Aálss de Datos I Esquema del Tema Tema : Modelos de dstrbucó de robabldad: Varables Cotuas. EL MODELO RECTANGULAR. EL MODELO NORMAL, N(; ) 3. MODELO CHI-CUADRADO DE PEARSON, k 4. MODELO t DE STUDENT, t k 5. MODELO DE SNEDECOR, m, Bblografía: Tema (ág. 33-339) y Tablas II, III, IV y V del aédce fal Ejerccos recomedados:, 5,, 9,, 3, 4, 6, 9,,, 6, 9, 3, 3, 33, 34, 35, 36, 4, 46, 5, 54 y 56. Carme méez
Aálss de Datos I Esquema del Tema La mayor arte de las varables cotuas també tee asocada su fucó de desdad de robabldad y su fucó de dstrbucó. E alguos casos se ajusta a u modelo teórco. Aquí veremos cco modelos ara varables cotuas.. EL MODELO RECTANGULAR Es la equvalete a la dstrbucó uforme de las varables dscretas. Por tato, ua varable aleatora se ajusta a este modelo s todos los valores co robabldad o ula tee la msma fucó de desdad. Gráfcamete se rereseta medate:. f(x) (x) - + - +. EL MODELO NORMAL, N(; ) La curva Normal además de ua fórmula matemátca es u feómeo atural uesto que es frecuete ecotrarse varables co dstrbucoes Normales. El modelo Normal Exste u valor cetral (la meda),, dode se cocetra la mayor arte de los dvduos. (x ) N ( ) A medda que os alejamos de (a la derecha, co utuacoes altas y a la zda. co bajas) el úmero de dvduos se reduce. - + se dstrbuye Normalmete co arámetros y Es decr: ~ N (; ) ( ) / s su fucó de desdad es: f ( x) e Para varables tfcadas: u asecto más secllo: z, esta fórmula toma z / f ( z) e ( z ) -3 - - N(; ) 3 Teorema de la Tfcacó: Para varables Normales, la fucó de dstrbucó asocada a u valor x es la msma que la asocada a ese valor e tícas (z ). Esto es: (x ) = (z ) Ejemlo: ~ N (; )... La varable se dstrbuye Normalmete co meda = y desvacó tíca = z ~ N (; )... La varable z se dstrbuye Normalmete co meda y desvacó tíca Carme méez z
Aálss de Datos I Esquema del Tema Tablas estadístcas Las tablas co la robabldad corresodete a los valores de está e tícas z. orma de cosultar la tabla (ver Tabla II e ág. 49-43 del lbro): z -3,. (z ) Área or la zda. (z ) 3, z Ejemlo: Para buscar la robabldad asocada a u valor e la tabla Normal: º. Tfcar la utuacó: z º. P ( x ) P (z z ) = (z ) P ( x ) P (z z ) = - P (z z ) = - (z ) P (x x ) P (z z z ) = (z ) - (z ) La varable estatura e ua muestra de estudates de bachlllerato se dstrbuye N (7; ).. Probabldad de que u sujeto mda al meos 65 cm: P ( 65) P (z 65 7 ) P (z -,65) = - P (z -,65) = -,643 =,7357. Probabldad de que u sujeto mda etre 6 y 74 cm: P (6 74) P ( 6 7 z 74 7 ) = P (-,5 z,5) = (,5) - (-,5) = =,695 -,43 =,9 Aroxmacó de la Bomal a la Normal: La dstrbucó Normal se utlza ara aroxmar las robabldades asocadas al modelo bomal ~ B (N; ) cuado N >. Para ello se calcula las utuacoes tícas realzado la correccó or cotudad: (,5) E ( ) z ; Dode: E() = N ; ( ) N ( ) ( ) y se busca el área de robabldad asocada e las tablas de la Normal tfcada. 3. MODELO CHI-CUADRADO DE PEARSON, k Defcó: S T z z... z k [dode z, z,..., z k so valores de la dstrbucó N (; )] k Etoces T (se dstrbuye segú) ~ k Notacó: k ; dode = robabldad acumulada k = grados de lbertad (g.l.) + Proedades: - El modelo refleja ua dstrbucó asmétrca ostva que sólo toma valores ostvos - Parámetros: E( k) = k y ( k) = k - S ~ a e Y ~ b (sedo e Y deedetes) y se defe T = + Y, etoces T ~ a + b - tede a la Normal cuado k - Tablas estadístcas: Tabla III (ág. 44-45 del lbro). Ejemlo:,5 6 =,635 Carme méez 3
Aálss de Datos I Esquema del Tema 4. MODELO t DE STUDENT, t k Defcó: S ~ N (; ) Y ~ k Etoces z T T (se dstrbuye segú) ~ t k Y k k / k / - Notacó: t k ; dode = robabldad acumulada k = grados de lbertad (g.l.) Proedades: - El modelo t k refleja ua dstrbucó smétrca y astótca or ambas colas - Parámetros: E (t k) = y (t k) = k / k - t de Studet tede a la Normal cuado k - Tablas estadístcas: Tabla IV (ág. 46 del lbro). Como la dstrbucó es smétrca, solo vee la mtad de la tabla. Por tato hay que teer e cueta que: P(t k T) = P(t k -T) y P(t k T) = P(t k -T). Ejemlo:,t 5 =,9. Por tato: P(t 5,9) =, = P(t 5 -,9) y P(t 5,9) =, = P(t 5 -,9). t t k + 5. MODELO DE SNEDECOR, m, Defcó: S Etoces ~ m Y ~ / m / m T T ~ m, Y / / Notacó: ; dode = rob. acumulada, m, m = g.l. de y = g.l. de Y Proedades: m m, - La forma del modelo de dstrbucó de Sedecor es como la de (asmétrca ostva y astótca sólo or la cola derecha). - Parámetros: E( m, ) y ( m) ( m), m( 4)( ) (sólo s > ) - S W = T z /, etoces: W / k k / k y W ~ k. Dode:,k EW ( ) y ( W) k - de Sedecor tede a la Normal cuado m y k - Tablas estadístcas: Tabla V (ág. 47-43 del lbro). Ejemlo:, 6, 5 =,3 - Proedad de la versó: També uede usarse la fórmula m,, m E el ejemlo ateror:, 6,5, 3,9 5,6 3, + k ( k) ( k4)( k) Carme méez 4
Aálss de Datos I Esquema del Tema 6. EJERCICIOS Ejercco La varable CI se dstrbuye N (; 5) e la oblacó de estudates uverstaros. Se seleccoa ua muestra aleatora de sujetos. S se extrae u sujeto al azar:. Cuál es la robabldad de que utúe e CI como máxmo?. Cuál es la robabldad de que utúe e CI al meos 95? 3. Cuál es la robabldad de que utúe e CI etre 9 y 99? 4. Qué utuacó e CI tee ua robabldad acumulada de,5793? 5. Qué utuacó e CI ocua el cetl 65? 6. Etre qué valores está el 5% medo de las observacoes? 7. Cuátos sujetos suera la utuacó CI =? Ejercco Ua emresa ecesta seleccoar sujetos extrovertdos y co fludez verbal ara realzar tareas comercales. Se reseta 4 caddatos. Se establece como crtero seleccoar aquellos sujetos que suere el cetl 75 e ambas. Se sabe que la extroversó () sgue u modelo N(; ) y la fludez verbal (Y) u modelo N(; 3) y que ambas varables so deedetes.. Cuátos sujetos será seleccoados?. Qué utuacoes drectas se debe suerar e extroversó y fludez verbal ara ser seleccoado? 3. S extraemos al azar a de los caddatos, calcule la robabldad de que meos de la mtad suere la utuacó 9,6 e extroversó. Ejercco 3 La varable se dstrbuye segú co grados de lbertad.. S se extrae u sujeto al azar, calcule la robabldad de que o suere el valor 9,34. Calcule el valor de tal que la robabldad de obteer como máxmo ese valor sea,7 3. Calcule la robabldad de observar valores e la varable etre 3,94 y 3,44 4. Calcule la utuacó que corresode al cetl (e drectas, dferecales y tícas) 5. Calcule la robabldad de que la varable adote como mímo el valor 5,97 6. Calcule la utuacó que corresode a la robabldad acumulada de,99 Ejercco 4 La varable se dstrbuye segú t de Studet co 5 grados de lbertad.. S se extrae u sujeto al azar, calcule la robabldad de que o suere el valor,6. Calcule el valor de tal que la robabldad de obteer como máxmo ese valor sea,7 3. Calcule la robabldad de observar valores e etre -,36 y,36 4. Qué valor corresode a la medaa? 5. S dvdmos la dstrbucó e cuatro artes guales, Qué valores geera dcha artcó? Ejercco 5 La varable se dstrbuye segú 7,. S se extrae u sujeto al azar, calcule la robabldad de que o suere el valor 3,5. Calcule el valor de tal que la robabldad de obteer como mímo ese valor sea,75 3. Calcule la robabldad de observar valores e etre,9 y 7,694 4. Qué valor corresode al rmer cuartl? Carme méez 5