Unidd 5 Trigonometrí II PÁGINA 111 SOLUCIONES 1. Ls tres igulddes son flss. Pr probrlo bst con utilizr l clculdor.. Clculmos el áre del octógono circunscrito y le restmos el áre del octógono inscrito obteniendo l superficie pedid. El octógono circunscrito const de ocho triángulos como el de l figur: 10,5º l tg,5º l 8,8cm 10 Áre del octógono circunscrito 331,cm l El octógono inscrito const de ocho triángulos como el de l figur:,5º 10 l l sen,5º 10 l 7,65 cm cos,5º 10 9,4cm Áre del octógono inscrito 8,744cm El áre comprendid entre mbos será: 331, 8,744 48,456cm 79
3. Ls soluciones quedn: 1 x 5º 360º ) sen ( x 5º ) x 15º 360º x 45º 360º b) sen x cos x x 5º 360º c) tg (x) 3 x 30º 90º 4. Supongmos conocidos los ldos b y c y el ángulo A comprendido: Clculmos l ltur: hbsen A El áre será: bseltur cbsen A 1 Áre Áre bc sen A 80
PÁGINA 13 SOLUCIONES 1. Llmemos B ls vcs blncs y N ls vcs negrs: 5 (4B3 N) 4 (3B5 N) 0B15N1B0N 8B 5N Dn más leche ls vcs negrs.. El número de nrnjs en l pirámide es: 1 3 4... 14 15 1 40 nrnjs. 81
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SOLUCIONES 1. Quedn: 1 5 1 sen cos y tg 13 13 5 4 7 4 tg b cos b y sen b 7 5 5 36 33 36 sen ( b ) ; cos ( b ) ; tg ( b) 35 35 33. Los cálculos son los siguientes: sen 90º sen ( 30º 60º ) 1 cos 90º cos ( 30º 60º ) 0 sen 10º sen ( 60º 60º ) 3 1 cos 10º cos ( 60º 60º ) tg 10º tg ( 60º 60º ) 3 sen 105º sen ( 45º 60º ) 6 4 cos 105º cos ( 45º 60º ) 6 4 tg 105º tg ( 45º 60º ) 3 3. Quedn: 3 4 sen cos 5 5 3 3 4 sen ( 30º ) sen cos 30º sen 30º cos 10 3 4 3 cos ( 30º ) cos cos 30º sen sen 30º 10 sen ( 30º ) 48 5 3 tg ( 30º ) cos ( 30º ) 39 4. Pr ello es suficiente con utilizr los teorems de dición pr el seno, coseno y tngente estudidos en est unidd didáctic. 83
5. Qued de l form: sensen( bc) senbsen( c) sencsen( b) sensenbcoscsensenccosb senbsencoscsenbsenccos sencsencosbsencsenbcos0 6. Qued de l form: cos( b) cos( b) (coscosbsensen b) (coscosbsensen b) cos cos bsen sen b A prtir de est expresión obtenemos ls dos igulddes: cos cos bsen sen bcos (1sen b) (1cos ) sen bcos sen b cos cos bsen sen bcos b(1sen ) (1cos b) sen cos bsen 7. Qued de l form: sen( b) sen( b) (sencosbsenbcos ) (sencosbsenbcos ) sen cos bsen bcos A prtir de est expresión obtenemos ls dos igulddes: sen cos bsen bcos sen (1sen b) (1sen ) sen bsen sen b sen cos bsen bcos cos b(1cos ) (1cos b) cos cos bcos 8. Qued: 3 ) cos 3 cos ( ) 4 cos 3 cos 3 b) sen 4 sen (4 sen 8 sen ) 1sen Tmbién se puede resolver est ctividd medinte l fórmul de De Moivre. 9. Ls rzones trigonométrics quedn: 3 4 1 tg 4 y sen ; cos 5 5 4 3 tg 4 sen sen cos ; cos cos sen ; tg 5 5 1 tg 3 84
10. L tngente qued: tg 3 tg 3 3 3 tg tg 3 0 tg o bien tg 3 1 tg 3 11. Ls simplificciones quedn: sen sencos ) tg 1 cos cos sen 1cos sen cos b) : 1 sen cos sen (1cos ) 1. Prtimos del segundo miembro pr llegr l primero: 1 1 (1tg x) 11tg x cotgx cotgx tgx tg x tg x tg x tg x tg x 13. Prtiendo del primer miembro obtenemos: tg tg (1 tg ) tg cos tg tg tg tg tg (1 tg ) 1 tg 14. Quedn: 45º 1cos 45º sen º 30' sen 45º 1cos 45º cos º 30' cos 45º 1cos 45º tg º 30' tg 1 cos45º 150º 1cos 150º 3 sen 75º sen 85
150º 1cos 150º 3 cos 75º cos 150º 1 cos 150º tg 75º tg 3 1 cos 150º 86
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SOLUCIONES 15. Quedrí: 3 1 cotg tg ; cos 5 1cos 5 1cos 5 1cos sen ; cos ; tg 5 5 5 1 cos 16. Qued expresdo del siguiente modo: 1cos sen sen 1 cos ) tg sen sen cos sen cos sen cos cos sen cos sen cos cos b) tg 1cos sen cos ( cos ) 1 cos 1 cos 1 cos sen 17. Ambs rzones trigonométrics quedn: x x cos 1cos x 1 cos ; sen x 4 5 3 3 9 9 18. Ls simplificciones quedn: sen 40º sen 0º sen 30º cos 10º 1 ) tg 30º cos 40º cos 0º cos 30º cos 10º 3 sen 195º sen 75º cos 135º sen 60º b) cotg135º tg 60º 3 sen 195º sen 75º sen 135º cos 60º cos 60º cos 40º sen 50º sen 10º c) tg 50º 1,19 sen 60º sen 40º cos 50º sen 10º 19. Se demuestr del siguiente modo: cos( xy) cos( xy) sen xsen ( y) tg y sen( xy) sen( xy) sen xcos y 88
0. L solución qued: 5 ) x ó x 4 4 11 19 b) x ó x 36 3 36 3 c) x 6 8 d) x 4 ó x 4 3 3 e) x 10º 10º ó x50º 10º f) x15º 360º 1. Ls soluciones quedn: ) senxcos x sen xcos x cos x sen xcos x cos x0 cos x0; sen x1 x90º 180º b) sen xsen3x cos x senxcos x cos x senxcos x cos x0 1 cos x0; senx x90º 180º x15º 180º x75º 180º c) sen 4x senx senxcosx senx senxcos x senx0 1 x 0º 90º x30º 180º sen x(cosx1) 0 cos x ; senx0 x150º 180º d) cosxcos6x sen5xsen3x sen 4xsen( x) sen 4xcos x sen 4 x(senx cos x) 0 sen 4x0 x45º sen( x) cos x 0 1 x90º 180º x30º 360º cos x(sen x 1) 0 cos x0; sen x x150º 360º 89
3 3 e) senxcos x 6sen x sen xcos x6sen x 0 sen x(cos x3sen x) 0 sen x0 x0º 180º cos x3sen x0 cos x3(1cos x) 0 3 cos x x30º 180º x150º 180º 1 f) sen x tg x sen x(cos x1) 0 sen x0 ; cos x x 0º 180º x60º 360º x300º 360º. L solución de cd ecución qued: ) sen x1cos x sen x1 sen x sen xsen x3 0 sen x1 x90º 360º 1 senx b) sec xtg x0 0 cos x cos x sen x1 x70º 360º x 1 cosx c) 6cos cos x 1 6 cos x 1 3 3cos xcos x 1 1 cos x x10º 360º x40º 360º d) 6cos x 6sen x5 sen x 6 5 sen x sen x1 x90º 360º tg x e) tgxtg x1 1 1 tg x 1 x30º 180º tg x 3 x 150º 180º f) cos x 3sen x 1 4 sen x 1 x30º 180º sen x x 150º 180º 90
3. L solución qued: 1 3 ) sen x 3 cos x sen x cos x1 sen( x60º ) 1 x30º 360º 1 b) sen xcos x sen x cos x1 sen( x45º ) 1 x45º 360º 5 c) sen xcos x Imposible sen xcos x 4. Ls soluciones de los sistems quedn: x 13 x 1 3 y y y y ) x sen y Sumndo mbs x cos y 1 ecuciones: sen 1 sen 1 3 b) sen xcos y 4 Sumndo mbs sen ( x y) 1 x y 90º x 90º y 1 ecuciones obtenemos: cos xsen y 4 3 3 3 Sustituyendo en l 1ª ecución: sen (90 y) cos y cos y cos y 4 4 y 30 ; x 60 y 150 ; x 300 y 10 ; x 40 y 330 ; x 10 c) cos x cos y 1 De l ª ecución x y 0º x y cos ( x y) 1 obtenemos: Sustituyendo en l 1ª ecución: cos ( y) cos y 1 cos y 1 1 y 60º y 300º cos y x 300º x 60º d) x y 90º 6 sen x sen y y 90º x Sustituyendo en l ª ecución 6 6 sen x sen(90º x) sen 45º cos (90º x) 3 y 75º y 15º cos (45º x) x45º 30º ó x45º 330º ó x 15º x 75º 91
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SOLUCIONES 5. Según l figur siguiente: Llmndo l ángulo bjo el cul se ve el pedestl, tenemos: 60 1,8 tg tg 60 9 x x 69 61,8 x tg ( ) ; 1tgtg x 60 1,8 x 1 x 108 x x 7,x 7 45 x 3,17 m L nchur del río es de 3,17 metros. 6. Qued del siguiente modo: A 3 1cosA 3 1 4 tg cos A ; sen A cos A 1 cosa 5 5 Hllmos : 96 cos3acos AsenAsen A 15 93
7. Se el esquem: Los cálculos quedn: H tg 60 H 6 3 H 10,39 m 6 h 1 tg 30 h 6 h 3,46 m 6 3 h tg H h H tg. Sustituyendo tg y tg obtenemos: 6 1tg 6 6 6 h 1 36 6 36H 36 H h 7h36H 0 h H Ést es l relción que lig mbs lturs. Relción que se verific pr los vlores obtenidos nteriormente. 8. A prtir del desrrollo de tg( ABC) y de sustituir ABC 180º, obtenemos l expresión buscd: tg Atg ( BC) tg Atg B tg C tg Atg Btg C tg ( AB C) tg A( BC) 1tg Atg ( B C) 1tg Btg C tg Atg Btg Atg C Como ABC180º entonces tg ( AB C) 0 y qued tg Atg Btg C tg Atg Btg C 94
9. Se un triángulo: El áre del triángulo es: 1 1 S bseltur c h Vmos clculr h: h tg A x tg A tg B h c h tg A tg B tg B c x De modo que sustituyendo en el áre obtenemos l fórmul buscd: 1 tg Atg B 1 tg Atg B S cc c tg AtgB tg AtgB 95