Eamen de Cálculo Dierencial Curso / Opción A Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y. e y en los puntos de intersección con la recta Calculemos los cortes entre la recta y la curva: y e ; entonces los puntos son p, y p, y e las pendientes de las rectas tangentes a la curva en esos puntos serán: m m, e e m m ( ) La ecuación de una recta en orma punto pendiente es y y m, entonces las rectas pedidas son ( ) r y r y r y 3 r y 3 Ejercicio. (Puntuación máima: 3 puntos) Calcula los límites siguientes: indeterminación 3 e e e e e lim e lim 3 ( L Hopital ˆ ) lim lim lim lim 4 3 e e 3 3 6 6 lim lim nota: 6 6 lim e tg tg tg ln lim ln ln lim lim ln lim A A tg ( ln ln ) lim cotg sen 4sen cos ( L Hopital ˆ ) lim lim lim ln A A sen ( sen ) ( ) ( ) sen ( sen )( sen ) sen sen sen sen sen sen lim lim lim lim π π π cos sen π www.jlmat.es [] Matemáticas II
Eamen de Cálculo Dierencial Curso / Ejercicio 3. (Puntuación máima: 3 puntos) m n 5 si < Calcula m, n y b para que la unción deinida de la orma: cumpla las 3 si hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [-, b], y determina el valor intermedio garantizado por el teorema. m n 5 si < 3 si Para que se cumplan las hipótesis del teorema de Rolle debe ser continua en b derivable en b y b, [, ], (, ) ( ),,. lim por ser polinómica es siempre continua salvo en Imponemos que sea continua en lim lim 3 4 4, lim m n 5 4 m n lim lim ( m n 5) m n 5,,. ( h) 3 ( h) 4 3h lim lim lim lim 3 3 por ser polinómica es siempre derivable salvo en Imponemos que sea derivable en h h h h h m h n h 5 4 mh mh nh m n mh mh nh lim lim lim lim h h h h h h h h h ( mh m n) lim lim ( mh m n) m n h h h entonces m n 3 h h h m n m n 3 m 4 4 5 5 si < n 5 3 si b b si < b < Ahora debe cumplirse ( ) ( b) ( ) 3 y ( b) 3b si b 4b 5b 5 3 4b 5b 6 b 3b 3 b Busquemos entonces, / 3 o b 4 4 5 5 8 5 si < 5 que está en 3 si 8 8 5 (, ) Ejercicio 4. (Puntuación máima: puntos) 3 Se considera la ecuación λ. a) Probar que si λ >, la ecuación admite alguna solución menor que. b) Probar que si λ <, la ecuación admite alguna solución mayor que. 3 3 3 λ λ ; sea la unción λ, es una unción siempre continua, por ser polinómica y los puntos tales que son raíces de la ecuación. www.jlmat.es [] Matemáticas II
Eamen de Cálculo Dierencial Curso / [ ] a) Para λ >, es continua en,, con < y λ >, entonces, por el teorema de Bolzano,, tal que la ecuación admite alguna solución menor que. [ ] b) Para λ <, es continua en,, con λ < y 4λ 3 >, entonces, por el teorema de Bolzano,, tal que la ecuación admite alguna solución mayor que. 3 λ [ λ] λ ( λ ) ( λ ) λ ( λ) ( λ ) 3 3 ( λ ) 8 λ 6λ λ 4λ 4λ λ 4 λ λ 6λ 3 > por el teorema de Bolzano, (, λ ) tal que ( ) la ecuación admite alguna solución mayor que. Para <, es continua en,, con < y Opción B Ejercicio. (Puntuación máima: 3 puntos) Sea α un número real ijo. Probar que eiste un único número real β >, que es solución de la ecuación ln α. α es un número real ijo. La ecuación ln α sólo puede tener soluciones positivas, puesto queln no está deinido para. α R Sea la unción ln, supongamos que eisten,, con < <, tales que y serán entonces soluciones de la ecuación ln α. [, ] (, ) ( ) c (, ) tal que ( c). es continua en y derivable en y además por el teorema de Rolle, por tanto c contradicción puesto que < < c < la ecuación no puede tener dos soluciones reales. Veamos que la ecuación tiene una solución β > Si α ln β es solución de la ecuación. [ ] β (, α ) ( < β < α ) tal que ( β ) β > Si α > la unción ln α es continua en, α, α < y α lnα > por el teorema de Bolzano que es solución de la ecuación. Si α < α R, ε > tal que ε lnε α <, ya que lim ln [ ] β ( ε,) ( < ε < β < ) tal que ( β ) β > entonces ln α es continua en ε,, ε ε lnε α < y α > por el teorema de Bolzano que es solución de la ecuación. www.jlmat.es [3] Matemáticas II
Eamen de Cálculo Dierencial Curso / Ejercicio. (Puntuación máima: puntos) Supóngase que es continua para todo número real, ecepto para 6. Si g valores de puede asegurarse la continuidad de la unción g? 3 para qué es una unción continua para todo número real, salvo para 6. 3 g es continua (,) (, ) ( g) ( g ) es continua en g es continua en y es continua en g ( ) Por tanto la unción ( g) no es continua en. Veamos cuando g 3 entonces no es continua en g y la unción 6 6 4, ( 4) ( g) no es continua en 4. Tenemos entonces que ( g) es continua (,) (,4) ( 4, ) Ejercicio 3. (Puntuación máima: 3 puntos) Estúdiese la derivabilidad de la unción unción en el punto. ln y hállese la ecuación de la recta tangente a la Dom (, ) ln si o < < e ln ln si e es suma de unciones derivables es derivable en todos los puntos de su dominio, salvo quizás en el punto e. Veamos si es derivable en e, para ello debe cumplirse que ( e) ( e) ( e h) ( e) ( e h) ln ( e h) e h ln ( e h ) lim lim lim ( ˆ ) lim e h e L Hopital h h h h h h h e ( e h) ( e) ( e h) ln ( e h) e h ln ( e h ) ( e) lim lim lim ( L Hopital ˆ ) lim e h h h h h h h h e e e no es derivable en e ( ) e e observar que si es continua en e Calculemos ahora la recta tangente a en. Como < e ln 3 ln. Para < e, Entonces la recta pedida es y ( ) y ( 3 ln) ( ) y ln www.jlmat.es [4] Matemáticas II
Eamen de Cálculo Dierencial Curso / Ejercicio 4. (Puntuación máima: puntos) Sea una unción continua y derivable tal que ( ) 3. Calcular cuánto tiene que valer ( 5) asegurar que en el intervalo [,5] eiste un c tal que ( c) 8. para [,5] (,5) ( 5) ( ) ( 5) 3 8 es una unción continua y derivable será continua en y derivable en por el teorema del valor medio de Lagrange, c (, 5) tal que ( c) 5 43 5 5 www.jlmat.es [5] Matemáticas II