7. Contrastes de Hipótesis

7. Corases de póess Curso - Esadísca Corase de póess Se ha realzado ua ecuesa a 4 persoas elegdas al azar Llamado p a la proporcó de voaes del pardo políco A. Podemos afrmar que p >.5. p? Resulado Ecuesa Sí No/Oros 8 Corases de hpóess

Corase de hpóess p.5 p >.5 p.5 p >.5 Pˆ N p p p S es cero p. 5 Pˆ.5 N.5.5 4 Corases de hpóess 3 Nvel de sgfcacó P rechazar es cera Regó de Acepacó de o N Regó de Rechazo o z Corases de hpóess 4

.55.5 Muesra pˆ. 55 z.5.5 4 Elegdo el vel de sgfcacó.5 z > z R.R. R.A. o.5.64 Se rechaza Co u vel de sgfcacó de.5 p >.5.64 Corases de hpóess 5 Probabldad de Acepar o CIERTA p.5 Error I FALSA Error II.5 β c Probabldad de Rechazar o p.6 Acepar o c c.6 Rechazar o Corases de hpóess 6

Tpos de errores RESULTADO CONTRASTE REALIDAD o CIERTA o FALSA Se Acepa o O Error po II β Se Rechaza o Error po I O Corases de hpóess 7 Tpos de Corases p.5 p >.5 UNILATERAL p.5 p.5 BILATERAL R.A. o R.R.o R.R.o / R.A. o R.R.o / z -z / Nvel de sgfcacó z / Corases de hpóess 8

Nvel críco o p-valor p p p > p p valor Pr Pˆ > pˆ Pˆ p Pr p p Pr Z > z ˆ p p P N p es cero pˆ p > p p Corases de hpóess 9 Ejemplo Daos pˆ. 55 4 Corases de hpóess Regó de Acepacó o.64 R.R.. 5 p valor.8

Relacó ere p-valor z R.R. p valor< p-valor < Se rechaza p-valor No se rechaza Corases de hpóess R.R. p valor z. Normal Corase para co coocdo z... N N N / x / R.R. z z > z / z / - / / R. Acep. N -z / z / No se rechaza Se rechaza R.R Corases de hpóess

3 Corases de hpóess. Normal Corase para co descoocdo... N s x S N ˆ / / ˆ / - / / / - R.R. R.R / / e rechaza No se rechaza S > R. Acep. - 4 Corases de hpóess 3. Normal Corase para... N ˆ ˆ ˆ s S S [ ] [ ] / / / / / / echazo No rechazo R P Daos ŝ / / / / R. A. o RRo RRo

EJEMPLO. La resseca a la compresó de 5 probeas de acero elegdas al azar es 45 65 495 4 38 64 434 635 3 556 475 73 359 455 54 6 6 Sˆ / 5 P 98 4 4. 98.99 5 5-98 98 Daos x 4575 sˆ 4 4575 6 3.88 4 / 5 Como 3.88 >.98 Se rechaza co. 4 Corases de hpóess 5 Sˆ 4Sˆ 4 4 P47 4 33 99 5 5 Daos sˆ 5 5 5 3 35 47 33 6 4 6 4. Como 47 4 33 No se rechaza Corases de hpóess 6

7 Corases de hpóess 4. Posso Corase para λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ N ˆ N ˆ velde sgfcacó Posso / / z Z z P Z aprox z / -z / / / N R.R. R.R R. Acep. - / / e rechaza No se rechaza S z z z z > z ˆ λ λ λ Dos raameos

Comparacó de dos raameos A B 53 96 394 47 63 59 39 3 48 33 34 698 34 33 95 45 438 464 49 Sea desea comparar dos raameos para reducr el vel de coleserol e la sagre. Se seleccoa dvduos se asga al azar a dos pos de deas A B. La abla muesra la reduccó coseguda después de dos meses. Corases de hpóess 9 Méodo 4 pasos Defcó del modelo de dsrbucó de probabldad póess Parámeros Esmacó de los parámeros Dagoss de las hpóess Aplcacó Corases de hpóess

Modelo M O D E L O D A T O S Corases de hpóess Modelo póess Parámeros póess báscas Normaldad j N omocedascdad Var [ j ] Idepedeca Parámeros Cov [ j l ] Corases de hpóess

Modelo j + u u N j Las observacoes se descompoe e Pare predecble Pare aleaora j u j Corases de hpóess 3 Esmacó medas j j j j A B 53 96 394 47 63 59 39 3 48 33 34 698 34 33 95 45 438 464 49 43 93 Corases de hpóess 4

Esmacó varaza resduos j + u e j u e j j j RESIDUO sˆ R u j j j j j N e Resduos A B 8 3-37 77-68 -34-4 -63 5 38-89 -7 67 48-8 -98 45 33-44 j e j ;ˆ s R 3.95 Corases de hpóess 5 Varaza resdual ˆR s j j sˆ sˆ sˆ R j e j sˆ + sˆ Corases de hpóess 6

7 Corases de hpóess Dfereca de medas N N ˆ + + + R s N N 8 Corases de hpóess Corase de gualdad de medas / / / e rechaza No se rechaza S > / - / / - R.R. R.R R. Acep. - ˆ + R s

Ejemplo.5 R.R. 8 R.R 43. 9.3.44 +.69.5 -...5.69 >. Se rechaza Corases de hpóess 9 Ejemplo. 43. 9.3.44 +.69 R.R..5 -.88.99 8.88 R.R.5 /.69.88 No se rechaza Corases de hpóess 3

Nvel críco blaeral.44 43. 9.3 +.69.74 -.69 8.69.74 p valor Pr 8 >.69.47.5 > p-valor Se rechaza. < p-valor No se rechaza Corases de hpóess 3 Coclusoes fjado S o > / se dce que la dfereca de medas es sgfcava. O smplemee que los raameos so dsos ee medas dsas S o / se dce que la dfereca de medas o es sgfcava. No ha evdeca sufcee para afrmar que las medas de los raameos sea dferees. Corases de hpóess 3

No rechazar o o mplca que o sea cera El resulado o / o se rechaza o o debe erprearse como que se ha demosrado que las dos medas so guales. No-rechazar la hpóess ula mplca que la dfereca ere las medas - o es lo sufceemee grade como para ser deecada co el amaño muesral dado. Corases de hpóess 33 Iervalo de cofaza para la dfereca de medas sˆ R + / - - / - / / Pr{ / sˆ R + ± / sˆ R / + } Corases de hpóess 34

35 Corases de hpóess Ejemplo ervalo de cofaza. -..5 8.5.74 3.8.44. 9.3 43. ˆ / ± + ± + ± s R 36 Corases de hpóess póess de homocedascdad ˆ s j ˆ s j

37 Corases de hpóess Dsrbucó F ˆ ˆ j s s ˆ ˆ j s s ˆ ˆ F s s F 38 Corases de hpóess Dsrbucó F 54 4 4 44

Alguas dsrbucoes F 8 4 Corases de hpóess 39 Corase de gualdad de varazas S F S S sˆ sˆ F F es cero F RR / -/ - R.A. o / RR [ F / F / ] No se rechaza [ F / F / ] Se rechaza / Corases de hpóess 4

Ejemplo Corase de gualdad de varazas sˆ F 54. 54..7 sˆ.37.7 RR.5.48.37 RR.5 4.3 [.484.3] No se rechaza.37 Corases de hpóess 4 Tabla.5 rados de lberad del deomador ν 8 F P F7 3.5.5 ν ν P Fν ν Fν ν rados de lberad del umerador ν 3 4 5 6 7 8 9 5 4 3 4 6 If. 64 995 57 46 3 34 368 389 45 49 439 459 48 49 5 5 5 53 533 543 85 9 96 95 93 933 935 937 938 94 94 943 945 945 946 947 948 949 949 95 3 3 955 98 9 9 894 889 885 88 879 874 87 866 864 86 859 857 855 855 853 3 4 77 694 659 639 66 66 69 64 6 596 59 586 58 577 575 57 569 566 566 563 4 5 66 579 54 59 55 495 488 48 477 474 468 46 456 453 45 446 443 44 44 437 5 6 599 54 476 453 439 48 4 45 4 46 4 394 387 384 38 377 374 37 37 367 6 7 559 474 435 4 397 387 379 373 368 364 357 35 344 34 338 334 33 37 37 33 7 8 53 446 47 384 369 358 35 344 339 335 38 3 35 3 38 34 3 97 97 93 8 9 5 46 386 363 348 337 39 33 38 34 37 3 94 9 86 83 79 76 75 7 9 496 4 37 348 333 3 34 37 3 98 9 85 77 74 7 66 6 59 58 54 484 398 359 336 3 39 3 95 9 85 79 7 65 6 57 53 49 46 45 4 475 389 349 36 3 3 9 85 8 75 69 6 54 5 47 43 38 35 34 3 3 467 38 34 38 33 9 83 77 7 67 6 53 46 4 38 34 3 6 5 3 4 46 374 334 3 96 85 76 7 65 6 53 46 39 35 3 7 9 8 3 4 5 454 368 39 36 9 79 7 64 59 54 48 4 33 9 5 6 7 5 6 449 363 34 3 85 74 66 59 54 49 4 35 8 4 9 5 7 6 6 7 445 359 3 96 8 7 6 55 49 45 38 3 3 9 5 6 96 7 8 44 355 36 93 77 66 58 5 46 4 34 7 9 5 6 98 97 9 8 9 438 35 33 9 74 63 54 48 4 38 3 3 6 7 3 98 94 93 88 9 435 349 3 87 7 6 5 45 39 35 8 8 4 99 95 9 9 84 43 347 37 84 68 57 49 4 37 3 5 8 5 96 9 88 87 8 43 344 35 8 66 55 46 4 34 3 3 5 7 3 98 94 89 85 84 78 3 48 34 33 8 64 53 44 37 3 7 3 5 96 9 86 8 8 76 3 4 46 34 3 78 6 5 4 36 3 5 8 3 98 94 89 84 8 79 73 4 5 44 339 99 76 6 49 4 34 8 4 6 9 96 9 87 8 78 77 7 5 6 43 337 98 74 59 47 39 3 7 5 7 99 95 9 85 8 76 75 69 6 7 4 335 96 73 57 46 37 3 5 3 6 97 93 88 84 79 74 73 67 7 8 4 334 95 7 56 45 36 9 4 9 4 96 9 87 8 77 73 7 65 8 9 48 333 93 7 55 43 35 8 8 3 94 9 85 8 75 7 7 64 9 3 47 33 9 69 53 4 33 7 6 9 93 89 84 79 74 7 68 6 3 4 48 33 84 6 45 34 5 8 8 9 84 79 74 69 64 59 58 5 4 5 43 38 79 56 4 9 3 7 3 95 87 78 74 69 63 58 5 5 44 5 6 4 35 76 53 37 5 7 4 99 9 84 75 7 65 59 53 48 47 39 6 7 398 33 74 5 35 3 4 7 97 89 8 7 67 6 57 5 45 44 35 7 8 396 3 7 49 33 3 6 95 88 79 7 65 6 54 48 43 4 3 8 9 395 3 7 47 3 4 99 94 86 78 69 64 59 53 46 4 39 3 9 394 39 7 46 3 9 3 97 93 85 77 68 63 57 5 45 39 38 8 39 37 68 45 9 8 9 96 9 83 75 66 6 55 5 43 37 35 5 If 384 3 6 37 94 88 83 75 67 57 5 46 39 3 4 If 3 4 5 6 7 8 9 5 4 3 4 6 If. Ejemplo

Tabla.5 rados de lberad del deomador ν Ejemplo 8 F P F7 4.53.5 ν ν P Fν ν Fν ν rados de lberad del umerador ν 3 4 5 6 7 8 9 5 4 3 4 6 If. 6478 7995 864 8996 98 937 948 9566 9633 9686 9767 9849 993 9973 4 56 98 3 4 83 385 39 397 395 393 3933 3936 3937 3939 394 394 3943 3945 3946 3946 3947 3948 3949 3949 395 3 744 64 544 5 488 473 46 454 447 44 434 45 47 4 48 44 399 396 395 39 3 4 65 998 96 936 9 97 898 89 884 875 866 856 85 846 84 836 83 83 86 4 5 843 776 739 75 698 685 676 668 66 65 643 633 68 63 68 6 68 67 6 5 6 88 76 66 63 599 58 57 56 55 546 537 57 57 5 57 5 496 49 49 485 6 7 87 654 589 55 59 5 499 49 48 476 467 457 447 44 436 43 45 4 4 44 7 8 757 66 54 55 48 465 453 443 436 43 4 4 4 395 389 384 378 374 373 367 8 9 7 57 58 47 448 43 4 4 43 396 387 377 367 36 356 35 345 34 339 333 9 694 546 483 447 44 47 395 385 378 37 36 35 34 337 33 36 3 35 34 38 67 56 463 48 44 388 376 366 359 353 343 333 33 37 3 36 3 96 94 88 655 5 447 4 389 373 36 35 344 337 38 38 37 3 96 9 85 8 79 7 3 64 497 435 4 377 36 348 339 33 35 35 35 95 89 84 78 7 67 66 6 3 4 63 486 44 389 366 35 338 39 3 35 35 95 84 79 73 67 6 56 55 49 4 5 6 477 45 38 358 34 39 3 3 36 96 86 76 7 64 59 5 47 46 4 5 6 6 469 48 373 35 334 3 3 35 99 89 79 68 63 57 5 45 4 38 3 6 7 64 46 4 366 344 38 36 36 98 9 8 7 6 56 5 44 38 33 3 5 7 8 598 456 395 36 338 3 3 3 93 87 77 67 56 5 44 38 3 7 6 9 8 9 59 45 39 356 333 37 35 96 88 8 7 6 5 45 39 33 7 3 9 587 446 386 35 39 33 3 9 84 77 68 57 46 4 35 9 7 6 9 583 44 38 348 35 39 97 87 8 73 64 53 4 37 3 5 8 3 4 579 438 378 344 3 35 93 84 76 7 6 5 39 33 7 4 9 8 3 575 435 375 34 38 3 9 8 73 67 57 47 36 3 4 8 6 4 97 3 4 57 43 37 338 35 99 87 78 7 64 54 44 33 7 5 8 94 4 5 569 49 369 335 33 97 85 75 68 6 5 4 3 4 8 5 98 9 5 6 566 47 367 333 3 94 8 73 65 59 49 39 8 6 9 3 97 95 88 6 7 563 44 365 33 38 9 8 7 63 57 47 36 5 9 3 7 94 93 85 7 8 56 4 363 39 36 9 78 69 6 55 45 34 3 7 5 98 9 9 83 8 9 559 4 36 37 34 88 76 67 59 53 43 3 5 9 3 96 9 89 8 9 3 557 48 359 35 33 87 75 65 57 5 4 3 4 7 94 88 87 79 3 4 54 45 346 33 9 74 6 53 45 39 9 8 7 94 88 8 74 7 64 4 5 534 397 339 35 83 67 55 46 38 3 99 93 87 8 7 66 64 55 5 6 59 393 334 3 79 63 5 4 33 7 7 6 94 88 8 74 67 6 58 48 6 7 55 389 33 97 75 59 47 38 3 4 4 3 9 85 78 7 63 56 54 44 7 8 5 386 38 95 73 57 45 35 8 88 8 75 68 6 53 5 4 8 9 5 384 36 93 7 55 43 34 6 9 9 98 86 8 73 66 58 5 48 37 9 58 383 35 9 7 54 4 3 4 8 8 97 85 78 7 64 56 48 46 35 55 38 33 89 67 5 39 3 6 5 94 8 76 69 6 53 45 43 3 If 5 369 3 79 57 4 9 9 5 94 83 7 64 57 48 39 3 7 If 3 4 5 6 7 8 9 5 4 3 4 6 If. Tabla. rados de lberad del deomador ν 8 F P F7 6.8. ν ν P Fν ν Fν ν rados de lberad del umerador ν 3 4 5 6 7 8 9 5 4 3 4 6 If. 45 49993 5435 5643 5764 5859 5983 598 64 6559 667 657 687 6343 664 6864 633 63339 63395 63656 985 99 996 995 993 9933 9936 9938 9939 994 994 9943 9945 9946 9947 9948 9948 9949 9949 995 3 34 38 946 87 84 79 767 749 734 73 75 687 669 66 65 64 63 64 6 63 3 4 8 669 598 55 5 498 48 466 455 437 4 4 393 384 375 365 358 356 346 4 5 66 37 6 39 97 67 46 9 6 5 989 97 955 947 938 99 9 93 9 9 5 6 375 9 978 95 875 847 86 8 798 787 77 756 74 73 73 74 76 699 697 688 6 7 5 955 845 785 746 79 699 684 67 66 647 63 66 67 599 59 58 575 574 565 7 8 6 865 759 7 663 637 68 63 59 58 567 55 536 58 5 5 53 496 495 486 8 9 56 8 699 64 66 58 56 547 535 56 5 496 48 473 465 457 448 44 44 43 9 4 756 655 599 564 539 5 56 494 485 47 456 44 433 45 47 48 4 4 39 965 7 6 567 53 57 489 474 463 454 44 45 4 4 394 386 378 37 369 36 933 693 595 54 56 48 464 45 439 43 46 4 386 378 37 36 354 347 345 336 3 97 67 574 5 486 46 444 43 49 4 396 38 366 359 35 343 334 37 35 37 3 4 886 65 556 54 469 446 48 44 43 394 38 366 35 343 335 37 38 3 39 3 4 5 868 636 54 489 456 43 44 4 389 38 367 35 337 39 3 33 35 98 96 87 5 6 853 63 59 477 444 4 43 389 378 369 355 34 36 38 3 3 93 86 84 75 6 7 84 6 59 467 434 4 393 379 368 359 346 33 36 38 3 9 83 76 75 65 7 8 89 6 59 458 45 4 384 37 36 35 337 33 38 3 9 84 75 68 66 57 8 9 88 593 5 45 47 394 377 363 35 343 33 35 3 9 84 76 67 6 58 49 9 8 585 494 443 4 387 37 356 346 337 33 39 94 86 78 69 6 54 5 4 8 578 487 437 44 38 364 35 34 33 37 33 88 8 7 64 55 48 46 36 795 57 48 43 399 376 359 345 335 36 3 98 83 75 67 58 5 4 4 3 3 788 566 476 46 394 37 354 34 33 3 37 93 78 7 6 54 45 37 35 6 3 4 78 56 47 4 39 367 35 336 36 37 33 89 74 66 58 49 4 33 3 4 5 777 557 468 48 385 363 346 33 3 33 99 85 7 6 54 45 36 9 7 7 5 6 77 553 464 44 38 359 34 39 38 39 96 8 66 58 5 4 33 5 3 3 6 7 768 549 46 4 378 356 339 36 35 36 93 78 63 55 47 38 9 7 8 764 545 457 47 375 353 336 33 3 33 9 75 6 5 44 35 6 9 7 6 8 9 76 54 454 44 373 35 333 3 39 3 87 73 57 49 4 33 3 6 4 3 9 3 756 539 45 4 37 347 33 37 37 98 84 7 55 47 39 3 3 3 4 73 58 43 383 35 39 3 99 89 8 66 5 37 9 94 9 8 4 5 77 56 4 37 34 39 3 89 78 7 56 4 7 8 9 8 8 68 5 6 78 498 43 365 334 3 95 8 7 63 5 35 3 94 84 75 73 6 6 7 7 49 47 36 39 37 9 78 67 59 45 3 5 7 98 89 78 7 67 54 7 8 696 488 44 356 36 34 87 74 64 55 4 7 3 94 85 75 65 63 49 8 9 693 485 4 353 33 3 84 7 6 5 39 4 9 9 8 7 6 6 46 9 69 48 398 35 3 99 8 69 59 5 37 7 98 89 8 69 6 57 43 685 479 395 348 37 96 79 66 56 47 34 9 3 95 86 76 66 56 53 38 If 663 46 378 33 3 8 64 5 4 3 8 4 88 79 7 59 47 36 3 If 3 4 5 6 7 8 9 5 4 3 4 6 If. Ejemplo

Corases de bodad de ajuse Corase de bodad de ajuse POBLACIÓN N? ˆ ˆ sˆ MUESTRA... Daos Coocdos Tee los daos dsrbucó Normal? x Corases de hpóess 46

frecueca Espesores de 5 obleas de Slco mcras 4 35 4 4 47 37 43 4 36 39 43 37 43 4 45 39 45 45 39 4 5 46 44 46 55 4 48 48 4 4 53 49 49 49 5 47 5 5 46 43 48 46 46 48 49 45 5 49 4 44 38 4 45 4 37 4 44 4 43 39 4 4 5 43 39 44 46 45 46 4 45 46 5 46 43 46 46 48 47 5 5 47 47 5 47 5 5 43 5 5 47 49 48 48 46 48 46 46 47 5 39 4 38 4 4 43 4 4 4 4 4 43 4 45 44 45 39 44 43 43 46 44 45 43 45 47 44 45 45 49 5 48 48 47 48 5 5 49 48 55 48 45 46 45 45 49 46 47 46 53 Corases de hpóess 47 sograma para Espesor 4 3 3 35 4 45 5 55 6 Espesor Corases de hpóess 48

49 Corases de hpóess Corase de bodad de ajuse < < < < K r K K K K K o E E O E O c x c E O c x c E O c x c E O c x c f f r.esperada r.observada Clases es cero S...... Pr c c p p E < E O K K / 5 Corases de hpóess Jusfcacó del corase r K aprox K E E O N E E O N p p p O p E p p p N O p B O K Nº de CLASES r Nº de parámero esmados

Obleas Frecuecas Observadas Clase Fr. Observada O -f 38 7 38 4 6 4 4 7 4 44 44 46 34 46 48 4 48 5 5 5 7 5 +f 4 Toal 5 x 45. mcras sˆ 4 mcras Corases de hpóess 5 Frecuecas esperadas N45.;4 Clase Fr. Observada O Fr. Esperada E -f 38 7 588 38 4 6 958 4 4 7 77 4 44 57 44 46 34 935 46 48 4 634 48 5 858 5 5 7 3 5 +f 4 654 Toal 5 5 p 4 Pr4 4 45. 45. 44 45. Pr 4 4 4 P.75 Z.775.74 E 4 p 4 44 5.74 5.7 Corases de hpóess 5

Corase de Normaldad Normal Normal 7 5.88 6 958 4 6.54 + + + 5.88 9.58 6.54 Pr 6 6 4 8 6 4 5 5.59.95 p valor 59.37.5 8.5 8.5 <.59 No se rechaza la hpóess de ormaldad Corases de hpóess 53 Se ha lazado 3 veces u dado se ha obedo los resulados Resulados Observadas 49 59 3 49 4 5 5 43 6 49 Toal 3 Se puede afrmar co.5 que el dado esá desequlbrado? Corases de hpóess 54

Pr /6 o 49 5 5 Pr 5...6 Equprobable No equprobable 59 5 + 5.7.95 Resulados Observados Esperados 49 5 59 5 3 49 5 4 5 5 5 43 5 6 49 5 Toal 3 3 49 5 + + 5.68.68 <.7 No se Rechaza 5 8 6 4 p-valor.749 8 6 4.5 5 5.68.7 Corases de hpóess 55 Corase K-S de bodad de ajuse Váldo úcamee para varables couas Compara la Fucó de dsrbucó eórca Fx co la Fucó de dsrbucó empírca F x. No requere agrupar los daos El corase es aproxmado s es ecesaro esmar los parámeros del modelo Corases de hpóess 56

Corase K-S de bodad de ajuse Pasos Ordear la muesra x x x 3.... x Calcular la dsrbucó empírca de la muesra F x F x Calcular la dscrepaca máxma x x r x r x x r x x max D x max F x F x Comparar co el valor obedo e las ablas para u deermados Corases de hpóess 57 Corase K-S de bodad de ajuse Se ha omado valores de ua varable físca que se supoe Normal resulado 3 38 93 9 39 38 97 89 35 3 33 85 Corase la hpóess de ormaldad medae el corase de K-S. Normal Normal De la muesra x 3 9 s 97 Corases de hpóess 58

Corase K-S de bodad de ajuse Fx Fx Fxh--Fxh Fxh-Fxh Dxh 85 /8 5 5 3 5 89 /7 3 6 6 9 3/5 3 4 93 4/33 4 97 5/4 34 8 8 3 6/5 54 4 35 7/58 66 6 8 6 38 38 9/75 77 9 9 39 /83 8 5 3 5 3 /9 87 4 5 5 max D x h 9 F 9 7 P 9 7 N 3 9; 97 3 9 9 7 3 9 P 97 97 P Z 4 34. Corases de hpóess 59 Tabla Corase de Kolmogorov-Smrov Tamaño muesral Nvel de sgfcacó 5 5 Valores Crícos de D Fx-Fx dode Fx es la dsrbucó muesral de amaño Fx la dsrbucó eórca 3 9 684 565 95 76 597 95 776 64 975 84 78 995 99 88 4 494 55 564 64 733 5 446 474 5 565 669 6 4 436 47 5 68 7 38 45 438 486 577 8 358 38 4 457 543 9 339 36 388 43 54 3 34 368 4 49 Ejemplo 3 37 95 84 36 33 3 35 338 35 39 375 36 468 45 433 4 74 9 34 349 48 5 66 83 34 338 44 6 58 74 95 38 39 7 5 66 86 38 38 8 44 59 78 39 37 9 37 5 7 3 363 3 46 64 94 356 5 4 7 3 3 9 4 9 35 8 9 3 7 >35 7/½ 4/½ /½ 36/½ 63/½

max D x h 9 D ;5 375 No se puede rechazar la hpóess de ormaldad co u vel de sgfcacó de 5 Corases de hpóess 6

Ejerccos propuesos Capíulo 7. Corase de póess 7. U proceso dusral fabrca pezas cua logud e mm se dsrbue segú ua N9. Ua muesra de 5 pezas proporcoa los resulados sguees 87 95 8 9 a Corasar la hpóess de que la meda del proceso es efecvamee 9. b Corasar la hpóess de que la varaza del proceso es c Admedo que la varaza del proceso es cosrur la curva de poeca para u corase de la meda co 5 observacoes. Tómese.5 e odos los corases. 7. Para corasar ulaeralmee que la esperaza de ua varable aleaora ormal es se oma ua muesra de amaño 6 se rechaza la hpóess e el caso e que la meda muesral sea maor que acepádose e el caso coraro. Sabedo que la desvacó ípca de la poblacó es cúal es la probabldad de error de po I de ese corase?. Cúal sería la probabldad de error de po II del corase s el valor verdadero de la esperaza fuese?. 7.3 Ua medca esádar es efecva e el 75% de los casos e los que se aplca. Se ha comprobado u uevo medcameo e pacees observádose su efecvdad e 85 de ellos. Es la ueva medca más efecva que la esádar? Corasar co.5. 7.4 U empresaro quere comprar ua empresa que fabrca cojees. Durae los 5 úlmos años la proporcó de cojees defecuosos se ha maedo e u 3%. Para verfcar eso se oma ua muesra de cojees obee que 9 so defecuosos. Se puede coclur que la proporcó de cojees defecuosos ha aumeado? Calcular la poeca del corase plaeado aerormee e fucó de p. Calcular la probabldad de error de po II cuado la hpóess alerava es p.6 sedo p la proporcó de defecuosos.noa Ulícese la aproxmacó ormal 5.. 7.5 Teedo e cuea que s... es ua muesra aleaora smple de ua varable aleaora expoecal co fucó de desdad fx λ ex/λ x λ > ; el esadísco U /λ ee dsrbucó dode + + + /; resolver las cuesoes sguees a El empo de fucoameo de u equpo elecróco es ua varable aleaora co dsrbucó expoecal. Se ha omado los empos de fucoameo hasa el fallo de 3 equpos elegdos al azar obeédose 6. 3 horas de meda. Corasar co vel de sgfcacó gual a.5 λ 5 3 horas free a λ>5 3 horas; dcado a el valor críco b la probabldad de error po II cuado λ 7 3 horas. Es sufcee co proporcoar el valor más proxmo obedo e las ablas del lbro de exo. b Se va a realzar u esao co 5 equpos fabrcados por ua seguda empresa. S el empo de fucoameo de esos ee ambé dsrbucó expoecal. Cuál es el valor máxmo de la meda muesral de esos quce equpos que permría coclur co.5 que so peores que los de la prmera empresa? Después de 6 horas de esao ha fallado 6 equpos sedo el promedo de esos ses valores gual a 35 horas. Es ecesaro segur el esao para omar ua decsó?

7.6 E la abla se reproduce los valores para la velocdad de la luz e el are que obuvero Mchelso Newcomb e 879 99 respecvamee ulzado méodos dsos. A los daos orgales e m/s se les ha resado 99 para faclar su raameo maemáco.. 3 4 5 6 7 8 9 Mc. 85 74 9 7 93 85 95 98 98 88 New. 883 86 778 796 68 7 6 599 5 78 3 4 5 bs Mc. 98 93 65 76 8966 947 New. 578 796 774 8 77 763 9 a Corase la hpóess de que la varabldad es la msma e los expermeos de Mchelso Newcomb. 5 b Sabedo que la velocdad de la luz e el vaco es 99.795 m/s 795 s se le resa 99. que e are debe ser gual o meor que e el vaco corase la hpóess de que los expermeos o ee error ssemáco es decr la medda obeda es gual al verdadero valor más u error aleaoro de meda cero. 5 7.7 Se esuda dos pos de eumácos co los resulados sguees Tpo x Km bs Km A 7465 5 B 757 3. Calcular co.. U ervalo de cofaza para. 3. U ervalo de cofaza para. 7.8 Se dspoe de redmeos de dos máquas. Los resulados de la máqua A so 37.5; 4.7; 6.9; 75.; 77.3;.4; 77.9 4. meras que los reulados para la B so 3.3;.7; 98.4; 6.5; 67.8 67.3. So las máquas guales? Supoer que los redmeos de ambas máquas sgue dsrbucoes ormales. 7.9 U fabrcae de auomóvles debe elegr ere u deermado po de pezas de acero sumsradas por u proveedor A oras sumsradas por oro proveedor B. Para proceder a la eleccó se ha aalzado la resseca a la raccó de las pezas sumsradas por ambos proveedores omado ua muesra de amaño de las pezas del prmero ora de amaño del segudo. La resseca meda de la muesra de A es de 54 udades la de la muesra de B es de 49 udades sedo las desvacoes ípcas muesrales corregdas bs A bs B 9. Las ressecas de las pezas de ambos proveedores se dsrbue ormalmee. Las pezas del proveedor B so más baraas que las del proveedor A por lo que esas úlmas sólo so reables s ee ua resseca meda al meos udades maor que las de B la msma varabldad. a A qué proveedor habría que comprar las pezas a la vsa de los resulados muesrales? b Obeer u ervalo de cofaza del 9\%

7. La esaura de 6 ños de ua escuela fal se resume e la sguee abla de frecuecas dóde la úlma columa muesra la frecueca esperada bajo la hpóess de ormaldad. Frecueca Frecueca Iervalo Observada Esperada 45-435 4 48 435-455 7 558 455-475 96 475-495 8 7 495-55 6 7 55-535 98 535-555 9 558 555-575 3 48 Toal 6 6 Se puede acepar la hpóess de ormaldad de los daos.5? 7. Se ra veces u dado se obee los resulados de la abla VALOR 3 4 5 6 FRECUENCIA 4 3 6 5 Corasar la hpóess de que el dado esá equlbrado que por ao sus caras so equprobables. Tómese.5. 7. Se ha omado valores de ua varable físcaquesesupoeormalresulado 3. 3.8 9.3 9 3.9 3.8 9.7 8.9 3.5 3. 3.3 8.5. Aalzar la hpóess de ormaldad medae el corase de Kolmogorov-Smrov. 7.3 U modelo sísmco dca que la dsrbucó de los epceros de ssmos e ua regó debería segur ua dsrbucó de Posso e el plao. U grupo de experos preede corasar s ese modelo secumpleparaelloharepreseadoumapadelaregódvddoecuadrículasdeamaño m ha señalado co puos las poscoes de los epceros véase fgura adjua. Realzar el corase de bodad de ajuse co vel de sgfcacó 5 proporcoado el vel críco aproxmado del corase. 3

7.4 El Msero de defesa esá cosderado u uevo ssema de apoo para el lazameo de msles de coro alcace. El ssema exsee ee errores e el 7% de los lazameos se desea comprobar s el uevo ssema ee ua probabldad de fallo meor. El esao va a cossr e realzar lazameos se coclurá que el uevo ssema es mejor s o se produce gú fallo. Llamado p a la probabldad de fallo del ssema uevo acepado depedeca ere los resulados del lazameo obega represee gráfcamee la probabldad de error de po II del corase ½ p.7 p<.7 Obega la probabldad de error po I. Ierpree el resulado valore s el méodo de decsó es adecuado. 7.5 El empo de duracó T de u compoee elecrodámco es ua varable aleaora co dsrbucó expoecal de meda. Vee compoees ha sdo somedos a u esao el úmero de horas que ha durado ha sdo.99 5.79 4.4 34.43 43.7 5.7 56. 6.7 77. 88.47 9.7 7.58 3.4 33. 5.9 59. 93.6 8.7 38.8 36.7 Teedo e cuea que T/ ee dsrbucó co dos grados de lberad realza el sguee corase co.5. horas < horas 4