3. ESTUDIO DE SISTEMAS (I): ANÁLISIS DE FLUJOS DE CARGA

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA 3. ESTUDIO DE SISTEMAS (I): ANÁLISIS DE FLUJOS DE CARGA 1 FLUJOS DE CARGA EN SISTEMAS DE POTENCIA U sistema de potecia trasporta eergía eléctrica desde los geeradores a las cargas, a través de la ifraestructura eléctrica compuesta, esecialmete, por los trasformadores de tesió y las líeas de trasporte y distribució. La eergía trasita de los geeradores a las cargas prefiriedo los camios de meor impedacia, de maera que e ua red mallada los distitos itierarios puede verse solicitados de forma muy distita, sobrecargádose uos y quedado ifrautilizados otros. El resultado so diferetes iveles de tesió e los udos de la red, más bajos los de aquellos e los que cofluye líeas sobrecargadas. El estudio del reparto de la eergía trasportada por cada rama de la red es el objeto pricipal de los aálisis de flujos de carga e u sistema de trasporte o distribució de eergía eléctrica. Ua vez obteido el modelo eléctrico del sistema como se vio e el tema pasado, se platea sus ecuacioes y se halla las tesioes de los udos de la red. A partir de ahí puede calcularse la eergía que se pierde por ieficiecia del trasporte, y la que debe etregar los geeradores para compesarla y ateder la demada de las cargas. Todo ello permite, fialmete, determiar el redimieto de la red. El cálculo de la eergía e trásito se suele hacer por cada uidad de tiempo, co lo que realmete se está trabajado co potecias e vatios, que so julios por segudo. El aálisis puede automatizarse mediate las apropiadas herramietas de cálculo por ordeador. De esta maera es posible estudiar fácilmete las repercusioes de cualquier alteració e la red, como la mejora e el redimieto derivada de la costrucció de uevas líeas, o la catidad máxima de potecia que puede icorporarse e cada udo desde uevos geeradores (geeració distribuida) si alterar las tesioes de los udos más allá de u límite prefijado. Este tipo de estudios es característico de los aálisis de flujos de carga e estado estacioario, es decir, e ausecia de cortocircuitos, derivacioes a tierra, o coexioes / descoexioes bruscas, y so la herramieta fudametal para plaificar la gestió y el desarrollo de las redes de trasporte y distribució. E esta lecció se ofrecerá ua aproximació a este aálisis de flujos de carga. Pero co herramietas parecidas tambié es posible aalizar la estabilidad del sistema frete a sucesos iesperados, como la descoexió de u geerador o de ua líea por actuació de sus respectivas proteccioes eléctricas. Este estudio forma parte del aálisis de estabilidad, y será abordado e la lecció siguiete. NRM 2012-2017 73

2 MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FLUJO DE CARGAS La Teoría de circuitos os ofrece modelos matemáticos de aálisis de redes trifásicas de tesioes siusoidales que resulta de gra utilidad por su elevada precisió a la hora de predecir resultados, y por su eorme facilidad de uso y compresió ( 6 ). E particular, el cálculo fasorial cosigue covertir la tediosa maipulació de fucioes siusoidales de la misma frecuecia e simples operacioes aritméticas co úmeros complejos, de maera que se puede aplicar co total similitud los métodos de resolució de redes de corriete cotiua e dode solo se opera co úmeros reales. El modelo de aálisis de sistemas de eergía eléctrica que sigue a cotiuació se basa e el cálculo fasorial, aplicado al modelo apropiado de las redes trifásicas de potecia que costituye los sistemas actuales de trasporte y distribució de eergía eléctrica e alta tesió. El método de aálisis es el descrito e la secció 1, p. 45 ss. y la solució del problema se efectúa mediate el método de los poteciales de udo, tambié coocido simplemete como método de los udos ( 7 ). Para resolver u problema de flujo de cargas es preciso seguir los siguietes pasos: 1. Elaborar el modelo eléctrico moofásico del sistema de potecia basado e ramas de impedacias y fuetes co u termial comú. El modelo puede obteerse a partir de las redes de secuecia y trasformarse coveietemete, si fuera ecesario, mediate las técicas ya explicadas. 2. Obteer los datos coocidos de los udos de la red: las potecias iyectadas por los geeradores, las demadadas por las cargas, y la tesió de udo de u puto de la red. 3. Calcular la matriz de admitacias de la red. 4. Calcular las tesioes de udo resolviedo la ecuació de la red por algú método coveiete. 5. Operar co las tesioes de udo para calcular las itesidades de las fuetes, las potecias de cada ua, las itesidades de las ramas y las potecias perdidas e ellas. 6. Coocidas las potecias perdidas e cada rama, obteer las pérdidas totales y el redimieto de la red. 2.1 Datos iiciales Los datos coocidos so las potecias que la red debe sumiistrar a las cargas e cada udo, la topología de la red icluyedo la impedacia de las líeas y su capacidad de trasporte, y la tesió omial alrededor de la que debe fluctuar, detro de u límite, las tesioes de todos los udos. 6 Por todos véase REDONDO QUINTELA, FÉLIX, Redes co excitació siusoidal, Béjar 1997. 7 Véase REDONDO QUINTELA, FÉLIX, y REDONDO MELCHOR, ROBERTO C., Redes eléctricas de Kirchhoff, 2ª ed., Béjar 2005, pp. 180 ss. 74 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Las icógitas so esas tesioes de los udos y la potecia de geeració ecesaria para abastecer a las cargas y cubrir las pérdidas por ieficiecia de la red. La determiació de las tesioes suele empezar fijado el valor de u udo cualquiera, alrededor del que se calculará el resto de tesioes de udo. Es habitual, etoces, asigar al udo 1 ua tesió próxima o coicidete co la tesió omial de la red, y supoer que al meos e este udo 1 se iyecta la potecia de geeració que la red demada. 2.2 Tesioes de udo Se defie, para ua red de udos: U i tesió del udo i: potecial del udo respecto del puto de referecia de poteciales e el modelo eléctrico del sistema cosiderado. Geeralmete se trabaja, si embargo, co el valor de ese potecial por 3, que será la tesió etre fases e ese udo pero solo e regímees estacioarios (si alteracioes por fallos e la red). 2.3 Matriz de admitacias Sea la red de cuatro udos de la figura: Fig. 1. Red de cuatro udos y admitacias de cada rama. Supogamos que cada ua de las cico ramas que ue sus udos se describe mediate ua sola admitacia compleja que deomiaremos y jk : las uidades de y so Ω -1 (o S, siemes) y la rama a la que perteece la admitacia y jk es la que ue los udos j y k. Como la rama jk es la misma que la kj, ocurre que y jk = y kj, que es lo que se ha represetado. La matriz de admitacias de la red! Y se costruye como es habitual e el método de los udos, y tiee la forma siguiete: NRM 2012-2017 75

! Y =! Y 11 Y 12... Y 1 Y 21 Y 22... Y 2............ Y 1 Y 2... Y Es ua matriz muy secilla de costruir por simple ispecció aplicado estas reglas: El térmio Y 11, que se llama admitacia propia del udo 1, es la suma de las admitacias de las ramas que cofluye e el udo 1. E el ejemplo esy 11 = y 12 + y 13 + y 14. Igual para todos los térmios de la forma Y kk que ocupa la diagoal pricipal de la matriz: los sumados de Y kk so las admitacias de las ramas que ue el udo k co el resto de los udosy kk =! y ki. El térmio Y 12 es la admitacia de la rama que ue los udos 1 y 2 co sigo egativo:y 12 =! y 12. E geeral, el térmio Y jk, j!k es el opuesto de la admitacia que ue los udos j y k:y jk, j!k = y jk, j!k. Como y jk = y kj, etoces Y jk = Y kj y e este caso la matriz es simétrica. Depediedo de qué modelo se utilice al describir los elemetos que forma las ramas de la red, la admitacia de éstas tiee u valor u otro. Es frecuete que las líeas, por ejemplo, se describa por medio de la red de secuecia directa correspodiete al modelo de líea larga, e el que aparece la resistecia de los cables y la iducció etre coductores represetada por ua impedacia e serie, y la capacidad etre fase y tierra figura como dos admitacias idéticas e paralelo, costituyedo lo que se llama modelo e pi. i=1 Fig. 2. Circuito equivalete de ua líea larga. Cuado es ecesario represetar líeas de pequeña logitud se prefiere el modelo de líea corta (fig. 3), que prescide de las iduccioes y capacidades, y cosidera solo ua resistecia e serie. 76 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Otros elemetos itegrates de los sistemas de potecia, como geeradores, trasformadores y baterías de codesadores, se describe de forma similar. De mometo cosideraremos ta solo las líeas largas y cortas ya vistas. Fig. 3. Circuito equivalete de ua líea corta. 2.4 Itesidades de fuete e cada udo Como se recordará, el modelo de red para el aálisis de sistemas de potecia requiere que todas las fuetes tega u termial comú, que se toma como referecia de poteciales y que se deomia tierra. Tambié se vio que geeralmete las fuetes del modelo era de itesidad, auque se prefiere colocar al meos ua fuete de tesió que fije la tesió del udo al que se coecta (por costumbre el úmero 1), alrededor de la que girará las tesioes de los demás udos de la red. Pues bie: la itesidad de udo es la que etrega las fuetes coectadas a ese udo. Fig. 4. La red de cuatro udos e a) es u modelo típico de sistema eléctrico de potecia. E b) se ha simplificado la represetació omitiedo las fuetes. El modelo de aálisis prevé que e cualquier udo de la red se pueda coectar ua istalació geeradora G que iyecte potecia, o u cetro de demada D que la absorba, y que e alguo cocurra ambos o, por el cotrario, que o haya iguo de los dos. Cada uo de ellos se itroduce e el modelo como ua fuete, ormalmete de itesidad. Si asociamos el setido de las itesidades al de los flujos de potecia ateriores, los setidos de las fuetes del modelo so los que idica la figura 4. Etoces se puede defiir: NRM 2012-2017 77

itesidades de fuete del udo j: suma de las itesidades de las fuetes coectadas al udo j. Si las fuetes coectadas al udo j suma ua potecia aparetes j, y la tesió de su udo es, la potecia de todas las fuetes vale S j = *, que es como si hubiera ua úica fuete iyectado itesidad e el udo j cuya itesidad fuera = ( S j )* (1) 2.5 Plateamieto del problema y solució Las defiicioes ateriores so pleamete cosistetes co el procedimieto de solució de problemas por el coocido método de los poteciales de udo o método de los udos. E efecto, la matriz de admitacias defiida como se ha recordado, el sigificado de tesioes de udo y el cocepto de itesidades de las fuetes de cada udo, so exactamete los del método de los poteciales de udo. Por tato se puede escribir que co! Y =! Y! U =! I (2)! Y 11 Y 12... Y 1 Y 21 Y 22... Y 2............ coy jj =! y jk, e Y jk, j!k = y jk, j!k (3) Y 1 Y 2... Y La ecuació (2) es, etoces, de esta forma:! Y 11 Y 12... Y 1! U 1! I 1 Y 21 Y 22... Y 2............ U 2... = I 2, co... = ( S j )* (4) Y 1 Y 2... Y U I La solució del problema cosiste e ecotrar los valores de las tesioes y las itesidades que la satisface. Se cooce ta solo el valor deu 1, que es la tesió de la fuete que fija los poteciales de la red respecto del udo de referecia. El resto de tesioes, y todas las itesidades so icógita. Afortuadamete el problema, por tratarse de ua red de Kirchhoff, tiee solució. U método para hallarla se deduce fácilmete de la propia ecuació (4). Desarrollado el producto matricial se ve que 78 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y 11 U 1 + Y 12 U 2 +...+ Y 1 U = I 1! Y 21 U 1 + Y 22 U 2 +...+ Y 2 U = I 2... Y 1 U 1 + Y 2 U 2 +...+ Y U = I = U k Y jk (5) dode U k es la tesió de cada udo k de la red, e Y jk el térmio de la matriz de admitacias de la red que ocupa la posició j - k. La expresió (5) relacioa la itesidad de las fuetes del udo j co las tesioes de todos los udos de la red. De ella podemos despejar el valor de cualquiera de esas tesioes de udo, por ejemplo la del udo j = U 1 Y 1 j +U 2 Y 2 j +!+ Y jj +!+U Y j ; Y jj =!U 1 Y 1 j!u 2 Y 2 j!!!u Y j =!U 1 Y 1 j!u 2 Y 2 j!!!u Y j Y jj La expresió aterior coviee geeralizarla de la forma que sigue, para idicar la ausecia del sumado Y jj e el umerador: = 1 k< j k= I Y j! Y jk U k! Y jk U k ( jj (6) Como valor de tomamos el defiido e (1), y etoces llegamos a la ecuació de la que obteer la solució de la red = 1 Y jj k> j * S k< j k= j * U! Y U! Y jk k jk U k ( (7) j k> j La solució solo puede veir de u procedimieto umérico iterativo. Para comezar podemos partir de cualquier cojuto de valores para las tesioes si olvidar que U 1 tedrá u valor prefijado, ormalmete próximo al valor omial de la tesió de la red. La expresió (8) es la (7) pero e ella se ha idicado, mediate la variable m, la iteració e curso: (m+1) = 1 Y jj * S k< j k= j * (m) U! Y U (m+1) (m)! Y jk k jk U k ( (8) j k> j Por tratarse de redes de KIRCHHOFF sabemos de atemao que el método covergerá a NRM 2012-2017 79

ua solució ( 8 ). Tras sucesivas iteracioes se obtiee valores de cada vez más parecidos. Se obtiee tiempos de computació adecuados si se parte, como es habitual, de ua aproximació iicial razoable. Por eso se suele supoer que todas las tesioes coicide co la omial de la red, ormalmete asigada al udo 1. Notas: Hay más métodos de solució de la ecuació (2). E la bibliografía puede hallarse al meos el método de NEWTON-RAPHSON y el método desacoplado rápido, para los que alguos autores declara velocidades de covergecia mayores que las del descrito aquí ( 9 ). E la secció 3 Solució del problema mediate el método iterativo Newto-Raphso, p. 83, se describe este método alterativo. Más adelate, e la secció 4.2, p. 88, se deduce de uevo el método umérico de GAUSS-SEIDEL explicado aquí, aplicado a u ejemplo. Obteidas fialmete todas las tesioes se puede calcular las itesidades de las fuetes de udo mediate la expresió (1), o bie se puede emplear la (5), y costituye u secillo ejercicio de verificació de resultados comprobar que, efectivamete, ambas coicide: Nota: = ( S j )* =! U k Y jk (9) Recuérdese que e todas las expresioes ateriores iterviee los térmios jk de la matriz de admitacias de la red, o las admitacias de las ramas. 2.6 Potecias de fuete e cada udo Las defiicioes ateriores de tesió de udo e itesidades de fuete e cada udo permite ahora defiir fácilmete la variable potecias de fuete e cada udo, si más que aplicar su defiició de Teoría de circuitos. Así: S j potecia compleja de fuetes e el udo j: suma de las potecias complejas que etrega las fuetes coectadas al udo j. Su valor se calcula, etoces, como la potecia e VA que etra al udo aportada por los geeradores ( S Gj ) más la que etra a causa de la demada de los cosumidores ( S Dj ). Esta seguda tedrá sigo egativo para que S j = S Gj + S Dj. 8 La matriz de coeficietes [Y] es simétrica y defiida positiva, como exige el método de GAUSS-SEIDEL. 9 Nuestras comprobacioes co el mismo paquete iformático programado segú el procedimieto Gauss-Seidel y segú el procedimieto Newto-Raphso muestra que el úmero de iteracioes requerido para llegar a las mismas solucioes es siempre idético, de maera que el segudo o parece más rápido que el primero. 80 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Como coocemos ya la tesió y la itesidad de fuetes e el udo, esta potecia compleja de fuetes del udo vale tambié S j = * =! U k Y jk * (10) co los sigificados de las variables ya coocidos, y siedo ahora * el cojugado de la itesidad de fuetes del udo j. Segú tambié la teoría de circuitos, coocida la potecia compleja de udo es posible determiar la potecia activa P y la potecia reactiva Q de las fuetes del udo, pues siempre se tiee que S = P + Q i. Así pues: P j potecia activa de las fuetes del udo j: suma de la potecia activa que etrega las fuetes coectadas al udo j, que es tambié la parte real de la potecia compleja S j de las fuetes del udo j, e W. Q j potecia reactiva de las fuetes del udo j: suma de la potecia reactiva que etrega las fuetes coectadas al udo j, que es tambié la parte imagiaria de la potecia compleja S j de las fuetes del udo j, e VAr. E fució de las potecias complejas de geeració iyectadas y demadadas e el udo j, S Gj = P Gj + Q Gj i, y S Dj = P Dj + Q Dj i respectivamete, el valor de la potecia compleja de las fuetes e cada udo es S j = P j + Q j i = P Gj + P Dj ( ) + ( Q Gj + Q Dj ) i (11) 2.7 Potecia que se etrega a cada líea Las ramas del modelo de u sistema de potecia so líeas cuya represetació más habitual es el modelo de impedacias e pi, auque puede prescidirse de las admitacias e el caso de líeas cortas. E cualquier caso la potecia compleja que u udo etrega a cada ua de las líeas que a él está coectadas se absorbe e el respectivo udo fial, a excepció de las pérdidas debidas a las impedacias iterpuestas. Fig. 5A. Líea jk del de sistema de potecia. Modelo de líea corta. E el modelo de líea corta, vista desde el udo j, la líea jk es u dipolo que absorbe NRM 2012-2017 81

ua potecia compleja S jk = k * = y jk (!U k )* (12) dode la itesidad k es la que sale del udo j, y se ha calculado como el producto de la admitacia de la rama y jk = 1 Z jk por la diferecia de las tesioes de sus dos udos extremos, desde el j hasta el k. De igual forma se puede defiir la potecia que etrega el udo k a esa misma líea, hacia el udo j, y es S kj = U k I kj * = U k y kj ( U k! )* (13) Estas dos potecias so distitas: au cuado se trate de ua rama para la que las admitacias sea iguales y jk = y kj y los cojugados de las corrietes simplemete resulte opuestos k * =!I kj *, las tesioes de los udos so distitas! U k. La diferecia S jk! S kj muestra que la potecia que uo de los udos etrega a la rama será prácticamete absorbida por el otro, de maera que ambas potecias resulta opuestas, pero habrá ua diferecia e sus módulos, que se debe a las pérdidas de potecia compleja e la impedacia de la líea. Fig. 5B. Líea jk del de sistema de potecia. Modelo de líea larga. E el modelo de líea larga las potecias etregadas a las ramas desde cada udo se calcula igual, teiedo e cueta ahora que la itesidad k se divide etre la que recorre la impedacia Z jk, que valdrá!u k Z jk, y la que se va por la admitacia y tjk, que vale y tjk. De maera que las potecias resulta ser las siguietes:!u k S jk = k * = + y tjk * (14) Z jk U k! S kj = U k I kj * = U k + y tkj U k * (15) Z jk Y las coclusioes so las mismas que para la líea corta: las potecias o coicide y 82 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA S jk! S kj so las pérdidas e la líea. 2.8 Pérdidas de potecia e la red y redimieto La diferecia etre las potecias complejas que etrega cada udo extremo de ua líea jk, S jk! S kj, es la potecia compleja perdida e la rama jk por razó de la impedacia de la líea. Esta diferecia puede escribirse e forma cartesiaa como S jk! S kj = P pp + Q pp i (9) La parte real de esa diferecia P pp es la potecia activa perdida e la rama, e W. La suma! P pp es la potecia activa perdida e toda la red. U balace eergético de toda la red permite ver eseguida que la potecia iyectada por los geeradores debe ser igual a la demadada por los cosumidores más la potecia perdida e la red. Fig. 6. Balace eergético de la red. Es claro que, etoces, el redimieto de la red debe defiirse como la relació etre la potecia activa extraída por las cargas y la potecia activa iyectada por los geeradores a la red:! = P D P G Teiedo e cueta que! P G =! P D +! P pp, es decir, que! P D =! P G! P pp, el redimieto tambié puede poerse como (16)! = 1 P pp P G (17) 3 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA MEDIANTE EL MÉTODO ITERATIVO NEWTON-RAPHSON Ya vimos e la ecuació (5), que se repite a cotiuació, la relació que proporcioa el método de los poteciales de udo etre las tesioes e itesidades de las fuetes de udo e la red. Y 11 U 1 + Y 12 U 2 +...+ Y 1 U = I 1! Y 21 U 1 + Y 22 U 2 +...+ Y 2 U = I 2... Y 1 U 1 + Y 2 U 2 +...+ Y U = I = U k Y jk (18) NRM 2012-2017 83

Despejado el valor de ua tesió cualquiera, por ejemplo, llegábamos a la expresió (7) siguiete = 1 Y jj * S k< j k= j * U! Y U! Y jk k jk U k ( (19) j k> j de la que se obtiee el valor mediate el método iterativo de GAUSS-SEIDEL porque se da las codicioes para ello. Pero tambié es posible utilizar otros métodos cuya covergecia se dice más rápida, lo que dismiuye el tiempo de computació ( 10 ). Uo de ellos es el de NEWTON-RAPHSON que ahora veremos, para hallar los valores de las tesioes que solucioa el sistema siguiete! Y jk U k = * S j = Cada ecuació j de las ecuacioes del sumatorio es ua fució, etre otras, de la tesió del udo j, que puede escribirse así: ( ) = Y jk U k f (20)! (21) de forma que si calculamos para qué valor de se obtiee f ( ) = 0 lo que realmete estamos haciedo es calcular la solució de! Y jk U k = 0, es decir, la de! Y jk U k =. Por tato, buscar las raíces de la fució f ecuacioes de (20). ( ) defiida e (21) equivale a resolver las El método de NEWTON-RAPHSON es idóeo para localizar las raíces de fucioes defiidas aalíticamete siempre que éstas sea derivables tambié aalíticamete e el domiio de la solució. Su expresió geeral es la de la ecuació (22) que represeta el procedimieto iterativo que se ilustra e la fig. 7 ( ) ( ) U (m+1) j = U (m) j! f U (m) j (m) f dode, como e el método aterior, el superídice (m) deota la iteració efectuada y ( ) es la derivada de la fució f ( ) e el etoro de la solució buscada. f (22) 10 Nuestra experiecia usado ambos métodos tal y como se describe aquí os muestra que el úmero de iteracioes para llegar a las mismas solucioes es idético e ambos casos. 84 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Para iterar se parte de u valor iicial (superídice 0) cercao al cero de la fució y, tras la primera iteració, se llega a ua solució (superídice 1) más próxima a la raíz de la fució que el valor iicial. E el ejemplo tras cuatro iteracioes se llega a la raíz (el cero) de la fució. Fig. 7. Ejemplo que ilustra el método iterativo Newto-Raphso. La aplicació del método exige poder obteer la derivada explícita de la fució cuyos ceros se quiere calcular. E este caso se trata de coseguir la derivada de (21). Primero combiamos las dos ecuacioes de (20) e ua sola: ( ) = Y jk U k f! =! Y jk U k S j ( * (23) Para derivar esa fució vamos a expresarla ates de ua maera más coveiete que destaque que detro del sumatorio aparece el térmio de subídice j : k< j ( ) = Y jk U k f Ahora la derivada de f respecto de vale! + Y jj +! Y jk U k S j ( k= j+1 * (24) ( ) = Y jj!! S j f 2 * = Y jj + S j 2 y el procedimieto iterativo (22) queda costruido así: ( ) ( ) = U (m+1) j = U (m) j! f U (m) j (m) f (m)! (m) Y jk U k! Y jj + S j (m)2 * S j (m) ( * ( * (25) para j > 1 (26) Al impoer la codició j > 1 el procedimieto iterativo o modificará el valor de la tesió del udo 1, que segú el modelo de red que estamos resolviedo o es icógita sio dato. Ua iteració completa cosiste e emplear la ecuació (26) ua vez para cada ua de las tesioes de la red, haciedo correr el subídice j desde j = 2 hasta j =. Como es habitual e este tipo de procedimietos, se arraca a partir de u cojuto de valores NRM 2012-2017 85

arbitrarios para las tesioes de los udos. Normalmete se cosidera que todos ellos tiee la tesió del udo 1, U 1. Al termiar la primera roda de aplicació de (26) los uevos valores obteidos de las tesioes estará más cerca de la solució que los valores arbitrarios usados para iiciar el procedimieto. Habrá que efectuar ua cierta catidad de estas iteracioes completas hasta que las diferecias del tipo (m+1)! (m), es decir, la diferecia etre cada valor recié obteido y el resultate de la iteració aterior, sea ta pequeñas como se quiera, lo que determia la precisió del resultado. 4 MODELO SIMPLIFICADO PARA REDES RESISTIVAS El aálisis efectuado hasta ahora es totalmete geeral y válido para cualquier sistema eléctrico de potecia. Si embargo, el cálculo fasorial que ivolucra requiere trabajar co úmeros complejos para resolver redes, lo que reduda e ua excesiva complejidad que e sí misma o aporta ada a la eseñaza y compresió de los flujos de carga. Por ello se prefiere, a ivel docete, simplificar el problema y trabajar co resistecias e lugar de impedacias, de maera que se obtiee u modelo simplificado para la resolució de problemas co úmeros reales que ilustra muy bie el comportamieto de los sistemas reales de potecia. E esta secció se describe los parámetros y las ecuacioes de este modelo simplificado, que so similares a las del modelo geeral, pero está basados e el modelo de líea corta, es decir, el que asiga a cada líea ua sola impedacia e serie. 4.1 Parámetros del modelo simplificado Sea la red de 6 udos de la figura 7, represetada por medio de u esquema uifilar coherete co lo visto e la secció 2.6, p. 80. E ella se supoe coectada ua istalació geeradora e el udo 1 y cico istalacioes cosumidoras coectadas e los udos restates. Fig. 7. Sistema eléctrico de 6 udos, uo de geeració eta y cico de demada eta. Las líeas de la red se idetifica mediate los úmeros asigados al par de udos que elaza cada ua. Se cooce su logitud L (km) y su impedacia z e Ω/km, co lo que tambié es coocida su impedacia Z e Ω y su admitacia e S, puesy = 1 Z. 86 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Fig. 8. Red de impedacias equivalete a la de fig. 7. Para el aálisis estacioario de la red se recurre al modelo de sistema de fuetes co u termial comú. Las líeas queda asimiladas a ramas de ua red mallada como la de la figura 8 a). E ella aparetemete o hay mallas, pero al itroducir las fuetes, las mallas se forma siempre, como muestra la fig. 9. Fig. 9. Red de las figs. 7 y 8 co las fuetes itroducidas, mostrado las mallas que se forma. El modelo de líeas adoptado es el correspodiete a líeas cortas. De uevo, como ocurrió e la secció 2.5, p. 57, se poe de maifiesto la vetaja de utilizar u esquema uifilar como el de la fig. 10, que reproduce la misma iformació que el diagrama de la fig. 9 pero co mayor simplicidad. Fig. 10. Modelo de aálisis de la red de la fig. 8 represetado mediate esquema uifilar. NRM 2012-2017 87

Co las admitacias de las ramas se obtiee imediatamete la matriz de admitacias segú el método de los udos:! Y = E este caso se tiee que! Y =! Y 11 Y 12... Y 1 Y 21 Y 22... Y 2............ coy jj =! y jk, e Y jk, j!k = y jk, j!k (18) Y 1 Y 2... Y! y 13 + y 16 0 y 13 0 0 y 16 0 y 24 0 y 24 0 0 y 13 0 y 13 0 0 0 0 y 24 0 y 24 + y 46 0 y 46 0 0 0 0 y 56 y 56 y 16 0 0 y 46 y 56 y 16 + y 46 + y 56 Se fija tambié el valor de la tesió e el udo 1, al que es útil asigarle la tesió omial de la red. Como se dijo e la secció 1.3, p. 49, esto elimia como icógita la tesió de ese udo, pero itroduce la de la itesidad de la fuete.! I =! I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 Por último, se determia las itesidades del resto de las fuetes. Tratádose de problemas de flujo de carga, lo que se fija es la potecia de cada ua, y luego las itesidades simplemete so =! P j =! P Gj! P Dj (19) dode P Gj! P Dj es el eto de la potecia de las fuetes coectadas al udo j, geeració meos demada. 4.2 Solució del modelo simplificado Co las defiicioes que hemos adoptado e las seccioes ateriores de tesioes de udo e itesidad de fuetes de udo, y costruyedo la matriz de admitacias de todas las ramas de la red mediate el algoritmo del método de los udos, se cumple para la red de la figura 10 la siguiete ecuació es decir,! Y! U =! I 88 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA y 13 + y 16 0! y 13 0 0! y 16 0 y 24 0! y 24 0 0! y 13 0 y 13 0 0 0 0! y 24 0 y 24 + y 46 0! y 46 0 0 0 0 y 56! y 56! y 16 0 0! y 46! y 56 y 16 + y 46 + y 56 U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 = I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 Los poteciales de los udos de la red respecto del udo de referecia los fija la fuete de tesió que es usual colocar e el udo 1. De maera que el valor de U 1 o es icógita sio dato, pero el resto de las tesioes sí so icógita. Y tambié so icógitas los valores de todas las itesidades, pues se obtiee segú (20) a partir del dato de la potecia P j de cada fuete de udo y de la icógita de la tesió de dicho udo = P j (20) Las itesidades so, por tato, fució de las tesioes de los udos, luego tampoco se cooce. La solució del problema puede obteerse mediate el proceso iterativo ya explicado e la secció 2.5, pp. 78, coocido como método de GAUSS-SEIDEL. Recordemos que habíamos deducido ua expresió alterativa para las itesidades de las fuetes de udo e (5) y que para este modelo simplificado adopta la forma o fasorial de: =! U k Y jk (21) Igual que hicimos e la secció 2.5 citada, e esta expresió podemos despejar el valor de cualquiera de las tesioes de udo, por ejemplo, la del udo 3, que está detro del sumatorio. E efecto, desarrollado toda la suma (21) para la itesidad de las fuetes coectadas al udo 3 teemos que De ahí se puede despejar U 3 que resulta ser I 3 = U 1 Y 13 +U 2 Y 23 +U 3 Y 33 +U 4 Y 43 +U 5 Y 53 +U 6 Y 63 U 3 = I! U 3 ( Y +U Y +U Y +U Y +U Y 1 13 2 23 4 43 5 53 6 63) Y 33 Y si geeralizamos para cualquier tesió debemos poer que = 1 k< j k= I Y j! Y jk U k! Y jk U k ( jj (22) Como valor de tomamos el defiido e (21), y etoces llegamos a la ecuació de la que obteer la solució de la red k> j NRM 2012-2017 89

= 1 Y jj P k< j k= j! Y k U k! Y jk U k ( (23) j k> j Para iterar podemos partir de cualquier cojuto de valores para las tesioes si olvidar que U 1 tedrá u valor prefijado, ormalmete próximo al valor omial de la tesió de la red. E la expresió (24) se idica la iteració e curso m: (m+1) = 1 Y jj P k< j k= j (m) U! Y U (m+1) (m)! Y jk k jk U k ( (24) j k> j Por tratarse de redes de KIRCHHOFF sabemos de atemao que el método covergerá a ua solució ( 11 ). Tras sucesivas iteracioes se obtiee valores de cada vez más parecidos. Se obtiee tiempos de computació más que razoables si se parte, como es habitual, de ua aproximació iicial adecuada, como la de supoer que todas las tesioes coicide co la omial de la red, ormalmete asigada al udo 1. Obteidas fialmete todas las tesioes, se puede calcular las itesidades de las fuetes de udo mediate la expresió (20), o bie se puede emplear la (21), y comprobar que ambas coicide: = P j =! U k Y jk (25) 4.3 Obteció de pérdidas y redimietos Ua vez que se cooce las tesioes de udo y las itesidades de sus fuetes, las potecias de éstas so P j = (26) De esta forma se puede averiguar la potecia que etrega a la red la fuete de tesió coectada al udo 1, que recordemos presetaba como icógita su itesidad y, cosecuetemete, su potecia. Coocidas así las potecias que etrega todas las fuetes de udo, se cumplirá que e ua red de udos! P j 0 porque la potecia que etrega uas fuetes o es solo la j=1 absorbida por las demás, sio que hay que compesar tambié las pérdidas de la red. Se tiee etoces que! P j = P pp j=1 que es ua maera de calcular las pérdidas de la red.! (27) 11 La matriz de coeficietes [Y] es simétrica y defiida positiva, como exige el método de GAUSS-SEIDEL. 90 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Otra forma de calcular el valor de esas pérdidas es hallar la suma de todas las potecias etregadas a todas las líeas desde cada udo, porque esa suma coicide co la potecia de las fuetes de ese udo: P j = P jk (28) k! j Si se suma todas las potecias etregadas a las líeas desde cada udo, se puede obteer tambié las pérdidas de la red porque combiado (27) y (28) se llega a! P pp = P j j=1! =!! P ( jk (29) j=1 ( Es decir: la suma de las pérdidas e las líeas de la red, que es igual a la suma de las potecias de las fuetes de udo e toda ella, se puede calcular como la suma, para los udos, de las potecias etregadas desde cada uo hacia las líeas que parte de él. Para aplicar este método es ecesario obteer primero la potecia que trasporta cada líea, que es u parámetro a teer e cueta tambié e la solució de los problemas de flujo de cargas. Veamos: Siguiedo u razoamieto similar al de la secció 2.7, p. 81, la potecia que el udo j etrega a la líea que lo ue co el udo k vale P jk = k = dode se ha teido e cueta que k j (!Y jk )!U k k = y jk k =!Y jk ( ) (30) ( )(!U k ) No coicide co el valor de la potecia que el udo k etrega hacia la líea que lo ue co j P kj = U k I kj = U k (!Y kj ) U k! ( ) (31) ( ) =!( U k! ) pues auque sea iguales las admitaciasy jk = Y kj, el sigo será opuesto!u k y sobre todo so distitas las tesioes de udou j! U k. El redimieto de la red, como se vio e la secció 2.8, p.83, es la relació etre la potecia extraída por las cargas y la potecia activa iyectada por los geeradores a la red: P Como! P G =! P D +! P pp, etoces! = D P = 1 P pp G P G (32) NRM 2012-2017 91

5 MODELO MEJORADO PARA REDES RESISTIVAS 5.1 Parámetros y solució de la red El modelo de red de las seccioes ateriores describía cada líea etre udos co el modelo de líea corta, e el que la líea etre los udos j y k cosistía sólo e ua impedacia e serie etre j y k. Auque e la realidad este modelo es suficiete e ua amplia mayoría de situacioes, para líeas cosideradas largas es preferible adoptar la descripció que proporcioa el modelo e pi que, además, es el que tambié permite itroducir trasformadores de tesió e el modelo de la red. Veamos ahora cómo platear y resolver u sistema basado e ese modelo e pi. Ahora cada elemeto de la red se represetará como e la figura 11: Fig. 11. Modelo de líea larga co parámetros e pi. De forma similar a como se hizo e la secció aterior, a partir de las admitacias de las ramas se obtiee imediatamete la matriz de admitacias de la red, que se defie como! Y =! Y 11 Y 12... Y 1 Y 21 Y 22... Y 2............ coy jj =! y jk, e Y jk, j!k = y jk, j!k (33) Y 1 Y 2... Y Fig. 12. Red de la fig. 7 represetada utilizado el modelo de líeas largas. 92 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Ahora los térmios de la diagoal pricipal so más laboriosos de obteer por la presecia de las impedacias trasversales:! y 13 + y t13 + 0 y + y 16 + y 13 0 0 y 16 t16 0 y 24 + y t 24 0 y 24 0 0 y 13 0 y 13 + y t31 0 0 0! Y = y 0 y 24 0 24 + y t 42 + 0 y + y 46 + y 46 t 46 0 0 0 0 y 56 + y t56 y 56 y y 16 0 0 y 46 y 16 + y 46 + y 56 + 56 + y t61 + y t64 + y t65 Recuérdese que los térmios de la diagoal pricipal so las admitacias propias de cada udo. La red de la figura 12, co los parámetros calculados e el apartado aterior, tiee como tesioes de udo los valores que se obtiee al resolver la ecuació es decir,! Y! U =! I (34) y 13 + y t13 + 0! y + y 16 + y 13 0 0! y 16 t16 0 y 24 + y t 24 0! y 24 0 0! y 13 0 y 13 + y t31 0 0 0 y 0! y 24 0 24 + y t 42 + 0! y + y 46 + y 46 t 46 0 0 0 0 y 56 + y t56! y 56 y! y 16 0 0! y 46! y 16 + y 46 + y 56 + 56 + y t61 + y t64 + y t65 U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 = I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 Igual que se hizo ates, la solució del problema puede obteerse mediate el proceso iterativo coocido como método de GAUSS-SEIDEL. Por tratarse de redes de KIRCHHOFF sabemos de atemao que el problema tiee solució, y el método es (m+1) = 1 Y jj P k< j k= j (m) U! Y U (m+1) (m)! Y jk k jk U k ( (35) j k> j NRM 2012-2017 93

dode m idica la iteració e curso y k recorre todos los udos de la red hasta. Tras sucesivas iteracioes se obtiee valores de cada vez más parecidos, y la covergecia es rápida siempre que se parta de ua aproximació iicial razoable, como puede ser la de supoer que todas las tesioes coicide co la omial de la red, ormalmete asigada al udo 1. Obteidas fialmete todas las tesioes, se calcula las itesidades de las fuetes de udo mediate la expresió (15) o la (16), y se puede verificar que ambas coicide: = P j =! U k Y jk (36) La potecia del udo uo se obtiee de la expresió geeral P j = y co ella se tiee ya caracterizadas todas las fuetes de la red. Para determiar la potecia trasportada por las líeas se debe teer e cueta que la potecia que el udo j etrega a la líea que lo ue co el udo k vale P jk = k = (!U k ) y jk + y tjk ( ) (37) dode se ha teido e cueta que la itesidad k es la que circula por la impedacia e serie!u k ( ) y jk más la que se deriva por la impedacia trasversal y tjk colocada juto al udo j e el modelo e pi. Como ya se ha explicado, esa potecia o coicide co el valor de la potecia que el udo k etrega hacia la líea que lo ue co j que tambié hay que calcular P kj = U k I kj = U k ( U k! ) y kj +U k y tkj ( ) (38) A partir de aquí se obtiee el redimieto de la red de la forma habitual, es decir, sumado todas las potecias etregadas a las líeas desde cada udo para hallar las pérdidas de la red porque! P pp = P j j=1! =!! P ( jk (39) j=1 ( y el redimieto de la red es la relació etre la potecia extraída por las cargas y la potecia activa iyectada por los geeradores a la red: k j P! = D P = 1 P pp G P G Este modelo se ajusta más al que se utiliza ormalmete e los servicios de estudio de sistemas de potecia reales. Y como se ha dicho, hay al meos dos razoes para ello: la mayor exactitud de los resultados obteidos, comparados co medicioes reales, y que mediate el modelo e pi es posible itroducir e el cálculo a los trasformadores de (40) 94 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA tesió, como se verá a cotiuació. 6 TRANSFORMADORES Las caídas de tesió de las redes eléctricas so proporcioales a la itesidad que soporta sus ramas, que a su vez es fució de la potecia que absorbe sus receptores. Si esos receptores absorbe siempre la potecia que ecesita, es decir, so receptores de potecia costate, la dismiució de la tesió e el udo al que se coecta icremeta la itesidad absorbida desde ese udo para que se matega costate la potecia. Pero esta mayor itesidad causa, a su vez, mayores caídas de tesió e las ramas que la proporcioa, lo que produce mayores caídas de tesió e el udo, y así e ua espiral que coverge hacia el uevo valor de equilibrio etre potecia absorbida costate, la ueva tesió del udo y la mayor itesidad demadada desde él. Las mayores itesidades demadadas por los receptores de potecia costate a cosecuecia de las caídas de tesió causa problemas e la red: 1. Por u lado sigifica ua mayor solicitació de la ifraestructura existete, que puede sobrepasar su capacidad de trasporte o distribució omial. Esto ocurre cuado la itesidad de la rama supera su itesidad admisible, y se hace preciso ivertir e mejorar la rama e cuestió. 2. Por otro lado represeta ua pérdida de redimieto al sigificar mayores pérdidas, que so proporcioales al cuadrado de la itesidad de cada rama. De uevo se haría ecesario ivertir para reducir la resistecia, mejorado la rama afectada. 3. Tambié se platea problemas e la aparameta de corte, que debe iterrumpir itesidades mayores a costa de acelerar su evejecimieto. Si la rama cosiste e ua líea eléctrica, aumetar su capacidad puede sigificar modificarla cambiado el coductor por alguo de mayor secció. La tabla 1 idica alguas capacidades de las líeas más habituales e las redes de distribució. Tabla 1. Capacidad máxima de las líeas aéreas de distribució habituales segú el tipo de coductor y la tesió de la red. Coductor S mm 2 A/mm 2 I max 45,0 kv 60,0 kv 110,0 kv 132,0 kv LA-30 31,1 4,376 136 A 10 607 kva 14 143 kva 25 929 kva 31 115 kva LA-56 54,6 3,610 197 A 15 363 kva 20 484 kva 37 554 kva 45 064 kva LA-110 116,2 2,695 313 A 24 408 kva 32 544 kva 59 665 kva 71 598 kva LA-180 181,6 2,345 426 A 33 195 kva 44 260 kva 81 143 kva 97 371 kva LA-280 281,1 2,0024 563 A 43 873 kva 58 497 kva 107 244 kva 128 693 kva NRM 2012-2017 95

Otra solució cosiste e emplear trasformadores reguladores que puede tato elevar o reducir la tesió como modificar el desfase etre las tesioes y las itesidades de las fases. E la secció 3.7 Trasformadores como redes de dos puertas, p. 64, se obtuvo para este caso u modelo del trasformador que resultaba teer ua red equivalete tambié e pi. Esta característica permite icorporar u trasformador regulador al modelo de red co ramas e pi teiedo e cueta, simplemete, que el valor de las admitacias trasversales y e serie depede de la relació de trasformació m. E efecto, se dedujo etoces que = y cc m m*! y cc m* U k ; I k = y cc m! y cc U k de maera que ahora, utilizado solo la parte real de los fasores, = y cc m 2! y cc m U k ; I k = y cc m! y cc U k y cambiado de sigo la seguda ecuació, como es habitual, se llega a la expresió de la matriz de admitacias de la red: 1 = m y! 1 2 cc m y cc!i k! 1 m y y cc cc U k co y cc = 1 Z cc Esta ecuació equivale a ua red de dos puertas, modelo e pi, cuyas admitacias serie y trasversales tega el valor idicado e la fig. 13. Fig. 13. Red de dos puertas equivalete a u trasformador que modifica el valor eficaz de la tesió. Ejemplo: U trasformador 45 kv/ 45 kv co ua impedacia de cortocircuito de 9.2 Ω que esté regulado la tesió u +2.5 de la tesió omial equivaldría a la red de dos puertas siguiete: 96 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Fig. 14. Trasformador regulador del valor eficaz de la tesió y su red de dos puertas equivalete. 7 ORGANIZAR EL CÁLCULO DEL FLUJO DE CARGAS Uo de los primeros pasos para solucioar el problema de flujo de cargas es la obteció de la matriz de admitacias de la red. El método de los udos ofrece las reglas ya vistas, que puede implemetarse tal cual e u algoritmo iformático para escribir directamete la matriz de ua red: se aaliza compoete a compoete del modelo y se va sumado admitacias para obteer las propias de cada udo e la diagoal pricipal, y luego el resto de la matriz se rellea co las que ue cada dos udos etre sí. Auque aplicar las reglas del método coduce a ua solució perfecta, hay ua pequeña variate que resulta más práctica a la larga, que cosiste e emplear las matrices de admitacias de cada rama de la red: se trata de compoer la matriz geeral isertado e sus lugares apropiados las matrices de admitacias de cada compoete de la red. Como veremos, eso se cosigue simplemete sumado los elemetos co ídices homólogos de las matrices de cada compoete de la red. Fig. 15. Esta es la red de la fig. 12. Para ilustrar esta cuestió co u ejemplo, volvamos a la red de la fig.12 que se reproduce aquí de uevo. Vamos a observar el udo 1, que forma parte de las ramas 1-3 y 1-6. La matriz de admitacias de toda la red, tal y como surge del método de los udos, era: NRM 2012-2017 97

! Y =! 1 1 2 3 4 5 6 y 13 + y t13 + + y 16 + y t16 0 y 13 0 0 y 16 2 0 y 24 + y t 24 0 y 24 0 0 3 y 13 0 y 13 + y t31 0 0 0 4 0 y 24 0 y 24 + y t 42 + + y t61 + y t64 + y t65 + y 46 + y t 46 0 y 46 5 0 0 0 0 y 56 + y t56 y 56 6 y 16 0 0 y 46 y 56 y 16 + y 46 + y 56 + Y las matrices de las ramas 1-3 y 1-6 so: 1 3 Y 1!3 = 1 y 13 + y t13! y 13 3! y 13 y 13 + y t13 1 6 Y 1!6 = 1 y 16 + y t16! y 16 6! y 16 y 16 + y t16 Puede verse cómo los térmios que lleva los subídices de los udos afectados (1, 3 y 6) está sumados e los lugares correspodietes de la matriz geeral. Esto se cumple para los valores de las diagoales, dode por ejemplo los dos térmios (1,1) de las matrices [Y 1-3] e [Y 1-6] está sumados e la posició (1,1) de la matriz geeral [Y]. Lo mismo ocurre co el térmio (3,3) de [Y 1-3], que aparece e la posició (3,3) de [Y], así como el térmio (6,6) de [Y 1-6], que forma parte de la suma e la posició (6,6) de [Y]. Pero tambié ocurre lo mismo co los térmios fuera de las diagoales: el térmio (1,3) de [Y 1-3] está e la misma posició (1,3) de [Y], así como el térmio (1,6) de [Y 1-6], que tambié está e (1,6) e [Y]. Co los térmios (3,1) y (6,1) ocurre lo mismo. De maera que podemos extraer de aquí otra regla práctica más que añadir a las que ya se ha explicado para obteer las matrices de admitacias de ua red: Se puede compoer la matriz de admitacias de ua red [Y] sumado los térmios homólogos de las matrices de admitacias de todas las ramas de esa red [Y j-k]. Esta regla resulta de mucha utilidad a la hora de programar algoritmos que resuelva automáticamete flujos de carga, pues es muy fácil defiir rama a rama la matriz de admitacias de cada compoete, y costruir automáticamete luego la matriz de admitacias de toda la red. Recuérdese lo visto e la secció 3, p. 58 y ss, dode se veía que cada rama de uestro modelo puede ser cosiderada como ua red de dos puertas, que puede asociarse fácilmete redes de dos puertas como coexioes e cascada cuya ma- 98 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA triz de trasmisió global es imediata de obteer, y que co secillas trasformacioes puede llegarse a la matriz de admitacias de esa coexió e cascada para luego itroducirla e la matriz geeral e los lugares correspodietes. E los problemas resueltos de este capítulo se aplica estas técicas. Al fial el mecaismo geeral de obteció del modelo de la red es fácil de programar e cualquier ordeador. Todo lo que se requiere es u escrupuloso cuidado co las trasformacioes y co la composició de la matriz fial, a lo que ayuda respetar ua otació determiada para operar co seguridad a través de los subídices. 1. Obteer directamete la matriz de admitacias de la red cuyo modelo es el de la figura adjuta, sabiedo que las impedacias represeta líeas cortas de z = 5 Ω/km. Líea km 1-3 50 1-6 175 2-4 50 4-6 60 5-6 75 8 PROBLEMAS RESUELTOS Solució: Se trata de obteer la matriz de admitacias [Y] que es! Y =! Y 11 Y 12... Y 1 Y 21 Y 22... Y 2............ coy jj =! y jk, e Y jk, j!k = y jk, j!k. Y 1 Y 2... Y El térmio Y 13 = y 13 es la admitacia que ue el udo 1 co el 3 y vale; 1 Y 13 =! y 13 =! 5 ( / km) 50(km) =! 1 =!0,004!1 250 y el simétrico Y 31 = y 31 vale lo mismo. NRM 2012-2017 99

Los térmios de la diagoal so las admitacias propias de cada udo. Para el udo 1 su admitacia propia vale: Y 11 = y 13 + y 16 = 1 5! 50 + 1 = 0,005143 1 5!175 Los resultados puede orgaizarse e ua tabla como la siguiete, dode los valores so todos Ω -1 : Matriz de admitacias [Y] 1 2 3 4 5 6 1 0,00514 0,0-0,00400 0,0 0,0-0,00114 2 0,0 0,00400 0,0-0,004 0,0 0,0 3-0,00400 0,0 0,00400 0,0 0,0 0,0 4 0,0-0,00400 0,0 0,00733 0,0-0,00333 5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,00267-0,00267 6-0,00114 0,0 0,0-0,00333-0,00267 0,00714 2. Calcúlese todas las matrices de admitacias de cada rama de la red aterior y compógase a partir de ellas la matriz de admitacia de la red completa. Solució: Se trata de obteer de uevo la matriz de admitacias [Y] compoiédola directamete a partir de las matrices de admitacias [Y j-k] de las ramas de la red. Esas matrices so las del modelo de líea corta, y todas tiee la forma:!y j-k =! y jk y jk y jk y jk ; y = 1 jk Z jk Así pues: 1 3 Y 1!3 = 1 0,00400!0,00400 3!0,00400 0,00400 5 6 Y 5!6 = 5 0,00267!0,00267 6!0,00267 0,00267 1 6 Y 1!6 = 1 0,00114!0,00114 6!0,00114 0,00114 4 6 Y 4!6 = 4 0,00333!0,00333 6!0,00333 0,00333 100 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA 2 4 Y 2!4 = 2 0,00400!0,00400 4!0,00400 0,00400 Y ahora compoemos la matriz [Y] sumado ordeadamete los térmios de las cico matrices ateriores segú sus subídices correspodietes: Matriz de admitacias [Y] 1 2 3 4 5 6 1 0,00400 + + 0,00114 = 0,0-0,00400 0,0 0,0-0,00114 = 0,00514 2 0,0 0,00400 0,0-0,00400 0,0 0,0 3-0,00400 0,0 0,00400 0,0 0,0 0,0 4 0,0-0,00400 0,0 0,00400 + + 0,00333 = 0,0-0,00333 = 0,00733 5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,00267-0,00267 6-0,00114 0,0 0,0-0,00333-0,00267 0,00114 + + 0,00267 + + 0,00333 = = 0,00714 3. Recalcular la matriz de admitacias aterior utilizado el modelo de líea larga para la líea más larga (1-6), cosiderado ua impedacia e paralelo de 11 x 10 5 Ω/km. Solució: Lo primero es obteer la matriz de admitacias de la líea 1-6 de acuerdo al modelo de líea larga, que se represeta al lado, dode j = 1 y k = 6. Y 1!6 = y + y! y 16 t16 16! y 16 y 16 + y t16 co 1 y 16 = 5 (175 = 1,14285714 10!3 )!1 y t16 = 1 1 2 11 10 5 (175 = 2,59740260 10!9 )!1 NRM 2012-2017 101

1 6 Y 1!6 = 1 1,14285974 10!3!1,14285714 10!3 6!1,14285714 10!3 1,14285974 10!3 Y ahora se trata de ecotrar los térmios correspodietes de la matriz origial y modificarlos sumado estos otros. Es decir, modificar los térmios (1,1), (1,6), (6,1) y (6,6) así: (!1 Matriz de admitacias [Y] 1 2 3 4 5 6 0,00400 + 1 + 1,14285974 10-3 = = 0,00513 0,0-0,00400 0,0 0,0-1,14285714 10-3 2 0,0 0,00400 0,0-0,00400 0,0 0,0 3-0,00400 0,0 0,00400 0,0 0,0 0,0 4 0,0-0,00400 0,0 0,00733 0,0-0,00333 5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,00267-0,00267 6-1,14285714 10-3 0,0 0,0-0,00333-0,00267 1,14285974 10-3 + + 0,00267 + + 0,00333 = = 0,00713 El resultado aparetemete varía muy poco respecto del ejercicio aterior porque la líea o es muy larga y los modelos de líea corta y larga resulta prácticamete equivaletes. Si embargo, pequeñas diferecias e los coeficietes de [Y] sigifica muchos vatios de redistribució de flujo cuado las tesioes so del orde de los kilovoltios. 4. Modificar la matriz del ejercicio 3 para itercalar u trasformador regulador de tesió a la salida del udo 4 (primario) hacia el udo 2 (secudario) cuya relació de trasformació sea m = 0.985 y cuya resistecia serie sea R cc = 7 Ω. Solució: La asociació de ambos compoetes, u trasformador y la líea, se puede estudiar como la coexió e cascada de las dos redes de dos puertas que se represeta: 102 NRM 2012-2017

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Avda. Ferado Ballesteros,2 37700 BÉJAR ÁREA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Obtedremos etoces sus matrices de trasmisió, las multiplicamos para llegar a la equivalete de toda la rama, la trasformamos a matriz de impedacias, y la isertamos e la matriz de la red geeral. 1 Y 4!4 = m y! 1 2 cc m y cc 0,14724!0,14503! 1 = co y m y!0,14503 0,14286 cc = 1 = 0,14286 (!1 y R cc cc cc a 4!4 = m 0 m y cc 0,98500 6,89500 = co y 1 0 1,01523 cc = 1 = 0,14286 (!1 R cc m a 4!2 = 1 Z 42 = 1 250 0 1 0 1 El producto de ambas es la matriz de trasmisió de la cascada formada por los dos compoetes, es decir, la ueva matriz de trasmisió de la rama completa: a 4!2 = a 4!4 a 4!2 = 0,98500 6,89500 1 250 0,98500 253,145 = 0 1,01523 0 1 0 1,01523 = A B C D La trasformació a matriz de admitacias es: Y 44 = D B Y 24 =!1 B Y 42 = BC! AD B Y 22 = A B ; Y 4!2 = 4 2 4 0,00401!0,00395 2!0,00395 0,00389 Ahora se sustituye ordeadamete los térmios de la ueva Y 4!2 e la matriz geeral [Y] así: NRM 2012-2017 103