Nombre Clase Fecha 14.1 Compreder los expoetes racioales y los radicales Preguta esecial: Cómo se relacioa los radicales co los expoetes racioales? Resource Locker Explorar 1 Compreder los expoetes de los eteros Recuerda que las potecias como se evalúa repitiedo la base () como factor el mismo úmero de veces que idica el expoete (). Etoces, = = 9. Pero qué sucede co u expoete egativo o u expoete de? No puedes escribir u producto co u úmero egativo de factores, pero surge u patró si comiezas desde u expoete positivo y divides repetidamete etre la base. Comieza co potecias de : = = 1 = Dividir ua potecia de etre es equivalete a el expoete e. Completa el patró: _ _ 1 _ _ -1 _ - 7 _ 9 _ _ _ _ -1 =, - = 9 = Los expoetes de los eteros meores que 1 se puede resumir de la siguiete maera: Palabras Números Variables Cualquier úmero distito de cero elevado a la potecia de es igual a 1; es idefiido. Cualquier úmero distito de cero elevado a ua potecia egativa es igual a 1 dividido etre el mismo úmero elevado a la potecia opuesta, positiva. - = = 9 Reflexioa 1. Debate Por qué es ecesario que haya ua excepció e el segudo caso para x =? = 1 x = 1 para x (.4) = 1 - x = para x, x y el etero. Módulo 14 67 Lecció 1
Explorar Explorar los expoetes racioales Ua expresió radical es ua expresió que cotiee el símbolo radical,. Para a, se llama ídice y a se llama radicado. debe ser u etero mayor que 1. a puede ser cualquier úmero real si es impar, pero debe ser o egativo si es par. Si =, el radical es ua raíz cuadrada y el ídice geeralmete o se muestra. Puedes escribir ua expresió radical como ua potecia. Primero, observa lo que sucede cuado elevas ua potecia a ua potecia. ( ) = ( ) = ( ) ( ) = 6 ; etoces, ( ) =. De hecho, para todos los úmeros reales a y todos los úmeros racioales m y, ( a m ) = a m. Esto se llama propiedad de la potecia de ua potecia. Ua expresió radical se puede escribir como ua expresió expoecial: a = a k. Halla el valor de k si =. Comieza co la ecuació. a = a k Eleva ambos lados al cuadrado. ( a ) = ( a k ) Defiició de raíz cuadrada = ( a k ) Propiedad de la potecia de ua potecia a 1 = a Iguala los expoetes. 1 = Halla el valor de k. k = Reflexioa. Cuál crees que será la regla para otros valores del ídice radical? Explicar 1 Simplificar expresioes uméricas co la eésima raíz Para cualquier etero > 1, la eésima raíz de a es u úmero que, si se multiplica por sí mismo veces, es igual a a. x = a x = a La eésima raíz se puede escribir como u radical co u ídice de, o como ua potecia co u expoete de _ 1. U expoete e forma de fracció es u expoete racioal. a = a Las expresioes so itercambiables y, para evaluar la eésima raíz, es ecesario hallar el úmero, x, que resuelve la ecuació x = a. Ejemplo 1 64 Halla la raíz y simplifica la expresió. Covierte a u radical. 64 = 64 Vuelve a escribir el radicado e forma de potecia. = Defiició de eésima raíz = 4 81 4 + 9 Covierte a radicales. 81 4 + 9 = Vuelve a escribir los radicados e forma de potecias. = Aplica la defiició de eésima raíz. = + 4 4 4 + + Simplifica. = Módulo 14 68 Lecció 1
Es tu turo. 8 4. 16 + 7 Explicar Simplificar expresioes uméricas co expoetes racioales Dado que para u etero mayor que 1, a = a, puedes usar la propiedad de la potecia de ua potecia para defiir a m_ para cualquier etero positivo m. a m_ = a m m_ a = a m = ( a m ) = ( a m ) m Propiedad de la potecia de ua potecia = ( a ) Defiició de a _ = a m La defiició de u úmero elevado a la potecia de m es la eésima raíz del úmero elevado a la potecia m. La potecia de m y la eésima raíz se puede evaluar e cualquier orde para obteer la misma respuesta, auque, e geeral, resulta más fácil hallar la eésima raíz primero si se trabaja si calculadora. Ejemplo Simplifica las expresioes co expoetes fraccioarios. 7 _ Defiició de a m 7 = ( 7 ) Vuelve a escribir el radicado e forma de potecia. = ( ) Defiició de raíz cúbica = = 9 5 _ Defiició de a m_ 5 _ = ( 5 ) Vuelve a escribir el radicado e forma de potecia. = ( ) Defiició de raíz = 5 = Módulo 14 69 Lecció 1
Es tu turo _ 5. 5 5_ 6. 4-4 _ Exteder 7. Por qué puedes evaluar ua raíz impar para cualquier radicado pero las raíces pares requiere radicados o egativos? 8. Al evaluar potecias co expoetes racioales, co valores como, por qué geeralmete es mejor hallar la raíz ates que la potecia? Ivertir el orde cambiaría el resultado? 9. Éfasis e la preguta esecial Cómo se puede usar los radicales y los expoetes racioales para simplificar expresioes que icluya uo u otro? Módulo 14 64 Lecció 1
Evaluar: Tarea y práctica Evalúa las expresioes. - -1 1. 1. 56 Tarea e líea Pistas y ayuda Práctica adicioal -4. - 4. ( ) 5. (-) 6. 6 - Halla la raíz o las raíces y simplifica la expresió. 7. 81 8. 15 9. 49-4 1. 16 4 + 5 Módulo 14 641 Lecció 1
Simplifica las expresioes co expoetes racioales. _ 11. 49 1. 8 5_ 4 1. 7 + 4 14. 5 + 16 Simplifica las expresioes. - 15. 5-16. 8 _ 17. 1 - _ 18. 8 _ + 8 - Módulo 14 64 Lecció 1
5 19. _. 7 1 7 1. ( 4 ) _. 6 _ 1 + 6 1 _. Geometría El volume de u cubo está relacioado co el área de ua cara mediate la fórmula V = A. Cuál es el volume de u cubo cuya cara tiee u área de 1 cm? Módulo 14 64 Lecció 1
4. Biología El úmero aproximado de calorías, C, que u aimal ecesita por día está dado por C = 7m _ 4, dode m es la masa del aimal e kilogramos. Halla el úmero de calorías que ecesita por día u perro de 16 kilogramos. 5. Ciecia espacial La velocidad de escape es ua medida de qué ta rápidamete se debe mover u objeto para escapar de la atracció gravitatoria de u plaeta o lua si u impulso adicioal. La velocidad de escape para la Lua está dada aproximadamete por la ecuació V = 56 ( d_ 1 ) _ 1, dode v es la velocidad de escape e millas por hora y d es la distacia desde el cetro de la Lua (e millas). Si u módulo de desceso luar se impulsa hacia arriba hasta alcazar ua distacia de 16, millas desde el cetro de la Lua, aproximadamete a qué velocidad se debe estar moviedo para escapar de la gravedad de la Lua? 6. Respuesta múltiple Cuáles de las siguietes expresioes o se puede evaluar? a. 4 b. (-4) c. 4 d. (-4) e. f. WilleeCole/Alamy Módulo 14 644 Lecció 1
H.O.T. Efoque e alta capacidad de razoamieto 7. Explica el error A Yua se le pide que evalúe la expresió (-8) _ e su exame y escribe que o se puede evaluar u úmero egativo elevado a ua potecia fraccioaria par. Tiee razó? Si es así, por qué? Si o tiee razó, cuál es la respuesta correcta? 8. Comuica ideas matemáticas Demuestra que la eésima raíz de u úmero, a, se puede expresar mediate u expoete de _ 1 para cualquier etero positivo,. 9. Explica el error Xia, Ye y Zae está trabajado jutos e la tarea, y llega al problema Halla ( 64 ) _. Xia dice Es idefiida porque o puedes hallar ua raíz cuadrada e u úmero egativo. Ye dice No, es 165 _ 1 porque igresé ( 64) _ e ua calculadora cietífica y obtuve 165.. Zae dice No, es 51, mira y muestra este trabajo: ( 64) _ = = - ( 64) _ -( _ 64 ) - _ ( 1-51. Tiee alguie razó? Explica. 8 ) - 51 Módulo 14 645 Lecció 1
Tarea de redimieto de la lecció La datació por carboo 14 se usa para determiar la atigüedad de artefactos arqueológicos de orige biológico (platas o aimales). Los elemetos que so sometidos a la datació por carboo14 icluye objetos hechos co hueso, madera o fibras de platas.este método se lleva a cabo midiedo la fracció de carboo14 que ha quedado e u objeto. La fracció del carboo14 origial que ha quedado se puede expresar mediate ( la fució f = t_ 57), dode t es el tiempo que trascurrió desde que el orgaismo murió. a. Completa la siguiete tabla para descubrir qué fracció del carboo 14 origial ha quedado co el paso del tiempo. t t_ 57 Fracció de carboo 14 restate 57 11,4 17,1 b. El período de 57 años se deomia la vida media del carboo 14, porque la catidad de carboo 14 desciede a la mitad 57 años después de cualquier mometo de iicio (o solo t = años). Verifica esta propiedad comparado la catidad de carboo 14 que quedó al cabo de 11,4 años y de 17,1 años. c. Escribe la expresió correspodiete para la fracció restate de uraio-4, que tiee ua vida media de aproximadamete 8, años. Blaie Harrigto III/ Alamy Módulo 14 646 Lecció 1