DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. DERIVADAS Dinición d drivd. L drivd d un unción n l punto d bscis, s din como l siuint límit, si ist: lím A l drivd d un unción n un punto s l llm tmbién ts d vrición instntán. Intrprtción ométric d l drivd. s P α t A β B L rct scnt s, cort l curv, n los puntos A P. Su pndint s: tα PB AB Si l punto P s v crcndo l punto A, st conundirs con él, l rct scnt s, s trnsorm n l rct tnnt t l ánulo α s trnsorm n l ánulo β, s dcir, Cundo P A, qu s quivlnt dcir qu, l límit d l rct scnt s, s l rct tnnt t Pro cundo α β, tα tβ qu s quivlnt lím tα tβ Por tnto, tβ pndint d t tα lím Qud probdo qu l drivd d un unción n un punto s l pndint d l rct tnnt n dico punto.
DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. Drivds ltrls. Ls dinimos por ls siuints órmuls: Drivd por l drc: lím Drivd por l izquird: lím Pr qu un unción s drivbl n un punto tinn qu istir ls drivds ltrls sts sr iuls. Ejmplo : Hll l drivd d l unción n l punto Podmos suir los siuints psos: º. º.. º. º. lím lím lím 8 Ejmplo : Dd l unción, ll l cución d l rct tnnt n l punto d bscis. L pndint d l rct tnnt s l vlor d l drivd: m lím lím lím lím Ls coordnds dl punto son: Pr, luo P, Aplicndo l órmul d l cución punto-pndint: m Función drivd. L drivd d un unción n un punto d bscis, sin dico punto un númro rl, qu s l vlor d l drivd n dico punto. Tmbién podmos considrr un unción qu soci cd punto, l vlor d l drivd n s punto. Rcib l nombr d unción drivd o simplmnt drivd. lím
DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. Drivción continuidd. Si un unción s drivbl n un punto, s continu n dico punto. Si l unción s continu no tin por qué sr drivbl. Ejmplo Vmos qu st unción s continu n : si, s dcir, si si <, s dcir, si < Los límits ltrls son iuls. Y como, l unción s continu n Sin mbro no s drivbl n dico punto como vmos vr: Eistn ls drivds ltrls pro como no son iuls, l unción no s drivbl n l punto. Drivds d oprcions con uncions. Aplicndo l dinición d drivd s obtinn ls siuints órmuls: Drivd d un sum o dirnci: ± ± Drivd d un producto:..... Drivd d un cocint:
DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. Ejmplo : Sn ls uncions s dcir, Si summos ls uncions llmos l drivd d l sum, rsult: s dcir, rsultdo qu s l sum d ls drivds d ls uncions por sprdo. Drivd d un unción compust: Rl d l cdn. S l unción compust ] Tnindo n cunt qu. ] - ] ] - ] ]. ] - ] s dcir, l drivd d l composición d s l producto d l drivd d n l punto multiplicd por l drivd d n l punto. ]. Cálculo d drivds. Aplicndo l dinición, trvés dl límit, tnindo n cunt l rl d l cdn, s obtinn ls drivds d ls siuints uncions:
DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. Tipo potncil. Ejmplos:....... Tipo ríz cudrd Ejmplo: Tipo ponncil.. L.. L
DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 6 Ejmplos:.. L.... L. L L L Tipo lorítmico lo. L lo. L Ejmplos: 6 L lo. L L lo.. L L. L Tipo sno sn cos sn cos. Ejmplos: sn cos. cos sn sn sn. cos sn sn sn cos sn. cos. sn ] sn. sn ] sn.cos.6
DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 7 Tipo cosno cos sn cos sn. Ejmplos: cos sn. sn sn cos sn. sn Tipo tnnt Ejmplos: t t t t t cos. cos. cos cos t t. t t. cos cos t ct sn Tipo cotnnt ct. sn Ejmplos: ct. sn sn ct. sn sn
DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 8 rcsn rcsn. Funcions rco rccos rccos. rct. rct Ejmplos: rcsn. rct. rc cos. Ecución d l rct tnnt un curv n uno d sus puntos. Pr ll l cución d l rct tnnt l curv n l punto d bscis, procdmos d l orm siuint:
DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. 9 Hllmos l vlor d l unción n dico punto, con lo qu obtnmos l punto por dond ps l rct tnnt:, Clculmos l pndint d l rct qu s l vlor d l drivd n l punto considrdo: m Aplicmos l órmul d l cución punto pndint m, s dcir, Ejmplo : Ecución d rct tnnt l curv, n l punto d bscis Pr,.. L rct ps por l punto, m. m, por tnto, m s l rct buscd. Ejrcicios rsultos.- Driv ls siuints uncions: b c.. b c.- Hll ls drivds d ls uncions siuints: L, cos sn cos L
DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. cos sn. ] sn.. 6 sn sn cos cos cos sn. sn cos cos snsn.- Dmustr, plicndo l dinición, qu l drivd d un constnt s. S l unción constnt k Como l unción s constnt, k Entoncs, k k o.- Aplicndo loritmos, ll l drivd d l unción Srí un rror drivr como si us un unción potncil. Estmos n l cso d drivds dl tipo qu s rsulvn plicndo loritmos nprinos drivndo los dos mimbros d l prsión rsultnt, s dcir, Aplicndo loritmos, L L L. L Y drivndo los dos mimbros,. L. Dspjndo l drivd, L Y como s obtin inlmnt L L.- Hll l drivd d l unción L Ants d drivr s convnint dsrrollr l prsión lorítmic: L Tnindo n cunt l loritmo d un cocint, L L
DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. Y or drivmos 6.- Driv simpliic: Aplicndo l órmul d l drivd d un cocint, ].. 7.- Driv simpliic:.. Rlizndo ls oprcions dl numrdor, 8.- S considr l unción > < si si si Estudi si s drivbl n los puntos > < si si si Punto :
DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. Ls drivds ltrls istn pro no son iuls luo l unción no s drivbl n dico punto. Punto : Ocurr lo mismo, istn ls drivds ltrls pro no son iuls. L unción no s drivbl n. 9.- Driv simpliic l unción L cos cos Ants d drivr dsrrollmos l loritmo: L cos cos cos L cos Y or drivmos: sn sn sn sn.. cos cos cos cos sn sn s dcir,. cos sn sn cos L L cos L cos cos. sn sn.cos sn sn cos cos cos.- Hll l pndint d l rct tnnt l curv n l punto d bscis. Escrib l cución d dic rct. L pndint s l vlor d l drivd: Pndint: m. Ecución d l rct: m Ncsitmos ls coordnds dl punto: Pr, 7 P, 7 L cución d l rct s, por tnto, 7
DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. Ejrcicios propustos.- Driv ls siuints uncions: b : c.- Driv simpliic:.- Driv ls siuints uncions lorítmics: L L lo 6.- Driv simpliic: L sn sn.- Clcul: Drivd d n l punto d bscis b Drivd d L n c Drivd d cos n π 6.- Qué vlors n d tnr b pr qu l unción s drivbl n? b si si > 7.- Hll l cución d l rct tnnt l curv sn n l punto d bscis. 8.- Driv l unción 9.- El spcio rcorrido por un móvil vin ddo por l unción s t t t dond s s mid n mtros t n sundos. Clcul l vlocidd n l instnt t sundos..- Utilizndo l dinición d drivd, dmustr qu l drivd d s..- Di si l unción si s drivbl n. - si >.- Driv simpliic: L L sn rc sn m rc cos cos Sol. cos m m