º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1.- CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. CÁLCULO DE DERIVADAS 1 Calcule la derivada de las siguientes funciones: 5 e f() g() = ( ) 3 ln( 3 + ). (Propuesto PAU Andalucía 017) Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones: (13) a) f() 13 b) g() = ( + 1) e 5 c) h() = log ( + +1) (Propuesto PAU Andalucía 015) 18(13 ).( 1) 5 1 Solución a) f ( ) b) g ( ) e.(5 34) c) h ( ) (13) ( 1).ln(10) 3 Calcule las derivadas de las siguientes funciones (no es necesario simplificar el resultado): 31 f() (5 ) g() =( 1) L h() = 5 i() = ( 3 6)( + 1) 3. (Propuesto PAU Andalucía 004) 3 5 4 1 1 Solución f ( ) 4 30 50 g ( ) L h ( ) 5ln. i ( ) 3( 1) (3 13 ) 4 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: f() = ( 1)(3 3 ln(3) + 5) g() e (Propuesto PAU Andalucía 016) 1 ln(3 ) 4 3 Solución f ( ) 6 9 15 95 g ( ) e 5 Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones: 3ln() f() g() = (1 )( 3 1 ) 1 h() 3 7 3 e (Propuesto PAU Andalucía 015) 31 3ln( ) 3 3 Solución f ( ) g ( ) ( 1)( 4 31) h ( ) 67e 4 6 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: Solución f() g() = ( + 1). ln(e 3 + 4) h() 1 5 3 (Propuesto PAU Andalucía 011) 3.ln() 3 3( 1) e 1 10 f ( ) g ( ) ( 1) 4ln(e 4) h ( ) e 4 3 ( ) 7 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 3 3 e f() g() = ln { (1+3 5 1 )} h(). 1 (Propuesto PAU Andalucía 010) 3 e (3 3) 9 5 Solución f ( ) g ( ) h ( ) ln().5 3 (1 ) 13 8 Halle f (), g (4) y h (0) para las funciones definidas de la siguiente forma 16 f() g() = ( + 9) 3 h() = L( + 1) (Propuesto PAU Andalucía 005) Solución f () 0 g (4) 15000 h (0) 0 - Página 1 -
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES.- DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN. 1, si 1 9 Sea la función f definida mediante f() 0,si 1 Estudie la derivabilidad de f en = 1 y = 1. (Propuesto PAU Andalucía 017) Solución Derivableen= 1;noderivableen=1,pornoser continua 10 Sea la función definida de la forma f(), si 1 10,si a) Halle el dominio de f. b) Estudie la derivabilidad de f en =. (Propuesto PAU Andalucía 017) Solución a) R 1 ; b) No derivable,pornoser continua, si 0 11 Sea la función f(),si 0 1 a) Analice la continuidad y la derivabilidad de la función en su dominio. b) Determine la asíntota horizontal, si la tiene. c) Determine la asíntota vertical, si la tiene. (Propuesto PAU Andalucía 009) Solución a)derivable y continuaend(f)=r b) AH.. en c) No hay, por ser continua, si 1 1 Sea f() 3,si 1. Estudie su continuidad y derivabilidad. 3,si (Propuesto PAU Andalucía 000) Solución DerivableenR 1 ; ;noderivableen= 1,pornoser continua;noderivableen= e, si 0 13 Sea la función f: R R definida mediante f() 3 1,si 0 Es f derivable en = 0? Es derivable en su dominio? (Propuesto PAU Andalucía 009) Solución Derivableen D( f )R 1, si 0 14 Sea la función f() 1,si 04 817,si 4 a) Estudie su continuidad y derivabilidad. b) Calcule f (1) y f (5). (Propuesto PAU Andalucía 015) Solución a)derivabler 4 ;noderivableen=4,por noser continua b)f (1)= f (5)= 15 Sea la función definida de la forma f(), si 1 10,si a) Halle el dominio de f. b) Estudie la derivabilidad de f en =. (Propuesto PAU Andalucía 008) Solución a) D(f)=R- 1 b) No derivable, por ser continua - Página -
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES a, si 0 16 Se considera la función f() 1 b1,si 0 Calcule el valor de a y b, para que la función sea derivable en = 0. (Propuesto PAU Andalucía 017) Solución a=b=1 1 1, si 17 Sea la función f() a, cona0 a,si Calcule el valor del parámetro a para que la función sea continua en su dominio. En este caso, sería derivable en su dominio? (Propuesto PAU Andalucía 016) a=1 ;noderivableen= Solución b b a, si 18 Sea la función f definida por f() 60. Obtenga los valores de a y b para que,si la función sea continua y derivable. (Propuesto PAU Andalucía 014) Solución a=48 b=3 a, si 19 Sea la función dada por f() b. Determine los valores de a y b, sabiendo que,si 1 7 8 dicha función es derivable. (Propuesto PAU Andalucía 014) Solución a= b= 3 3 0 Siendo f: R R la función dada por la epresión: - Página 3-35a,si 0 f() b 3, si 0. 4,si Estudie la continuidad de f según los valores de las constantes a, b. (Propuesto PAU Andalucía 1999) 3 3 Solución continua en R, a,b ;continuaen=si a= b= 5 4 3.- RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 1, si 0 1 Se considera la función f() 1. Halle la ecuación de la recta tangente a la 1,si 0 gráfica de la función en el punto de abscisa =. (Propuesto PAU Andalucía 017) Solución r : y 5 5, si Sea la función f() 4. 3 3,si Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en = 3. (Propuesto PAU Andalucía 015) Solución r : y 13 8 3 Sea la función f() = 3 9 + 8. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1. (Propuesto PAU Andalucía 015) Solución r : y 15 15 41 4 Sea la función f(). Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y = f() en el 3 1 punto de abscisa = 0. (Propuesto PAU Andalucía 004) Solución r : y
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES e, si 0 5 Sea la función f: R R definida mediante f(). Halle la ecuación de la recta 3 1,si 0 tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1. (Propuesto PAU Andalucía 009) Solución r : y 1, si 1 6 Sea la función f: R R definida por f(). Calcule la ecuación de la recta m5,si 1 tangente a la gráfica de f en = 0. (Propuesto PAU Andalucía 007) Solución r : y ln(). 1 7 Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f definida de la forma f() = 1 + L( 1) en el punto de abscisa = 1. (Propuesto PAU Andalucía 005) Solución r : y 1 8 Sea la función f() = + a + b. Calcule a y b para que su gráfica pase por el punto (0, 5) y que en este punto la recta tangente sea paralela a la recta y = 4. (Propuesto PAU Andalucía 003) Solución a= 4 b= 5 4.- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES 9 Sea la función f() = + p + q. Calcule los valores que deben tener p y q para que la gráfica de la función f pase por el punto ( 4, 5) y presente un máimo en el punto de abscisa = 1. Determine el valor de f() en ese punto. (Propuesto PAU Andalucía 014) Solución p= q=4 30 Calcule los coeficientes b y c de la función g() = 3 + b + c para que (1, ) sea un punto de infleión de g. (Propuesto PAU Andalucía 015) Solución b= 3 c=6 31 Sea la función f() = 3 + a.e + b 1 Halle los valores de a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en = 0 y que la gráfica de la función pasa por el punto (0, 0). (Propuesto PAU Andalucía 014) Solución a=b=1 b 1, si 3 Sea la función f(). Determine los valores de a y b para que dicha función a,si sea continua en = y, además, tenga un mínimo en = 1. (Propuesto PAU Andalucía 013) Solución a= 3 b= 33 Sea la función g() = 3 + a + b. Calcule a y b sabiendo que su gráfica presenta un punto de infleión en el punto (, 5). (Propuesto PAU Andalucía 008) Solución a= 6 b=1 34 La función f() = 3 + a + b tiene un etremo relativo en = y un punto de infleión en = 3. Calcule los coeficientes a y b y determine si el citado etremo es un máimo o un mínimo relativo. (Propuesto PAU Andalucía 007) Solución a= 9 b=4 ; es un máimo a, si 35 Sea la función f(). Calcule a y b para que la función sea continua en todo su b,si dominio y presente un mínimo en = 1. (Propuesto PAU Andalucía 01) Solución a=b=1 ab, si 1 36 Sea la función f definida mediante f() L(),si 1 a) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en = 1 b) Para a = 1, b = 1 estudie la derivabilidad de f en = 1 y en = 1 (Propuesto PAU Andalucía 008) Solución a) a b= 3; b) derivable en 1; no derivable en 1, por no ser continua - Página 4 -
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES, si 1 37 Sea f(). Estudie su monotonía y determine las ecuaciones de sus asíntotas, 31,si 1 si eisten. (Propuesto PAU Andalucía 016) 3 3 Solución f es creciente en (,1) (, ) y decreciente en (1, ); A. H. en : y 0 38 Sea la función f() = 3 4 + 4 a) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa = b) En el punto de abscisa = 1, la función es creciente o decreciente? (Propuesto PAU Andalucía 013) Solución r : a) y 11 11 b) decreciente e, si 0 39 Sea la función definida de la forma f() 1,si 0 a) Es f derivable en = 0? Es derivable en su dominio? b) Estudie la monotonía de f. (Propuesto PAU Andalucía 008) Solución a) Derivable en D( f ) R b) creciente 40 Sea la función f() = 3 9 + 8. Halle las coordenadas de sus etremos relativos y de su punto de infleión, si eisten. (Propuesto PAU Andalucía 015) Solución máimo (0, 8), mínimo (6, 100) y punto de inf leión (3, 46), si 1 41 Se considera la siguiente función: f() 4,si 11. Halle las asíntotas y etremos,si1 relativos. (Propuesto PAU Andalucía 00) Solución AH.. en : y 1 ; máimo (0, 4) 4 Sea f() una función cuya función derivada, f (), tiene por gráfica una parábola que corta al eje OX en los puntos ( 1, 0) y (5, 0) y con vértice (, 4) a) Estudie razonadamente la monotonía de f(). b) Determine las abscisas de los etremos relativos de la función f(). c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa =, sabiendo que f() = 5. (Propuesto PAU Andalucía 013) Solución a) Creciente en (, 1) (5, ), decreciente en ( 1,5) b) 1, 5 c) r : y 4 13 43 De una función f se sabe que la gráfica de su función derivada, f, es la recta de ecuación y = + 4. Estudie razonadamente la monotonía de la función f, a la vista de la gráfica de la derivada. (Propuesto PAU Andalucía 006) Solución creciente en (, ) y decreciente en (, ) 44 La gráfica de la función derivada, f, de una función f es una parábola que corta al eje OX en los puntos ( 1, 0) y (3, 0) y tiene su vértice en (1, 4). Estudie, a partir de ella, la monotonía de la función f e indique la abscisa de cada etremo relativo. (Propuesto PAU Andalucía 011) Solución Creciente en (, 1) (3, ), decreciente en ( 1,3); Máimo en 1 y mínimo en 3 45 La gráfica de la derivada de una función f es la recta que pasa por los puntos (0, 3) y (4, 0) Estudie la monotonía de la función f. (Propuesto PAU Andalucía 008) Solución de creciente en (, 4) y creciente en (4, ) 46 La cantidad, C, que una entidad bancaria dedica a créditos depende de su liquidez,, según la 1505, si10 50 100 función C() donde C y están epresadas en miles de euros. A partir de 0010,si 50 53 qué liquidez decrece la cantidad dedicada a créditos? Cuál es el valor máimo de C? (Propuesto PAU Andalucía 016) Solución 50000 ; 4000 - Página 5 -
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 47 Una entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R(), en miles de euros, viene dada por la función R()= 0.001 + 0.5 +.5, 1 500, donde es la cantidad de dinero invertida en miles de euros. a) Determine qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máima rentabilidad. b) Qué rentabilidad se obtendría con dicha inversión? c) Cuál es la cantidad de dinero para la que se obtiene menor rentabilidad? (Propuesto PAU Andalucía 015) Solución a) 50000 b) 65000 c) 500000 48 Una fábrica produce entre 1000 y 6000 bombillas al día. El coste diario de producción, en euros, 000000 de bombillas viene dado por la función C() 90000.08, con1000 6000 Cuántas bombillas deberían producirse diariamente para minimizar costes? Cuál sería dicho coste? (Propuesto PAU Andalucía 016) Solución 5000 bombillas con un coste mínimo de 9800 49 El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, f(), dependen de la inversión,, según la función f() = + 11 10 ( es la cantidad invertida, en millones de euros). a) Determine los valores de la inversión para los que la función beneficio es no negativa. b) Halle el valor de la inversión para el cual el beneficio es máimo. A cuánto asciende éste? c) Entre qué valores ha de estar comprendida la inversión para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste es no negativo? (Propuesto PAU Andalucía 010) Solución a) una inversión comprendida entre 1 y 10 millones de b) una inversión de5,5 millones de (5500000 ) el beneficio es máimo, de 0,5 millones de (050000 ) c) entre 5500000 y10000000 5.- REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 50 Represente gráficamente la función f() = 3 6 + 1, estudiando previamente su dominio, puntos de corte con los ejes, intervalos de monotonía, etremos, intervalos de concavidad y conveidad y puntos de infleión. (Propuesto PAU Andalucía 014) Solución parcial D( f ) R ; Punto de corte con los ejes (0,0); creciente, no hay etremos relativos cóncava en (,) y convea en (, ); Punto de inf leión I(,8) 51 Sea la función f() = 3 6 a) Determine sus puntos de corte con los ejes. b) Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión. c) Represente gráficamente la función. (Propuesto PAU Andalucía 008) Solución parcial a) Puntos de corte con los ejes (0, 0) y (6, 0) b) máimo (0, 0) mínimo (4, 3) punto de inf leión (, 16) 5 Se considera la función f() 1 a) Determine la monotonía y curvatura de la función. b) Calcule sus asíntotas. c) Represéntela gráficamente. (Propuesto PAU Andalucía 01) Solución parcial a) creciente ; convea en (, ) y cóncava en (, ) b) A. H. en : y 1 AV..: 1 53 Sea la función f(). a) Estudie la monotonía de f. 1 b) Halle las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y represente gráficamente la función. (Propuesto PAU Andalucía 009) 1 1 Solución parcial a) creciente b) AH.. en : y AV..: ; puntos de corte con los ejes (1,0) y (0,1) - Página 6 -
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 4 3, si 1 54 Dibuje la gráfica de la función f() 1,si 11. (Propuesto PAU Andalucía 003) 1,si 1, si 1 55 Dibuje la gráfica de f(),si 0. (Propuesto PAU Andalucía 000),si 0 1 56 La función de costes de una fábrica, f(), en miles de euros, viene dada por la epresión: f() = 36 + 00, donde es la cantidad fabricada del producto, en miles de kilogramos. a) Determine la cantidad a fabricar para minimizar el coste y calcule este coste mínimo. b) A partir del signo de f (7), qué se puede decir del coste para una producción de siete mil kilogramos? c) Dibuje la gráfica de la función de costes. Para qué cantidad o cantidades fabricadas el coste es de 00000? (Propuesto PAU Andalucía 016) Solución parcial a)9000kg conun coste mínimo de 38000 b) cuando se fabrican 7000kg el cos teva decreciendo c) para 0kg y para 18000kg 57 La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión: T(t) = 40t 10t, con 0 t 4. a) Represente gráficamente la función T y determine la temperatura máima que alcanza la pieza. b) Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante? (Propuesto PAU Andalucía 004) Solución parcial a) 40 º C b)30 º C ; sí, a las 3 h 58 Las funciones I(t) = t + 51t G(t) = t 3t + 96, 0 t 18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años. a) Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntela gráficamente. c) Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máimos? Calcule el valor de ese beneficio. (Propuesto PAU Andalucía 011) Solución parcial a) t, t 16 b) B( t) 3t 54t 96 c) A los 9 años los beneficios fueron máimos, de 147000 59 Los beneficios esperados de una inmobiliaria en los próimos 5 años vienen dados por la función B(t) = t 3 9t + 4t. (t indica el tiempo, en años, 0 t 5). a) Represente la evolución del beneficio esperado en función del tiempo. b) En ese periodo, cuándo será máimo el beneficio esperado? (Propuesto PAU Andalucía 003) Solución parcial b) a los años y a los 5años - Página 7 -
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 60 Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la 3 t función B(t) 3t 9t, 0 t 8, donde la variable t indica el tiempo transcurrido, en años, 4 desde su fundación. a) Estudie la monotonía y los etremos de B(t). b) Dibuje la gráfica de B(t) en el intervalo [0, 8] y eplique, a partir de ella, la evolución de los beneficios de esta empresa en sus 8 años de eistencia. (Propuesto PAU Andalucía 013) Solución parcial a) creciente en (0,) (6, ) y decrecienteen(,6) ; máimos (,8) y (8,8), 0 añoscrecieron desde 0 a 8 millones de mínimos(0,0) y (6,0) b) años 6 añosdecrecieron desde 8 millones de a0 6 años 8 añoscrecieron desde 0 a 8 millones de 61 En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador 11t17 depende de los días trabajados según la función M(t), t 1, donde t es el número de días t1 trabajados. a) El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los días de trabajo. Estudiando la función, justifique si es cierta dicha creencia. b) Dibuje la gráfica de la función. (Propuesto PAU Andalucía 013) Solución parcial a) M( t) es creciente y el dueño tiene razón 6 Sea, en euros, el precio de venta del litro de aceite de oliva virgen etra. 4 Sea f() con 0, la función que representa el balance económico quincenal, en miles de 1 euros, de una empresa agrícola. a) Represente la función f. b) A partir de qué precio de venta del litro de aceite empieza esta empresa a tener beneficios? c) Están limitadas las ganancias quincenales de esta empresa? Y las pérdidas? (Propuesto PAU Andalucía 00) Solución parcial b) a partir de 1 / l c) los beneficios están limitados por 000 y las pérdidas por 000 63 Los beneficios de una empresa, en miles de euros, han evolucionado en los 5 años de su eistencia según una función del tiempo, en años, dada por la siguiente epresión: 4t, si 0t10 B(t) 1 t 8t0,si10t5 5 a) Estudie la continuidad y derivabilidad de B en el intervalo [0, 5]. b) Estudie la monotonía de esta función y determine en qué año fueron mayores los beneficios de esta empresa y cuál fue su beneficio máimo. c) Represente gráficamente esta función. (Propuesto PAU Andalucía 016) Solución parcial a) derivable ( y, por tan to, continua) en [0,5] b) creciente en (0,0) y decreciente en (0,5);en el vigésimo año tuvo su beneficio máimo de 60000 - Página 8 -