5. a relació de icertidumbre para la eergía y el tiempo Existe tambié relacioes de icertidumbre para otras parejas de magitudes, ua de ellas es la eergía y el tiempo. Si la medida de la eergía E de ua partícula se ace co ua icertidumbre E y e la realizació de la medida se empleo u itervalo de tiempo t, el pricipio de icertidumbre tiempo-eergía exige que el producto de las icertidumbres sea mayor o igual que la costate de Plack dividido por 4π. Ejemplo 5. E t (1,15 ) 4 π U átomo excitado regresa a su estado ormal, emitiedo fotoes co ua cierta eergía. El tiempo medio que trascurre etre la excitació y la emisió es del orde de 10-8 s, cuál es la icertidumbre e la eergía del fotó?. Tomaremos el itervalo de tiempo idicado, como ua medida de la icertidumbre del tiempo t. 34 6,63.10 J s 7 8 E t ; E 5,8.10 J 3,30.10 ev 4 π 8 4 π 10 s 6 Fució de oda as partículas como u electró, las caracterizamos por su eergía y su mometo lieal y e relació co la oda asociada allamos la logitud de oda ec.(1,13) y observamos el diagrama de iterferecias. Si embargo falta establecer tambié la ecuació de la oda y su sigificado físico. E mecáica cuática ay que ablar e térmios de probabilidades, así por ejemplo, qué probabilidad ay de que u electró icida sobre u determiada zoa de la patalla?. a probabilidad es alta e las zoas próximas a u máximo de iterferecias y muco meor e las zoas dode ay u míimo. Co las probabilidades se describe el comportamieto de las partículas y para calcularla se itroduce la fució de oda Ψ. dv A(x,y,z) Fig.1.3 a probabilidad de que ua partícula esté detro de u volume dv es proporcioal al valor del mismo y al cuadrado absoluto de la fució de oda. Cosiderado u volume diferecial dv, fig.1.3, cetrado e u puto de coordeadas A(x,y,z) la probabilidad elemetal dp de que la partícula se ecuetre e él, viee dada por el producto del cuadrado absoluto de la fució de oda, multiplicado por el citado volume. Ψ dp dv (1,16) El cuadrado absoluto de la fució de oda es dp Ψ dv ; y represeta la probabilidad por uidad de volume, (o desidad de probabilidad). a probabilidad de que la partícula se ecuetre detro de u volume fiito V, se obtiee mediate la itegració de la ecuació (1,16). P Ψ dv (1,17) V a probabilidad de ecotrar ua partícula e cualquier lugar del espacio, es decir etre -, y + es total y matemáticamete vale 1 (certeza). Se cooce como codició de ormalizació a la itegral. + Ψ dv 1 (1,18) 14
7 a ecuació de Scrödiger e ua dimesió El coocimieto de la fució de oda Ψ permite determiar la probabilidad de que la partícula esté e u determiado volume, ec.(1,17). Pero como se alla Ψ?. E 196 el austríaco Scrödiger propuso ua ecuació y la resolvió para alguas aplicacioes. Esta ecuació o puede derivarse de otras ateriores (ya sucedía co las ecuacioes de Newto), su validez procede de poder explicar correctamete los resultados experimetales. El caso más secillo, es el de ua partícula libre que se desplaza por el eje X. a ecuació de Scrödiger para este caso es la ecuació diferecial. a costate de Plack dividida etre el factor π se desiga como co barra. π Es u factor que aparece co muca frecuecia e mecáica cuática. d Ψ EΨ ( x) (1,19) 8 π m dx Que relacioa la eergía total de la partícula E (solo ciética), co su masa m, la costate de Plack ħ, la fució de oda y su derivada seguda. Para la partícula libre, la oda asociada tiee de amplitud A y logitud de oda λ, siedo la fució de oda ψ(x) solució de la ec. (1.19): ( ) Ψ x A se π x λ Calculado la seguda derivada de ψ(x), teiedo e cueta ψ(x) y sustituyédola e la ec.(1.19) se determia la eergía de la partícula. El mometo lieal es: p E (1.0) m λ Ec m E m m m λ λ Tato la eergía como el mometo lieal se cooce co precisió para el estado de la partícula descrito por esta fució de oda, (so valores costates) y la icertidumbre e ambos casos es ula, p 0 y E 0. De acuerdo co el pricipio de icertidumbre tiee que suceder que la idetermiació e la posició debe ser x, co lo que la partícula puede allarse e cualquier lugar del eje x. De la misma maera, existirá ua catidad de tiempo ifiita ( t ) para medir la eergía de la partícula y el pricipio de icertidumbre eergía-tiempo, E t / 4π, permite que su eergía se coozca co completa precisió. 0 x 7.1 Partícula e ua caja Cosideremos ua partícula coteida e ua caja, fig.1.8, cuyo movimieto está limitado al eje X. a partícula de masa m puede moverse desde u extremo de la caja al otro, es decir etre 0 x y supoemos que e los extremos ay uas barreras co las que la partícula coca y rebota elásticamete. Además, e el iterior de la caja la partícula se mueve libremete por lo que podemos asigarle ua eergía potecial cero. Se puede decir que toda la eergía de la partícula es eergía ciética. Si embargo la partícula o puede salir de los extremos de la caja de modo que la fució de oda tiee que cumplir ψ(0) 0 y ψ() 0. Fig.1. 8. a partícula e ua caja solo puede moverse etre los extremos de la misma, es decir etre 0 y. 15
a ecuació diferecial (1,19) tambié puede describir la fució de oda de la partícula e el iterior de la caja, cuyas solucioes so combiacioes de se( π x / λ) y cos( π x / λ ). Si embargo, aora teemos u cojuto de odas compatibles co las codicioes e los extremos de la caja, siedo el problema similar al de ua cuerda de logitud fija por sus dos extremos, que etra e vibració y e los que por o vibrar aparece odos fig.1.9. Tambié se preseta e la cuerda otros posibles modos de vibració, llamados armóicos, que cumple co la codició de que e los extremos siga abiedo odos, fig.1.30. E geeral si e ua cuerda de logitud ay -armóicos, λ / ; y la logitud de oda: λ N 0 λ 1 / Fig.1.9 E ua cuerda fija por los dos extremos, se establece ua oda estacioaria co dos odos N e sus extremos. a distacia etre dos odos cosecutivos medida e logitudes de oda es λ 1 /. N a eergía para cada modo de vibració es aora por aalogía co (1.0). E m λ m ( ) 8 m ; 1 (1.1) Se dice que la eergía está cuatificada y a se le llama úmero cuático. A cada uo de estos valores permitidos le correspode ua de las fucioes de oda Ψ (x) compatibles e la caja, (ver ejercicio 7.1.1). E la fig.1.31 se represeta los valores discretos de la eergía, asigádole E 0 al valor de referecia de la eergía potecial. a eergía más baja, llamada eergía del puto cero, se obtiee para 1 E 1 8 m 0 N N N λ / λ / Fig.1.30. Otro modo de vibració es co dos armóicos, aora es λ / Ua partícula cuática o puede teer uca ua eergía ula, y esta afirmació es ua cosecuecia del pricipio de icertidumbre. Para etederlo, cosidera que la partícula esta ligada al iterior de la caja y por lo tato la icertidumbre e su posició será aproximadamete del tamaño de la caja x. E cosecuecia, la icertidumbre e su mometo lieal deberá ser al meos: p (4 π x) 4π. El pricipio de icertidumbre o permite que la partícula tega eergía cero, pues si fuera así, al ser toda la eergía ciética, se ecotraría e reposo y e cosecuecia la icertidumbre e su mometo lieal sería cero, lo que etra e cotradicció co el valor ates allado p 4π. U objeto cuático que está detro de u espacio limitado, siempre tiee movimieto, lo que implica la existecia de ua eergía que se cooce como eergía del puto cero, e uestro ejemplo es la E 1 del estado de míima eergía, tambié coocido como fudametal, obteido para 1. Ejercicio 7.1.1 A modo de ilustració describimos los procedimietos matemáticos más secillos e la M. C: Determia la fució de oda Ψ correspodiete a la partícula que se mueve e la caja de logitud y calcula la desidad de probabilidad Ψ. E 3 Ε E 1 E 0 Fig.1.31. os valores de la eergía de ua partícula e ua caja, so discotiuos, úicamete puede tomar alguos bie defiidos y o los itermedios. El gráfico se cooce como diagrama de iveles de eergía. a fució de oda es de la forma Ψ Ase π x λ. Sustituyedo e la codició de ormalizació (1,18) teiedo la certeza de que la partícula está etre 0 y y que su movimieto está limitado úicamete al eje X, resulta: 16
Ψ dx 1 ; π x π x Ase dx A se dx 1 0 0 0 a itegral vale ; así que es: A 1 ; resultado para la amplitud: A y la fució de oda: Ψ π x se a desidad de probabilidad es: x se π Ψ Para los dos primeros armóicos 1, y ; las desidades de probabilidad so: x se π Ψ 1 ; x se π Ψ Costruyedo ua tabla de desidades de probabilidades e distito putos de la caja, vemos que la probabilidad e cualquier puto de la caja o es la misma, como sucedería para ua partícula clásica que rebota etre dos paredes. X 0 /4 / 3/4 Ψ 1 0 1/ / 1/ 0 Ψ 0 / 0 / 0 Determiar la diferecia relativa etre la eergía de dos iveles cosecutivos, para ua partícula e ua caja, cuado el orde del ivel- es muy grade. a diferecia de eergía para u ivel-(+1) y para u ivel- resulta: E E+ 1 E ( + 1) ( 1 + ) 8 m 8m 8m Y la diferecia relativa de eergía etre los dos iveles se obtedrá dividiedo etre el valor de E o de E +1 es idiferete. E E ( 1 + ) 8m ( 1 + ) 8m 1 + 1 Al ser muy grade 0 rápidamete, mietras que resulta muy pequeño. Erwi Scrödiger físico austríaco (1887-1961). Realizó sus estudios e la Uiversidad de Viea y fue profesor de uiversidades como Stuttgart, Zuric, Berlí y Oxford, estado desde 1940 asta 1955 como Director de la Escuela de Física Teórica e el Istituto de Estudios Avazados de Dublí. e fue otorgado el Nobel de Física e 1933, por sus cotribucioes a la Mecáica Cuática al expoer e 196 su Mecáica Odulatoria, esecial para el coocimieto de la estructura atómica, desarrollado ua ecuació de odas para describir las propiedades odulatorias de los electroes. sus publicacioes se ecuetra: Recopilació de artículos sobre Mecáica Odulatoria 198.Teoría atómica modera 1934. Termodiámica Estadística 1945. Uiversos e expasió 1946. Para valores de muy grades la diferecia de eergía etre iveles próximos es ta pequeña, que parece estar distribuidos de u modo cotiuo, pues o existe igú istrumeto que experimetalmete pueda distiguir su carácter discreto. Ejercicio 7.1.3 Calculemos el valor del úmero cuático, para ua caica macroscópica que rebota ipotéticamete etre dos paredes separadas 0,5 m, e ua trayectoria perpedicular a las mismas. a masa es 0 g y el módulo de la velocidad 1 m/s a eergía que cosideramos es solo ciética pues la potecial permaece costate y le asigamos el valor cero. a igualamos a la ec. (1,1). 1 1 3 8m v mv 0.10 kg 0,5 m 1m / s 31 E mv ; 3.10 34 8m 6,63.10 J s 17
El úmero cuático correspode co 3.10 31 que es muy elevado y la diferecia relativa de eergía etre ese ivel y el siguiete sería. E E 3 6 7,.10 31 3.10 Catidad que es muy pequeña para ser detectada por u aparato. os iveles de eergía está ta cercaos que la distribució de eergía parece u cotiuo fig.1.8. Estas situacioes e las que la eergía se distribuye de u modo cotiuo so las que resuelve la mecáica clásica para cuerpos macroscópicos. Así que la mecáica cuática es de validez geeral tato para cuerpos microscópicos como macroscópicos, mietras que la ewtoiaa queda limitada para estos últimos. E muy grade 7. El efecto túel El pricipio de fucioamieto de alguos dispositivos electróicos so ua cosecuecia de que la fució de oda asociada al electró se extiede detro de regioes que se ecuetra proibidas para la física clásica. Cosideremos ua partícula clásica que co eergía E, icide desde la izquierda sobre ua regió represetada por u rectágulo cuya altura es ua eergía potecial U 0 y su acura a 0.. Si la partícula posee ua eergía E>U 0 la partícula pasa la barrera y cotiua su propagació al otro lado de la misma, fig. 1.9. Si embargo, si la eergía E < U 0 ua partícula clásica o puede pasar la barrera y es reflejada por la misma. U U 0 Eergía E 3 ) 3 E E 1 1 Fig. 1.8. Cuado el úmero cuático es pequeño, los iveles de eergía so discretos y está bie separados, si embargo cuado es muy grade los iveles de eergía está ta próximos que so idesceribles, apareciedo como u cotiuo (ua bada). Esto es lo que sucede co los cuerpos macroscópicos de los que se ocupa la mecáica clásica. a 0 x U Fig.1.9. Si la partícula tiee más eergía que la correspodiete a la barrea de potecial, cotiua su desplazamieto por el eje x a la dereca del mismo. U 0 Cuado el experimeto se realiza co electroes se ecuetra que ay alguos que aú teiedo ua eergía iferior a la de la barrera de potecial puede pasar al otro lado de la misma. Se cooce como efecto túel. Eergía a Ψ(x) x El electró es ua partícula cuática que tiee su oda asociada Ψ(x) que puede desplazarse más allá de la barrera de potecial, por lo que existe ua cierta probabilidad dp Ψ ( x) dx ; de que el electró pueda pasar al otro lado de la barrera. a fució de oda Ψ(x) se obtiee de resolver la ecuació de Scrödiger y tiee a ambos lados de la barrera u comportamieto oscilatorio, co ua amplitud de oda que decrece a la dereca de la misma, fig.1.30. a amplitud dismiuye co la altura de la barrea U 0 y co la acura, de modo que si la barrera fuera muy alta y aca, la probabilidad del paso de electroes se reduce muco más. Fig.1.30. a oda asociada a los electroes auque reduce su amplitud e la barrera, puede atravesarla, lo que permite que los electroes pueda ecotrarse al otro lado de la misma. 18
8 Aplicació de la mecáica cuática al átomo de idrógeo El átomo más secillo es el idrógeo, compuesto de u úcleo co u protó +e y de u electró e, exterior al mismo. as dos partículas tiee masa, y carga eléctrica de sigo cotrario, auque la iteracció gravitatoria es despreciable frete a la electrostática, por lo que la eergía potecial de la iteracció es electrostática y viee dada por: U e 4πε r Para determiar la fució de oda Ψ abría que sustituir la citada eergía potecial e la ecuació de Scrödiger, escrita e ua forma muco más complicada que la presetada e este texto. Por tato, os coformaremos co dar ua explicació razoable y expoer los resultados. El electró tiee la máxima probabilidad de estar cofiado e ua regió que rodea al úcleo fig.1.31, llamado orbital. 0 Y Y s X p X Z Z Fig.1.31. Orbitales atómicos. as fucioes de oda Ψ obteidas al resolver la ecuació de Scrödiger permite mediate su cuadrado absoluto Ψ determiar la desidad de probabilidad de u electró e u estado y puede ser visualizadas mediate ua ube electróica (orbital). Se represeta dos orbitales s y p; cada uo de los cuales correspode a ua solució distita para la fució de oda Ψ. Vimos que ua partícula que se mueve e u espacio limitado tiee ua eergía cuatificada, siedo cada uo de los valores discretos que toma, u ivel de eergía, el cual se determia por el úmero cuático pricipal. Además, el movimieto del electró e el idrógeo es e el espacio de tres dimesioes, y aora ace falta tres úmeros cuáticos para describirlo: l m úmero cuático pricipal úmero cuático orbital úmero cuático magético El úmero cuático pricipal, determia el ivel de eergía, y se obtiee de resolver la citada ecuació de Scrödiger cosiderado las codicioes de cotoro. Resulta igual valor que e el modelo de Bor: 13,6 E ev Dode toma valores eteros y positivos, 1,,3, El úmero cuático orbital l, determia el módulo del mometo agular orbital del electró, fig.1.36, que viee dado por la ecuació: l( l + 1) π l es u úmero etero y positivo que toma valores desde 0, 1, (-1). E cosecuecia el mometo agular orbital está cuatificado. 19
El úmero cuático magético m requiere ua explicació más detallada. El electró es ua carga eléctrica e movimieto alrededor del úcleo, e cosecuecia es como ua espira de corriete e la que se puede defiir su mometo magético r µ cuyo valor es: r µ El sigo meos idica que r µ es de setido cotrario a r, fig.13.3. E cosecuecia el mometo magético del electró depede, de la carga y e m r masa del electró y de su mometo agular r. Cuado se aplica u campo magético extero, aparece u par de fuerzas que tiede a llevar al mometo magético r µ e la direcció del campo. E cosecuecia la magitud del mometo agular r y su orietació respecto del campo magético extero, determia la cotribució magética a la eergía total del átomo, cuado éste se alla e el campo magético. Cosiderado que el campo magético extero está e la direcció del eje Z, fig.1.37, etoces la compoete del mometo agular e la direcció del eje Z, (llamémosle Z ) tambié está cuatizada, siedo el úmero cuático correspodiete el magético m.. El valor de Z es: Z m m π e µ Fig.1.3. Mometo agular orbital y mometo magético del electró µ e el átomo de idrógeo. os valores permitidos a m so: desde l, 0 +l. Como ejemplo fig.1.33, supogamos u valor de l, el mometo agular es: ( + 1) 6 Z Z Para este valor de l los de m será: {, 1,0,1, } adquiere los siguietes valores, : {,,0,, } Z y como m Ua iterpretació física, es que la presecia de u campo magético ace que la eergía de u ivel atómico o depeda úicamete del úmero cuático pricipal, sio que tambié resulta ua fució del úmero cuático magético m. U ivel co u cierto valor de se separa e varios subiveles y sus eergías so ligeramete mayores o meores que la eergía del ivel e ausecia del campo magético. Z B r 0 r Desde u aálisis espectroscópico al radiar el átomo eergía, el campo magético produce ua escisió de las líeas espectrales idividuales, e líeas separadas. El feómeo se cooce como efecto Zeema. Además el electró tiee u mometo agular itero o spi, que se tomó e cosideració al observar la llamada estructura fia. Co istrumetos de mayor poder de resolució las rayas espectrales se aprecia compuestas por dos o más líeas muy jutas. a compoete del spi e la direcció del campo magético está cuatizada y tiee por módulo. S Z m s Fig.1.33. Compoetes Z; del mometo agular orbital r e la direcció del eje Z. E el caso de que el úmero cuático orbital l valga, el mometo agular tiee 5 compoetes Z ; e la direcció del campo magético extero B r. m s es el úmero cuático de spi. Tiee de valores +½ y - ½ 0
E E E ν 1 E ÁSER a palabra ASER procede de uas siglas iglesas que cuyo sigificado es luz amplificada y estimulada por emisió de radiació. a luz láser tiee las siguietes características: alta itesidad, az muy estreco, pureza e el color (logitud de oda muy defiida), alta coerecia,... El primer ASER fue costruido e 1960 por Teodore Maima empleado u cristal de rubí (óxido de alumiio) co impurezas de átomos de cromo, e forma de barra. E los extremos del cristal abía dos superficies plaas muy pulidas, ua co capacidad de reflejar totalmete la luz y la otra co ua capacidad de trasmisió de alrededor del 1%. a eergía para el fucioamieto del áser fue proporcioada por la descarga lumiosa de u tubo de xeó que rodeaba al rubí y emitía destellos, lo que provocaba a su vez que la emisió de este áser fuera mediate pulsos de luz. E 1961 Ali Java costruyó el áser de Helio-Neó que es de gas y de emisió cotiua. Actualmete existe áseres de gas (Ar, He-Ne, CO ), De líquidos, de estado sólido (Rubí, Nd), que emite luz, desde el ifrarrojo asta e los rayos X. Cómo fucioa los áseres?. a teoría cuática afirma que los estados de la materia está cuatizados es decir, que los átomos y moléculas solo puede existir e estados de eergía bie defiidos, ya sea electróicos, vibracioales, rotacioales. a materia se ecuetra e geeral e aquellos estados permitidos de meor eergía, E 1 de modo que cuado se produce ua excitació por la absorció de fotoes o por colisioes etre átomos, se provoca la promoció a iveles de eergía más elevados E, desde los que posteriormete iteta decaer casi istatáeamete a iveles de eergía más bajos, emitiedo u fotó, co ua frecuecia que viee determiada por las diferecias de eergías etre los dos estados υ ( E E1 ) /. El salto se puede realizar etre etapas itermedias dode puede permaecer u corto itervalo de tiempo ates de caer la ivel fudametal, se abla etoces de estados metaestables. E geeral la població de átomos excitados es muy pequeña frete a la població e el estado fudametal y además se alcaza u equilibrio e el que ay igual úmero de trasicioes acia arriba que acia abajo. E u medio e el que se da estas codicioes o se puede producir el efecto áser. ν 1 E 1 E 1 E 1 ν ν Qué determia las trasicioes acia arriba?. Existe dos factores: e primer lugar el úmero de átomos que tiee eergías E 1 y e segudo lugar el úmero de excitacioes capaces de acerlos llegar al ivel E. Al aumetar la temperatura el úmero de trasicioes acia arriba, se acrecieta más rápidamete que el úmero de trasicioes acia abajo que o depede de este factor, co lo que se podría llegar al absurdo de que todos los átomos estuviera excitados y o emitiera radiació. Tal posibilidad llevo a Eistei a imagiar que además de la emisió espotáea abría otra forzada desde los iveles E que se cooce como emisió estimulada. Para coseguir el efecto áser, la primera codició que debe darse, es que la població de átomos excitados sea muy superior a la de átomos e el estado fudametal, es la llamada iversió de població, y esto se logra mediate u mecaismo de bombeo acia los iveles de eergía superior, que va a depeder del tipo particular de 7
áser. Si e estas codicioes e la que existe ua gra població de átomos excitados, se emite espotáeamete u fotó y este colisioa co otro átomo que se ecuetra e el mismo estado de excitació que el emisor del fotó, etoces o resulta absorbido pero imediatamete provoca la emisió de u uevo fotó de la misma direcció y frecuecia, y e fase co él. De uevo estos dos fotoes al colisioar co dos uevos átomos excitados provoca la emisió de uevos fotoes y de este modo se va produciedo u efecto de avalaca e el que cada vez más se va emitiedo fotoes e fase, obteiédose ua itesidad muy alta detro de ua cavidad, que sale fialmete al exterior e forma de radiació áser. E E E E E E 1 E 1 E 1 E 1 E 1 A B B C D El fotó emitido por el átomo A, icide sobre el átomo B que se ecuetra excitado, y que imediatamete se desexcita emite dos fotoes e fase. Estos actúa sobre los átomos excitados C y D, estimuládolos a emitir dos fotoes cada uo, de este modo se va produciedo la emisió estimulada de luz. U mecaismo de bombeo que fucioa co eergía que exteramete se proporcioa al áser, devuelve cotiuamete a ua població de átomos desde el estado fudametal E 1 asta el estado excitado E... as aplicacioes de los láseres so muy umerosas: e la eseñaza, e la ivestigació, para aplicacioes médicas, e las comuicacioes y umerosos usos tecológicos. Ua aplicació muy espectacular es la que permite medir la distacia de la Tierra a la ua, co ua aproximació mejor que 10 cm. E 1969 los astroautas del Apolo XI istalaro u espejo e la ua, eviado u pulso de luz áser desde la Tierra y midiedo el tiempo trascurrido desde que el pulso es eviado asta que regresa se puede medir la distacia deseada. 8