IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD LÍMITES Y CONTINUIDAD.. INTRODUCCIÓN. Fíjate en el comportamiento de la función ( ) f cuando toma valores cercanos a. Si se aproima a, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: f ( ) 5 y decimos que 5 es el ite cuando tiende a de. También es fácil ver que: y Observa ahora, con atención, estos otros ejemplos: a) Dom ( f ) R \{ 0 } Rec ( f ) R \{ 0 } Sin embargo, qué valor toma 0? Estudiamos los ites laterales: Como 0 / (No eiste el ite) 0 0 Por otro lado: 0 y 0 b) Dom ( f ) R \{ 0 } Rec ( f ) ( 0, ) Eiste en este caso? 0 c) f ) 0 0 0 ( Dom ( f ) [ 0, ) Rec ( f ) [ 0, ) En este caso c ( a, b) (Fíjate: Dom( f ) 4 ) Tampoco eiste el ite en 0 ya que los ites laterales no coinciden: / 0 / 0 0 0 No obstante 4 Departamento de Matemáticas Bloque I: Análisis de Funciones Unidad : Límites y Continuidad
IES Padre Poveda (Guadi). LÍMITES EN EL INFINITO... COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN CUANDO. Cómo se comporta f () cuando? Pueden presentarse cuatro casos: º) Que f () crezca cada vez más sin ninguna cota. f () M R K R tal que si > K > M º) Que los valores de f () se hagan cada vez más pequeños y negativos. f () M R K R tal que si > K < M 3º) Que los valores de f () se aproimen a un número l. ε > 0 K R l tal que si > K l < ε 443 4º) Que f () no presente tendencia alguna. En este caso / f () como sen ( lε, l ε ) Observación: Las definiciones anteriores son definiciones formales de ites. No es tarea fácil la comprensión y uso de éstas, por lo que emplearemos la frase intuitiva que nos proporciona cada caso junto con su gráfica correspondiente. También tendremos en cuenta esta observación en el apartado. y en el punto 3... COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN CUANDO. Cómo se comporta f () cuando? De nuevo pueden presentarse cuatro casos: º) Que f () crezca cada vez más sin ninguna cota. f () M R K R tal que si < K > M º) Que los valores de f () se hagan cada vez más pequeños y negativos. f () M R K R tal que si < K < M 3º) Que los valores de f () se aproimen a un número l. ε > 0 K R l tal que si < K l < ε 443 4º) Que f () no presente tendencia alguna. En este caso / f () como cos ( lε, l ε ) Departamento de Matemáticas Bloque I: Análisis de Funciones Unidad : Límites y Continuidad
IES Padre Poveda (Guadi) 3. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Cómo se comporta f () cuando a? Pueden presentarse cuatro casos: º) Que f () crezca cada vez más sin ninguna cota. M R δ > 0 f () tal que si 0 < a < δ 4443 4 ( aδ, a δ ) a > M Esto implica la eistencia de los ites laterales y su igualdad, y dependiendo de si se acerca a a con valores más pequeños o bien más grandes que a tenemos: Límite lateral por la izquierda en a : f () M R δ > 0 tal que si a δ, a > ( ) M Límite lateral por la derecha en a : f () M R δ > 0 tal que si a, a δ > ( ) M º) Que los valores de f () se hagan cada vez más pequeños y negativos. f () M R δ > 0 tal que si 0 < a < δ 4443 4 ( aδ, a δ ) De nuevo, esto implica la eistencia de los ites laterales y su igualdad: f () M R δ > 0 tal que si a δ, a < a ( ) M < M f () ( a, a ) f ( M M R δ > 0 tal que si δ ) < 3º) Que los valores de f () se aproimen a un número l. ε > 0 δ > 0 l tal que si 0 < a < δ l < ε 443 4 443 ( aδ, a δ ) ( lε, l ε ) a Esto implica la eistencia de los ites laterales y su igualdad: f ) l ε > 0 δ > 0 tal que si a δ, a l < ( ( ) ε l ε > 0 δ > 0 tal que si ( a, a δ ) l < ε 4º) Que f () no tenga ite en ese punto debido a que los ites laterales no coinciden o bien a que alguno de ellos no eista. En este caso / f () como Departamento de Matemáticas 3 Bloque I: Análisis de Funciones Unidad : Límites y Continuidad
IES Padre Poveda (Guadi) Propiedad: Una función tiene ite en un punto si eisten los ites laterales en dicho punto y además coinciden, y recíprocamente. En caso contrario, NO eiste el ite en ese punto. El ite, si eiste, es único. Ejemplo: Fíjate en las gráficas y en el cálculo de los siguientes ites: a) Dom ( f ) R Rec ( f ) R f f b) ( f ) R Dom \{, } ; Re ( f ) R c \[, 0) 4 4 ( ) / 3 4 3 3 c) (g) R ( ) 3 Observa que, sin embargo, f ( ) Dom \{ }; Re c ( g) ( 0, ) g( ) 0 / / g( ) 4 g g( ) ( ) 4. CÁLCULO DE LÍMITES. El cálculo de un ite a partir de la gráfica de una función es una tarea fácil, basta con observar con atención dicha gráfica. Sin embargo no siempre se dispondrá de ella por lo que habrá que recurrir a su epresión algebraica. No obstante, el cálculo analítico del ite de una función puede ser fácil de obtener, o bien dar lugar a una indeterminación que se debe resolver del modo adecuado. Propiedades: Si L Entonces: a f a y g( ) M Departamento de Matemáticas 4 Bloque I: Análisis de Funciones Unidad : Límites y Continuidad a ) [ ( ) ± g( ) ] L ± M b) g( ) L M a ( ) ( ) f L c) 0 a g M ( Si M ) a a ( ) g ( ) L M d ) f NOTA: Si L y/o M son ites infinitos ó M0, pueden aparecer indeterminaciones en las epresiones anteriores. Se resolverán de un modo específico. Casos de indeterminación: k a ) 0 b ) 0 0 ) c d ) [ ] ) [ 0 ] e ) f [ ] ) 0 g [ ] ) Recordemos en la pizarra, de un modo práctico, el cálculo de ites con diversos ejemplos. 0 h [ 0 ]
IES Padre Poveda (Guadi) 5. ASÍNTOTAS. De modo informal podemos definir los siguientes conceptos: Ramas infinitas: Tramos de la curva que se alejan indefinidamente del origen de coordenadas. Asíntota: Recta a la que se ciñe (aproima) una rama infinita. Rama asintótica: Rama infinita que se ciñe a una asíntota. 5.. RAMAS INFINITAS EN a. ASÍNTOTAS VERTICALES. Si f ó f ( ) y/o ( ) ó entonces la función tiene una rama infinita por la derecha o por la izquierda (o por las dos), y la recta a es una asíntota vertical. Situación de la curva respecto a la asíntota: f () f () f a f ( ) ( ) f a f ( ) ( ) Observaciones: P Si ( ) ( ) f racional, los candidatos a asíntotas verticales son los valores de Q( ) que anulan el denominador. Una función puede tener infinitas asíntotas verticales. Ejemplo : Calcula las asíntotas verticales de las siguientes funciones: 5 6 a ) b ) ) d 3 Ejemplo : Cuántas asíntotas verticales tiene la función ( ) 5.. RAMAS INFINITAS CUANDO (ó ). Se pueden presentar tres casos: c 4 f? 6 ) 4 4 a) ASÍNTOTAS HORIZONTALES. Si f ( ) b ( b R) entonces la función f tiene una rama infinita cuando y la recta y b es una asíntota horizontal en. Situación de la curva respecto de la asíntota: Estudiamos el signo de b para valores grandes de (es decir, si ): Si b > 0 curva por encima de la asíntota. Si b < 0 curva por debajo de la asíntota. Departamento de Matemáticas 5 Bloque I: Análisis de Funciones Unidad : Límites y Continuidad
IES Padre Poveda (Guadi) b > 0 b < 0 Análogamente si. Observaciones: Una función tendrá, a lo sumo, dos asíntotas horizontales, una en y otra en. P Si ( ) ( ) f es un cociente de polinomios, la función tendrá la misma asíntota Q( ) horizontal en y en. Será necesario que Grado P( ) GradoQ( ). Ejemplo: Calcula las asíntotas horizontales de las siguientes funciones: 3 4 a) b ) c ) 3 3 b) ASÍNTOTAS OBLICUAS. Si [ ( m n) ] 0 entonces la función f tiene una rama infinita cuando y la recta y m n es una asíntota oblicua en. Para calcularla: m n [ m] Situación de la curva respecto de la asíntota: Estudiamos el signo de ( m n) para valores grandes de (si ): Si ( m n) > 0 curva por encima de la asíntota. Si ( m n) < 0 curva por debajo de la asíntota. ( m n) > 0 ( m n) < 0 Análogamente si. Observaciones: P Si ( ) ( ) f es un cociente de polinomios, la función tendrá asíntota oblicua si Q( ) Grado P( ) Grado Q( ). La asíntota oblicua será el cociente obtenido al efectuar la división de polinomios anterior. Una función tendrá, a lo sumo, dos asíntotas oblicuas, una en y otra en. Si hay asíntota horizontal No hay asíntota oblicua y viceversa. Ejemplo : Calcula las asíntotas oblicuas de las siguientes funciones: 3 5 3 5 3 a ) b ) 4 4 p Ejemplo : La función tiene como asíntota oblicua la recta de ecuación y. Determina el valor de p y estudia si la gráfica de la función corta a la asíntota. Departamento de Matemáticas 6 Bloque I: Análisis de Funciones Unidad : Límites y Continuidad
IES Padre Poveda (Guadi) c) RAMAS PARABÓLICAS (en funciones racionales). Si Grado P( ) Grado Q( ) entonces hay una rama parabólica hacia arriba o P( ) P( ) hacia abajo dependiendo de que ó respectivamente. Q Q ( ) ( ) f ( ) Análogamente si. f ( ) Ejemplo: Estudia si las siguientes funciones tienen ramas parabólicas: 3 5 5 3 a ) b ) 3 3 6. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. 6.. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Una función f es continua en a si f ( a) Esta definición implica que se cumplan tres condiciones: ) Eiste ( a) ) Eiste 3) f ( a) f (Es decir, a Dom( f ).) y es finito. (Es decir, ) y ) coinciden).. Si no se cumple alguna de estas tres condiciones, diremos que la función es discontinua en a. 6.. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO. f es continua en (a, b) si lo es en todo punto de ese intervalo. f es continua en [a, b] si es continua en (a, b) y, además, es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. Nota: f es continua por la derecha en a si f ( a). f es continua por la izquierda en b si f ( b) b 6.3. TIPOS DE DISCONTINUIDADES. a) Discontinuidad inevitable de salto finito: Presenta un salto en ese punto. Eisten los ites laterales y son finitos, pero distintos. Ejemplo:. si Dom ( f ) R si > f () ( ) / f Discontinuidad inevitable de salto finito en. Departamento de Matemáticas 7 Bloque I: Análisis de Funciones Unidad : Límites y Continuidad
IES Padre Poveda (Guadi) b) Discontinuidad inevitable de salto infinito: Tiene ramas infinitas en ese punto. Uno o los dos ites laterales son infinitos. c) Discontinuidad evitable: Ejemplo: En este caso eiste desplazado ), o bien no eiste ( a) ( f ) R / f () Dom \{ } Departamento de Matemáticas 8 Bloque I: Análisis de Funciones Unidad : Límites y Continuidad ( ) / f Discontinuidad inevitable de salto infinito en., pero no coincide con f ( a) (tiene ese punto f (Le falta ese punto). Ejemplo: (Tiene ese punto desplazado ) si si Dom ( f ) R En este caso: ( ) f Ejemplo: (Le falta ese punto) f y también ( ) Sin embargo, f () Esta función tiene una discontinuidad evitable en y se evita redefiniendo f ( ). Dom ( f ) R \{ } Fíjate que: / f () (La función no está definida en ) f ya que: ( ) ( ) Esta función tiene una discontinuidad evitable en y se evita definiendo f ( ). d) Discontinuidad esencial: Alguno de los ites laterales no eiste. Ejemplo: sen Dom ( f ) R \{ 0 } Observa que: / f (0) (La función no está definida en 0 ) / 0 / ya que: 0 / 0 f tiene una discontinuidad esencial en 0 Propiedad: Si f y g son funciones continuas en a, las siguientes funciones también son continuas en a : a ) f ± g b) f g c) k g k R d ) f / g si g( a) 0 e) f o g Las funciones polinómicas, racionales, irracionales, eponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus compuestas, son continuas en su dominio de definición.
IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplo : Estudiar la continuidad de estas funciones en los puntos que se indican: 3 si < 6 si < a ) 4 si b ) 4 si ln( ) si > si > en y. en. Ejemplo : Determina los valores de a y b para que las siguientes funciones sean continuas. si cos si 0 a ) a 3 si < b ) ( a ) si 0 < < 3 b si > b / si n Ejemplo 3: Calcula los valores de m y n sabiendo que la función posee 3 m 4 una discontinuidad evitable en. 7. FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. TEOREMA DE BOLZANO. TEOREMA DE WEIERSTRASS. Teorema de Bolzano: Si una función f es continua en un intervalo cerrado[ a, b] y Signo( f ( a)) Signo( f ( b)), entonces eiste al menos c ( a, b) tal que f ( c) 0. 3 Ejemplo: Probar que la función 3 40 tiene, al menos, una raíz real y localizarla entre dos valores enteros consecutivos. Los dos siguientes teoremas son importantes consecuencias del Teorema de Bolzano: Teorema de los valores intermedios (Darbou): Si una función f es continua en un intervalo cerrado[ a, b] y k es un número comprendido entre f (a) y f (b), entonces eiste al c a, b tal que f ( c) k. menos ( ) Es decir, la función f toma todos los valores intermedios entre f (a) y f (b). 3 Ejemplo: Dada la función, se puede afirmar que eiste al menos tal que f ( c)? Razona la respuesta. un punto c en el intervalo [,] Teorema sobre gráficas que se cortan: Sean f y g dos funciones continuas en un intervalo cerrado[ a, b] tales que f ( a) < g( a) y f ( b) > g( b), entonces eiste al menos c a, b tal que f ( c) g( c). ( ) Es decir, eiste un punto en el que las gráficas se cortan, o dicho de otro modo, eiste un punto en el que las dos funciones toman el mismo valor. Departamento de Matemáticas 9 Bloque I: Análisis de Funciones Unidad : Límites y Continuidad
IES Padre Poveda (Guadi) Ejemplo: Probar que las gráficas de f ) localízalo entre dos números enteros. ( ln y g e ( ) se cortan en un punto y Teorema de acotación: Si una función f es continua en un intervalo cerrado[ a, b], entonces está acotada en [ a, b]. Teorema de Weierstrass: Si una función f es continua en un intervalo cerrado[ a, b], entonces f alcanza sus valores máimo y mínimo absolutos en [ a, b]. Es decir, f está acotada y eisten c d [ a, b] f ( c) f ( d) [ a, b]., tales que Ejemplo: Indica si la función ln está acotada en [, e ], y si alcanza sus valores máimo y mínimo absolutos en dicho intervalo. En caso afirmativo dibújala y localiza estos puntos. Departamento de Matemáticas 0 Bloque I: Análisis de Funciones Unidad : Límites y Continuidad