13. Consdere un mercado en el que hay dos consumdores con las sguentes funcones de utldad: U 1 (x 1,y 1 = 4x 1 (x 1 + y 1 ; U (x,y = ax (x + y con 4 > a >0 donde x, =1,, es la cantdad del ben x consumda por el ndvduo, y es la cantdad de renta que le queda al consumdor para comprar otros benes y m es la dotacón ncal de renta de cada ndvduo. El ben x es producdo por un monopolsta cuya funcón de coste total de produccón es C(x = x. ( Muestre que el consumdor 1 tene una dsposcón total a pagar y una dsposcón margnal a pagar por el ben x mayor que el consumdor para todo x. Obtenga las funcones nversas de demanda. Dsposcón máxma a pagar del consumdor ( = 1,, R ( x : lo máxmo que estaría dspuesto a pagar el consumdor por x undades del ben. Estará pagando lo máxmo s justo queda ndferente entre consumr consumr el ben, dedcando su dotacón de renta, x undades pagando R ( x y no m, al consumo del resto de los benes. Es decr: U ( x, m R ( x = U (0, m. El consumdor ( = 1, debe quedar ndferente y, por tanto, se debe cumplr con gualdad la anteror condcón. S por el contraro U ( x, m R ( x > U (0, m entonces el consumdor estaría dspuesto a pagar una cantdad mayor que R ( x y s U ( x, m R ( x < U (0, m entonces R ( x sería mayor que su dsposcón máxma a pagar. Con utldad cuas-lneal: U ( x, m R ( x = U (0, m u ( x + m R ( x = u (0 + m R ( x = u ( x Por tanto, cuando la funcón de utldad es cuas-lneal: u ( x Dsposcón máxma a pagar del consumdor por x 1
( x1 u1( x1 = 4x1 ( x u( x = ax Dsposcón margnal a pagar del consumdor ( = 1,: es el cambo en la dsposcón máxma a pagar ante una varacón nfntesmal en la cantdad consumda. u ( x = 4 x u ( x = a x u ( x Dsposcón margnal a pagar del consumdor por x El consumdor 1 es el consumdor de demanda alta ya que tene una dsposcón total a pagar y una dsposcón margnal a pagar por el ben x mayor que el consumdor para todo x. x x u1( x = 4 x > ax = u( x x u ( x = 4 x > a x = u ( x x 1 Obtenga las funcones nversas de demanda max u ( x + y x, y s. a y + px = m L( x, y, λ max u ( x y λ [ m y px ] p ( x u ( x x, y, λ + + = Por tanto: p1 ( x1 = 4 x1 y p( x = a x ( Obtenga las combnacones preco-cantdad (r * 1, x * 1 y (r *, x * que maxmzan los benefcos del monopolsta y el valor de estos cuando puede practcar la dscrmnacón * de precos de prmer grado o dscrmnacón perfecta. Muestre que x 1 * y x son socalmente efcentes. Defncón Bajo dscrmnacón de precos de prmer grado el vendedor cobra un preco dferente por cada undad del ben gual a la dsposcón máxma a pagar por esa undad.
Contexto Requere nformacón plena sobre las preferencas de los consumdores y no exstenca de nngún tpo de arbtraje. En partcular, el monopolsta es capaz de dentfcar al consumdor cuando va a comprar el ben. El monopolsta deseará ofrecer al consumdor, = 1,, una combnacón (lote preco-produccón * * (, r x que le reporte los mayores benefcos. El monopolsta le planteará al consumdor, = 1,, una eleccón todo o nada : * * ( r, x (0,0. El consumdor, = 1,, o paga * r por * x undades o se queda sn el ben. Problema de maxmzacón de benefcos, restrccones y resolucón El problema de maxmzacón del monopolsta es: max r + r c.( x + x 1 1 r1, x1, r, x s. a u ( x - r 0 u ( x - r 0 Las restrccones de partcpacón nos dcen que el consumdor ( = 1, obtene un excedente no negatvo s adquere el ben (es decr, está deseando partcpar. Maxmzacón de benefcos Por tanto, el problema nos queda: max u ( x + u ( x c.( x + x x1, x 1 1 1 r = u ( x r = u ( x Π = u1( x1 c = 0 1 * * u1( x1 = u( x = c Π = u( x c = 0 (Nótese que se cumplen las condcones de segundo orden dado que Π = u x < = ( 0, 1,. Es decr, u ( x = 4 x = 1 = c x = 3 * * * 1 u ( x = a x = 1 = c x = a 1 a > 1 * * * 3
Dados estos nveles de produccón las tarfas serán: * * * * ( x1 r1 = u1( x1 = 4x1 = 1 4.5 = 7.5 * * * * ( x ( a 1 ( a 1( a + 1 a 1 r = u( x = ax = a( a 1 = = y los benefcos * * * * * a 1 π = u1( x1 + u( x c( x1 + x = 7.5 + (3+ a 1 Muestre que x 1 * y x * son socalmente efcentes. Consderamos el problema de obtener una asgnacón efcente en el sentdo de Pareto cuando en la economía hay dos consumdores que tenen funcones de utldad cuaslneal, u ( x + y, y una dotacón de renta de m, = 1,. Vamos a maxmzar la utldad de un agente (por ejemplo el consumdor 1 mantenendo constante la utldad del otro (por ejemplo, el, dada una restrccón de recursos (suponemos que el coste margnal es constante e gual a c. max u ( x + y x1, y1, x, y s. a u ( x + y = u y + y = m + m c.( x + x 1 1 1 Despejando y de la segunda restrccón y susttuyendo en la prmera, despejando entonces y 1 y susttuyendo en la funcón objetvo, el problema queda: max u ( x + u ( x c.( x + x + m + m u x1, x 1 1 1 1 Desde las condcones de prmer orden obtenemos: e u1 ( x1 c = 0 e e u1 ( x1 = u ( x = c Condcón de efcenca e u ( x c = 0 Por tanto, el monopolsta ofrece las cantdades efcentes: x = x y * e 1 1 x * e. = x 4
( Obtenga las combnacones preco-cantdad ( r 1, x 1 y ( r, x correspondentes a la dscrmnacón de precos de segundo grado. Cómo debe ser el parámetro a para que el monopolsta decda servr el ben a los dos consumdores? Defncón Bajo dscrmnacón de precos de segundo grado los precos dferen dependendo del número de undades del ben que se compren (o de la caldad del producto pero no de unos consumdores a otros. Contexto Nos stuamos en un contexto en el que el monopolsta conoce las preferencas (conoce la dstrbucón de preferencas de los consumdores, pero no es capaz de dentfcar al consumdor cuando va a comprar el ben. Se ve oblgado a establecer una únca lsta de precos y dejar que sean los consumdores los que se auto-clasfquen o autoselecconen. En este sentdo se dce que es un tpo de dscrmnacón ndrecta. Los consumdores se enfrentan a la msma lsta de precos pero éstos dependen de las cantdades (o de la caldad del producto que se compren. Restrccones de partcpacón y de autoseleccón. Interpretacón El objetvo será dseñar de manera óptma la lsta de precos de modo que cada consumdor elja la combnacón preco-cantdad dseñada para él. ( r, x 1 1 ( r, x (0,0 Consumdor 1 Consumdor Restrccones del monopolsta - Restrccones de partcpacón (o raconaldad ndvdual u ( x r 0 (1 u ( x r 0 ( Estas restrccones garantzan que cada consumdor desea comprar el ben. Cada consumdor obtene al menos tanta utldad consumendo el ben como no 5
consumendo. O dcho de otro modo, cada consumdor obtene un excedente no negatvo comprando el ben. - Restrccones de autoseleccón (o compatbldad de ncentvos u ( x r u ( x r (3 1 u ( x r u ( x r (4 1 1 Estas restrccones garantzan que cada consumdor prefere la combnacón precocantdad dseñada para él a la combnacón preco-cantdad dseñada para el otro consumdor. Dcho de otra forma, estas restrccones prevenen el arbtraje personal: cada consumdor obtene un excedente por lo menos tan alto elgendo el lote dseñado para él como elgendo el lote dseñado para el otro consumdor. Demostracón de qué restrccones se cumplen con gualdad Vamos a agrupar las restrccones de acuerdo con el consumdor. (1 y (3 ( y (4 r u ( x (1 ( ( ( r1 u1 x1 u1 x + r r u ( x (3 ( ( (4 r u x u x1 + r1 El monopolsta desea maxmzar benefcos y, por tanto, desea elegr r 1 y r lo más alto que se pueda. Por tanto, sólo una de las dos prmeras desgualdades y sólo una de las dos segundas serán efectvas (se cumplrán con gualdad. El supuesto de que el consumdor 1 es el consumdor de demanda alta y el consumdor el consumdor de demanda baja (es decr, se cumple: para determnar las restrccones que son efectvas. u ( x > u ( x x y u ( x > u ( x x es sufcente 1 1 1 Demostracón de que ( se cumple con gualdad y (1 con desgualdad estrcta Supongamos por el contraro que (1 se cumple con gualdad y por tanto que r1 = u1( x1. Entonces ( r1 r1 u1( x + r r u1( x. Como el consumdor 1 es el de demanda alta u1( x > u( x x entonces r u1( x > u( x. Es decr, 6
r > u ( x y por tanto no se cumplría la restrccón (3 lo que supone una contradccón. (No es compatble que se cumpla con gualdad la restrccón de partcpacón del consumdor de demanda alta con que el consumdor de demanda baja compre el ben. En conclusón, (1 no es efectva y ( s lo es: r = u ( x u ( x + r (5 1 Demostracón de que (3 se cumple con gualdad y (4 con desgualdad estrcta Supongamos por el contraro que (4 se cumple con gualdad y por tanto que r = u( x u( x1 + r1. Susttuyendo r 1 desde la condcón (5 obtenemos: Esto mplca r = u( x u( x1 + u1( x1 u1( x + r = r1 u ( x u ( x = u ( x u ( x 1 x1 x 1 u1 t dt = x x x1 x ( u ( t dt [ u ( t u ( t] dt = 0 1 Pero esto vola el supuesto de que el consumdor 1 es el consumdor de demanda alta, u ( x > u ( x x. Por tanto, (4 no es efectva y s lo es (3 : 1 r = u ( x (6 Interpretacón Al consumdor de demanda baja, ya que no tene ncentvos a realzar arbtraje, se le cobrará su dsposcón máxma a pagar. Al consumdor de demanda alta, que tene ncentvos a realzar arbtraje personal (y hacerse pasar por un consumdor de demanda baja, se le cobrará el preco máxmo que le nduzca a elegr el lote destnado a él (justo la cantdad de dnero tal que el consumdor de demanda alta queda ndferente entre su lote y el destnado al consumdor de demanda baja. 7
Demostracón ntutva Vamos a ver de otra forma por qué al consumdor de demanda alta hay que dejarle con algo de excedente. Consderemos la restrccón de autoseleccón del consumdor de demanda alta: u ( x r u ( x r ( 1 Hay que notar que, compatble con que el consumdor de demanda baja compre el ben, el lado derecho de esta restrccón es postvo. Es decr, s elgéramos el valor máxmo para r la condcón ( nos quedaría: u ( x r u ( x u ( x > 0 1 ya que el consumdor 1 es el consumdor de demanda alta. (Lo que mplca que la restrccón de partcpacón del consumdor 1 no se puede satsfacer con gualdad. Pero dado que le tene que dejar con excedente postvo al consumdor de demanda alta, le dejará con el mínmo excedente posble, dejando al consumdor 1 ndferente entre elegr el lote dseñado para él y el lote dseñado para el consumdor. Es decr, (reordenando la restrccón (5: u ( x r = u ( x u ( x > 0 1 ya que como el consumdor de demanda baja no tene ncentvos a realzar arbtraje (obtendría un excedente negatvo el monopolsta le cobra su dsposcón máxma a pagar r = u ( x. (v Planteamento y resolucón del problema de maxmzacón de benefcos max r + r c.( x + x max r + r c.( x + x 1 1 1 1 r1, x1, r, x r1, x1, r, x u1( x1 - r1 0 (1 r = u( x (6 s. a s. a u( x - r 0 ( r1 = u1( x1 [ u1( x r] (5 u ( x - r u ( x - r (3 1 u ( x - r u ( x - r (4 1 1 El problema quedaría: 8
1 x1, x Π = * u1( xɶ 1 c = 0 u1( xɶ 1 = 4 xɶ 1 = 1 = c xɶ 1 = x1 = 3 (7 Π = u( xɶ c [ u1( xɶ u( xɶ ] = 0 ɶ 1 [4 ɶ ( ɶ] 0 ɶ 1 a x x a x = a x Π( x1, x max u ( x [ u ( x u ( x ] + u ( x c.( x + x 1 4 + a = 0 xɶ = a 5 (8 Las tarfas vendrán dadas por: rɶ = u ( xɶ [ u ( xɶ u ( xɶ ] = 7.5 (4 a(a 5 1 (a 5 rɶ = u( xɶ = a(a 5 =.5(a 5 Para qué valores de a decde el monopolsta servr el ben a ambos consumdores? El monopolsta decdrá ofrecer el ben a ambos consumdores sempre que obtenga mayores benefcos que ofrecendo el ben exclusvamente al consumdor de demanda alta. Es decr, ofrecerá el ben a ambos consumdores s se cumple: Π( x,0 Π( xɶ, xɶ * 1 1 u ( x cx u ( x [ u ( xɶ u ( xɶ ] cx + u ( xɶ cxɶ * * * * 1 rɶ 1 rɶ [ u ( xɶ u ( xɶ ] u ( xɶ cxɶ 1 S esta condcón no se cumple el monopolsta decdría ofrecer el ben exclusvamente al consumdor de demanda alta. Otra forma de verlo consste en consderar el benefco margnal de x. S fuera negatvo para todo nvel de x Π( x = u ( x c [ u ( x u ( x ] < 0 x 1 > 0 > 0 entonces el monopolsta decdría no ofrecer nada al consumdor de demanda baja, ya que para todo nvel de x reducr la cantdad ofrecda al consumdor de demanda baja elevaría el benefco. 9
Π = u( x c [ u1( x u( x ] = = a x 1 [4 x ( a x ] = a x 1 [4 a] = a 5 x Π < S a.5 entonces 0 x y el monopolsta decdría no ofrecer el ben al consumdor de demanda baja. Cuando a >.5 al monopolsta le nteresaría ofrecer al consumdor de demanda baja la prmera undad nfntesmal ya que: Π ( x = 0 = a 5 > 0 En este caso la cantdad ofrecda al consumdor de demanda baja es tal que el benefco margnal del monopolsta se hace 0 (solucón nteror y de la CPO obtenemos: a >. xɶ = a 5 que será estrctamente postva sempre que.5 10