Cítulo 4: Rotcos Multdmsols co Orcos ctorls Como s vo l cítulo tror s ud hcr rotr u ojto l sco D roorcodo - utos o cohrlrs s dcr s roorco l j d rotcó l cul s l rrstcó d u sml -D. E st cítulo s lz y td l rocso ltdo [Toh 5] r ls rotcos multdmsols s orcos vctorls dod lugr d roorcor l j --dmsol d rotcó s roorco l lo d rotcó l cuál ud str ormdo or culsqur dos vctors utros y ortogols tr s. 4. Itroduccó Trjdo co rodds vctorls s roo u órmul r l rotcó d u uto rrstdo or u vctor R u lo rtrro l cul ud sr lcl r culqur dmsó D dod >. L orm más tutv d dscrr u rotcó rqur dos lmtos: l j y l águlo d rotcó. L rotcó s msm ocurr u lo rdculr l j d rotcó. E D y D r llvr co u rotcó ud sr más cómodo sccr los utos qu orm l j d rotcó s mrgo r dmsos surors s tor u oco más comlcdo y qu s t qu roorcor - utos o cohrlrs r dr l j --dmsol d rotcó d st orm odrí sr más cómodo sccr l lo d rotcó. L mtrz r l rotcó D lrddor dl org s y coocd y stá dd or l Ecucó.9. Est órmul s llvo su orm grl l Cítulo l cul s lcl cudo s roorco l j d rotcó. E st cítulo s usc uvmt
grlzr u órmul r rotcos grls r culqur dmsó D r ro dsrrolldo u ormulcó térmos d orcos vctorls vtdo trjr co coordds crtss y st cso l órmul srá lcl cudo s roorco l lo d rotcó. 4. Suoscos S R u vctor l cul rrst u uto u lo P. S dot l rotcó d u lo P ddo u águlo θ como rot P θ. Y s rdd d grldd s hc ls sguts suoscos:. El lo ctul d rotcó P s rllo l lo P qu s or l org. Dos los P y P so rllos s sus vctors ormls P y P tmé lo so [Grossm 88] L Fgur 4. mustr dos los rllos u sco D. X c P P P X X P Fgur 4.: U lo P rllo u lo P qu s or l org.
. El ctro d rotcó c stá l hrlo --dmsol qu trsct l lo P l org. Esto sgc qu l rotcó dsd P lrddor d c s somor mdt u trslcó u rotcó l lo P lrddor dl org.. El lo P stá ormdo or dos vctors ortoormls ortogols y utros: R. Y ddo qu ls rotcos los los d rotcó so smr D s suct co los vctors y r rrstr l lo P. 4. Pr tr u drccó d gro ostvo s d l rotcó dl vctor hc l vctor sto s qu s cuml qu: rot P / π 4. Rotcó l Plo P Fucó d l Rotcó P S θ l águlo or l cul s ds rotr. S ot l rotcó dsd rotdo l royccó ortogol d P y dsués llvr l rsultdo d rgrso l lo P l cul s cutr vr Fgur 4.. C P P Fgur 4.: Proyccó d sor l lo P.
4.. Proyccó d Sor l Plo P S u y v dos vctors dsttos d cro l royccó ortogol d u sor v s u vctor qu s d or [Grossm 88]: u v roy v u v v L royccó ortogol d u vctor u sor u lo D s l sum d ls royccos sor dos vctors mutumt ortogols qu d l lo. Etocs l royccó d sor l lo P dotd como srá l sum d ls royccos ortogols sor los vctors y vr Fgur 4.. roy roy ro ddo qu y so vctors utros s t qu: Ecucó 4.: Proyccó d sor l lo P. 4.. Llvr l Rsultdo d l Rotcó P P S s t u comot ortogol l lo P s cuml qu stá comot tmé s ortogol l lo P lo qu sgc qu l str ur dl lo d rotcó o s v ctd or l gro. Torm: - s l comot d ortogol l lo P cuy sum l rsultdo d rot s suct r otr l rsultdo d l rotcó rot P θ dsd. P Dmostrcó: S dmustr qu - s ortogol los vctors y. Cosdrdo qu dos vctors so ortogols s su roducto sclr s gul cro s t qu:
4 Pro ddo qu y so vctors utros y ortogols tr s or l dcó dl roducto sclr s t qu: cos / cos π or lo tto: D orm smlr: Co sto s dmustr qu - s l comot d qu s ortogol l lo P. Etocs l rotcó d l lo P ddo u águlo θ s gul l rotcó d l lo P co l msmo águlo θ más l sum d l comot -. Es dcr: P P P P rot rot θ θ Ecucó 4.: Fórmul cl r l rotcó d l lo P.
Etocs rst otr l cucó r l rotcó d l lo P co l águlo θ r otr l rsultdo dsdo. 4.4 Rotcó l Plo P E s l Ecucó 4. qu ot l royccó d P s t qu ls coordds d P co rscto los vctors y so: y rsctvmt. S φ l águlo tr y s t qu vr Fgur.5: P cosφ sφ Ecucó 4.: Fórmuls r otr ls coordds d l lo P. rot P θ θ φ Fgur 4.: Rotcó d l lo P. Etocs l vctor rsultt dsués d rotr or l águlo dsdo θ srá quvlt l rotcó d l royccó d dsd or u águlo d φ θ vr Fgur.5. Por lo tto s t qu ls coordds dl vctor so: cos φ θ s φ θ 5
Y ddo qu corrsod l royccó dl vctor rotdo l lo P tocs or l órmul d l royccó s t qu: rot P θ cos φ θ s φ θ D quí utlzdo lgus dtdds trgoométrcs: cos φ θ cosϕ sϕ cosϕ sϕ y susttuydo l Ecucó 4. D orm smlr: s φ θ sϕ cosϕ sϕ cosϕ Por tto l rotcó d ddo u águlo θ l lo P stá dd or: rot P θ Ecucó 4.4: Fórmul r l rotcó d l lo P. 4.5 Rotcó l Plo P Flmt r otr l rotcó d or l águlo dsdo θ l lo P s susttuy l Ecucó 4. y l Ecucó 4.4 l Ecucó 4. y co sto s ot u cucó térmos d los vctors coocdos y : rot P θ Ecucó 4.5: Fórmul r l rotcó d l lo P. 6
Est órmul ud sr lcd culqur dmsó D co > ddo qu stá scrt comltmt térmos d orcos vctorls volucrdo los vctors rtrros R. S ud rscrr st órmul orm mtrcl ctorzdo lguos lmtos. s rot P θ θ D st orm l rotcó d u vctor ddo u águlo θ l lo P s ud rsr mtrclmt d l sgut mr: r [ r r ] [ ] rot P θ r r Ecucó 4.6: Ecucos mtrcls r l rotcó d l lo P. E l rsó d l mtrz r ud vrs u rcdo l y coocd mtrz d rotcó D. 4.6 Rotcó u Plo Artrro L órmul d rotcó tror s quvlt l rstd [Toh 5] y s lcl r odr rotr u vctor culqur dmsó smr y cudo l lo d rotcó ormdo or los vctors ortoormls y s or l org. El cso grl s cudo l lo d rotcó o csrmt s or l org. Etocs s u uto l sco R qu d l uto d lccó d los vctors y los culs so u rrstt d los vctors y rsctvmt s s ot l comot d y dsd l org s t qu stá ddos or 7
y. Co sto st rstrls los vctors y r otr los vctors ortoormls y Fgur 4.4. X X X P Fgur 4.4: Llvr u lo d rotcó rtrro hc uo qu s or l org. D st orm r rlzr l rotcó d u vctor u lo rtrro dod s l uto d lccó d los vctors qu d dcho lo s rlz sos:. Llvr l vctor l lo qu s or l org sto s:.. Alcr l rotcó rot θ. P. Rgrsr l rsultdo dl gro l lo orgl d rotcó. rot rot P θ P θ Así l rotcó grl d u vctor u lo rtrro D st ddo or: rotg P θ rot P θ Ecucó 4.7: Fórmul r l rotcó grl d u vctor D. 4.7 ctors Ortoormls u Hrlo --dmsol Como s osrv st co roorcor los vctors y qu d l lo d rotcó y l uto d lccó d mos vctors r llvr co culqur rotcó D. S mrgo l oqu lzdo l Cítulo s ds llvr co l 8
rotcó lrddor d u j --dmsol u sml -D roorcodo - utos o cohrlrs. Pr odr llvr co l rotcó lrddor d u hrlo --dmsol co ést oqu vctorl s cst u rocso r otr l lo dmsol d rotcó rtr dl hrlo ddo. Etocs s dot l rotcó d u vctor lrddor d u hrlo H -- dmsol como rot H θ. 4.7. Cso D E D o hy myor rolm y qu solo st u osl lo d rotcó st cso l j d rotcó s u uto jo hrlo D qu s ud rrstr or l vctor R. D stá orm solmt s llv l org y s ud dr s gú rolm los vctors co ls ss cócs D: y or tto l rotcó ostv D d u vctor lrddor d u uto jo stá dd or l Ecucó 4.7 cosdrdo como uto l vctor.. Y rot H θ rot P θ 4.7. Bs Cóc R E l sco vctorl R st los sguts lmtos: M A los vctors s ls cooc como s cóc dl sco vctorl R y so llmt ddts utros y ortogols tr s. Estos vctors 9
ut l drccó d los js rcls dl sco D s dcr qu l vctor c comltmt sor l j X r. Osrvcó 4.: E R s t los vctors los culs so comúmt dotdos or ls ltrs j y k. 4.7. Producto ctorl D S troduc l tm d roducto vctorl o roducto cruz R y qu srá d utldd ls grlzcos sguts. El roducto vctorl stá ddo ormlmt r vctors trdmsols como u orcó r. S mrgo s lugr d sr qu l roducto vctorl s u orcó r s s como u orcó --r dod s l dmsó dl sco l grlzcó dl roductor vctorl D r s ácl d vsulzr [Murry-Lsso 4]. El roducto vctorl u v D d los vctors u u u y v v v u v utlzdo coordds crtss stá ddo or: u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v Ecucó 4.8: Producto vctorl D. Not: D curdo l Osrvcó 4. s t qu: u v u u u v v v u v u v j k u v El vctor rsultdo d u v s u vctor trdmsol ortogol los vctors u y v.
S mrgo hy u rolm r dr l roducto vctorl d dos vctors culqur otr dmsó sto s orqu l dcó dl roducto vctorl dc qu l vctor rsultt s ortogol los ctors. Etocs D o st u vctor ortogol otros dos vctors o colls. E 4D y dmsos surors st u úmro to d vctors qu so ortogols u r d vctors ddos. Etocs s s td l roducto vctorl como l uso d - ctors r l sco D l grlzcó s vulv muy sml y s drct or logí [Murry- Lsso 4]. S D l roducto vctorl d - vctors stá ddo or l Ecucó 4.8 tocs 4D l dcó dl roducto vctorl d - vctors u u u u v v v v y w w w w srá: v4 w4 u4 u v w u v w u v w u v w u v w 4 4 4 4 Ecucó 4.9: Producto vctorl 4D. Est roducto t como rsultdo u vctor ttrdmsol ortogol los vctors u v y w. Etocs grl s los - ctors ddos or los vctors { } R y { } R los vctors utros ortogols tr s qu d l s dl sco D l roducto vctorl D stá ddo or:
M M M O M Ecucó 4.: Producto vctorl D. El rsultdo dl roducto vctorl D s u vctor -dmsol ortogol todos los ctors { }. 4.7.4 Cso D E D y dmsos surors st u úmro to d los d rotcó rtrros. E st sco l j d rotcó s u sgmto d rct or dos vctors o cocdts { } R rrstdo. Aquí s roo u sr d 5 sos:. Llvr l j ll d rotcó l org. Esto s logr rstádol mos vctors l vctor d stá orm l sgmto d rct qudrá rrstdo or l vctor w.. Otr u vctor ortogol w. Esto s ud otr utlzdo l grlzcó dl roducto vctorl d l sgut mr: S t l vctor w w w w R qu rrst l sgmto d rct s s gor u comot or jmlo l qu corrsod l j X y s d u vctor w w w R tocs lcdo l Ecucó 4. co s t l roducto vctorl como u orcó ur: w w w w
Etocs s cr u vctor R costtudo co los vlors d ls comots qu rroj st roducto vctorl D y u cro l oscó d l comot qu s goró sto s w w l cuál s llmt ddt y ortogol w. Tmé s ud omtr l comot X o X r l cso d omtr l comot X sto d u vctor w w w R y co l roducto cruz D s t: w w w w or lo tto w w l cuál tmé s llmt ddt y ortogol w. Osrvcó 4.: E st so s d tr cut ls sguts osrvcos: Al crr l vctor s coloc u l oscó d l comot qu s gor y l rsto d comots strá ddos or l rsultdo dl roducto vctorl. No s d omtr u comot qu hg qu l vctor w s l vctor cro or jmlo l cso d qu l vctor w s ud omtr culqur comot cto l trcr.. Otr u sgudo vctor ortogol w y. Pr otr l vctor hor s hc uso dl roducto vctorl D como w y qu sto d como rsultdo u vctor qu s ortogol los ctors. Etocs: w w w w w w w w w w
or lo tto w w w w w w 4. Normlzr los vctors y. 5. Rlzr l rocso d rotcó lrddor dl sgmto hrlo D co l Ecucó 4.7: Fórmul r l rotcó grl d u vctor D y ddo qu l uto d lccó d los vctors y dtrmdos s l uto rrstdo or l vctor s t qu: rot H θ rot P θ 4.7.5 Cso 4D E 4D l j d rotcó s u lo ormdo or trs utos o colls rrstdos or los vctors { } 4 R. Nuvmt s roo u sr d 5 sos:. Llvr u vértc dl j dmsol d rotcó l org. Esto s logr rstádol los trs vctors l vctor d stá orm l lo qud rrstdo or los dod y. R vctors { }. Otr u vctor ortogol los vctors{ }. S s gor u comot d los vctors { } vctors { } or jmlo l qu corrsod l j X 4 s d dos R como y. D st orm lcdo l roducto vctorl D s t qu: 4
Etocs s cr u vctor 4 R costtudo co los vlors d ls comots qu rroj st roducto vctorl D y u cro l oscó d l comot qu s goró st cso s t qu st vctor s llmt ddt y ortogol y. Tmé s ud scogr omtr l comot l j X X o X y s rocd d u orm smlr r otr l vctor. Suógs hor qu s ds omtr l comot X tocs y y l roducto vctorl D qud 4 como: 4 4 4 4 or lo tto l cuál tmé s llmt ddt y 4 ortogol y. Osrvcó 4.: Adcolmt l Osrvcó 4. dl cso D 4D y dmsos surors s d cudr qu l omtr u comot o s vulv llmt ddts lguos vctors orqu sto cusrá qu l dtrmt dl roducto cruz gr u rsultdo gul cro.. Otr u sgudo vctor ortogol los vctors { }. Pr otr l vctor hor s hc uso dl roducto vctorl 4D como y qu st roducto d como rsultdo u vctor ortogol todos los ctors. Etocs: 5
4 4 4 4 4 4 Así l vctor 4 R qud costtudo co los vlors qu rroj l roducto vctorl 4D. 4 4. Normlzr los vctors y. 5. Rlzr l rocso d rotcó lrddor dl lo hrlo D uvmt co l Ecucó 4.7 y ddo qu l uto d lccó d los vctors y dtrmdos s l uto rrstdo or l vctor s t qu: rot H θ rot P θ 4.7.6 Cso D E st cso s rocd co u logí dmsol d los csos D y 4D l qu l j d rotcó D s u hrlo --dmsol ormdo or - utos o. cohrlrs tls utos strá rrstdos or los vctors { } R L grlzcó cost l gul qu los csos trors d 5 sos:. Llvr u vértc dl j --dmsol d rotcó l org. Esto s logr rstádol los - vctors l vctor d stá orm l hrlo strá hor rrstdo or los vctors { } R. dod r. Otr u vctor ortogol los vctors { } comot X d los vctors { } { } R. S ud gorr l r dr - vctors cuddo qu guo d los vctors s vulv l vctor 6
7 cro. D st orm s s gor l comot X y s lc l roducto vctorl -D co stos vctors grl s t lo sgut: M M M M Etocs l vctor s orm como. Osrvcó 4.4: Osérvs qu: S s gor l rmr comot X M M M El vctor s orm como. S s gor l últm comot X M M M El vctor s orm como. E culqur cso l vctor ormdo co los vlors qu rroj l roducto vctorl -D s llmt ddt y ortogol los vctors { }.
. Otr u sgudo vctor ortogol los vctors { }. Pr otr l vctor hor s hc uso dl roducto vctorl D como y qu st roducto d como rsultdo u vctor ortogol todos los ctors. Etocs: M M M Así l vctor R qud costtudo co los vlors qu rroj l roducto vctorl D. 4. Normlzr los vctors y. 5. Rlzr l rocso d rotcó lrddor dl hrlo -D co l Ecucó 4.7 y qu grl l uto d lccó d los vctors y dtrmdos s l uto rrstdo or l vctor s t qu: rot H θ rot P θ 4.8 Hrlo Ortogol u Plo d Rotcó El cso cotrro l Sccó 4.7 s qu s ds utlzr l Ecucó.: Formul r l rotcó grl D. cudo s cut co los vctors ortoormls y y su uto d lccó. E st cso s roo u método r dtrmr l hrlo --dmsol qu s ortogol los vctors y ddos. 8
4.8. Cso D E D l j d rotcó srá u uto or tto st strá ddo or l uto tocs l j strá rrstdo or l uto. 4.8. Cso D E D l j d rotcó s u sgmto d rct ddo or dos utos o cocdts. El rocso s l sgut:. Llvr los vctors y l org. Rstádols su uto d lccó. Y d st orm s t qu y tocs s ot l rmr vértc.. El sgudo y últmo vértc s ot d rlzr l roducto cruz D co los vctors y y lugo sumádol tocs: or tto El j d rotcó ddo or y s ortogol los vctors y. 4.8. Cso 4D E 4D l j d rotcó s u lo ddo or trs utos o colls. El rocso s l sgut:. Llvr los vctors y l org. Rstádols su uto d lccó. Y d st orm s t qu y tocs s ot l rmr vértc. 9
. El sgudo vértc s ot d rlzr l roducto cruz D ddo dos vctors R dod stos vctors s ot l gorr u comot d los vctors orgls 4 R El surídc dc l úmro d lmtos dl vctor. Por jmlo s s gor l qu corrsod l j X 4 s t qu: Etocs s cr l vctor R 4 costtudo co los vlors d ls comots qu rroj st roducto vctorl D y u cro l oscó d l comot qu s goró y lmt otr l vértc sumádol. E st cso s t qu y Osrvcó 4.5: No s d omtr u comot qu hg qu los vctors y : S l vctor cro. S llmt ddts.. El trcr y últmo vértc s ot l rlzr l roducto cruz 4D co los vctors y y sumádol tocs. 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Etocs s cr l vértc costtudo co los vlors d ls comots qu rroj st roducto vctorl 4D y sumádol. E st cso s t qu 4 4 4 4 y 4.
El j d rotcó ddo or { } s ortogol los vctors y. 4.8.4 Cso D E D l j d rotcó s u hrlo --dmsol ddo or - utos. El rocso r clculr stos utos s l sgut:. Llvr los vctors y l org. Rstádols su uto d lccó. Y d st orm s t qu y tocs s ot l rmr vértc.. El sgudo vértc s ot d rlzr l roducto cruz D ddo dos vctors R dod stos vctors s ot cosdrdo trs comots X r X s X t o gordo - comots d los vctors orgls R. E grl s t qu: r s t r s t r r s s r s t t t Etocs s cr l vctor R costtudo co los vlors d ls comots qu rroj st roducto vctorl D y u cro l oscó d ls comots qu s gorro y lmt otr l vértc sumádol. E st cso s t qu y r s t.. Pr l cálculo dl rsto d los vértcs l rocso s vulv trtvo d l sgut orm: Pr clculr l vértc k s rlz l roducto cruz kd co los vctors { k- } y dos vctors k k R k dod stos vctors s ot cosdrdo ls comots d k k k R y u dcol d los vctors
orgls R. Est rocso s hc r k. Etocs s t qu:. D st orm s cr l vctor k R k k k k k k costtudo co los vlors d ls comots qu rroj l roducto vctorl kd y u cro l oscó d ls comots qu s gorro y lmt otr l vértc k sumádol.. k k El j d rotcó ddo or { - } s ortogol los vctors y. Osrvcó 4.6: U vz otdo l j d rotcó mdt st rocso y rodo los gros utlzdo l Ecucó. s osrvó qu ls rotcos mt u msm drccó d gro r ls dmsos mrs r ls rs l drccó s stdo cotrro. Por tto clmt s roo cmr l sgo d lguo d los vctors ortoormls dddo d l dmsó r rsrvr l drccó d los gros. S ud utlzr or jmlo l vctor como - durt todos los cálculos d st rocso. 4.9 Comrocó d quvlc d l Fórmul L Ecucó 4.6 y l rocso rousto r dtrmr los vctors y rtr d l ormcó dl j --dmsol d rotcó y vcvrs so rocsos váldos ddo qu s mjro rodds vctorls. S mrgo r s d lustrcó s v dmostrr qu so quvlts los csos lzdos l Cítulo r ls rotcos rcls D y r rotcos grls l cso D. El rsto d dmostrcó d ls quvlcs r ls rotcos grls D qud ur d los lccs d st vstgcó.
4.9. Cso D El cso s r comror srá l cso d rotcó rcl D y qu st dmsó l vctor stá comltmt sor lo P. S rorá los csos cudo los vctors ortoormls y c sor los js rcls y dsués co culsqur vctors y ortoormls y osrvr qu mos csos s ot l msmo rsultdo. 4.9.. ctors y Como Bss Cócs S s d los vctors ortoormls y como ls ss cócs y s t qu strá sor l j X y l j X rsctvmt Fgur 4.5. X X Fgur 4.5: ctors ortoormls y sor los js rcls D. Ddo qu l Ecucó 4.6 dc qu l stdo dl gro s dl vctor hc l s sr otr l msmo rsultdo qu l gro ostvo D d st orm:
Etocs susttuydo l Ecucó 4.6 s t: r r r [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Así: Co sto s t qu l rsultdo r y s l msmo qu ls ormuls d l rotcó D Ecucó.9. 4.9.. ctors y Artrros S los vctors ortoormls y o c comltmt sor los js rcls tocs s α l águlo tr l j X y l vctor ortoorml ls coordds d strá dds or sα y ls d or π/sαπ/ -sα Fgur 4.6. 4
X -sα απ/ α sα X Fgur 4.6: ctors ortoormls y rtrros D. D st orm: sα sα sα sα Susttuydo l Ecucó 4.6 s t: r r r sα sα sα sα sα sα sα sα sα sα sα sα [ ] [ ] r [ sα ] r [ sα ] Así: sα sα sα sα sα sα sα 5
sα sα sα sα cos α cos α cos α s α s α s α cos α s α cos α s α cos α s α sα sα sα sα sα sα sα sα sα sα sα cos α s α cos α s α cos α s α Nuvmt s t qu l rsultdo r y s l msmo qu ls ormuls d l rotcó D Ecucó.9 lo qu dc qu o mort los vlors d ls comots d los vctors s stos d l msmo lo d rotcó l órmul drá l msmo rsultdo. 4.9.. Rotcó Alrddor d u Puto Fjo L órmul y coocd r l rotcó D lrddor d u uto jo D dc qu: [ ] [ ] [ ] 6
Etocs: [ ] Ahor s rorá l oqu vctorl dod l rotcó lrddor d u uto jo srá quvlt l rotcó dl lo cuyo ctro d rotcó strá ddo or l vctor Fgur 4.6. X - - X Fgur 4.7: Llvr l vctor r rlzr l rotcó D u lo d rotcó co ctro d rotcó. Y or l órmul y rod r D cudo l lo d rotcó s or l org solo s susttuy los vlors d or - l rsultdo d l Sccó 4.9.. y dsués co l Ecucó 4.7 s t qu: θ θ cos s θ θ θ θ cos cos s s θ θ s cos 7
θ θ θ θ s s cos cos Co sto s t qu l rsultdo r y s l msmo qu ls ormuls d l rotcó D u uto jo. 4.9. Cso D Pr D s cosdr qu los vctors ortoormls y stá comltmt sor lguo d los los rcls l rors r l lo X X s sr tr l rotcó l stdo dl j X l X rotcó ostv l j X. S ud dr los vctors como ls ss cócs y mos vctors c sor los js X y X rsctvmt d st orm:.. Etocs susttuydo l Ecucó 4.6 s t: r r r [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Así: 8
S osrv qu s s cm los vctors y hor sor X y X rsctvmt s smlr l rocso d hcr ls susttucos cíclcs d los rámtros vr Sccó.5. r otr l rotcó lrddor dl j X y s dsués y c sor X y X rsctvmt s u uv susttucó cíclc r otr l rotcó lrddor dl j X co lo cuál s ot ls trs rotcos rcls D. 4.9. Cso D S s qu ls ss cócs R s ot d los vctors s { } : dod l vctor s u vctor co vlor l -ésm coordd y l rsto y s clro vr qu dcho vctor s cutr sor l j X. E grl s d d los vctors y j s t qu.. j r r r j j j Por lo tto: j k k k k j j j 9
Y sto cocd co l dcó d rotcos rcls co l oqu mtrcl Ecucó.9. Por tto qud dmostrd l quvlc d órmul co l oqu vctorl co l oqu mtrcl dl Cítulo r ls rotcos rcls y tl quvlc s ud scrr como: R j θ rot P ddo los vctors y j. θ 4. Rsum E st cítulo s dsrrolló l ormulcó d u mtrz r rotcos grls cudo s roorco dos vctors ortoormls y su uto d lccó los culs d l lo d rotcó l qu s ds llvr co l rotcó. Los métodos r rotcos rstdos st cítulo y l tror dd d l ormcó co l qu s cut r rlzr los gros s dcr s cut co l j d rotcó o co l lo d rotcó. Por tto mr d ucr mos métodos s rousro los rocsos r l otcó dl lo d rotcó rtr rtr dl j --dmsol d rotcó y vcvrs. Flmt s rstó l quvlc mos oqus r ls rotcos rcls D y r l cso grl D. Los rsultdos d los lgortmos y trsormcos rstdos hst l momto solo ud sr osrvdos mdt royccos gométrcs dl sco D hc l sco D o D s s ds vsulzr l motor d l comutdor. E l sgut cítulo s lz ls royccos rlls y rsctvs r llvrls su orm grl.