve los siguientes sistems por el método que cres más propido: ) b) c). Copi en tu cuderno complet los siguientes sistems incompletos de form que se cumpl lo que se pide en cd uno: Comptible indetermindo Incomptible Su solución se = e = ) b) c) 6 Incomptible Su solución se = e = Comptible indetermindo 6 d) e) f) 8. Escribe tres sistems lineles que sen incomptibles. 9. Escribe tres sistems lineles que sen comptibles indetermindos. 0. Escribe tres sistems lineles que sen comptibles determindos.. Resuelve los siguientes sistems por el método de igulción comprueb l solución gráficmente. De qué tipo es cd sistem? ) 6 b) c) 8 Problems. En un tiend lquiln biciclets triciclos. Si tienen vehículos con un totl de rueds, cuánts biciclets cuántos triciclos tienen?. Cuál es l edd de un person si l multiplicrl por le fltn 00 uniddes pr completr su cudrdo?. Descompón 8 en dos fctores cu sum se 6. El triple del cudrdo de un número umentdo en su duplo es 8. Qué número es? 6. L sum de los cudrdos de dos números impres consecutivos es 9. Determin dichos números.. Vn crgdos un sno un mulo. El sno se quejb del peso que llevb encim. El mulo le contestó: Si o llevr uno de tus scos, llevrí el doble de crg que tú, pero si tú toms uno de los míos, los dos llevremos igul crg. Cuántos scos llev cd uno? 8. Qué número multiplicdo por es 0 uniddes menor que su cudrdo? 9. Clcul tres números consecutivos cu sum de cudrdos es 6 0. Dentro de ños, l edd de Mrio será l mitd del cudrdo de l edd que tení hce ños. Qué edd tiene Mrio?. Dos números nturles se diferencin en uniddes l sum de sus cudrdos es 80. Cuáles son dichos números?. L sum de dos números es su producto es 8. De qué números se trt?. Mrí quiere formr bndejs de un kilogrmo con mzpnes polvorones. Si los polvorones le cuestn euros el kilo los mzpnes euros el kilo, quiere que el precio de cd bndej se de 6 euros, qué cntidd deberá poner de cd producto? Si quiere formr bndejs, Qué cntidd de polvorones de mzpnes v necesitr? Mtemátics orientds ls enseñnzs plicds. º A ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF
68. Determin los ctetos de un triángulo rectángulo cu sum es cm l hipotenus de dicho triángulo mide cm.. El producto de dos números es l sum de sus cudrdos. Clcul dichos números 6. L sum de dos números es 0. El doble del primero más el triple del segundo es. De qué números se trt?. En un grje h 0 vehículos entre coches motos. Si en totl h 00 rueds, cuántos coches motos h en el grje? 8. L edd ctul de Pedro es el doble de l de Rquel. Dentro de 0 ños, sus eddes sumrán 6. Cuántos ños tienen ctulmente Pedro Rquel? 9. En mi clse h persons. Nos hn regldo cd chic bolígrfos cd chico cuderno. Si en totl hbí reglos. Cuántos chicos chics somos en clse? 0. Entre mi buelo mi hermno tienen 6 ños. Si mi buelo tiene 0 ños más que mi hermno, qué edd tiene cd uno?. Dos bocdillos un refresco cuestn. Tres bocdillos dos refrescos cuestn 8. Cuál es el precio del bocdillo el refresco?. En un grnj h pollos vcs. Si se cuentn ls cbezs, son 0. Si se cuentn ls pts, son. Cuántos pollos vcs h en l grnj?. Un rectángulo tiene un perímetro de metros. Si el lrgo es metros mor que el ncho, cuáles son ls dimensiones del rectángulo?. En un bols h moneds de. Si en totl h 0 moneds, cuánts moneds de cd vlor h en l bols?. En un pele entre rñs visps, h 0 cbezs 88 pts. Sbiendo que un rñ tiene 8 pts un visp 6, cuánts visps rñs h en l pele? 6. Un clse tiene estudintes, el número de lumnos es triple l de lumns, cuántos chicos chics h?. Yolnd tiene 6 ños más que su hermno Pblo, su mdre tiene 0 ños. Dentro de ños l edd de l mdre será doble de l sum de ls eddes de sus hijos, Qué eddes tiene? AUTOEVALUACIÓN. Ls soluciones de l ecución ( ) + ( ) = 9 son: ) = = b) = = c) = = / d) = = 6/. Ls soluciones de l ecución 6 = ( ) son: ) = = b) = = c) = 0 = d) = =. Ls soluciones de l ecución son: ) = = / b) = / = c) = = / d) = / =. Ls soluciones de l ecución ( ) + = ( + ) son: ) = = 8 b) = = c) = = 9 d) = =. Ls soluciones de l ecución ( + ) ( ) = 0 son: ) Infinits b) = 9 = c) no tiene solución d) = = 6. Ls rects que formn el sistem son: 9 ) Secntes b) Prlels c) Coincidentes d) Se cruzn. L solución del sistem es: 6 8 ) = e = b) = e = c) = e = d) No tiene solución 8. L solución del sistem es: ) = e = b) = e = c) = e = d) = e = 9. En un grnj, entre pollos cerdos h nimles 6 pts. Cuántos pollos cerdos h en l grnj? ) 6 pollos cerdos b) pollos cerdos c) pollos cerdos 0. Cuál es l edd de un person si l multiplicrl por, le fltn 00 uniddes pr llegr su cudrdo? ) 6 ños b) ños c) 0 ños d) 8 ños Mtemátics orientds ls enseñnzs plicds. º A ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Revisor: Sergio Hernández Mrí Molero Ilustrciones: Rquel Hernández Bnco de Imágenes de INTEF