S11: Funciones continuas. Limites con dos variables. Una función f() es continua en un punto interior a X si: 1) f = a B 2) f = A A = B = f(a) a + Discontinuidad de 1ª especie: A y B Si A = B f(a) (Discontinuidad evitable) Si A B (Discontinuidad de salto) 3) a f = f a Discontinuidad de 2ª especie: A y/ó B Limites laterales coinciden, eiste el límite y vale A f() f() Limites laterales no coinciden, no eiste el límite A Eiste el ite en a: a a f() = f = + a A A B a No eiste el ite en a: a f() = A f = + a B
P4) Estudia la continuidad en a = 0 de f = Solución 2+ 2 Estudiar la continuidad de una función empieza por determinar cuantos y cuales son los posibles punto de discontinuidad. Solo tiene un punto de posible discontinuidad: El cero f = 0 0 2 + 2 = 2 + 2 0 2 + 2 0 + Recuerda que: 2 = 0 = 2 = 2 0 0 = 0 + = 0 +0 = 0 Como los ites laterales no coinciden, la función no tiene límite en cero y, por tanto, no es continua en ese punto. En todo el resto de su dominio es continua. = si > 0 si < 0
P5) Tienen discontinuidades evitables las siguientes funciones? (i) f = 3 si > 0 1 si = 0 (ii) f = 3 2 9 si 0 2 si < 0 1 si = 0 Solución El único punto de discontinuidad es el cero. Si > 0 3 = 3 Si < 0 2 = 2 Recuerda que: si > 0 = si < 0 f = 0 + f = 0 3 0 + 2 0 = 3 0 + = 0 +2 = 0 = 2 0 = 0 = 0 Los límites laterales coinciden con el valor cero, pero f 0 = 1. Luego es una discontinuidad evitable haciendo f 0 = 0
(ii) f = 3 2 9 si 0 1 si = 0 El único punto de discontinuidad es el cero. Como f = 0 3 2 9 = 2 6 2 6 0 = 0 6 = 6 Los límites laterales coinciden con el valor 6, pero f 0 = 1. Luego es una discontinuidad evitable haciendo f 0 = 6
P9) Eplica por que f = 2 +1 + 4 +1 tiene, al menos, un cero c 2,3. +2 3 Solución La función es continua en 2,3, ya que los denominadores no se anulan Calculemos los límites de la función en los etremos del intervalo 2 + 1 2 + + 2 + 4 + 1 3 = + 2 1 0 1 2 3 2 + 1 3 + 2 + 4 + 1 3 = 2 1 0 1 2 3 Entonces, por el teorema de Bolzano*, eiste, al menos un c 2,3 tal que f c = 0. *Teorema (De Bolzano) Sea f: a, b R continua tal que f a f b < 0. Entonces, eiste, al menos un c a, b tal que f c = 0 (decimos que c es un cero de f)
La unicidad del límite La unicidad del límite, es una propiedad de las funciones de una variable también válida para funciones de dos variables. Si el límite eiste, es único e independiente del camino utilizado para calcularlo. En una variable, el problema se reduce a observar cómo se comporta la función al acercarnos a un punto del dominio por la derecha y por la izquierda, moviéndonos en general, sobre la recta y = 0. En el plano el número de direcciones para acercarnos a un punto 0, y 0 es infinito, por lo que en plano nunca podremos verificar todas las opciones. Sin embargo, desarrollaremos una estrategia de 4 pasos que consiste en elegir algunas direcciones que nos llevarán a conocer al candidato a ite: 1) Calculamos los límites reiterados. Si no coinciden no eiste el límite, si coinciden vamos al paso 2. 2) Calculamos los límites direccionales (y = m, y = m 2, etc. ). Si dependen de m, no eiste el límite. Si no dependen de m, pero no coinciden con los resultados del paso 1, no eiste el límite. Si no dependen de m, pero coinciden con los resultados del paso 1, vamos al paso 3. 3) Cambiamos a coordenadas polares. Si el límite depende de θ, no eiste el límite. Si no depende de θ y no coincide con los resultados anteriores, no eiste el límite. Si no depende de θ y coincide con los resultados anteriores, vamos al paso 4. 4) Utilizamos la definición de límite o utilizamos el criterio de la función mayorante.
1) Llamamos ites reiterados a los límites unidimensionales: 0 f(, y), y y0 y y0 f(, y) 0 Si la función tiene límite en 0, y 0, debe coincidir con los reiterados. Si los reiterados no coinciden, no eiste límite, pero si coinciden la eistencia del límite no está garantizada. 2) El límite en la dirección m cuando, y 0, y 0 se define como: f, m 0 + y 0 0 Donde, f: D R 2 R, 0, y 0 es un punto de acumulación de D. Si hacemos y = m 0 + y 0, el límite queda de una variable. Lo que estamos haciendo es acercarnos a 0, y 0 mediante puntos sobre una recta de pendiente m que pasa por 0, y 0. Si 0, y 0 = 0,0, el límite en la dirección de m se hace mediante: rectas,y = m, f, m ; 0 parabolas y = m 2, f, m 2 ; 0 Etc. Si eiste el límite doble f(, y) debe coincidir con los límites en cualquier,y ( 0,y 0 ) dirección y NO DEBE DEPENDER DE m, por tanto, si el límite direccional depende de la dirección m, no eiste el límite de la función en el punto. Si todos los límites direccionales eisten y coinciden, no se descarta que eista el límite, pero, aún no se garantiza su eistencia.
Si los límites reiterados y los límites direccionales coinciden, no podemos asegurar la eistencia del límite, pero ya tenemos candidato al límite. 3) Cambio a coordenadas polares en R 2. Hacemos el cambio de variable: = 0 + r cos (θ) y = y 0 + r sen(θ) Si 0, y 0 = 0,0 = r cos (θ) y = r sen(θ) Es la ultima posibilidad que tenemos de demostrar que no eiste el límite. Si el límite depende de θ, no eiste el límite. Si no depende de θ y no coincide con los resultados anteriores, no eiste el límite. Si no depende de θ y coincide con los resultados anteriores, vamos al paso 4. 4) El siguiente paso es pasar a polares y utilizar el criterio de la función mayorante o utilizar la definición. Criterio de la función mayorante Dada una función f: D R 2 R, una condición necesaria y suficiente para que: f(, y) = L,y 0,0 Es que eista una función real de variable real F tal que F r r 0 en todo el campo de variación de θ que recorra D: f r cos θ, r sen (θ) L F r = 0 y tal que para todo r y
Este criterio se puede aplicar a límites cuando, y 0, y 0, pero hay que hacer el cambio de variable: 0 =, y y 0 = y. La definición de límite con el candidato obtenido en los pasos anteriores. f(, y) = L ε > 0, δ(ε) > 0, tal que, y,y ( 0,y 0 ) D:, y 0, y 0 < δ f, y L < ε equivalentemente ( 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 < δ
Limites laterales (derecha e izquierda) (R) Limites laterales coinciden, eiste el límite y vale A Limites laterales no coinciden, no eiste el límite f() f() A B A 0 0 Eiste el ite en 0 : f() = f = + 0 0 A No eiste el ite en 0 : f() = A f = + 0 0 B Si la función tiene límite en 0, y 0, debe coincidir con los reiterados. Si los reiterados no coinciden, no eiste límite, pero si coinciden la eistencia del límite no está garantizada. Limites reiterados (R 2 ) Z Límites y = m, y = m 2, etc. (R 2 ) Z y 0 Y y 0 Y X 0 0 f, y y y0 0, y 0 = y y0 f, y 0 X 0 0 0, y 0 f, y y m
P12) Puede definirse f(0,0) para que sea continua f, y = log 1+2 +y 2 2 +y 2? Solución Esta función parece ser continua en todo R 2, salvo en el punto 0,0. Vamos a calcular su límite, y 0,0. Vamos a utilizar coordenadas polares: = r cos θ y = r sen θ 2 + y 2 = r 2, y 0,0 r 0,y 0,0 log 1 + 2 + y 2 2 + y 2 = r 0 log 1 + r 2 r 2 = 0 0 2r L Hôpital = 1 + r 2 r 0 2r 1 = r 0 1 + r 2 = 1 Si definimos f 0,0 = 1, la función será continua en R 2.
P14) Calcular el límite,y 0,0 Solución y 2 +y 2. I) Límites Reiterados 0 y 0 y 2 +y 2 0 = = 0 = 0; 0 0 OJO: Primero se simplifica la epresión y después se calcula el límite y 0 0 y 2 +y 2 0 = = 0 = 0; y 0 y y 0 Los límites reiterados coinciden. No sabemos si el límite eiste. Pero sí sabemos que, en caso de eistir, el límite será cero. Vamos al paso II. II) Nos acercarnos al punto (0, 0) por la recta y = m y m. 0 y m y 2 +y 2 m = 2 = 0 2 +m 2 0 m 2 1+m 2 = 0 m 1+m 2 = 0. El límite no depende de m (la trayectoria) y da cero. Seguimos sin saber si el límite eiste. Vamos al paso III. III) Cambiamos a polares.
= r cos θ y = r sen θ 2 + y 2 = r 2 y 2 + y 2, y 0,0 r 0 r 0 r cos θ r sen θ r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ = r 2 sen θ cos θ r 0 r = r 0 rsen θ cos θ = 0 Como el límite no depende de θ, vamos a aplicar el criterio de la función mayorante, es decir, buscamos una función F, real de variable real tal que F r = 0, y además: r 0 f rcos θ, rsen θ L F(r) Donde L = 0. f rcos θ, rsen θ L = r cos θ r sen θ r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ = rsen θ cos θ r = F(r) Haciendo F r = r, la función F mayoriza a f, F r r 0 que el límite es cero. = 0, y por lo tanto, podemos afirmar