Gráficos de cotrol por atributos por Felipe de la Rosa Los gráficos de cotrol por variables so istrumetos sumamete útiles para moitorear y mejorar la calidad, si embargo, preseta al meos dos limitacioes básicas: Detro de ua plata productiva, suele ser cietos las variables que ifluye e los procesos de maufacturació, por lo que resulta impráctico y costoso elaborar u gráfico de cotrol para cada ua de ellas. Requiere de ua escala métrica para cuatificar los resultados, por lo que o puede emplearse para moitorear estados o codicioes cualitativas e los procesos. Para hacer frete a estas dos limitacioes, las orgaizacioes suele emplear otro grupo de gráficos, a los que se cooce como gráficos de cotrol por atributos, los cuales tiee como propósito la medició de dos atributos básicos: la proporció y el úmero de o coformidades (defectos) e los procesos. Gráfico p El gráfico p se basa e las propiedades de la distribució de probabilidad biomial, que mide el úmero de éxitos y fracasos (o coformidades), e ua serie de evetos idepedietes. Las fórmulas utilizadas para calcular los límites de cotrol e el gráfico p so: LC! = p LCI! = p 3!!!!! LCS! = p + 3!!!!! Dode:, es el úmero de observacioes del subgrupo. p, es la proporció promedio de o coformidad, la cual se calcula al dividir el total de o coformidades (p) etre el total de observacioes, es decir: p = p 1
A cotiuació, se preseta u ejemplo de aplicació para facilitar la compresió del fucioamieto del gráfico p. Ejemplo: Refrigeradores Refsa desea implemetar ua gráfica para cotrolar la calidad del acabado exterior de sus productos, razó por la cual ha decidido ispeccioar y registrar el úmero de uidades defectuosas diarias. E la tabla 1 se preseta la iformació correspodiete al mes de juio. Subgrupo Observacioes Uidades defectuosas Subgrupo Observacioes Uidades defectuosas 1 200 5 16 200 6 2 200 5 17 200 2 3 200 7 18 200 6 4 200 8 19 200 13 5 200 13 20 200 10 6 200 6 21 200 3 7 200 15 22 200 2 8 200 7 23 200 11 9 200 2 24 200 5 10 200 7 25 200 5 11 200 16 26 200 8 12 200 10 27 200 4 13 200 10 28 200 2 14 200 4 29 200 9 15 200 2 30 200 6 Tabla 1. Calidad del acabado exterior de los productos de Refsa. El primer paso para calcular los límites de cotrol es obteer el valor de, para lo cual es ecesario dividir el total de uidades defectuosas etre el total de observacioes, tal como se muestra: p = p = 209 6000 = 0.0348 Coociedo el valor de p ahora es posible determiar los límites de cotrol para el gráfico. LC! = p = 0.0348 2
LCI! = p 3 = 0.0348 0.0348 1 0.0348 200 = 0.00407 LCS! = p + 3 = 0.0348 + 0.0348 1 0.0348 200 = 0.0736 Observa que el valor del límite iferior es egativo, si embargo, e la práctica es imposible ecotrar ua proporció egativa de o coformidades, por lo que decimos que el límite iferior es cero; éstos so los límites de cotrol de esayo que emplearemos para aalizar el proceso por primera vez. Figura 1.Proporció de o icoformidades. Observa que los subgrupos 7 y 11 se ecuetra fuera de los límites de cotrol, lo cual idica que e esos días existiero causas especiales de variació que icremetaro la proporció de productos defectuosos, así para obteer los límites de cotrol revisados, es ecesario volver a realizar los cálculos si cosiderar la iformació de estos subgrupos tal como se muestra: p = p = 178 5600 = 0.03178 Co el valor de ahora es posible determiar los límites de cotrol para el gráfico. 3
LC! = p = 0.03178 LCI! = p 3 = 0.03178 0.03178 1 0.03178 200 = 0.0054 LCS! = p + 3 = 0.03178 + 0.03178 1 0.03178 200 = 0.0689 A cotiuació se preseta el gráfico de cotrol co límites revisados si cosiderar los subgrupos 7 y 11. Figura 2. Gráfico de cotrol co límites revisados si cosiderar los subgrupos 7 y 11. Gráfico p co subgrupos de tamaño variable Es deseable que el tamaño del subgrupo de ua gráfica p sea costate e cada ua de las medicioes, si embargo, esto o siempre es posible, ya que el volume de producció suele variar de forma sigificativa de u periodo a otro, y las muestras que se toma para aalizar la calidad o so uiformes, dado lugar a límites de cotrol variables que depede de la catidad de observacioes e cada subgrupo. 4
Las fórmulas para el cálculo de límites de cotrol e gráficos p co subgrupos de tamaño variable so las mismas descritas e el ejemplo aterior, si embargo, requiere ua mayor catidad de operacioes. Ejemplo Refrigeradores Refsa desea implemetar ua gráfica de cotrol para moitorear el desempeño del sistema de refrigeració de cada uo de sus productos termiados, para lograrlo ha decidido implemetar u gráfico p que le permita coocer la proporció diaria de productos defectuosos. E la siguiete tabla se preseta la iformació referete a las primeras dos semaas del mes de julio: Subgrupo Observacioes No coformidades 1 968 18 2 841 8 3 820 11 4 949 15 5 882 22 6 961 11 7 838 23 8 947 17 9 900 14 10 968 13 11 863 14 12 932 20 13 969 12 14 868 12 Tabla 2. Iformació el desempeño del sistema de refrigeració de los productos de Refsa de dos semaas de julio. El primer paso para calcular los límites de cotrol, es obteer el valor de, para lo cual es ecesario dividir el total de uidades defectuosas etre el total de observacioes, tal como se muestra: p = p = 210 12706 = 0.0165 Coociedo el valor de =968. ahora es posible determiar los límites de cotrol para el primer subgrupo co 5
LC! = p = 0.0165 LCI! = p 3 = 0.0165 0.0165 1 0.0165 968 = 0.0042 LCS! = p + 3 = 0.0165 + 0.0165 1 0.0165 968 = 0.02878 Para el subgrupo 2, co =841: LC! = p = 0.0165 LCI! = p 3 = 0.0165 0.0165 1 0.0165 841 = 0.0033 LCS! = p + 3 = 0.0165 + 0.0165 1 0.0165 841 = 0.02967 Para calcular los límites cotrol para el resto de los subgrupos se utiliza el mismo procedimieto. Como puedes ver, etre meor es el úmero de observacioes, los límites de cotrol so más amplios, e esta ocasió o existe causas especiales de variació, por lo que o es ecesario calcular de uevo los límites de cotrol. 6
Figura 3. Meor observacioes, deriva e más amplios los límites de cotrol. Los gráficos p para subgrupos de tamaño variable se obtiee de la misma forma que los subgrupos de tamaño costate, si embargo, e ellos se establece límites de cotrol particulares para cada ua de las muestras, aquí, resulta más complicado establecer límites de cotrol revisados para futuras muestras, pues se descooce cuál será su tamaño (). Gráfico c Existe situacioes e las cuales obteer iformació referete a la proporció de uidades o coformes es isuficiete, por lo que resulta ecesario aalizar el úmero de errores o o coformidades observados por uidad ispeccioada; por ejemplo, orificios e ua lámia de acero, errores e la redacció de u escrito, burbujas de aire e u artículo de vidrio, rayoes e la superficie de u mueble, etc. El gráfico c es ua herramieta de cotrol estadístico basada e la distribució de probabilidad de Poisso, el cual os permite moitorear el úmero de o coformidades para ua uidad de ispecció seleccioada, las fórmulas para calcular sus límites de cotrol so: LCI! = c 3 c LC! = c LCS! = u + 3 c 7
Dode: Ejemplo c, es el úmero promedio de o coformidades que se obtiee como!! Refrigeradores Refsa desea implemetar ua gráfico de cotrol para moitorear el úmero de o coformidades e los accesorios del iterior de sus refrigeradores, es por ello que e las últimas semaas ha registrado iformació referete al úmero de o coformidades idetificadas e u lote de producció de 50 refrigeradores. Subgrupo Lote No coformidades 1 MP-050 2 2 MP-051 1 3 MP-052 4 4 MP-053 4 5 MP-054 2 6 MP-055 1 7 MP-056 1 8 MP-057 2 9 MP-058 5 10 MP-059 1 11 MP-060 8 12 MP-061 1 13 MP-062 2 14 MP-063 3 15 MP-064 8 16 MP-065 10 17 MP-066 4 18 MP-067 5 Tabla 3. Iformació sobre el úmero de o coformidades e los accesorios del iterior de refrigeradores de Refsa. Observa que cada lote ispeccioado costa de 50 uidades, a pesar de ello, Refsa cosidera cada uo de ellos como ua uidad de ispecció, por lo que el tamaño de cada subgrupo es =1. El primer paso para costruir la gráfica es calcular el úmero promedio de o coformidades, c. c = c N = 64 18 = 3.55 A partir de la cual calculamos los límites de cotrol: 8
LC! = c = 3.55 LCI! = c 3 c = 3.55 3.55 = 2.101 LCS! = u + 3 c = 3.55 + 3.55 = 9.202 De forma similar que co la gráfica p, es imposible ecotrar u úmero de coformidades egativas, por lo que cuado el límite iferior de cotrol calculado es egativo, decimos que su valor es igual a cero. Figura 4. Si el límite iferior de cotrol es egativo, su valor es igual a cero. Observa que el lote MP-065 se ecuetra fuera del límite superior de cotrol, lo cual idica que durate su producció se presetaro causas especiales de variació, icremetado, de maera sigificativa, el úmero de o coformidades. Así, para determiar los límites de cotrol del próximo aálisis, calculamos los límites de cotrol revisados, tal como se muestra: c = c N = 54 17 = 3.17 LC! = c = 3.17 LCI! = c 3 c = 3.17 3.17 = 2.17 9
LCS! = u + 3 c = 3.17 + 3.17 = 8.51 A cotiuació, se preseta el gráfico de cotrol co límites revisados si cosiderar el lote MP-065, estos límites será utilizados para moitorear los siguietes lotes productivos; si embargo, por el mometo resulta coveiete que Refsa idetifique y elimie las causas que icremetaro el úmero de defectos e el lote MP-065, a fi de evitar su recurrecia. Figura 5. Gráfico de cotrol co límites revisados, excepto el lote MP-065. Gráfico u Como se describió ateriormete, la gráfica c es útil para moitorear el úmero de o coformidades por ua uidad de medició, es decir subgrupos costates de tamaño =1; si embargo, al igual que co la gráfica p, esto o siempre es posible, ya que cuado se efreta situacioes e las que el tamaño del subgrupo () es variable, es ecesario emplear la gráfica u. Las fórmulas para calcular los límites de cotrol para la gráfica u so: LC! = u LCI! = u 3!! LCS! = u + 3!! 10
Dode:! u, es el úmero promedio de o coformidades por uidad que se obtiee como! Observa que si sustituimos el valor de =1 e las fórmulas ateriores, obteemos las mismas fórmulas que para el gráfico c. Ejemplo Refsa ha registrado iformació referete a las o coformidades (burbujas, desgaste, mal colocació, rayoes, etc.), las cuales aparece e las charolas de vidrio templado que se emplea e alguos de sus productos, a cotiuació se preseta las observacioes registradas durate u mes de operació: Día Catidad Ispeccioada No coformi dades Día Catidad Ispeccioad a 1 198 152 16 217 154 2 205 137 17 182 119 3 225 192 18 236 184 4 235 204 19 223 182 5 193 142 20 191 161 6 187 136 21 199 124 7 217 129 22 229 169 8 217 181 23 224 180 9 192 124 24 228 173 10 242 153 25 248 188 11 238 172 26 187 128 12 193 148 27 222 155 13 240 148 28 183 151 14 213 157 29 222 140 15 248 216 30 188 141 No coformi dades Tabla 4. No coformidades de las charolas de vidrio templado usadas e los productos de Refsa. El primer paso para costruir la gráfica, es calcular el úmero promedio de o coformidades por uidad, u. u = u = 4740 6422 = 0.738 11
Debido a que el tamaño de cada subgrupo es variable, resulta ecesario calcular u límite de cotrol particular para cada uo de los subgrupos, tal como lo hicimos co la gráfica p. Para el primer subgrupo co =198. LC! = u = 0.738 LCI! = u 3!! = 0.738!.!"#!"# = 0.554 LCS! = u + 3!! = 0.738 +!.!"#!"# = 0.921 Para el segudo subgrupo co =205. LC! = u = 0.738 LCI! = u 3!! = 0.738!.!"#!"# = 0.558 LCS! = u + 3!! = 0.738 +!.!"#!"# = 0.918 Para calcular los límites cotrol para el resto de los subgrupos se utiliza el mismo procedimieto. 12
Figura 6. Cálculo de límites de cotrol para subgrupos de Refsa. Los gráficos u, se obtiee de forma muy similar a la gráfica c; si embargo, e ellos se establece límites de cotrol particulares para cada ua de las muestras, por lo que resulta más complicado establecer límites de cotrol revisados para futuras muestras, pues se descooce cuál será su tamaño (). Referecias Besterfield, D. (1995). Cotrol de la calidad. México: Pretice Hall Hispaoamérica. Recuperado el 10 de diciembre de 2010 e la base de datos Bibliotechia de la Biblioteca Digital UVEG. Carot, V. (1998). Cotrol estadístico de la calidad. España: Servicio de publicacioes de la Uiversidad Politécica de Valecia. [Versió electróica]. Recuperado el 13 de diciembre de 2010, de http://books.google.com.mx/books?id=jh8nu0yvxq0c&pritsec=frotcover#v=oepage&q&f=false Vilar, J. F. (1995). Cotrol estadístico de los procesos. España: Fudació Cofemetal. [Versió electróica]. Recuperado el 13 de diciembre de 2010, de http://books.google.com.mx/books?id=jc1qakmbyvic&pritsec=frotcover#v=oepage&q&f=false 13