TEMA # EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES PROFESOR: AQUILINO MIRANDA, NIVEL: 8, COLEGIO DANIEL O. CRESPO Nombre del estudiate: Grupo: Objetivos: coocer la teoría de los úmeros reales y las aplica para resolver operacioes básicas co úmeros reales. Actividad previa: Respode la siguiete iterrogate. Cuáles so los cojutos uméricos que estudiaste e séptimo grado? La suma de tres úmeros aturales cosecutivos es 168 Cuáles so los úmeros? + + = 168 Ahora podemos iiciar co el desarrollo del tema, adelate.1 Cocepto de úmeros reales: Es el cojuto que resulta de la uió de los úmeros racioales co los irracioales. Este cojuto se represeta por la letra R, R Q I este cojuto cotiee a los úmeros aturales, los úmeros eteros, los úmeros racioales y los úmeros irracioales. 1 Profesor: Aquilio Mirada
. Orige de los úmeros reales: La ecesidad de cotar, codujo a la humaidad a la primera oció de los úmeros. Los úmeros aturales ha estado presetes e todas las civilizacioes y se ha represetado de distitas maeras. Los matemáticos de la idia fuero los primeros e itroducir símbolos idividuales para cada uo de los úmeros del 1 al 9. Es probable que el símbolo 1 provega del dedo levatado, que es la maera más secilla y atural que teemos para decir uo. Los egipcios utilizaro por primera vez las fraccioes comues alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 00 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cueta de la ecesidad de los úmeros irracioales. Los úmeros egativos fuero ideados por matemáticos idios cerca del 600, posiblemete reivetados e Chia poco después, pero o se utilizaro e Europa hasta el siglo XVII, si bie a fiales del XVIII Leohard Euler descartó las solucioes egativas de las ecuacioes porque las cosideraba irreales. E ese siglo, e el cálculo se utilizaba u cojuto de úmeros reales si ua defiició cocisa, cosa que fialmete sucedió co la defiició rigurosa hecha por Georg Cator e 1871.. Características del cojuto de los úmeros reales: a) es u cojuto ordeado. b) es u cojuto deso. c) es u cojuto ifiito..: Localizació de úmeros reales e la recta umérica: La recta umérica es u gráfico uidimesioal de ua líea recta e la que los úmeros reales so ordeados y mostrados como putos especialmete marcados. La recta real o recta de coordeadas es ua represetació geométrica del cojuto de los úmeros reales. Tiee su orige e el cero, y se extiede e ambas direccioes, los positivos e u setido y los egativos e el otro, existe ua correspodecia uo a uo etre cada puto de la recta y u úmero real. EVALUACIÓN FORMATIVA Localice los siguietes putos e ua recta umérica: 1 1 1 10,,,,,,,, 1., 1,, Profesor: Aquilio Mirada
. Valor absoluto de u úmero real: E matemática, el valor absoluto o módulo de u úmero real es su valor umérico si teer e cueta su sigo (pues represeta la distacia que hay de dicho úmero al cero y las distacias siempre so positivas), sea este positivo o egativo. El valor absoluto está relacioado co las ocioes de magitud, distacia y orma e diferetes cotextos matemáticos y físicos. Sea xr el valor absoluto de x que de deota como x se defie de la siguiete forma: Ejemplos: x si x 0 x x si x 0 es decir x 0 0,,,,,,.1.1 7 7 x ACTIVIDAD FORMATIVA Determie el valor absoluto de los siguietes úmeros: 0,, 1,, 0,,.17. Relació de orde: Para la relació de orde e el cojuto de los úmeros reales utilizaremos la siguiete simbología: (mayor que), (meor que), = (igual que). Al avazar de izquierda a derecha e la recta umérica, se cumple que para u par de úmeros, será mayor el que está a la derecha del otro, y será meor aquel que está a la izquierda, el cero es mayor que cualquier úmero egativo y meos que cualquier úmero positivo. Para dos úmeros egativos será mayor el que está más cerca del cero. Ejemplos: 1 0,,, 7, 9 11, 1,, 1 0, 1 1 1 9 1,,,,, Profesor: Aquilio Mirada ACTIVIDAD FORMATIVA Coloca el símbolo que correspode e cada caso: a) b) 7 c) 10 8 d) e) 0 1 f) 1 10 1 1 0 10,.., 0,,,,
Ordea de mayor a meor los siguietes úmeros: 0, -, 0, -1, 1, -., 0.9, ½, -1/, 100, -00, -, 7, -8.9,, 7, 10,.,.7 EVALUACIÓN SUMATIVA ( INTEGRANTES) Criterios de evaluació: Coteido putos, orde y aseo 1 puto, resposabilidad putos. Localice los siguietes úmeros e ua recta umérica: 1 1 9,,,,,,,, 1., 10 Establezca e el espacio la relació 1 1 0 1,., 0 1, 6,, 1, Determie el valor absoluto de los siguietes úmeros: 0,, 6,, 0. Observació: Ates de iiciar co las operacioes etre úmeros reales, daremos u breve repaso a la teoría de los úmeros decimales. Cocepto de úmero decimal: Se deomia úmeros decimales aquellos que posee ua parte decimal, e oposició a los úmeros eteros que carece de ella. La parte etera correspode a u úmero etero (es decir que puede ser cero, u úmero positivo o u úmero egativo); la parte decimal o fraccioaria, correspode al valor decimal. Ambas partes se separa por ua coma o u puto decimal. Importacia de los úmeros decimales: los úmeros decimales tiee ua gra catidad de aplicacioes prácticas tato e la vida cotidiaa como e otras áreas del coocimieto humao; so útiles e cotextos de proporcioalidad como los porcetajes, coversioes de moedas, cálculo de costos, para expresar medidas meores que la uidad que se ha tomado como referecia, e tablas o gráficas, e la resolució de problemas químicos o físicos Profesor: Aquilio Mirada
Ejemplos de úmeros decimales: Decimal fiito Decimal ifiito periódico puro Decimal ifiito periódico mixto Decimal ifiito o periódico Profesor: Aquilio Mirada
ACTIVIDAD FORMATIVA Dados los siguietes úmeros decimales, idetifica a que cojuto perteece cada uo, marca co ua x Decimal Racioal Irracioal Decimal Racioal Irracioal Decimal Racioal Irracioal 0..60... 1.6180... 1.7... 0.8 0. 1.1... 1..718... 0.9..11....166... 0.111 1.. Adició de úmeros reales: E toda suma de úmeros hay varios elemetos: los úmeros que se va a sumar llamados sumados y el resultado de la operació llamado suma o total. Leyes de la suma de úmeros reales: a) Catidades co sigos iguales se suma y se coloca el mismo sigo. b) Catidades co sigos diferetes se resta y se coloca el sigo de la catidad mayor. Propiedades de la suma de úmeros reales: Sea abc,, úmeros reales. Clausurativa: dada ua suma de úmero reales, el resultado tambié es u úmero real. Asociativa: a bc a b c Comutativa: a b b a Distributiva: ab c ab ac Elemeto eutro: a 0 Opuesto aditivo: a a a a 0 a Ejemplos: 1 6110 17 1 6 11 0 1. 1000 19.,, 10 10. 1.6.9 1.., 7 668 6 8.9. 611..6 Sustracció de úmeros reales: esta operació se realiza co úmeros reales positivos, y úmeros reales egativos. Siempre que se reste úmeros reales el resultado siempre será otro úmero real, la resta de úmeros reales o es comutativa. Ejemplos: 1 1 1687 7 119,.8.8, 1,. 0.. 1.8, 9.8.7 Multiplicació de úmeros reales: la multiplicació de úmeros reales tiee las mismas propiedades que la multiplicació vistas e los cojutos ateriores. Leyes de los sigos de la multiplicació: a) b) c) d) 6 Profesor: Aquilio Mirada
E toda multiplicació de úmeros hay tres elemetos: los úmeros que multiplicamos llamados factores (multiplicado y multiplicador) y el resultado de la multiplicació llamado producto. Para la multiplicació utilizaremos los siguietes símbolos: Propiedades de la multiplicació: Sea abc,, úmeros reales:,, X Clausurativa: si multiplicamos úmeros aturales, el resultado tambié será u úmero atural. Comutativa: ab b a asociativa: abc Distributiva: abc ab ac elemeto eutro: a 1 a a b c Ejemplos: 9 18 1 1 11 9 1188,,,..7 6.1, 7 6..8 8 Multiplicació de úmeros decimales: Para multiplicar úmeros decimales, Se multiplica como si fuera úmeros eteros, luego se suma las cifras decimales del multiplicado y multiplicador y esto idicará la posició decimal de la respuesta..8 Divisió de úmeros reales: leyes de los sigos de la divisió. a) b) c) d) Reglas para dividir decimales: Para dividir u decimal etre u etero, se le quita al decimal el puto y al etero se le agrega tatos ceros como cifras decimales tega el úmero decimal. Ejemplos:.7 como tiee dos cifras decimales, le agregamos dos ceros al etero y el puto del decimal desaparece, quedado de la siguiete maera 7 00 6. Dividir 8.79 Equivale a 879 Regla: Para dividir u etero etre u decimal, se le quita al decimal el puto y al etero se le agrega tatos ceros como cifras decimales tega el úmero decimal. Dividir: 6., Luego, 60 8.71 000 00 7 Profesor: Aquilio Mirada, Dividir: 0 0.0 equivale a
Regla: Para dividir dos úmeros decimales se suprime la coma del úmero que más cifras decimales tega y se desplaza la coma del otro úmero tatos lugares a la derecha como cifras decimales tuviese el otro úmero, añadiedo ceros si es preciso. aplicado la teoría obteemos que esto es igual a dividir Dividir.6.8 60 8 6.69, Dividir: 6.1 0.8 equivale a 610 8 161.89 1 1 EVALUACIÓN SUMATIVA Resolver los siguietes problemas aplicado las operacioes co úmeros reales. Criterios de evaluació: coteido putos, orde y aseo putos, resposabilidad u puto. a) Mario Nada e ua piscia olímpica 90m e miuto Cuátos m adará e miutos? b) Ua colecció de 9 CD cueta B/710 cuál es el precio de cada CD? c) E el primer trimestre del año 01 la Geeral Motors Corporatio, perdió 67 000 000 de dólares. Si vedió 000000 de vehículos y sus igresos fuero de 100 000 000, cosiderado que los automóviles so de precios iguales Cuáto diero perdió por vehículo? Cuátos vehículos dejó de veder? d) Rocío pagó B/..7 por ua correa, B/. 8.9 por u sombrero y B/..0 por uas medias. Cuáto diero pagó e total? e) Pedro teía B/. 7.7 y gastó B/..9 Cuáto diero le quedó? f) Cristia ahorra B/..7 todos los días Cuáto diero habrá ahorrado e 1 días?.9 Cocepto de potecia: Las potecias so productos de factores repetidos, la base es el factor que se repite y el expoete idica e úmero de veces que se multiplica dicha base por sí misma. Su otació geeral es: a, a es la base y es el expoete a tal proceso de resolver dichas potecias se le deomia poteciació., 7, 16 Ejemplos:, 7 8, 8 Profesor: Aquilio Mirada
.9.1 Propiedades de la poteciació: Potecia co expoete cero: Potecia de ua potecia: a a 0 m Potecia de u producto: ab a b Producto de potecias de igual base: 1, a 0 ejemplo: 1, 1 0 m a Ejemplo: 6 6 Ejemplo: a a m m a 0 * 9 16 1 Ejemplo: 10 m m Potecia de u cociete co la misma base y diferetes expoetes:, Ejemplo: 16 a a Potecia de u cociete:, b 0 b b Potecia co expoete egativo: Ejemplos: a Ejemplo: 1 1, a a a 1 1 1, 8 6 Las potecias seguda y tercera recibe ombres especiales: a a a m 9 Profesor: Aquilio Mirada
EVALUACIÓN FORMATIVA Resolver las siguietes potecias idicadas: 0 1, 6*7,,,., 1, 9,, 6.10 La radicació de úmeros reales: es la operació que cosiste e buscar u úmero que multiplicado, por sí mismo ua catidad de veces, resulte otro úmero determiado el cual es úico..11 Cocepto de raíz cuadrada: la raíz cuadrada de u úmero a, es otro úmero b que, elevado al cuadrado, reproduce el úmero origial. a b b a.1 Cocepto de raíz cúbica: la raíz cúbica de u úmero a, es otro úmero b que, 10 Profesor: Aquilio Mirada a b b a elevado al cubo, reproduce el úmero origial..1 Cocepto de raíz eésima: La raíz eésima de u úmero "a" es aquel otro úmero "b" que elevado a la eésima potecia es igual a "a a b b a Observació: el sigo es llamado sigo radical (este sigo lleva u ídice, llamado ídice del radical, el cual idica la potecia a la que hay que elevar la raíz para reproducir la catidad subradical), debajo de este sigo se coloca la catidad a la cual se le extrae la raíz llamada catidad subradical..1 Sigos de las raíces: Las raíces impares de ua expresió algebraica tiee el mismo sigo que la catidad subradical. Ejemplos: 7 porque 7 7 porque 7 porque Las raíces pares de ua catidad positiva tiee doble sigo (+ y -) Ejemplos: a porque, 16 porque 16, 16.1 Propiedades de la radicació: Raíz de ua potecia, m m a a
Raíz de u producto de varios factores: abcd a b c d a a Raíz de u cociete:, b 0, Raíz de ua raíz m a m a b b Ejemplos: 8, 7.16 Procedimieto para obteer ua raíz cuadrada si la ayuda de ua calculadora: o siempre vamos a teer casos que sea fáciles a la hora de obteer ua raíz cuadrada exacta, además de los casos que puede resolverse metalmete co la ayuda de las tablas de multiplicar existe otros dode es ecesario desarrollar u procedimieto cuidadoso que vamos a explicar e las siguietes págias. Ejemplo: hallar la raíz cuadrada de 666 Solució: Primero se separa las cifras de dos e dos, de la derecha hacia la izquierda, si el úmero tiee ua catidad impar de cifras, la cifra que o complete el par debe estar siempre al iicio del úmero de la siguiete forma 6 6 6 hecha la separació, buscamos ahora u úmero que al elevarse al cuadrado esté lo más cerca posible de 6, este úmero es el, pues elevado al cuadrado es, colocamos el úmero e la parte derecha y el cuadrado del úmero lo restamos de 6 Ahora bajamos el siguiete par de úmeros de la raíz, colocádolos al lado del residuo de la siguiete maera. Posteriormete, el úmero que está e la parte superior derecha, lo multiplicamos por dos y lo que obteemos lo colocamos debajo de la líea del mismo úmero así: Teemos ahora que buscar u úmero que al colocarlo al lado del y del y que l multiplicar este úmero por todo el úmero que resulta al combiarse co el, dé lo más cerca posible de 6, veamos: 11 Profesor: Aquilio Mirada
El úmero buscado es, así que lo colocamos e los lugares idicados y multiplicamos por y lo que os dé se lo restamos a 6 así: Hecho lo aterior, bajamos el siguiete par de úmeros al lado del uevo residuo. Después pasamos ua raya debajo del y ahora multiplicamos por el uevo úmero de la parte superior derecha (), lo que se obtiee se coloca e el espacio debajo de la raya trazada 0. Buscamos ahora u uevo úmero que se coloca al lado del y al lado del 0, luego se multiplica el úmero por la ueva catidad que ahora tiee tres cifras, el úmero buscado es 8, lo colocamos e los lugares idicados y se multiplica el 8 por 08, y lo que os dé lo restamos de 06. Como podemos observar o teemos más residuos, lo que os idica que la raíz es exacta, de aquí cocluimos que 666 8 Ejemplo : Hallar la raíz cuadrada de 09 Teiedo el úmero ua catidad de cifras par, o sobra igua cifra al formar pares, por lo tato empezamos a trabajar co el primer par, y el úmero que al elevarse al cuadrado y que está más cerca de, es al cuadrado, 1 Profesor: Aquilio Mirada
por lo que tedremos: Bajamos ahora el siguiete par de úmeros y duplicamos el úmero de la derecha. El úmero que estamos buscado es el 7, lo colocamos e los lugares idicados luego lo multiplicamos por 87 y el producto lo restamos de 609 así: EVALUACIÓN FORMATIVA Calcule las siguietes raíces cuadradas: 916, 119716, 179098 EVALUACIÓN SUMATIVA Criterios de evaluació: coteido 7, orde y aseo putos, resposabilidad 1 puto. Calcule las siguietes raíces cuadradas: 8, 9081, 6981.17 Operacioes combiadas: Siempre que se tega operacioes combiadas co úmeros reales, se procede a desarrollar primero las operacioes que se ecuetra detro de los sigos de agrupació (parétesis, llaves, corchetes) Ejemplo: resolver la siguiete operació 8 1 1 1 10 1 8 1 1 1 10 1 8 0 1 1 1 1 8 1 1 1 8 0 1 1 1 8 1 0 1 Profesor: Aquilio Mirada
Luego, 8 10 8 8 18 1 1 8 1 8 1 1 1 8 81 8 1 1 8 1 1 1 8 1 1 11 Ejemplo: resolver la siguiete operació 7 1 Profesor: Aquilio Mirada 1 6 1 1 6 9 1 7 1 9 1 9 80 8 8 10 9 8 8 9 77 10 10 9 77 1 109 10 0 0 EVALUACIÓN FORMATIVA Resolver las siguietes operacioes combiadas 1 1, 1 1 16 10 1 1 1